1、第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第一节第一节 随机试验与随机事件随机试验与随机事件第二节第二节 随机事件的概率随机事件的概率第三节第三节 古典概型古典概型第四节第四节 条件概率及事件的独立性条件概率及事件的独立性第一节第一节 随机试验与随机事件随机试验与随机事件自然界有一类现象在一定条件下必然发生，称自然界有一类现象在一定条件下必然发生，称为确定性现象；而在一定条件下，通过试验或为确定性现象；而在一定条件下，通过试验或观察会发生多种可能的结果，但事先又不能预观察会发生多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果的现象称测是哪一种结果的现象称随机现象随机现象。1、随机试验、随机试验概率
2、论与数理统计概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门基础学科。规律性的一门基础学科。上一页上一页下一页下一页返返 回回则把这一试验称为则把这一试验称为随机试验随机试验，常用，常用E表示。表示。对随机现象进行的观察或实验称为对随机现象进行的观察或实验称为试验试验。（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果。先可以知道试验的所有可能结果。（3）进行一次试验之前，不能确定会出现）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个结果。哪一个结果。若一个试验具有下列三个特点：若一个试验具有下列三个特点：（1）在相同条
3、件下可重复进行。）在相同条件下可重复进行。上一页上一页下一页下一页返返 回回下面举一些随机试验的例子下面举一些随机试验的例子.E1：一个盒子中有十个完全相同的球，分别标号：一个盒子中有十个完全相同的球，分别标号1,2.,10.从中任取一球。从中任取一球。E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数。：将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数。E3：记录某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数：记录某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数.E4：记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度. 上一页上一页下一页下一页返返 回回2、样本空间与随机事件、样本空间与随机事件样
4、本空间：样本空间： 随机试验随机试验E所有结果的集合称为样本空间，所有结果的集合称为样本空间， 记为记为S，随机试验的每一个可能结果称为，随机试验的每一个可能结果称为 样本点。样本点。注：样本空间的元素是由试验目的确定的，注：样本空间的元素是由试验目的确定的，一般试验目的不同，其样本空间也不一样。一般试验目的不同，其样本空间也不一样。随机事件：一般的，随机试验的样本空间的子集为随机事件：一般的，随机试验的样本空间的子集为随机事件，简称事件。用大写字母随机事件，简称事件。用大写字母A,B,C.表示。表示。在每次试验中当且仅当该子集中的一个样本点出现，在每次试验中当且仅当该子集中的一个样本点出现，
5、称这一事件发生。称这一事件发生。随机事件中有两个随机事件中有两个极端情况极端情况：每次试验中都必然发生的事件，称为每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件必然事件S。每次试验中都不发生的事件，称为每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件不可能事件 。基本事件基本事件是只包含一个样本点的事件。是只包含一个样本点的事件。必然事件必然事件包含所有样本点，它就是样本空间包含所有样本点，它就是样本空间S。不可能事件不可能事件不含任何样本点，它就是空集不含任何样本点，它就是空集 。上一页上一页下一页下一页返返 回回 表示事件表示事件A包含于事件包含于事件B或称事件或称事件B包含事件包含事件A,指指事件事件
6、A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生.BA 013、事件之间的关系及其运算、事件之间的关系及其运算.,相等相等与事件与事件称事件称事件即即且且若若BABAABBA ,.AAS 对于任意事件都有事件事件A1，A2，An 的和记为的和记为 ,或或A1 A2 An iniA1 表示事件表示事件A与事件与事件B中至少有一个事件发生中至少有一个事件发生,称此事称此事件为事件件为事件A与事件与事件B的和（并）事件的和（并）事件,或记为或记为A+B.BA02上一页上一页下一页下一页返返 回回表示事件表示事件A与事件与事件B同时发生同时发生, 称为事件称为事件A与事件与事件B的的积（交）事件，记为积（
