1、2.2 焊接温度场2.2.1、瞬时固定热源温度场 瞬时固定热源可作为具有短暂加热及随后冷却的焊接过程（如点焊）的简化模型，其相应的数学解还可以作为分析连续移动热源焊接过程的基础，因此具有重要意义。为获得简化的温度场计算分式，需要做一些假设：在整个焊接过程中，热物理常数不随温度而改变；焊件的初始温度分布均匀，并忽略相变潜热；二维或三维传热时，认为彼此无关，互不影响；焊件的几何尺寸认为是无限的；热源集中作用在焊件上是按点状，线状或面状假定的。2.2.1、瞬时固定热源温度场1.作用于半无限体的瞬时点热源 在这种情况下，热量Q在时间t=0的瞬间作用于半无限大立方体表面的中心处，热量呈三维传播，在任意方
2、向距点热源为R处的点经过时间t时，温度增加为T-T0。 求解导热微分方程，可有特解： 式中；Q焊件瞬时所获得的能量J； R距热源的距离，R2=X2+Y2+Z2； t传热时间s； c焊件的容积J/mm2； a导温系数mm2/s。)4exp()4(223atRatcQT2.2.1、瞬时固定热源温度场特解的证明： 由导热微分方程式 我们只要证明 是上面微分方程一个特解即可。 在此令 则)4exp()4(223atRatcQT)(222222zTyTxTctT2222223),4exp(,)4(zyxRatRvatcQu)234()234()4exp()4()23()4()4exp()1()4()4e
3、xp()4()(,2222232523222223atRtTtatRatRatcQtacQatRtaRatRatcQtTtuvtvutuvtTuvT1.作用于半无限体的瞬时点热源2.2.1、瞬时固定热源温度场特解的证明： 同样，求 ，即在ox方向上的温度梯度： 则 同理xTRxxRxdxRdRzyxRatxTRxatRTxRatRatRatcQxRRTxT,22,)2(2)42()4exp()4(2222223) 12(2)2(22221)2()(222atxatTatxTatxatTxTatxatTatxTxxTxxT) 12(2),12(2222222atzatTzTatyatTyT1.作
4、用于半无限体的瞬时点热源2.2.1、瞬时固定热源温度场特解的证明： 将上面个式代入导热微分方程： 等式两端完全相等，说明特解正确。因此，只要确定常数项，即可得到通解。)234()32(2)234()121212(2)234(2222222atRtTatRtTatRtTacatzatyatxatTcatRtT1.作用于半无限体的瞬时点热源 此时温度场是一个半径为R的等温球面，考虑到焊件为半无限体，热量只在半球中传播，则可对温度场计算公式进行修正，即认为热量完全为半无限体获得：T0为初始温度。 在热源作用点（R=0）处，其温度为 在此点，当t=0时，T-T0，这一实际情况不符合（电弧焊时，Tmax
5、约为2500，这是点热源简化的结果）。2.2.1、瞬时固定热源温度场)4exp()4(2223atRatcQT2300)4(2)(atcQTTR1.作用于半无限体的瞬时点热源 随着时间t延长 ， 温 度 T 随1/t3/2呈双曲线趋势下降，双曲线高度与Q成正比。在中心以外的各点，其温度开始时随时间t的增加而升高，达到最大值以后，逐渐随t0而下降到环境强度T0。2.2.1、瞬时固定热源温度场图2-101.作用于半无限体的瞬时点热源2.2.1、瞬时固定热源温度场 2.作用于无限大板的瞬时线热源 在厚度为h的无限大板上，热源集中作用于某点时，即相当于线热源（即沿板厚方向上热能均匀分布）。 t=0时刻
