1、12双曲线的定义的应用3双曲线的定义l平面内与两个定点F1、F2距离之差的绝对值是常数2a(|F1F2|2a)的点的轨迹。 本定义中如果去掉“绝对值”三字，则符合条件的点的轨迹就是双曲线的一支。 本定义中如果这个常数2a等于两定点的距离2c，则符合条件的点的轨迹就是以这两定点F1、F2为端点的向外的两条射线。 本定义中如果常数2a大于两定点的距离2c，则符合条件的点的轨迹不存在。第一定义第一定义第一定义4双曲线的定义l平面内到一个定点与到一条定直线的距离的比是一个大于1的常数的点的点 本定义中的定点，不能在定义中的定直线上，否则符合条件的点的轨迹就不存在。 本定义中的两个距离的比是到点的距离作
2、分子，到线的距离作分母。 本定义中的距离比是大于1，若小于1表示椭圆，若等于1，其轨迹是抛物线。第二定义第二定义第二定义5定义小结 双曲线的两种定义，第一定义体现了“质的区别”，第二定义体现了“形”的统一，两种定义不仅在解题中应用广泛，而且具有很大的灵活性 双曲线的定义是双曲线这一节的基础，对这一定义有必要深刻第理解与把握，在此探讨双曲线定义的综合应用6一、在求轨迹方程中的应用l例1：若动圆过定点A(-3，0)，且和定圆B：(x-3)2+y2=4外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 分析：由已知条件，动圆圆心到点A的距离是这个动圆的半径（一个变量），到已知定圆圆心的距离是两圆的半径和（一个变量与一个
3、常量的和），由此可见，这两距离的差是一个常数，基本符合双曲线的定义，可从定义入手解决这个问题。7解设动圆半径为r，则动圆圆心P到点A的距离为|PA|=r到定圆圆心B的距离为|PB|=2+r(两圆外切)所以：|PB|-|PA|=2P到B点距离大于到A点距离|AB|=62点P的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线 的左支(|PB|PA|)2a=2，2c=6b2=8，a2=1根据双曲线的定义，写出动圆圆心的轨迹方程为：)0(1822xyx8一、在求轨迹方程中的应用l例2：如图2，F1、F2为双曲线 的两焦点，P为其上一动点，从F1向F1PF2的平分线作垂线，垂足为M，求M点的轨迹方程。)0, 0( 122
4、22babyax 解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，则： |PF1|=|PN|=|PF2|+|F2N|即: |F2N|=|PF1|-|PF2|=2a在F1NF2中，|OM|= |F2N|=a21故点M的轨迹方程为x2y2a29二、利用定义判定某些位置关系l例3：设C是经过双曲线 的右焦点F2的直线，且和双曲线右支交于A、B两点，则以AB为直径的圆与双曲线的右准线有几个交点？ 12222byax 解：如图：分别过A、B及圆心作双曲线右准线l1的垂线，垂足分别为A,B,M,则：ReRABeBFAFeBBAAMM|21|)|(|21|) | (|21| |22（其中e
5、为双曲线的离心率，R为圆的半径）故有两个交点104321-1-2-6-4-2246M1B1A1MFCOBBA11三、利用定义求最值l例4：如图，F1、F2是双曲线 的左右交点，M(6,6)为双曲线内部的一点，P为双曲线右支上的点，求：1322yx 分析(1)：和式“|PM|+|PF2|”与双曲线第一定义区别，是否可设法转为“差”呢？ 分析(2)：关键在于处理1/2|PF2|的系数，于是联想到e2，可用第二定义转化。 1.|PM|PF2|的最小值 2.|PM| |PF2|的最小值2112略解作MNl于N点82102)26(2|)1(212112MFPFPFMFPFPM|21| )2(22PHPM
6、ePFPMPFPM|PM|+PH|MN而右准线为l：x21211216|MN211|21|2的最小值为PFPM13四、利用定义解决实际应用问题l例5：如图：某村在P处有一个肥堆，今要把这堆肥沿道路PA或PB送到农田ABCD(为矩形)中去，若PA100米，PB150米，BC60米，APB60，试在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近，而另一侧沿道路PB送肥较近，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出此曲线方程。PADCB14分析： 这是一个圆锥曲线的应用问题，根据问题的条件直观的分析，在点A附近的点从PA方向运肥较近，在点B附近的点从PB方向运肥较近，所以说在平面上一定存在一条
7、曲线，使曲线上任意一点从两个不同方向运肥路途相同。15解75060cos|2|2|22PBPAPBPAcAD 设矩形ABCD中有一曲线，在此曲线上的任意一点M，从两个不同方向运肥路途相同，即： |MA|+|PA|=|MB|+|PB| |PB|-|PA|=50|MA-|MB|=|PB|-|PA|=50为一个定值 故点M的轨迹是以点A、B为焦点，实轴长为50的双曲线的右支在矩形ABCD中的部分：b23750 设AB所在直线为x轴，其中垂线为y轴，建立坐标系，故所求方程为：)060, 0( 1375062522yxyx16作业 1.动圆经过点A(4,0)，且与定圆(x4)2+y2=16内切，求动圆的圆心轨迹方程。 2.已知双曲线 的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l，若在双曲线的左支上有一点P，使|PF1|是点P到直线l的距离d与|PF2|的比例中项，求双曲线离心率e的取值范围。12222byax2022年6月10日星期五17 再见！
