1、 分析力学用新的观点、新的方法处理分析力学用新的观点、新的方法处理力学问题，具有更高的概括性，是力学理力学问题，具有更高的概括性，是力学理论发展的更高阶段，而这一发展是与充分论发展的更高阶段，而这一发展是与充分利用了数学分析这一有力的数学工具是分利用了数学分析这一有力的数学工具是分不开的。分析力学注重的物理量不是力和不开的。分析力学注重的物理量不是力和加速度，而是功和能。从数学上讲，处理加速度，而是功和能。从数学上讲，处理对象从矢量转变为标量，处理方法也从几对象从矢量转变为标量，处理方法也从几何方法转变为数学分析的方法。何方法转变为数学分析的方法。 本章重点本章重点： 深刻理解深刻理解约束、虚
2、位移和广义坐标的概念；约束、虚位移和广义坐标的概念；掌掌握握拉格朗日函数和哈密顿函数的写法；拉格朗日函数和哈密顿函数的写法；牢固掌握牢固掌握虚虚功原理和拉格朗日方程并能熟练应用；功原理和拉格朗日方程并能熟练应用；掌握掌握能量积能量积分的条件；能应用正则方程解决简单的力学问题；分的条件；能应用正则方程解决简单的力学问题；对哈密顿原理着重理解其思维方法；了解泊松括号对哈密顿原理着重理解其思维方法；了解泊松括号和泊松定理。和泊松定理。 虚功原理和拉格朗日方程及其应用。虚功原理和拉格朗日方程及其应用。 彼此相互影响的若干质点的一个集合，彼此相互影响的若干质点的一个集合，称为力学体系，也叫质点组。一个力
3、学体系称为力学体系，也叫质点组。一个力学体系中，存在着限制质点自由运动的条件，我们中，存在着限制质点自由运动的条件，我们把这些条件叫做约束，约束的数学表达式称把这些条件叫做约束，约束的数学表达式称为约束方程。为约束方程。 0).(tzyxzyxf一、约束的概念和分类一、约束的概念和分类1）约束约束2）约束的分类约束的分类 例如例如：当一质点和长为l的刚性杆相连时，如刚性杆的上端固定不动，取此点为坐标原点，则约束方程： 稳定约束 2222lzyx 稳定约束稳定约束如果限制系统位置的约束不是如果限制系统位置的约束不是时间时间t的函数，则约束方程中不显含时间的函数，则约束方程中不显含时间t，即：，即
4、：0).(zyxf0).(tzyxfa) 稳定约束和不稳定约束稳定约束和不稳定约束 不稳定约束不稳定约束如果约束是时间如果约束是时间t的函数，则的函数，则约束方程显含时间约束方程显含时间t，即：，即：2222)(lzyctx b) )可解约束和不可解约束可解约束和不可解约束 不可解约束不可解约束质点始终不能脱离某曲面质点始终不能脱离某曲面（或曲线）的那种约束。（或曲线）的那种约束。 可解约束可解约束如果质点虽然被约束在某一曲如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离这个曲面。面上，但在某一方向可以脱离这个曲面。0).(zyxf0).(tzyxfczyxf).( 如果质点是用刚性杆和定
5、点O相连，则质点所受的约束是不可解约束不可解约束，约束方程为： 2222lzyx2222lzyx 当质点被一柔软绳连在一个定点O上而作任意运动时，所受的约束是可解约束可解约束，约束方程为： 0).(zyxf0).(t zyxf 几何约束几何约束它只限制质点在空间的位置，它只限制质点在空间的位置，因而表现为质点坐标的函数。因而表现为质点坐标的函数。 运动约束运动约束除了限制质点的坐标外，还除了限制质点的坐标外，还要限制质点的速度。运动约束又叫微分约束。要限制质点的速度。运动约束又叫微分约束。 0).(tzyxzyxf 完整约束完整约束为几何约束）运动约束（积分后可变几何约束0).().(tzyx
6、zyxfczyxf运动约束（不可积）可解约束不完整约束不完整约束 凡只受有完整约束的力学体系叫完整系。同凡只受有完整约束的力学体系叫完整系。同时受有完整约束与不完整约束的力学体系，或只时受有完整约束与不完整约束的力学体系，或只受有不完整约束的力学体系都叫不完整系。受有不完整约束的力学体系都叫不完整系。d) ) 完整约束和不完整约束完整约束和不完整约束 在力学体系只受几何约束的情形下，独立坐在力学体系只受几何约束的情形下，独立坐标的数目叫做力学体系的自由度。用来表示这些标的数目叫做力学体系的自由度。用来表示这些独立变量的参数叫广义坐标（也叫拉格朗日广义独立变量的参数叫广义坐标（也叫拉格朗日广义坐