6、，热量Q作用于焊件，焊接初始强度为T0。求解距热源为R的某点，经过t妙后的温度。此时可用二维导热微分方程求解，对于薄板来说，必须考虑与周围介质的换热问题。2.作用于无限大板的瞬时线热源 当薄板表面的温度为T0时，在板上取一微元体hdxdy，在单位时间内微元体损失的热能为dQ:式中；2考虑双面散热 表面散热系数J/mm2sK T板表面温度 T0周围介质温度 由于散热使微元体hdxdys的温度下降了dT， 则此时失去的热能应为dQ:2.2.1、瞬时固定热源温度场dxdydtTTdQ)(20dydxhcdTdVcdTdQ2.作用于无限大板的瞬时线热源上两式相等，整理得：式中，b=2/ch被称为散温系
7、数s-1。 因此，焊接薄板时如考虑表面散热、则导热微分方程式中应补充这一项，即： 2.2.1、瞬时固定热源温度场bTTThcdtdTdTdxdyhcdxdydtTT)(2)(200bTyTxTatT)(22222.作用于无限大板的瞬时线热源此微分方程的特解为： 此为薄板瞬时线热源传热计算公式，可见，其温度分布是平面的，以r为半径的圆环。在热源作用处（r=0），其温度增加为： 温度以1/t双曲线趋势下降，下降的趋势比半无限体缓慢。2.2.1、瞬时固定热源温度场)4exp()4(20btatrathcQTT)exp()4(0btathcQTT3.作用于无限长杆的瞬时面热源 热量Q在t=0时刻作用于
8、横截面为A的无限长杆上的X=0处的中央截面，Q均布于A面积上，形成与面积有关系的热流密度Q/A，热量呈一维传播。2.2.1、瞬时固定热源温度场 同样考虑散热的问题，求解一维导热微分方程，可得：式中，b*=L/cA,为细杆的散温系数1/s,=c+r L为细杆的周长mm； A为细杆的截面积mm2 。)4exp()4(*2210tbatxatAcQTT3.作用于无限长杆的瞬时面热源在热源作用处（X=0），温度升高为热流单向，在X=0处，温度随1/t1/2沿双曲线下降，而趋势更缓和。 2.2.1、瞬时固定热源温度场)exp()4(*210tbatAcQTT3111tTtTtT 4.叠加原理 焊接过程中
9、常常遇到各种情况，工件上可能有数个热源同时作用，也可能先后作用或断续作用，对于这种情况，某一点的温度变化可象单独热源作用那样分别求解，然后再进行叠加。叠加原理：假设有若干个不相干的独立热源作用在同一焊件上，则焊件上某一点的温度等于各独立热源对该点产生温度的总和，即 其中；ri第i个热源与计算点之间的距离， ti第i个热源相应的传热时间。2.2.1、瞬时固定热源温度场niiitrTT1),( 4.叠加原理举例：薄板上，A热源作用5秒钟后， B热源开始作用，求B热源作用10秒钟后，P点的瞬时温度。由题意可知：tA=15s，tB=10s,则2.2.1、瞬时固定热源温度场BAPBBAATTTbaBPa
10、hcQTbaAPahcQT10104)(exp)104(15154)(exp)154(22 有了迭加原理后，我们就可处理连续热源作用的问题，即将连接热源看成是无数个瞬时热源迭加的结果。 焊接过程中，热源一般都是以一定的速度运动并连续用于工件上。前面讨论的瞬时热源传热问题为讨论连续热源奠定了理论基础。 在实际的焊接条件下，连续作用热源由于运动速度（即焊接速度）不同，对温度场会产生较大影响。一般可分为三种情况。 热源移动速度为零，即相当于缺陷补焊时的情况，此时可以得到稳定的温度场。 当热源移动速度较慢时，即相当于手工电弧焊的条件，此时温度分布比较复杂，处于准稳定状态，理论上虽能得到满意的数学模型，
11、但与实际焊接条件有较大偏差。 热源稳动速度较快时，即相当于快速焊接（如自动焊接）的情况，此时温度场分布也较复杂，但可简化后建立教学模型，定性分析实际条件下的温度场。2.2.2、连续热源作用下的温度场1.作用于半无限体上的移动点热源 连续作用的移动热源的温度场的数学表达式可从迭加原理获得，迭加原理的应用范围是线性微分方程式，而线性微分方程式则应建立在材料特征值均与温度无关的假设基础上，这种线性化在很多情况下是可以被接受的。2.2.2、连续热源作用下的温度场1.作用于半无限体上的移动点热源2.2.2、连续热源作用下的温度场 现假定：有不变功率为 q的连续作用点热源沿半无限体表面匀速直线移动，热源移
