1、 第第4章章 动态电磁场动态电磁场： 基本理论与准静态电磁场基本理论与准静态电磁场 4.1 动态动态电磁场的基本方程与边界条件电磁场的基本方程与边界条件4.2 时谐电磁场时谐电磁场4.3 电磁场能量电磁场能量 坡印廷定理坡印廷定理4.4 电磁位电磁位4.5 准静态电磁场准静态电磁场4.1 动态电磁场的基本方程与边界条件动态电磁场的基本方程与边界条件4.1.1 动态电磁场的基本方程动态电磁场的基本方程 dSDSqd0SBSddlSBElSt cddvDlSHlJJJS麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 P39-40 cvJDHJtJ BEt 0B D DEBHcJE4.1.2 动态电磁场的边界条件动态
2、电磁场的边界条件Cd() dlSDHlJStddlSBElSt dSDSqd0SBSE2n E1t E2t l2 E1n P 2 1 l1 tene2E1El1 ddlSBElSt nteee1t12t112BElElllt 1t2t2BEElt1t2tEE有限量 te12KKeP11,BH1l2ll22,BHne122 cdddlSSDHlJSSt1t12t1112dlHlHlHlDK lllt tneee1t2tHHK有限量1t2tEE1t2tHHK2n1nDD1n2nBBKHH1t2tn2n1BB恒定磁场：恒定磁场：t 1t2EEn1n2DD静电场：静电场：分析：在理想导体中分析：在理想
3、导体中为有限值，当为有限值，当EJ,0E,0tBE由, 0)(常数得CB, 00, 0tBCBC的建立过程中必有由若0B只有所以则即,0EJE根据衔接条件根据衔接条件n1n2DD0n1n2 BB0t 1t2 EEKHHt2t 1分界面分界面的场量的场量导体表面有感应的面电荷和面电流。导体表面有感应的面电荷和面电流。0t2E2nDKH-2t02nB的任一的任一随时间作随时间作变化时（变化时（），其），其和和也都是空间坐标的也都是空间坐标的函数。以电场强度为例，在直角坐标系中，函数。以电场强度为例，在直角坐标系中， ),(),(),(),(tzyxEetzyxEetzyxEetzyxEzzyyxx
4、4.2 时谐电磁场时谐电磁场式中电场强度的各个式中电场强度的各个为为 ),(cos),(),(),(cos),(),(),(cos),(),(zyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzzmzyymyxxmx 与电路理论中的处理相似，利用与电路理论中的处理相似，利用复数复数或或相量相量来描述来描述正弦电磁场场量，可使数学运算简化。正弦电磁场场量，可使数学运算简化。),(),(),(),(tzyxEetzyxEetzyxEetzyxEzzyyxxReRe),(Re),(),(tjxmtjjxmzyxtjxmxeEeeEezyxEtzyxExx),(Re(),(
5、),(Re(),(),(Re(),(tjzmztjymytjxmxezyxEtzyxEezyxEtzyxEezyxEtzyxE复数振幅复数振幅：xmEymEzmEzmymxmmtjmEEEEezyxEtzyxEk kj ji i),(Re(),(复矢量采用复数表示时，正弦量对时间采用复数表示时，正弦量对时间t的偏导数等价于该正的偏导数等价于该正弦量的复数形式乘以弦量的复数形式乘以j，),(),(zyxEjttzyxExmx同理可得：同理可得：jdttjt1222cjvJHDJ jEB 0B D 麦克斯韦方程组的相量形式麦克斯韦方程组的相量形式( () )：媒质特性的构成方程媒质特性的构成方程
6、DEBHcJE (1) 电磁场电磁场为一为一整体整体，在时变情况下，决不能把电场或磁场，在时变情况下，决不能把电场或磁场孤立地分别求解；孤立地分别求解； (2) 当场源、场量为非正弦的时间函数时，可将它们分解为当场源、场量为非正弦的时间函数时，可将它们分解为基波基波和和各次谐波分量各次谐波分量，分别予以研究，即仍归结为时谐，分别予以研究，即仍归结为时谐电磁场的研究电磁场的研究( (线性媒质线性媒质) )； (3) 高频高频下，若媒质中的下，若媒质中的损耗不可忽略损耗不可忽略( ( 极化、磁化、欧姆极化、磁化、欧姆损耗损耗 ) )，则，则 ， 将不再是实数，而为复数；将不再是实数，而为复数； 对