7、标），通常用坐标），通常用 q 表示。表示。 例如，例如，一个力学体系由n个质点所形成，受k个几何约束，自由度：s=3n-k，把3n个不独立的坐标用s个独立参数及t表出，即：).().().(212121tqqqzztqqqyytqqqxxsiisiisii)3,2 .1(nsni 广义坐标，它不一定是长度，可以是角度或广义坐标，它不一定是长度，可以是角度或其它物理量，例如：面积、体积、电极化强度、其它物理量，例如：面积、体积、电极化强度、磁化强度等。磁化强度等。 ) .(21tqqqsiirr )3,2 . 1(nsni或写成矢量式：或写成矢量式： ).().().(212121tqqqzz
8、tqqqyytqqqxxsiisiisii)3,2 .1(nsni一、实位移与虚位移一、实位移与虚位移 实位移：质点由于运动实际上所发生的实位移：质点由于运动实际上所发生的位移（由于时间位移（由于时间 t 发生变化所致）以发生变化所致）以 dr 表之。表之。 虚位移：是想象中可能发生的位移，它虚位移：是想象中可能发生的位移，它只决定于质点在此时刻的位置和加在它上只决定于质点在此时刻的位置和加在它上面的约束，时间面的约束，时间 t 没有改变（没有改变（t=0），以，以 r 表之。表之。 在稳定约束下，实位在稳定约束下，实位移是许多虚位移里面的一移是许多虚位移里面的一个，但对不稳定约束，实个，但对
9、不稳定约束，实位移与虚位移并不一致位移与虚位移并不一致 。 一般说来，在一般说来，在任意时刻任意时刻 t，在约束所许可，在约束所许可的情况下，质点的的情况下，质点的虚位移不止一个虚位移不止一个。实位移则。实位移则不同，不同，它除它除受到约束的限制外，还要受到运动受到约束的限制外，还要受到运动规律的限制，当时间改变规律的限制，当时间改变dt后，后，实位移一般只实位移一般只能有一个能有一个。 niii10rR三、虚功原理三、虚功原理 设某力学体系受有设某力学体系受有k个几何约束，处于个几何约束，处于平平衡状态衡状态，取体系中任一质点，取体系中任一质点Pi，并设作用在，并设作用在此质点上主动力的合力
10、为此质点上主动力的合力为Fi，约束反力的合，约束反力的合力为力为Ri，因为此体系中每一质点都必须处于，因为此体系中每一质点都必须处于平衡状态，故必须有：平衡状态，故必须有：0iiRF)2 . 1(ni 质点自它的平衡位置发生一虚位移质点自它的平衡位置发生一虚位移ri 0iiiirRrF)2 . 1(nininiiiiirRrF110niii10rRniiirF10WniiiziiyiixzFyFxFW10)( niiirF10W).(21tqqqsiirr siiqq1rr )(111nisiiniiiqqWrFrF snisiiqQqq1110)(rF0Q)2 . 1(sniniiiziiy
11、iixiiqzFqyFqxFqQ11)(rF)2 . 1(s Q0Q)2 . 1(s032211xFyPyPW（1 1） coscossin2sinsin221321211llxllylysinsincos2coscos221321211llxllyly0)sinsin()cos2cos()cos2(2121211llFllPlP032211xFyPyPW（1 1） sinsincos2coscos221321211llxllyly0)sincos2()sincoscos2(22211211FllPFllPlP.0sincos20sincoscos222211211FllPQFllPlPQFP
12、tgFPPtg222221ninjjiaa11 ijjijijiaaaa ijjijjiiiiiiiiaaaaaaa)()()(2ijiiijbaab)(ijjjijiiiibabaabba),2 , 1(),(stqiirrsiiitqqdtd1rrrri)(tqq qir qqiirrsisiiiqqqtqqqq11)(rrrr10qqtqqqqqs;,1121;,21sqqq只把只把 当作变量，将当作变量，将 都当常量，所以有：都当常量，所以有：q ), 2 , 1(),(stqqiirrqir首先弄清自变量：首先弄清自变量： ),(),(tqqqtqiiiirrrrqtqqqtqqqq
13、qdtdisisirrrrrriii)()(1122qqdtdiirr)(),2 , 1(s)(tqq一、基本形式的拉格朗日方程基本形式的拉格朗日方程 由由n个质点所组成的力学体系个质点所组成的力学体系 ), 2 , 1(nimiiii RFr达朗伯原理达朗伯原理 或：或： ), 2 , 1(0nimiiii RFr（1）达朗伯达朗伯拉格朗日方程拉格朗日方程 niiim10)(rrFi （2 2） 用虚位移点乘用虚位移点乘(1)式，并对式，并对i求和，在理想约束求和，在理想约束的条件下，得：的条件下，得： 物理意义：表示主动力物理意义：表示主动力Fi、约束反力、约束反力Ri和因质和因质点有加速