12、动速度为v。在t=0时刻热源处于o0位置，热源沿着o0 x0坐标轴运动。从热源开始作用算起，经过t时刻，热源运动到o点，o0o的距离为vt，建立运动坐标系oxyz，使ox轴与o0 x0重合，o为运动坐标系的原点，oy轴平行于o0y0,oz轴平行于o0z0。2.2.2、连续热源作用下的温度场 现考察开始加热之后的时刻t，热源位于o（vt,0,0）点，在时间微元dt内，热源在o点发出热量dQ=qdt。经过t-t时期的传播，到时间t时，在A点(x0,y0,z0)引起的温度变化为dT(t) 。在热源移动的整个时间t内，把全部路径o0o上加进的瞬将热源和所引起的在A点的微小温度变化迭加起来，就得到A点的
13、温度变化T(t)ttdTtT0) ()(应用瞬时点热源的热传播方程:此时 热源持续时间是t-t0，则有2.2.2、连续热源作用下的温度场)4exp()4(2223atRatcqdT20202022) ()(zyvtxAoR) (4) (exp)(42),() (4) (exp)(42),(20202023000020202023000ttazyvtxttacqdttzyxTttazyvtxttacqtzyxdTt 上式属于固定是坐标系(o0,x0,y0,z0)， 对于运动坐标系(o,x,y,z)来说，由于 设tt-t,带入上式，得 如果忽略焊接热过程的起始和收尾阶段（即不考虑起弧和收弧），则作
14、用于无限体上的匀速直线运动的热源周围的温度场，可认为是准稳态的温度场。如果将此温度场放在运动坐标系中，就呈现为具有固定场参数的稳态温度场。 2.2.2、连续热源作用下的温度场0, 00,zzyyvtxxtatzyxatvtdtavxacqtzyxT022222323)44exp()2exp()4(2),( 下面，我们考虑极限状态t，并设 由于 经一系列变换之后，以等速度沿半无限体表面运动的、不变功率的点热源的热传导过程极限状态方程式，在运动坐标系(oxyz)中，为：其中，R动坐标系中的空间动径，即所考察点A到坐标原点o的距离； xA点在动坐标系中的横坐标。2.2.2、连续热源作用下的温度场,2
15、,422mavRuatR)2exp(2)2exp()4(2),()2exp(2)2exp(2)exp(230222avRavxacqxRTavRmduumu)2exp(2),(vaxRRqxRT讨论： 当v=0,即为固定热源时， 等温面为同心半球，温度随呈双曲线下降;该点与运动速度v无关; 当x=R(热源前方)， ，可见，运动速度v越大，热源前方的温度下降就越快，当v极大时，热量传播几乎只沿横向进行。 2.2.2、连续热源作用下的温度场)exp(2avRRqTRqT2RqT2 半无限体上移动点热源前方和后方的温度分布，准稳定状态，移动坐标系2.2.2、连续热源作用下的温度场半无限体上的移动点热
16、源周围的温度场，a),b)x、y轴线上的温度，c),d)表面和横截面上的等温线2.作用于无限大板上的移动线热源 无限扩展的平板上作用匀速、直线运动线状热源（速度为v，厚度方向的热功率为q/h）,距移动热源r处的温度T为：其中：r2=x2+y2， 2.2.2、连续热源作用下的温度场tatrtbavtdtavxhqtyxT0224)4(exp)2exp(4),(2.作用于无限大板上的移动线热源为考察准稳态温度场，取极限状态，设t，并设 则2.2.2、连续热源作用下的温度场02222022)4exp()2exp(4),()4exp()2exp(4),()4(ttwuwwdwavxhqtrTyxrwu