7、于时谐电磁场中介电常数为对于时谐电磁场中介电常数为 的导电媒质的导电媒质=jDEjHEE=jjE j D4.2.2 有损媒质的复数表示有损媒质的复数表示t DJH 对于对于，表征其极化特征的复介电常数为，表征其极化特征的复介电常数为 j j je 对于对于的磁化性能也可以定义如下复磁导率：的磁化性能也可以定义如下复磁导率： 当有损电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复当有损电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电常数可记为介电常数可记为 tan 1 良导体良导体 (4) 电介质损耗角电介质损耗角正切正切 tan 用来表征电介质中用来表征电介质中 tan有损耗有损耗 tan 0
8、 无损耗无损耗tan = 0 je4.3 电磁场能量电磁场能量 坡印廷定理坡印廷定理pEJDEHt ()()()EHHEEH ()DBEHEHtt t DJH矢量恒等式矢量恒等式pEJP357 DEBHdddSWEHSPt坡印廷定理坡印廷定理物理意义：物理意义：单位时间内穿过闭合面单位时间内穿过闭合面S S流入体积流入体积V V的电磁能量的电磁能量等于该体积内电磁场能量等于该体积内电磁场能量W W的增加量和电磁能量的消耗率。的增加量和电磁能量的消耗率。将上式两边对任意闭合曲面将上式两边对任意闭合曲面S S包围的体积包围的体积V V求积，并求积，并由散度定理得由散度定理得W/m2 SEH坡印廷矢
9、量坡印廷矢量 表示表示内内与电磁波传播方向相垂直与电磁波传播方向相垂直上的上的，亦称为，亦称为电磁功率流密度矢量电磁功率流密度矢量，S 的的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。*() dj ()dSVEHSEJB HEDV复坡印廷矢量复坡印廷矢量 *SEHjPQ 复坡印廷矢量的实部复坡印廷矢量的实部为为媒质吸收的有功功率密度等于媒质吸收的有功功率密度等于电磁功率流面密度矢量的平均值电磁功率流面密度矢量的平均值 av01,dTSS r ttT例例4.1 自由空间中一半径为自由空间中一半径为a，高为，高为d 的圆柱形电阻棒的圆柱形电阻棒(如图
10、所示如图所示)，其电导率为其电导率为 。设有一电压源。设有一电压源US 通过两个半径为通过两个半径为b (ba, d) 的的理想导电圆板向电阻棒供电。试应用坡印廷矢量分析其电磁能理想导电圆板向电阻棒供电。试应用坡印廷矢量分析其电磁能量的传输过程。量的传输过程。圆柱形电阻棒圆柱形电阻棒 解解 在两理想导电圆板之间的电场强度在两理想导电圆板之间的电场强度S 0zUEebd 在圆柱形电阻棒内，电流密度在圆柱形电阻棒内，电流密度S 0zUJead 磁场强度磁场强度 S2S022UeadHU aeabd坡印廷矢量坡印廷矢量 2S222S2022UeadSEHa Ueabd 由坡印廷矢量由坡印廷矢量 S
11、的空间分布形态可以判定，电压源经空的空间分布形态可以判定，电压源经空气通过与圆柱形电阻棒同轴的圆柱面向该电阻棒提供能量。气通过与圆柱形电阻棒同轴的圆柱面向该电阻棒提供能量。电压源向电阻棒提供的功率电压源向电阻棒提供的功率22Sd(2)SaPSSSedUd 2SUR2dRa圆柱形电阻棒的电阻圆柱形电阻棒的电阻2S200UaSdab 电磁能量只是穿过空气（或理想介质），空气（或理想电磁能量只是穿过空气（或理想介质），空气（或理想介质）并不截获电磁能量，只有有损媒质才截获电磁能量。介质）并不截获电磁能量，只有有损媒质才截获电磁能量。4.4 电磁位电磁位4.4.1 电磁位电磁位洛伦兹规范洛伦兹规范cD
12、HJt BEt 0B D BABEt EAt AEt 0AEtAEt AEt BA BA动态电磁场动态电磁场的电磁位的电磁位cDHJtcEAJtBA DEBH2()AAA AEt 22c2()AAAJtt 22c2()()AAAJtt D2()At AEt DEAt 22c2AAJt 222t 22c2()AAAJtt 定义A A 的散度22c221AAJt 22221t1222t22c2AAJt4.4.2 非齐次波动方程非齐次波动方程确定了确定了 的值，与的值，与 共同确定共同确定A；AAB2cAJ (1)2 (2)简化了动态位与场源之间的关系简化了动态位与场源之间的关系; ;若场量不随时间