14、度而产生的有效力（惯性力）的平衡，点有加速度而产生的有效力（惯性力）的平衡，通过这种方法将动力学问题化为静力学问题来处通过这种方法将动力学问题化为静力学问题来处理理动静法。动静法。 ), 2 , 1(0nimiiii RFr（1）推导基本形式的拉格朗日方程：推导基本形式的拉格朗日方程：siiqq1rr代入（代入（2）得：）得： 将将niiqqm10)(s1iirrF niiiqQ1rF广义力广义力 即：即： snisniiiiiqqmqq11110)()(rrrFi （3） sqPQ10)(（4） 则（则（3）式变为：）式变为： niiiiqmP1rr 令：令： snisniiiiiqqmqq
15、11110)()(rrrFi （3） niiiiqmP1rr 现在计算现在计算 ：niiiiqmP1rr niiiiniiiiqdtdmqmdtd11)()(rrrrniiiiniiiiqmqmdtdP11)(rrrrqqiirrqqdtdiirr)( 由于由于 是互相独立的，是互相独立的， ，所以（，所以（4）式变为：式变为： 0qqqTqTdtdPniniiiiiiTmm11221rrrT力学体系的动能力学体系的动能 niiiiniiiiqmqmdtdP11)(rrrr基本形式的拉格朗日方程基本形式的拉格朗日方程 QqTqTdtd),2 , 1(s（5） 基本形式的拉格朗日方程中物理量基本
16、形式的拉格朗日方程中物理量 的意义：的意义：叫广义速度，可为线速度、角速度或其它；叫广义速度，可为线速度、角速度或其它； q 叫广义动量，可为线动量也可为角动量；叫广义动量，可为线动量也可为角动量； qTqT叫拉格朗日力；叫拉格朗日力； Q叫广义力（不包含约束反力叫广义力（不包含约束反力 ），其量纲），其量纲由表达式由表达式 决定。决定。 qQW 长度长度 力力 面积面积 表面张力表面张力 电荷电荷 电压电压 等等。等等。 体积体积 应力应力 严格地讲，谈到广义力时，应同时指出与严格地讲，谈到广义力时，应同时指出与它相应的广义坐标。它相应的广义坐标。q广义坐标广义坐标Q广义力广义力 对于保守系
17、，必存在势能对于保守系，必存在势能V，它是坐标的函数，它是坐标的函数V（xi ,yi, zi），且：），且： ViiF)2 . 1(niiiziiyiixzVFyVFxVF)2 . 1(ni),(),(),(tqzztqyytqxxiiiiii),2 , 1(s将所有坐标用广义坐标将所有坐标用广义坐标 表示：表示：qniiiiiiiqVqzzVqyyVqxxV1)(niiiziiyiixqzFqyFqxF1)(niiiqQ1rF广义力：广义力： 这样基本形式的拉氏方程可改写为：这样基本形式的拉氏方程可改写为：令：令：L=T-V，代表体系的动能与势能之和。则：，代表体系的动能与势能之和。则：qV
18、qTqLqTqL这样这样(6)式变为：式变为： qVqTqTdtd),2 , 1(s（6 6） 0qLqLdtd),2 , 1(s（7 7） 保守系的拉格朗日方程保守系的拉格朗日方程 L=T-V，叫做拉格朗日函数，简称拉氏函数。叫做拉格朗日函数，简称拉氏函数。例例2 （周衍柏习题（周衍柏习题5.8）一光滑细管可在竖直平）一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动，管中有面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动，管中有一质量一质量为为m的质点，开始时，细管取水平方向，质的质点，开始时，细管取水平方向，质点距转动轴的距离为点距转动轴的距离为a，质点相对于管的速度为，质点相对于管的速度为v
19、0，试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。 解：如图所示，取管解：如图所示，取管轴为动坐标系的轴为动坐标系的x轴，自轴，自由度由度s = 1，选，选 q = x，质，质点的相对速度为：点的相对速度为： ivx 牵连速度为：牵连速度为： jrvex质点的势能：质点的势能： tmgxVsin（以通过（以通过O点的水平线为零势线）点的水平线为零势线） 质点的动能：质点的动能： )(21222xxmT拉氏函数为：拉氏函数为： tmgxxxmVTLsin)(21222tmgxmxLxmxLsin2tmgxmxmsin2 即：即： tgxxsin2 代入拉氏方