17、wwdwavxhqtyxTdtbavdwwuawbavratrbavwtabavrutbavw44)4( 4,)4()4(, )4(2222222222 由于 K0(u)可看作参数u的函数，叫做第二类虚自变量零次贝塞尔函数，其数值可以查表，u,则K0(u) 。而 由此得极限状态方程： 为散温系数。2.2.2、连续热源作用下的温度场002)(2)4exp(tuKwuwwdwabavru224hcbrc)(2)4()2exp(2),(220abavrKavxhqtrT 平板上移动线热源准稳态温度场如下图所示。2.2.2、连续热源作用下的温度场 对 于 固 定 线 热 源(v=0)，连续加热达到稳定
18、时(t )此时，等温面的为同心圆柱。温度随r的下降b比半无限体时要缓慢，并取决于即取决于传热和热扩散的比例。 )(20abrKhqThabrc)(2作用于板上的移动线热源周围的温度场，在运动坐标系上的准稳定状态，a),b)为坐标轴x和y上的温度T分布，c)班平面上的等温线3.作用于无限长杆上得移动面热源热源移动速度为v，单位面积上的热功率为q/A，距离热源x处的温度为：在x=0处（热源位置）：T=Tmax=q/Acv。其中，P杆横截面周长, A杆横截面积。2.2.2、连续热源作用下的温度场)0(,)24exp()0(,)24(exp2222xxavAPavvAcqTxxavAPavvAcqTr
19、crc 1.作用于半无限体表面上的瞬时圆形热源 2.2.3、高斯分布热源作用下的温度场)exp()(2*max*krdtqdtrq 有效功率为Q，集中系数为k的高斯热源在t=0时刻瞬时施加于半无限体的表面上，此表面不与周围介质换热，热源中心与xyz坐标系原点o重合，热源在xoy面上的分布为： 1.作用于半无限体表面上的瞬时圆形热源将 热 源 作 用 的x o y整 个 平 面 划 分 为 微 元 平 面dF=dxdy,在t=0时，施加到物体表面的B ( x , y ) 点 的 微 元 面 积 上 的 热 量dQ=q(r)dxdydt，可视同瞬时点热源。这种点热源在半无限体内的热传播过程可描述为
20、： 其中：R物体上任一点到瞬时点热源B点的距离;2.2.3、高斯分布热源作用下的温度场)4exp()4() (2),(223atRatcdtdydxrqtzyxdT2222222,) () (yxrzyyxxR)(4) () (exp)4(2),(2222223maxyxkatzyyxxatcdtdydxqtzyxdT 1.作用于半无限体表面上的瞬时圆形热源 将整个高斯热源看成是无数个施加在微元面积上的微元热量dQ的总和。按叠加原理，各微无瞬时点热源分布在xoy的整个面积F上， 即： 此表达式中，热源的集中系数k被时间常数t0所替换。2.2.3、高斯分布热源作用下的温度场FtzyxdttzrT
21、),(),( 44) () (exp)4(2),(02222223maxatyxatzyyxxdydxatcdtqtzrT44) (exp44) (exp)4exp()4(2),(022022223maxatyatyydyatxatxxdxatzatcdtqtzrT04/1atk 经计算可得 而 带入并简化，得 上式中的第二项表示施加在xoy面的虚拟瞬时平面热源的热量，重直于oz轴向物体内部线性传播的过程，其施加时间为t=0时开始。第三项描述与oz轴重合的虚拟线热源平面径向传播过程，这一过程比实际热源施的时刻早开始了t0时间，瞬时高斯热源在半无限体内的热传播过程是线性热传播过程达式和平面径向热