7、交）事件，记为AB。积事件。积事件AB是由是由A与与B的公共的公共样本点所构成的集合。样本点所构成的集合。可列个事件可列个事件A1 , A2 , , An 的积记为的积记为A1 A2 An 或或A1A2 An ，也可简记为，也可简记为 。niiA1 1iiA在可列无穷的场合，用在可列无穷的场合，用 表示事件表示事件“A1、A2 、 诸诸事件同时发生。事件同时发生。”BA03上一页上一页下一页下一页返返 回回事件事件A发生且事件发生且事件B不发生不发生,称为事件称为事件A与事件与事件B的差的差事件。事件。显然有：显然有：,AAAA AS BA 04 BA05则称则称A和和B是互不相容的或互斥的是
8、互不相容的或互斥的,指事件指事件A与与B不不可能同时发生。可能同时发生。基本事件是两两互斥的基本事件是两两互斥的。上一页上一页下一页下一页返返 回回,AA A AAAS SSABABAAB ASA 则称则称A和和B互为对立事件，或称互为对立事件，或称A与与B互为逆事件。互为逆事件。事件事件A的逆事件记为的逆事件记为 , 表示表示“A不发生不发生”这一事件。这一事件。A06ABSAB且对于任意的事件对于任意的事件A，B只有如下分解：只有如下分解：)()(,BABABABABAABA上一页上一页下一页下一页返返 回回ABBAA BBAAB BABA BABABA BASAASSSSSS上一页上一页
9、下一页下一页返返 回回事件的运算律事件的运算律（1）交换律：）交换律：AB=AB，AB=BA（2）结合律）结合律（AB）C=A（BC）（3）分配律：）分配律：A （BC）= （AB）（ A C ）（AB）C=A（BC）A（B C）=（AB）（AC）（4）德）德摩根律（摩根律（De Morgan）：）：.,11111111iiiiiiiiiniiniiniiniAAAAAAAA上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1 设设A,B,C为为3个事件，用个事件，用A,B,C的运算式表示下列事件：的运算式表示下列事件：（1） A发生而发生而B与与C都不发生：都不发生：（
10、2） A，B都发生而都发生而C不发生：不发生：（3） A，B，C至少有一个事件发生：至少有一个事件发生：（4） A，B，C至少有两个事件发生：至少有两个事件发生：（5） A，B，C恰好有两个事件发生：恰好有两个事件发生：（6） A，B，C恰好有一个事件发生：恰好有一个事件发生：（7） A，B至少有一个发生而至少有一个发生而C不发生：不发生：（8） A，B，C都不发生：都不发生：().ABCABCABC或或.ABCABC或.ABC()()().ABACBC()()().ABCACBBCA()()().ABCBACCAB() .AB C.ABCABC或第二节第二节 随机事件的概率随机事件的概率1、
11、频率、频率nkAfn )(定义定义1: 在相同条件下，进行了在相同条件下，进行了n次试验次试验.若随机事件若随机事件A在在这这n次试验中发生了次试验中发生了k次，则比值次，则比值k/n 称为事件称为事件A在在n次试次试验中发生的频率，记为验中发生的频率，记为频率具有下列频率具有下列性质性质：(1)对于任一事件对于任一事件A，有，有 1)(0 Afn(2)( )1nfS 上一页上一页下一页下一页返返 回回1211(3), ()()(), ()()nnnmmmniniiiA BfABfAfBAAAfAfA若事件互不相容 则一般，若互不相容 则上一页上一页下一页下一页返返 回回 历史上著名的统计学家
12、蒲丰（历史上著名的统计学家蒲丰（Buffon）和皮尔逊）和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示所示.实验者实验者nkf德德摩根摩根204810610.5181蒲丰蒲丰404020480.5069K皮尔逊皮尔逊1200060190.5016K皮尔逊皮尔逊24000120120.5006可见出现正面的频率总在可见出现正面的频率总在0.5附近摆动附近摆动.随着试验次数随着试验次数的增加的增加,它会逐渐稳定于它会逐渐稳定于0.5.上一页上一页下一页下一页返返 回回nk上一页上一页下一页下一页返返 回回大量试验证明当重复试验的次数大量试验