20、程：代入拉氏方程：0)(xLxLdtd齐次方程的通解：齐次方程的通解： ttBeAex1非齐次方程的特解为：非齐次方程的特解为： tgxsin222tgBeAexxxttsin2221代入初始条件：代入初始条件： 00vxaxt得：得： 204)(21gvaA204)(21gvaB故质点沿管的运动规律为：故质点沿管的运动规律为： 00222112424sin2 () ()ttvvggxaeaegt-=+-+-+方程的通解：方程的通解：作业：作业：55 56 57 q0qL0)(qLdtd qLq )(21222rrmTrmkV2rmkrrmVTL2222)(21 21qrqrmkrrmVTL2
21、222)(21 2mrL 2mrL注意注意 siiitqqdtd1rrrri21121)(21siiniiiniitqqmmrrr21Tnissiiiitqtqqqqqm11112)(221rrrrriissaqaqqa1112121012TTT21111111122()()()snsnniiiiiiiiiimq qmqmqqqttirrrrr=抖抖=+抖抖邋邋 nissiiiitqtqqqqqmT11112)(221rrrrrii012TTTTaaa,q 式中式中分别是广义速度分别是广义速度 的二次、的二次、一次和零次函数一次和零次函数系数系数 一般都是一般都是广义坐标广义坐标 及时间及时间
22、t 的函数的函数。), 2 , 1(sq 如果力学体系是稳定的，如果力学体系是稳定的，ri中不显含时间中不显含时间t，因而因而 即：即： ，a = 0，0tir0a012TTTT),(21sqqqVV 于是动能于是动能T将仅是广义速度的二次齐次函数，将仅是广义速度的二次齐次函数，即：即：T = T2 。如果如果T = T2，而且而且也不显含时间也不显含时间t，那么：，那么：qVqTqTdtd各项乘以各项乘以 ，然后对，然后对 求和得：求和得： q sssqqVqqTqqTdtd111)(sssqqTqqTdtdqqTdtd111)()( 第一项：第一项：代入上式得：代入上式得：sssqqVqq
23、TqqTqqTdtd111)( （1） 欧拉齐次函数定理：齐次函数的偏导数各乘欧拉齐次函数定理：齐次函数的偏导数各乘以相应的变量，相加起来，就等于这函数乘上它以相应的变量，相加起来，就等于这函数乘上它的次数。的次数。 动能动能T是广义速度的二次齐次函数，根据欧是广义速度的二次齐次函数，根据欧拉齐次函数定理知：拉齐次函数定理知： sTqqT12（2） 若拉氏函数中不显含时间若拉氏函数中不显含时间t，T和和V都不是时都不是时间间t 的显函数，所以：的显函数，所以：)2 , 1()(),(sqVVqqTTssdtdVqqVdtdTqqTqqT11)( （3）将（将（2 2）（）（3 3）代入（）代入
24、（1 1）式：）式： sTqqT12（2）ssdtdVqqVdtdTqqTqqT11)( （3）sssqqVqqTqqTqqTdtd111)( （1）dtdVdtdTTdtd)2(dtdVdtdT 如果如果拉氏函数拉氏函数L中不显含时间中不显含时间t，但约束是非稳，但约束是非稳定的，即动能是广义速度的二次非齐次函数：定的，即动能是广义速度的二次非齐次函数： T = T2+T1+T0 那末：那末： ssTTqqTqqTqqTqqT11120122)(上式代入（上式代入（1）式：）式： dtdVdtdTTTdtd)2(12得得: :sssqqVqqTqqTqqTdtd111)( （1）hVTT02
25、积分得：积分得： 由此可见，即使主动力都是保守力，拉格朗由此可见，即使主动力都是保守力，拉格朗日方程也不一定给出能量积分，除非约束是稳定日方程也不一定给出能量积分，除非约束是稳定的，因为在不稳定约束的情况下，约束反力可以的，因为在不稳定约束的情况下，约束反力可以作功，而在拉格朗日方程中并不含有约束反力，作功，而在拉格朗日方程中并不含有约束反力，这就产生了如上的差异。这就产生了如上的差异。02TT 并不代表动能，并不代表动能，h虽是常数，但并不代虽是常数，但并不代表总能量，与表总能量，与E不同，所以就物理意义来说，不不同，所以就物理意义来说，不是能量积分，因为它和能量积分类似，所以它被是能量积分