13、变化，波动方程蜕变为泊松方程若场量不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程JAA2k2/k22222t22c2AAJtv/k动态电磁场中动态电磁场中22221t ddqV 位于坐标原点的时变元电荷位于坐标原点的时变元电荷 场分布为球对称场分布为球对称( , )( , )r tr t222210t无源空间无源空间22221t222221rrrt21rrrr221rrr4.4.3 电磁位的积分解电磁位的积分解12()()rrrf tf t1()( , )rf tr tr()d ( , )d4rtr tVr静电场中，位于坐标原点的元电荷电位为：静电场中，位于坐标原点的元电荷电位为：rv4pd由此推论，位
14、于坐标原点时变元电荷的动态标量位为由此推论，位于坐标原点时变元电荷的动态标量位为若元电荷若元电荷dq不在原点，而位于不在原点，而位于r处，处，其动态标量位为其动态标量位为|( ,)d ( , )d4|r rr tr tVr r |( ,)( , )d4|Vr rJ r tAr tVr r |( ,)1( , )d4|Vr rr tr tVr r 达朗贝尔方程解的形式表明：达朗贝尔方程解的形式表明：t t 时刻的响应取时刻的响应取 决于决于 时刻的激励源。又称时刻的激励源。又称 为滞后为滞后位。位。)/(vrt，A低频时，时变电磁场可以简化为准静态场。低频时，时变电磁场可以简化为准静态场。电准静
15、态场，简写电准静态场，简写 EQS感应电场远小于库仑电场，可忽略感应电场远小于库仑电场，可忽略t磁准静态场，简写磁准静态场，简写 MQS位移电流远小于传导电流，可忽略位移电流远小于传导电流，可忽略tD解题方法：解题方法： 利用静态场的方法求解出电利用静态场的方法求解出电(磁磁)准静态场的电准静态场的电(磁磁)场后，再用场后，再用Maxwell方程求解与之共存的磁方程求解与之共存的磁(电电)场。场。 4.5 准静态电磁场准静态电磁场 特点：电场的特点：电场的有源无旋性有源无旋性与静电场相同，称为电与静电场相同，称为电准静态（准静态（EQS）。）。cDHJt0E0BDcvJDHJtJ BEt 0B
16、 D MQS cHJ0BDBEt 特点：磁场的特点：磁场的有旋无源性有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁与恒定磁场相同，称为磁准静态场（准静态场（MQS）。）。cvJDHJtJ BEt 0B D 例例4.4 工频激励下的平板电容器中的电磁场。工频激励下的平板电容器中的电磁场。 解解 = 314 rad/s ( )( )zu tE tedmcoszUtedmcoszEted2lHlH msin2HH eEt e2msinEt dSDSt讨论：讨论： 00HBHEettt 0zHEeet 220mcos4zEEt i()( )zqE EEE例例4.5 低频交流电感线圈中的电磁场。低频交流电感线圈中的电
17、磁场。 该线圈的内、外自感分别为该线圈的内、外自感分别为 Li 和和 Lo ，电阻为，电阻为R m i(t) o . . . . A B n i(t) 解解 (1) 电感线圈中的电流场电感线圈中的电流场 cJJBEt 0qEEEQS 整个线圈整个线圈 线圈导体中线圈导体中 (2) 电感线圈的磁场电感线圈的磁场 MQS 沿最短路径沿最短路径iodddddAmBAmBiiuElRiLLtt 按电磁感应定律按电磁感应定律 oodddddAnBmAiElLtt dddAnBmAAnBAmBElElEldddAnBAmBAnBmAElElEliddiRiLt UAmB UAnB 测量中，仪表接线必须测量
18、中，仪表接线必须“慎之又慎慎之又慎” V1 . . A B V2 UAmB UAnB 在正弦交流激励下，内阻抗在正弦交流激励下，内阻抗 iijAnBUZRLI4.5.2 导电媒质中自由电荷的弛豫过程导电媒质中自由电荷的弛豫过程电荷弛豫过程电荷弛豫过程自由电荷自由电荷 随时间随时间的过程的过程 cJEDDcJt d0dte0,etx y z 0为为 t = 0 时的电荷分布时的电荷分布 e= / ( (秒秒) )称为弛豫时间称为弛豫时间 eeti电荷守恒定律一阶常微分方程dSDSq2n1n22n11nDDEEdSqJSt 2n1nJJt 111JE222JE22n11n22n11n()()0EE