13、证明当重复试验的次数 n很大时很大时,频率频率 逐渐逐渐稳定于某某个常数，这种稳定于某某个常数，这种“频率稳定性频率稳定性”就是通常所说就是通常所说的统计规律性。的统计规律性。1211 ( )(1)( )0(2)( )1(3),()()( ).nnnnSAAP AP AP SA APAP AP AA设 为样本空间， 为事件，对于每一个事件 赋予一个实数，且满足以下公理：非负性：规范性：可列可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件有则称实数为事件 的概率定义定义22、概率的公理化定义、概率的公理化定义上一页上一页下一页下一页返返 回回 nkknkknAPAPAAA1121)()(,2则则有有为
14、为两两两两互互不不相相容容事事件件，：若若性性质质概率的性质：概率的性质：0)(1 P：性性质质3,()( )()( )( ).A BABP BAP BP ABP AP B性质 ：设是两个事件，若，则有；（可减性）（单调性）. 1)(4 APA，：对对任任一一事事件件性性质质上一页上一页下一页下一页返返 回回).(1)( 5APAPA ，有有：对对任任一一事事件件性性质质)()()()( ,6ABPBPAPBAPBA ，有，有：对于任意两个事件：对于任意两个事件性质性质上一页上一页下一页下一页返返 回回练习1、比较下列四个数的大小，用不等号连接( ), (), (), ( )( )P A P
15、AB P AB P AP B244( ), ( ), (),(), (), ()5515P AP BP ABP AB P AB P AB求3、一飞机投弹炸地面目标，已知飞机投一弹命中地 面第1,2,3号目标的概率分别为0.01,0.02，0.03.求该飞机投一弹没有命中目标的概率。2、第三节 古典概型E1：掷一枚硬币，观察正面反面出现的情况E2：从编号为1,2,3n的n个小球中任取一球， 观察取出的球号共有的特点：1、试验的样本空间只包含有限个元素2、试验中每个基本事件发生的可能性相同 将具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型（古典概型）.定义定义1： 设随机试验设随机试验E满足如下满足如下
16、条件条件:(1)试验的样本空间只有有限个样本点，即试验的样本空间只有有限个样本点，即(2) 每个样本点的发生是等可能的，即每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为则称试验为古典概型古典概型，也称为，也称为等可能概型等可能概型。12,nSe ee12( )()()nPePePe古典概型中事件古典概型中事件A的概率计算公式为的概率计算公式为( )kAP An所包含的样本点数S中样本点总数上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1 将一枚硬币抛掷三次，求：将一枚硬币抛掷三次，求： （1） 恰有一次出现正面的概率；恰有一次出现正面的概率； （2） 至少有一次出现正面的概率至少有一次出现正面的概率.上一页
17、上一页下一页下一页返返 回回解解 将一枚硬币抛掷三次的样本空间将一枚硬币抛掷三次的样本空间S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTS中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同可能性相同.（1） 设设A表示表示“恰有一次出现正面恰有一次出现正面”，则则 A=HTT，THT，TTH，故有故有 P（A）=3/8.上一页上一页下一页下一页返返 回回（2） 设设B表示表示“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”，由，由 =TTT， 得得B171( )1.88P BP B （ ）例例2 12名新生中有名新生中有3名优
18、秀生，将他们随机地平均分名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：配到三个班中去，试求：（1） 每班各分配到一名优秀生的概率；每班各分配到一名优秀生的概率；（2） 3名优秀生分配到同一个班的概率名优秀生分配到同一个班的概率.上一页上一页下一页下一页返返 回回解解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为名新生平均分配到三个班的可能分法总数为 4441284312!C C C(4!)（1） 设设A表示表示“每班各分配到一名优秀生每班各分配到一名优秀生”329!9!3!.(3!)(3!)239!12!16( )/.(3!)(4!)55P A 上一页上一页下一页下一页返返 回回（2） 设设