26、，因为它和能量积分类似，所以它被称为称为广义能量积分广义能量积分。例例3 质量为质量为m1的滑块，可以沿水平轴的滑块，可以沿水平轴x自由滑自由滑动（不受摩擦），质量为动（不受摩擦），质量为m2的小球，用长为的小球，用长为l 的轻的轻杆与滑块相连，轻杆可以在铅直平面内摆动，试杆与滑块相连，轻杆可以在铅直平面内摆动，试求该系统的运动微分方程和首次积分。求该系统的运动微分方程和首次积分。小球的坐标为：小球的坐标为： cossin212lylxx 解：该系统的自由解：该系统的自由度为度为2，建立固定坐标系，建立固定坐标系oxy，选滑块的水平位，选滑块的水平位置置x1和轻杆对铅垂线的和轻杆对铅垂线的摆角
27、摆角 为两个广义坐标，为两个广义坐标，如图所示。如图所示。小球的速度分量为：小球的速度分量为： sincos212lylxx体系的动能为：体系的动能为： )cos2(2121)(212112221221122222211x llxmxmyxmxmTcos21)(21122222121x lmlmxmm 作用在体系上的主动力是保守力作用在体系上的主动力是保守力m1g和和m2g，选过选过x轴的水平面为零势面，其势能为：轴的水平面为零势面，其势能为：cos2glmV体系的拉格朗日函数为：体系的拉格朗日函数为：coscos21)(212122222121glmx lmlmxmmVTLcos)(2121
28、1lmxmmxL01xLcos1222x lmlmLsinsin212glmx lmLcoscos21)(212122222121glmx lmlmxmmVTL代入拉氏方程代入拉氏方程：0)(0)(11LLdtdxLxLdtd得体系的运动微分方程为：得体系的运动微分方程为：0sincos0sincos)(21222222121glmx lmlmlmlmxmm Eglmx lmlmxmmVTcoscos21)(212122222121 因为因为L中不显含时间中不显含时间t，且约束是稳定的，所，且约束是稳定的，所以可得一能量积分，即体系的机械能守恒：以可得一能量积分，即体系的机械能守恒：)(cos
29、)(212111常数ClmxmmxLPx 因为拉格朗日函数因为拉格朗日函数L中不显含中不显含x1，x1是循环是循环坐标，故可得一循环积分，即对应循环坐标坐标，故可得一循环积分，即对应循环坐标x1的的广义动量守恒：广义动量守恒：作业：作业：59 511 1) 确定力学体系的自由度；确定力学体系的自由度； 2)适当选取描写体系运动的广义坐标；适当选取描写体系运动的广义坐标； 3) 写出力学体系的动能写出力学体系的动能T及势能及势能V，写出拉氏函数，写出拉氏函数L； 4) 代入拉氏方程，得出力学体系的运动微分方程；代入拉氏方程，得出力学体系的运动微分方程； 5) 解方程并讨论结果。解方程并讨论结果。
30、 )sin(21222222rrrmT)(212222zrrmT)(21222rrmT)(21222zyxmT2）利用约束关系或坐标变换关系，找出各）利用约束关系或坐标变换关系，找出各坐标变量与广义坐标的关系，将动能和势能用广坐标变量与广义坐标的关系，将动能和势能用广义坐标和广义速度表示，即得拉氏函数。义坐标和广义速度表示，即得拉氏函数。 对非稳定约束情况，有时用动坐标系来写出对非稳定约束情况，有时用动坐标系来写出拉氏函数较方便，在这种情况下，速度要用相对拉氏函数较方便，在这种情况下，速度要用相对静止坐标系的绝对速度，势能也应以静系中的固静止坐标系的绝对速度，势能也应以静系中的固定点为参考点计
31、算。定点为参考点计算。注意注意222121ccImvT 对于刚体，由柯尼希定理写出它的动能表对于刚体，由柯尼希定理写出它的动能表达式：达式：qVQ 3) 对保守力系：对保守力系： nisiiqQW11r rF F2) 利用虚功：利用虚功：niiiqQ1rF), 2 , 1(s 1) 利用广义力的定义式：利用广义力的定义式： 计算广义力有三种方法：计算广义力有三种方法：例例1：一质点在主动力：一质点在主动力F 的作用下，作平面运的作用下，作平面运动，求它对应于平面极坐标动，求它对应于平面极坐标 的广义力。的广义力。. r解法解法1,利用虚功的表达式：利用虚功的表达式：虚功：虚功： 1niirir