19、EEt22n11n22n11nEEEEtt时变电磁场中，位时变电磁场中，位于导电媒质分界面于导电媒质分界面上的上的传导电流传导电流位移电流位移电流 d2 d1 us K (t=0) 11,22,EQS场场 双层有损介质电容器双层有损介质电容器(1) 建立场量建立场量E1 ( E2 ) 对时间对时间 t 的微分方程的微分方程 ( t 0 0+ ) E1d1+E2d2= us 22n11n22n11n()()0EEEEttuuEddtEddsdd)(dd)(s221211212112111( )()E tEE齐次方程的通解特解 稳态响应(2) 稳态响应稳态响应数学条件：数学条件： t0ddstu物
20、理意义物理意义：强制响应强制响应电容器中场分布取决于电容器中场分布取决于恒定电流场的效应恒定电流场的效应 E1d1 + E2d2 = us 1n2nJJ1122EE2112s21dduE ptAEe1e211221121ddddp 称为弛豫时间 e21122112edddd2112s21eedduAEt齐次通解齐次通解 1211221121d()()0dEddddEt求积分常数求积分常数 A ： 在在 t = 0+ 瞬时瞬时 0c0(0 )d0Jt2211(0 )(0 )(0 )0EE t = 0+瞬间，电压取决于电容效应予以分配瞬间，电压取决于电容效应予以分配 1122s(0 )(0 )Ed
21、Edu2112s21)0(dduE2112s22112s2ddudduA(3) E的解答的解答 ee2s2s121122 112( )(1e)ettuuE tddddee1s1s221122 112( )(1e)ettuuE tdddd(4) 分界面上分界面上 ( t )的解答的解答e21122211s2112( )(1 e)ttEEudd 00t ；t 2112s2112tudd 讨论：讨论： 分界面上电荷积累过程分界面上电荷积累过程 有损介质电容器的等值电路图有损介质电容器的等值电路图 1R2R2C1C2u1ut = 0+ 11122s11222s12(0 )(0 )uEdduddCuCC
22、12s12(0 )CuuCCt 11111s11221s12( )( )uEdduddRuRR 22s12( )RuuRR 4.5.3 导电媒质中的磁扩散导电媒质中的磁扩散磁屏蔽磁屏蔽ioHHKKhJh Et 0hKE iddlSBElSt iddlSBSKlht 2iio0d1()ddlHHHlaht oii002d2dHHHtahah 0m21Pah m012ah 磁扩散时间磁扩散时间( (或磁弛豫时间或磁弛豫时间) ) 2iio0d1()2dHHHaaht 一阶非其次微分方程一阶非其次微分方程特解特解)e1 (moitHHmoetKH i0H t = 0 ioHHK导体壳内的磁场导体壳内
23、的磁场Hi是由外磁场是由外磁场H0与感应面电流与感应面电流K产生的磁产生的磁场叠加而成场叠加而成.K = -H0 t 增加，增加，K 按照指数规律减小，磁场按照指数规律减小，磁场Hi 按照指数规律增大。按照指数规律增大。稳态条件下，导体壳内外磁场趋于相等，即稳态条件下，导体壳内外磁场趋于相等，即Hi=H04.5.4 集肤效应集肤效应 涡流涡流 集肤效应与集肤深度集肤效应与集肤深度1 低频交变电流的工况低频交变电流的工况 c0HJB00ED和和 准静电流场准静电流场 2 高频交变电流的工况高频交变电流的工况 cDJDEJE 一般为一般为107 S/m 128.854 10F/m良导体条件良导体条
24、件 导电媒质中导电媒质中MQS场的基本方程场的基本方程 c0HJEB0BEtD 和 P236 图4-12场量在导体表面分布集中，而在其内部衰减的集肤效应。场量在导体表面分布集中，而在其内部衰减的集肤效应。BEt EEt 2EEt2HHt电磁场的扩散方程电磁场的扩散方程 HE2()EEE ()0DE HEHtt BH电磁场扩散方程的相量形式电磁场扩散方程的相量形式( (复数形式复数形式) )2jEE2jHHjP2P E2P H 平表面半无限大导体中的电的集肤效应、集肤深度平表面半无限大导体中的电的集肤效应、集肤深度 |(0)|yEy| |(0)|exdyyEE1|(0)|eyEzxd, ( )y