19、B表示表示“3名优秀生分到同一班名优秀生分到同一班”，故，故3名优秀生名优秀生分到同一班共有分到同一班共有3种分法，其他种分法，其他9名学生分法总数名学生分法总数为为 ，故由乘法原理，故由乘法原理，B包含样本总数为包含样本总数为 1449849!C C C1!4!4!9!3.1!4!4!233 9!12!3( )/.554!4!P B 4、几何概型、几何概型若试验具有如下特征若试验具有如下特征:).(),() 1 (m的度量记作，并把面积、体积等如长度度量区域大小可以是一个几何区域，这个样本空间)()()( mAmAP .也也称称为为几几何何概概率率.)(,)2(的位置和形状无关与成正比的度量
20、能性与内的可中的区域或者设落在处都是“等可能的”在区域内任一点内任意投掷一个点，落向区域A，AmAA的概率为内”的事件，那么事件表示“掷点落在用AAA上一页上一页下一页下一页返返 回回例例3 两人相约在某天下午两人相约在某天下午2 003 00在预定地方见面，在预定地方见面，先到者要等候先到者要等候20分钟，过时则离去分钟，过时则离去.如果每人在这指定的一如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面的概率的概率. 上一页上一页下一页下一页返返 回回解解 设设x,y为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时为两人到达预定
21、地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为间的一切可能结果落在边长为60的正方形内，这个正方形的正方形内，这个正方形就是样本空间就是样本空间,而两人能会面的充要条件是而两人能会面的充要条件是x-y20，即即x-y20且且y-x20.222( )60405( ).( )609m AP Am1、条件概率例1 从编号为1,2,3,4的4个球中任取一球，设 A 取出奇数号球 B 取出1号球 显然P(A)=1/2，P(B)=1/4 若事件A已经发生，此时样本空间变成1,3. 考虑事件A已经发生的条件下事件B发生的概率为1()2P B A 第四节第四节 条件概率及事件的独立性条件概率及事件的独
22、立性设样本空间12 ,nSe ee 事件A包含的基本事件数为m(m0)，B所包含的 基本事件数为k，AB所包含的基本事件数为r,其中,rm rk/()()/( )rr nP ABP B Amm nP A从而定义1 ,( )0,()( )|)() ()( )A BP AP ABP APAP ABP B AP A设为两个事件，且则称为事件A已发生条件下事件B发生的条件概率，记为（B上一页上一页下一页下一页返返 回回0001112() 1()0 2()1 3()(),.iiiinP B AP B AP S APB AP B A符合概率定义的三公理，即：；其中B，B ， ，B ， 为两两互不相容事件同
23、样，条件概率也符合之前对概率所证明的一些性质.上一页上一页下一页下一页返返 回回()( )0.56|)0.8.( )( )0.7P ABP BP B AP AP A得（例例2 某科动物出生之后活到某科动物出生之后活到20岁的概率为岁的概率为0.7，活到，活到25岁的概率为岁的概率为0.56,求现年为求现年为20岁的动物活到岁的动物活到25岁的概率岁的概率. 上一页上一页下一页下一页返返 回回解解 ：设设A表示表示“活到活到20岁以上岁以上”的事件，的事件，B表示表示“活活到到25岁以上岁以上”的事件，则有的事件，则有P（A）=0.7,P(B)=0.56，且，且B A.设设P(A)0,则有则有
24、P(AB)=P(A)P(BA)同样同样,当当P(B)0时时,有：有： P(AB)=P(B)P(AB) )()()()()(, 0)(12121312121121 nnnnAAAAPAAAPAAPAPAAAPAAAP则有则有设设2、乘法定理、乘法定理乘法定理可推广至任意有限个事件的情形乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:上一页上一页下一页下一页返返 回回例3 设A,B是两个事件,已知( )1/ 2( )2/3()1/3P AP BP A B，(), ()P B A P AB求21( ) ()()433()=1( )( )92121217()( )( )()233318P B P A BP AB
25、P B AP AP AP ABP AP BP AB解：例例4 设盒中有设盒中有m只红球，只红球，n只白球，每次从盒中任取一只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球只与所取颜色相同的球.若若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率三次，第四次取到白球的概率. 31234121312412()()()()(|).23P R R R RP RP RRP RR RP RR R Rmmknnkmnmnkmnkmnk上一页上一页下一页下一页返返 回回解解 设设Ri(i=1,2,3