32、WF rF rQ rQ Fl=+=+jiFFFrjilrr在平面极坐标系中：在平面极坐标系中：nisiiqQW11r rF FrFQFQrr所以对应广义坐标所以对应广义坐标 的广义力：的广义力：. r又解：利用广义力的定义式：又解：利用广义力的定义式：niiiqQ1rF), 2 , 1(scossinxryr=rrWF rF rQ rQ =+=+ryxyxrFFFryFrxFQsincosrFrFrFyFxFQyxyxcossinrFQFQrrsincosryrx所以对应广义坐标所以对应广义坐标 的广义力：的广义力：. r 解解：系统自由度为系统自由度为2 2，如图所示，如图所示, ,选取选取
33、 为广义坐标为广义坐标,x由科尼希定理知棒的动能为：由科尼希定理知棒的动能为： 2222)(21)(2mkyxmTcck为棒绕质心为棒绕质心c转动的回转半径。转动的回转半径。 cos2)(22222xakaxmTsincosayaxxcccossinayaxxcc棒质心坐标棒质心坐标： 0cosxTmaxmxTsincos)(22xmaxmaTkamTcBymgxFWcossin2ayaxxcBsincos2ayaxxcB)sin()cos2(amgaxFW)sincos2(mgFaxFxQxTxTdtd)(QTTdtd)()sincos2(cos)()sincos(222mgFaxakamF
34、aaxm )sincos2(mgFaQFQxFgaxmFaaxm2)34()(2 312)2(222aak1cossin 解：建立以重物的平衡位置解：建立以重物的平衡位置o为原点的坐标为原点的坐标系系ox，本题有一个自由度，选，本题有一个自由度，选x为广义坐标为广义坐标 因绳与滑轮之间无滑动因绳与滑轮之间无滑动 rx 重物平衡时重物平衡时: : kmg 式中式中 为弹簧的静伸长为弹簧的静伸长 于是系统的动能、势能（选重物的平衡位于是系统的动能、势能（选重物的平衡位置置o为零势能点）、拉格朗日函数为：为零势能点）、拉格朗日函数为：2222)(212121xmMMrxmT22222121)(21k
35、xkxkxmgxxkmgxU222121kxxmMUTL）（xmMxL)(kxxLkmM 2故重物的振动周期为：故重物的振动周期为：得运动微分方程为得运动微分方程为：0kxxmM ）（0 xmMkx 0)(xLxLdtd 解：取弹簧和摆锤为系统，自由度为解：取弹簧和摆锤为系统，自由度为2 2，选选r， 为广义坐标为广义坐标, 系统的动能为系统的动能为 )(21222rrmT系统的势能为系统的势能为20)(21coslrkmgrV弹簧摆弹簧摆 拉氏函数为拉氏函数为20222)(21cos)(21lrkmgrrrmVTL)(cos02lrkmgmrrLrmrL2LLmr mgr sin抖= -拉氏
36、函数为拉氏函数为20222)(21cos)(21lrkmgrrrmVTL00LLdtdrLrLdtd得到系统的运动微分方程为得到系统的运动微分方程为 这是非线性方程组，需在计这是非线性方程组，需在计算机上作数值计算，在一定的算机上作数值计算，在一定的初始条件下，摆锤的轨迹如右初始条件下，摆锤的轨迹如右图所示。图所示。 如果系统做小振动，可进行如果系统做小振动，可进行近似计算，将非线性方程化为近似计算，将非线性方程化为线性方程。线性方程。弹簧摆的轨迹弹簧摆的轨迹0sin20)(cos02grrlrkmgmrrm 解解：系统自由度系统自由度 S =1=1，选广义坐标：选广义坐标：q球只滚不滑：球只
37、滚不滑： )( rRrRrrRrrRvc球的动能：球的动能： 222522121mrmvTc22225121rRmrRm22107rRm（以通过（以通过0 0点的水平线为零势线）点的水平线为零势线） cosrRmgV球的势能：球的势能： cos10722rRmgrRmVTL257rRmLsinrRmgL代入拉氏方程：代入拉氏方程： 0LLdtd得运动微分方程为：得运动微分方程为： 0sin572rRmgrRm 对于微振动：对于微振动： sin075rRg 振动周期为：振动周期为： grR5722 则则： )(rRr)(rRvc由科尼希定理，动球的动能为：由科尼希定理，动球的动能为：222)52