22、传播过程表达式的乘积。 2.2.3、高斯分布热源作用下的温度场)(4exp)(444)4exp()4(2),(0200223maxttarttaatatatzatcdtqtzrTmax00max44/1,/qatqatkqkq)(4 )(4exp)4()4exp(2),(002212ttattaratatzcqdttzrT2.运动高斯热源加热半无限体 按照迭加原理，可将运动的连续作用高斯热源的热量在半无限体内的传播过程视为相应的瞬时热源微元的热传播过程的总和。有效功率为q，集中系数为k的热源在半无限体表面上移动，半无限体的表面与周围空气不换热。2.2.3、高斯分布热源作用下的温度场2.运动高斯
23、热源加热半无限体2.2.3、高斯分布热源作用下的温度场)(4)(4exp()4() 4exp(2), (2212ttattaratatzcqdttzrdT202022)() (yvtxACr 开始时刻t=0，热源中心同固定坐标系x0o0y0的原点重合，运动速度为v，沿o0 x0轴移动，热源在全部时间保持不变，时间间隔微元dt在t时刻施的 瞬时热源dQ=qdt的中心点C点，这时由热源加进的热量在物体内经过t”=t-t时间的传播，在A(x0,y0,z0)点的温度在t时刻提高到 其中，2.运动高斯热源加热半无限体 按照迭加原理，热源作用了t时间后，温度等于所有微元热源dQ(t)促成的温度dT的总和，
24、这些数元热源是在热源作用时间(t=0到t=t)内，于其整个移动路径o0c上划分出的。 令t-t=t”,且对于运动作标原点o的动径为： 2.2.3、高斯分布热源作用下的温度场ttttayvtxttaztttattacqdttzyxT0020202021000) (4) () (4exp)(4)(42),()(4)(44exp)( )2exp()4(2),(002022023222ttavttaratztttdtavxacqtzyxTyxrt 2.运动高斯热源加热半无限体 我们来考察一下固定热源中心的温度此时v=0，x=y=z=0, 令 当t=0时，T(0,0,0,0)=0; 当t 0时， 温度与
25、时间的平方根成比例升高； 当t时， 因而 即，高斯热源中心的点的极限温度Tc同热源功率成正比，同热源的集中系数k的平方根成正比，同导热系数成反比。 2.2.3、高斯分布热源作用下的温度场ttttdtacqtT0023)( )4(2), 0 , 0 , 0(0000000223020arctan242arctan44421)4(2), 0 , 0 , 0(2,ttttatqttatacqtdacqtTdtdttt2arctanarctan000ttttttkqatqT242), 0 , 0 , 0(0 3. 作用于无限大板上的高斯热源板原为h，瞬间功率密度为qdt的线热源造成的温度场为：t0虚拟
26、提前时间。当热源以匀速v移动时, 式中， 为积分指数函数； 为传热系数。 2.2.3、高斯分布热源作用下的温度场)(4exp)(4020ttarttahcqdtdT)4()exp(4020tavbEbthqTihcbrc)(20,)()(uduueuEuui4.作用于无限板上的固定带状热源2.2.3、高斯分布热源作用下的温度场 带状高斯热源，在带条方向的单位长度上的热功率为q，假定带状热源在板后方向上匀均分布，带条位于X轴，比时传热发生于Y轴，在带状热源中心线上(Y=0),长时间加热达极限状态时可得到一个简单解： 其中)(1 )(2 221021max0btehqTbtrc,2)(02uudu