26、,4)表示第表示第i次取到红球的事件，次取到红球的事件， (i=1,2,3,4)表示第表示第i次取到白球的事件次取到白球的事件.则有则有iR3、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与贝叶斯公式12001 ,1, ,1,2, 2nijniiBBBB Bij i jnBS 设S为样本空间， ，为S的一组事件 若满足12,nB BBS则称为 的一个划分。定义2上一页上一页下一页下一页返返 回回1211211:(),( )()() ()nniinnniiiiiAASA BBBABAB ABABP AP ABP B P A B证明 因为 且两两互斥由概率公式及乘法定理可得121,()0,1,2, .( )
27、() ().niniiiASB BBSP BinP AP B P A B设 为样本空间 中任一事件，为 的一个划分 且则有，称为全概率公式定理定理1 全概率公式全概率公式上一页上一页下一页下一页返返 回回121,( )0()0,1,2, .()() ()1,2,()().niiiinjjjSSB BBSP AP BinP A B P BP B AinP A BP B设样本空间为 ， A为 中的任一事件，为 的一个划分且，则称为贝叶斯公式，也称逆概率公式定理定理2 贝叶斯公式贝叶斯公式上一页上一页下一页下一页返返 回回例例6 设某工厂有甲、乙、丙设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，个车间
28、生产同一种产品，产量依次占全厂的产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品且各车间的次品率分别为率分别为4%，2%，5%，现在从一批产品中检查出，现在从一批产品中检查出1个个次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？ 上一页上一页下一页下一页返返 回回解解 设设B1，B2，B3表示产品来自甲、乙、丙三个车间，表示产品来自甲、乙、丙三个车间，A表示产品为表示产品为“次品次品”的事件，易知的事件，易知B1，B2，B3是样本是样本空间空间S的一个划分，且有的一个划分，且有 P（B1）=0.45，P(B2)=0.35，P(B3)=0.2，P(A
29、B1)=0.04，P(AB2)=0.02，P(AB3)=0.05. 112233,( )() ()() ()() ()0.45 0.040.35 0.020.2 0.050.035.P AP B P A BP B P A BP B P A B由全概率公式 得123,0.450.04()0.514,0.0350.350.02()0.200,0.0350.200.05()0.286.0.035P B AP BAP BA由贝叶斯公式 得上一页上一页下一页下一页返返 回回由此可见，该由此可见，该次品由甲车间次品由甲车间生产的可能性生产的可能性最大最大. 例例7 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有
30、如由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率被诊断者确有癌症的概率. ( )0.005,( )0.995,()0.95,()0.98.P AP AP B AP B A上一页上一页下一页下一页返返 回回解解 设设A
31、表示表示“患有癌症患有癌症”， 表示表示“没有癌症没有癌症”，B表示表示“试验反应为阳性试验反应为阳性”，则由条件得，则由条件得 A()10.980.02.P B A 由此上一页上一页下一页下一页返返 回回( ) ()()0.193.( ) ()( ) ()P A P B AP A BP A P B AP A P B A由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反应为阳性的概率为试验反应为阳性的概率为95%，没有患癌症的被诊，没有患癌症的被诊断者，试验反应为阴性的概率为断者，试验反应为阴性的概率为98%，都
32、叫做，都叫做先验概先验概率率.而在得到试验结果反应为阳性，该被诊断者确有癌而在得到试验结果反应为阳性，该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率症重新加以修正的概率0.193叫做后验概率叫做后验概率. 4 4 独立性独立性,.ABABABAB若事件 与 相互独立,则下列各对事件也相互独立:与与与定理定理1,()( ) ( ),.A BP ABP A P BA B若事件满足则称事件是相互独立的定义定义1上一页上一页下一页下一页返返 回回).()()(, 1)(0BPABPABPAPBA 则则相相互互独独立立，且且，若若事事件件定理定理2 ,()( ) ( )()( ) ( )()( ) ( ) ()(