38、(2121mrmvTc解：系统自由度为解：系统自由度为1 1，选，选 为广义坐标为广义坐标约束方程为：约束方程为： )(rRr)( rR2222)(51)(21rRmrRm22)(107rRm（以通过（以通过0 0点的水平线为零势线）点的水平线为零势线）cos)(rRmgV动球的势能：动球的势能： cos)()(10722rRmgrRmVTL代入拉氏方程：代入拉氏方程： 0)(LLdtd得：得： 0sin)()(572rRmgrRm 0sin5)(7grR )(7sin5rRg 故动球球心下降的切向加速度为：故动球球心下降的切向加速度为：sin75)(grRa 0sin)()(572rRmgr
39、Rm 2x 1x 解法解法1:1:此力学体系自由度为此力学体系自由度为2 2，选广义坐标：，选广义坐标： 相对水平面的位置的位置相对2222111mxqmmxq如图所示如图所示 m1的绝对速度：的绝对速度： 2122121sinxxcosxv系统的动能：系统的动能： 22221221122221121212121xmsinxxcosxmvmvmT( (以以m1初始状态为势能零点初始状态为势能零点) )sinxgmV11系统系统的的势能：势能： sinxgmcosxxmxmmxmVTL112112221211212cosxmxmxL21111singmxL11cosxmxmmxL11221202
40、xL代入拉氏方程：代入拉氏方程： 01211111singmcosxmxmxLxLdtd 22xLxLdtd011221cosxmxmm 即：即： 001122121cosxmxmmsingcosxx 21212sinmmcossingmx 劈的加速度劈的加速度为：为： 212211sinmmsingmmx 质点水平方向的加速度：质点水平方向的加速度： 211cosxxx 2122sinmmcossingm001122121cosxmxmmsingcosxx 选固定坐标系选固定坐标系 , ,如图所示。如图所示。xy0系统自由度为系统自由度为2 2，选广义坐标：，选广义坐标： 11xq （质点（
41、质点m1相对静系的水平位置）相对静系的水平位置） 22xq ( (直角劈直角劈m2 2相对静系的位置，因为直角相对静系的位置，因为直角劈只做平动，故劈只做平动，故C点的运动可代表直角点的运动可代表直角劈的运动劈的运动) )直角劈直角劈m2 2的动能为：的动能为： 222221xmTtgxxy211约束方程为：约束方程为： 轴线为零势能线xgymVyxmT11121211121质点质点m1的动能和势能为：的动能和势能为： 11222212111212121gymxmyxmVTTLtgxxgmxmtgxxxmL21122222122112121tgxxgmxmtgxxxxmxm2112222212
42、12212112122121211221111tgxmtgxmxmxLgtgmxL1121121222tgxmxmxmxLgtgmxL12011xLxLdtd022xLxLdtd001212122121122111gtgmtgxxmxmgtgmtgxmtgxmxm 整理得：整理得： 0012121221212111gtgmtgxxmxmgtgmtgxxmxm + +得：得： 02211xmxm （3 3） 由以上两解法可知，应用拉氏方程求解力学由以上两解法可知，应用拉氏方程求解力学体系的动力学问题时，广义坐标可同时选惯性体系的动力学问题时，广义坐标可同时选惯性系量，也可同时选惯性系量和非惯性系
43、量。系量，也可同时选惯性系量和非惯性系量。21221sinmmcossingmx 21212sinmmcossingmx 两式联立得：两式联立得： 作业：作业：513 516一、保守系在广义坐标系中的平衡方程一、保守系在广义坐标系中的平衡方程 在广义坐标系中的平衡方程是所有广义力在任意虚在广义坐标系中的平衡方程是所有广义力在任意虚位移中所作元功之和为零，即：位移中所作元功之和为零，即：sqQW10 因为诸因为诸 是相互独立的，因而得出广义坐标系中的平是相互独立的，因而得出广义坐标系中的平衡方程是所有的广义力等于零，即：衡方程是所有的广义力等于零，即：q0Q), 2 , 1(s如果作用在力学体系
44、上的力都是保守力，则：如果作用在力学体系上的力都是保守力，则：qVQ), 2 , 1(s故保守力系平衡时的条件是势能具有稳定值，即：故保守力系平衡时的条件是势能具有稳定值，即：0qV), 2 , 1(s 本节介绍多自由度系统线性振动问题的处理方法，在这本节介绍多自由度系统线性振动问题的处理方法，在这类振动系统中，各自由度的振动相互耦合，比较复杂，但由类振动系统中，各自由度的振动相互耦合，比较复杂，但由于方程是线性的，最终能找到解耦的方法。在物理中，耦合于方程是线性的，最终能找到解耦的方法。在物理中，耦合线性振荡电路的振荡、原子在晶格点阵上的振动、原子在分线性振荡电路的振荡、原子在晶格点阵上的振