27、eu为高斯概率积分。1.作用于半无限体上的快速移动大功率热源 快速移动大功率热源以高热功率q和高热源移动速度v为特征，工艺参数q和v成比例增加，以保证单位长度焊缝上的热输入qw=q/v为常熟。快速移动大功率热源使焊接时间减少，因此具有重要的实际意义。 由于要求qw为常数，可引入q和v的极限值。在靠近热源附近，引入极限值造成的误差很小，这样可使问题简化。 对于大功率快速移动热源的传热问题，其加热区的长度于速度成比例增加，其宽度趋近于一个极限值。当移动速度极高时，热传播主要在垂直于热源运动的方向上进行，在热源运动方向上传热很少，可以忽略。 2.2.4 快速移动大功率热源作用下的温度场1.作用于半无
28、限体上的快速移动大功率热源 半无限体或无限板可以再划分为大量的重直于热源运动方向的平面薄层，当热源通过每一薄层时，输入的热量只在此薄层内扩散，与相邻的薄层状态无关，这将有助于模型简化。 对于作用在无限体上的快速大功率点热源，下式成立： r为薄层上的点与点热源的距离。 2.2.4 快速移动大功率热源作用下的温度场)4exp(22atrtvqT1.作用于半无限体上的快速移动大功率热源2.2.4 快速移动大功率热源作用下的温度场21002212)(4)(4exp)4()4exp(2ttattayatatzvcqT2.作用于无限板上的快速移动大功率热源2.2.4 快速移动大功率热源作用下的温度场)4e
29、xp()4(221btatytcvhqT)(4exp)(402210btttayttcvhqT1.热饱和 经前讨论，热源长时间作用后可导致极限状态，在固定热源的情况下，其相应的温度场是稳定温度场，即各点的温度与时间无关，在移动热源情况下，其相应的温度场是准稳定的温度场，即在一相同的移动坐标中，各点的温度与时间无关。 固定热源极限状态：稳定温度场，各点温度与时间无关 移动热源极限状态：准稳定温度场，动坐标系内各点温度与时间无关 极限状态的出现需要一定的时间，所研究的点距离热源越远达到极限状态越晚。 2.2.5 热饱和与温度均匀化热饱和时间 从开始热输入起，至获得局部温度的极限状态Tli的时间称为
30、热饱和时间。为了简化对移动热源的分析，可将局部温度的变化用一个通用的热饱和函数来描述：其中：i为一无量纲参数，与时间t成比例，而i为一无量纲参数，与研究点至热源的距离r成比例(i=1,2,3)。2.2.5 热饱和与温度均匀化liiiTTtT),()(0 对于半无限体表面移动点热源的三维热扩散，有如下关系： 其相应的热饱和的函数作用，见下图。 2.2.5 热饱和与温度均匀化tavRav4,2233 对于无限板上作用的移动线热源的二维热扩散，有： 其相应的热饱和的函数作用，见下图。 2.2.5 热饱和与温度均匀化tbavrabav)4(,)4(22222 对于作用于无限长杆上的移动面热源的一维热扩
31、散，有： 其相应的热饱和的函数作用，见下图。 2.2.5 热饱和与温度均匀化tbavxabav)4(,)4(21221如果空间热流被限制在平面或线性条件下，热饱和过程进行的较为缓慢。如果考察点距离热源较近，则进行得较快。 2.温度均匀化 当热源程停止加热后，将开始一个与热饱和相反的过程，由热源造成的温度的不均匀性逐渐被平衡，直至物体达到某一恒定的温度，由于前期热源作用，此温度比原始温度略有升高，与此过程有关的时间间隔被称为温度的均匀化时间。 对这种情况的处理方法为：引入一个等效热沉（具有负的热功率），此热沉与“连续并且未停止作用”的热源（具有正的热功率，）相迭加，以模拟热源终止之后的情况。 2.2.5 热饱和与温度均匀化 2.温度均匀化 用上述方法分析任一点的情况见右图 在热源停止加热时热沉开始作用，负热饱合曲线与正的热饱和曲线相减，得到热源终止后的情况。均匀化时间内的温度如下计算：应注意：热源为固定，则热沉也固定，热源为移动，热沉也相应移动。2.2.5 热饱和与温度均匀化)()()(0slitttTTtT应用正和负的热饱和曲线叠加的温度均匀化模型