33、 ) ( ) ( ),.A B CP ABP A P BP ACP A P CP BCP B P CP ABCP A P B P CA B C设是3个事件 如果满足则称为相互独立的事件定义定义2上一页上一页下一页下一页返返 回回.,)()()()(;1)()()()(;1)()()(12,21212121是相互独立的则称，个等式成立：若以下个事件对nnnkjikjijijinnAAAAPAPAPAAAPnkjiAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPnAAAn定义定义3例例5 设高射炮每次击中飞机的概率为设高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要，问至少需要多少门这种高射炮同时独立发射（每
34、门射一次）才能使多少门这种高射炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到击中飞机的概率达到95%以上以上.解解 设需要设需要n门高射炮，门高射炮，A表示飞机被击中，表示飞机被击中，Ai表示表示第第i门高射炮击中飞机（门高射炮击中飞机（i=1,2,n).则则 121212()()1()1()()()1(10.2) .nnnnP AP AAAP AAAP A P AP A 上一页上一页下一页下一页返返 回回令令1-（1-0.2）n0.95,得得0.8n0.05，可得，可得 n14.即至少需要即至少需要14门高射炮才有门高射炮才有95%以上把握击中飞机以上把握击中飞机. 2、 伯努利试验伯
35、努利试验 ,(01).,.EEnAppnn设 为一伯努利试验 将 在相同条件下独立地重复进行 次 每次试验中结果 出现的概率保持不变 均为把这 次独立重复试验总起来看成一个试验 称为 重贝努里试验 (1).(2).(3).(4).nAAApn重贝努里试验有下面四个约定：每次试验只有两个可能结果 及结果 在每次试验中出现的概率均为各次试验相互独立共进行 次上一页上一页下一页下一页返返 回回pqnkqpCkPknAnknkknn 1, 1 , 0)( , 次次的的概概率率为为出出现现次次试试验验中中在在事事件件重重贝贝努努里里试试验验对对于于knkknkqpppknkAn )1( ,:为为次次试试
36、验验中中不不出出现现的的概概率率而而在在其其余余出出现现次次试试验验中中在在指指定定的的重重贝贝努努里里试试验验由由证证明明.,个个事事件件是是互互不不相相容容的的种种排排列列所所对对应应的的而而这这种种共共有有顺顺序序的的发发生生可可以以有有各各种种排排列列结结果果knknknCCCA.)( 也也称称为为二二项项概概率率公公式式由由概概率率加加法法公公式式得得到到knkknnqpCkP 上一页上一页下一页下一页返返 回回例例6 设在设在N件产品中有件产品中有M件次品，现进行件次品，现进行n次有放回的次有放回的检查抽样，试求抽得检查抽样，试求抽得k件次品的概率件次品的概率. 解解 由条件，这是
37、有放回抽样，可知每次试验是在相由条件，这是有放回抽样，可知每次试验是在相同条件下重复进行，故本题符合同条件下重复进行，故本题符合n重贝努里试验的条重贝努里试验的条件，令件，令A表示表示“抽到一件次品抽到一件次品”的事件的事件.则则 P（A）=p=M/N, k( )=C () (1),0,1,2, .kn knnMMP kknNN上一页上一页下一页下一页返返 回回以以Pn(k)表示表示n次有放回抽样中，有次有放回抽样中，有k次出现次品的概率，次出现次品的概率，由贝努里概型计算公式，可知由贝努里概型计算公式，可知 例例7 一张英语试卷，有一张英语试卷，有10道选择填空题，每题有道选择填空题，每题有
38、4个选个选择答案，且其中只有一个是正确答案择答案，且其中只有一个是正确答案.某同学投机取巧，某同学投机取巧，随意填空，试问他至少填对随意填空，试问他至少填对6道的概率是多大？道的概率是多大？ 10101010106666477388299101010101011( )( )C ( ) (1)44131313131C ( ) ( )C ( ) ( )C ( ) ( )C ( ) ( )( )4444444440.01973kkkkkP BPk上一页上一页下一页下一页返返 回回解解 设设B=“他至少填对他至少填对6道道”.每答一道题有两个可能的每答一道题有两个可能的结果：结果：A=“答对答对”及及 =“答错答错”，P（A）=1/4，故，故作作10道题就是道题就是10重贝努里试验，重贝努里试验，n=10，所求概率为，所求概率为A