45、动、原子在分子内的振动等问题都可归结为这类问题。子内的振动等问题都可归结为这类问题。 下面，我们通过一个实例，学习这类问题的解法及一些下面，我们通过一个实例，学习这类问题的解法及一些重要概念和结论。重要概念和结论。 设质量均为设质量均为m的两个质点，被三个轻弹簧连接，两侧弹的两个质点，被三个轻弹簧连接，两侧弹簧的一端均被固定，中间弹簧的劲度系数为簧的一端均被固定，中间弹簧的劲度系数为k1，两边弹簧的，两边弹簧的劲度系数为劲度系数为k2，两质点静止时各弹簧无伸长。试求两质点在，两质点静止时各弹簧无伸长。试求两质点在平衡位置附近的小振动。为简化，设质点只沿水平方向运动。平衡位置附近的小振动。为简化
46、，设质点只沿水平方向运动。 图图1 1 两质点的耦合振动两质点的耦合振动 系统的势能为系统的势能为 222212121221)(2121xkxxkxkV(2)(2)22212121xmxmT (1)(1)系统的拉格朗日函数为系统的拉格朗日函数为 2222121212222121)(21212121xkxxkxkxmxmVTL(3)(3)0)(0)(112212211211xkxkkxmxkxkkxm (4)(4)将上式代入拉格朗日方程可得系统的运动微分方程将上式代入拉格朗日方程可得系统的运动微分方程)cos()cos(2211tAxtAx(5)(5)（5 5）式代入（）式代入（4 4）式，得）
47、式，得 0)(0)(221211211212AkkmAkAkAkkm(6)(6) 要使要使A1，A2有非零解，方程组（有非零解，方程组（6 6）的系数行列式）的系数行列式必须为零必须为零021211212kkmkkkkm(7)(7)此方程称为特征方程，展开得此方程称为特征方程，展开得 0)(212212kkkm0)(0)(221211211212AkkmAkAkAkkm(6)(6)mkkmk212212 从这两个结果看到，两个频率均由系统中质点的从这两个结果看到，两个频率均由系统中质点的质量和弹簧的劲度系数决定，因而是系统固有的，称质量和弹簧的劲度系数决定，因而是系统固有的，称为系统的为系统的
48、简正频率简正频率（ frequency）。下面我们将）。下面我们将看到，对应一种简正频率，系统存在一种简单的、基看到，对应一种简正频率，系统存在一种简单的、基本的振动方式。对应不同的简正频率，系统有不同的本的振动方式。对应不同的简正频率，系统有不同的振动方式，这种与简正频率相对应的基本振动方式称振动方式，这种与简正频率相对应的基本振动方式称为为简正模式简正模式20)(212212kkkm00211111211111AkAkAkAk(8)(8)mk21 将将 代入方程（代入方程（6 6），并将），并将A1，A2写成写成A11，A21，以表示这组振幅与，以表示这组振幅与 相应，于是有相应，于是有1
49、0)(0)(221211211212AkkmAkAkAkkm(6)(6)121112111AAAA或所以与所以与 对应的振动方程为对应的振动方程为1)cos()cos()cos(1111112121111111tAtAxtAx(9)(9) 它的简正模式如图它的简正模式如图2所示。所示。11 其中其中 是与是与 相对相对应的振动的初相。由于二质应的振动的初相。由于二质点振动位相相同，所以它们点振动位相相同，所以它们的运动步调完全一致，这种的运动步调完全一致，这种模式称为模式称为对称模式对称模式。图图2 2 简正模式简正模式 mkk212200221121221121AkAkAkAk解得解得122
50、122212AAAA或（A12，A22） 组成与组成与 对应的振动方程为对应的振动方程为2)cos()cos(221222221212tAxtAx(10)(10) （9 9）式和（）式和（1010）式都是方程组（）式都是方程组（4 4）的特解，其）的特解，其通解是他们的线性组合，即通解是他们的线性组合，即 可见二质点的振动位相可见二质点的振动位相相反，振幅相同，称为相反，振幅相同，称为反对反对称模式称模式，他的简正模式如图，他的简正模式如图3 所示。所示。图图3 3 简正模式简正模式 )cos()cos(221222221212tAxtAx(10)(10)0,22101211xAA设设t t