25、yJJx e|(0)|yJlab表征为一维场表征为一维场 yEzHyJ仅为坐标仅为坐标 x 的函数的函数 22yyEP E222ddyyEP ExeePxPxyEAB基本方程归结为基本方程归结为 x 0B 0 x 0(0)yyxEE( )e(0)ePxPxyyExAE( )(0)ePxyyyJxEJ( )(0)ePxzzHxHjPj41j1j2e1j211jd2d 1(1 j)j0 ee0 exxxdyddyyEEE2d 工程上，为表征电的趋肤效应，亦即沿导体纵深工程上，为表征电的趋肤效应，亦即沿导体纵深方向场量衰减的特征，定义方向场量衰减的特征，定义 集肤深度集肤深度它表征了场量衰减到表面值
26、它表征了场量衰减到表面值 时所对应的距离时所对应的距离 1edxje表示场量的相位变化，仅反映电磁场在扩散过程中的相位变表示场量的相位变化，仅反映电磁场在扩散过程中的相位变化。化。 (1) 单根导体单根导体(汇流排汇流排)的电的趋肤效应的电的趋肤效应 多导体系统的电集肤效应多导体系统的电集肤效应临近效应临近效应 (2) 二根载流导线相邻放置，电的趋肤效应如图所示，二根载流导线相邻放置，电的趋肤效应如图所示，此时，载流导体内电流分布的不均匀性不仅与自身此时，载流导体内电流分布的不均匀性不仅与自身电流产生的电磁场相关，还与临近电流产生的电磁电流产生的电磁场相关，还与临近电流产生的电磁场相关，此时，
27、电的趋肤效应称为场相关，此时，电的趋肤效应称为邻近效应邻近效应。 铁心叠片中的涡流铁心叠片中的涡流变压器铁芯叠片变压器铁芯叠片薄导电平板的简化物理模型薄导电平板的简化物理模型假设：假设： h a， l a ，场量，场量 仅是仅是 x 的函数；的函数；zzBB e 、 位于位于 xoy 平面，仅有平面，仅有 y 方向分量，且仅是方向分量，且仅是 x 的函数；的函数；EJ 磁场关于磁场关于 y 轴对称，轴对称， ；22aazzxxBB 000zxxBBB222djdzzzBBP Bx12eePxPxzBCC122CCCchzBCPx0CB0chzBBPx00d1shshdzyyB PBEPxEPx
28、x BEJE00shshyB PJEPxJPx 涡流损耗：涡流损耗： 23W/mJp2edyVJPV低频时低频时222eav112zPa VB 涡流的控制与利用涡流的控制与利用 1. 1. 涡流控制涡流控制 2. 2. 涡流利用涡流利用 感应加热：感应加热： 熔化金属、金属热处理、烘干胶合板等熔化金属、金属热处理、烘干胶合板等 金属管道的无损检测金属管道的无损检测 仪表仪表 传感器传感器 导体的内阻抗导体的内阻抗 因导体内部时变电磁场的分布因导体内部时变电磁场的分布( (电的趋肤效应电的趋肤效应) )全然不全然不同于恒定电磁场的分布，故相应的电路参数的计算同于恒定电磁场的分布，故相应的电路参数
29、的计算电电阻阻 R 和内电感和内电感 Li (构成内阻抗构成内阻抗Zi=R+j Li ) 就必然有所不同就必然有所不同 idAnBElUZII导体外表面例例4.4 计算图中沿电流方向单位长度计算图中沿电流方向单位长度( l = 1 )，单位宽度，单位宽度( b = 1 )的半无限大导体的内阻抗。的半无限大导体的内阻抗。 |(0)|yEy| |(0)|exdyyEE1|(0)|eyEzxd, ( )yyJJx e|(0)|yJlab 解解 截取图中所示平行六面体截取图中所示平行六面体( ( a d，且，且 a ) iidjjLElUZRLRxII导体外表面(0)(0)yzElHbBEt djdy
30、zEeHx (0)e(0)ejPxPxzyzPHEHijlP lZPbb11jlbd11jd 在任何频率下，不透过的平表面导体在任何频率下，不透过的平表面导体 (d d ) 的有效电的有效电阻阻( (交流电阻交流电阻) )和内电抗的值是相等的，且其值随和内电抗的值是相等的，且其值随 f 而而 ，但应注意，但应注意，f ，Li 却是减小却是减小；ii122XL 对于平表面导体，其对于平表面导体，其 R (有效电阻有效电阻)的计算，可归结为取厚的计算，可归结为取厚度为透入深度度为透入深度 d 的表面层截面为导体截面的表面层截面为导体截面 S，然后按直流，然后按直流电阻的计算公式，即电阻的计算公式，即 llbdS 交流交流 I 在平表面导体内耗散的功率等同于一安培数的直流在平表面导体内耗散的功率等同于一安培数的直流 I 在厚度为在厚度为 d 的导体表面层中耗散的功率；的导体表面层中耗散的功率； 高频下，镀银线的应用高频下，镀银线的应用 a. 防氧化；防氧化； b. 降低有效电阻降低有效电阻( (显然，只要银层厚度大于工作频率下的显然，只要银层厚度大于工作频率下的d，则就内阻抗而言，即可视为则就内阻抗而言，即可视为“用银制成的实心导线用银制成的实心导线”) )。
