1、第十章第十章 应力状态应力状态分析分析 应力状态的概念应力状态的概念 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法 E杆件在基本变形时横截面上应力的杆件在基本变形时横截面上应力的 分布规律分布规律 一、问题的提出一、问题的提出轴向拉压：轴向拉压：圆轴扭转：圆轴扭转： 平面弯曲：平面弯曲：E 危险点处于单向应力状态或处于纯剪应危险点处于单向应力状态或处于纯剪应 力状态，相应强度条件为：力状态，相应强度条件为：E 实际问题：杆件的危险点处于更复杂的实际问题：杆件的危险点处于更复杂的 受力状态受力状态 xtE 二、一点的应力状态二、一点的应力状态 在受力构件内，在通过在受力构件内，在通过同一点各
2、个不同方位的同一点各个不同方位的截面上，应力的大小和截面上，应力的大小和方向是随截面的方位不方向是随截面的方位不同而按照一定的规律变同而按照一定的规律变化化 通过构件内某一点的各通过构件内某一点的各个不同方位的截面上的个不同方位的截面上的应力及其相互关系，称应力及其相互关系，称为为点的应力状态点的应力状态 三、研究方法：取单元体三、研究方法：取单元体*单元体：微小的正六面体单元体：微小的正六面体*原始单元体：单元体各侧面上应力均已知原始单元体：单元体各侧面上应力均已知*纯剪单元体：单元体各侧面上只有剪应力纯剪单元体：单元体各侧面上只有剪应力，没有正应力。没有正应力。*主单元体：单元主单元体：单
3、元 体各侧面上只有正应力体各侧面上只有正应力，没有剪应力。没有剪应力。*主应力：主平面上的正应力主应力：主平面上的正应力*主方向：主平面的法线方向主方向：主平面的法线方向* 单向应力状态：单向应力状态：三对主应力中，只有一对主应力三对主应力中，只有一对主应力不等于零的情况。不等于零的情况。* 二向应力状态：二向应力状态：三对主应力中有两对主应力不等三对主应力中有两对主应力不等于零的情况。于零的情况。* 三向应力状态：三向应力状态：三对主应力皆不等于零的情况三对主应力皆不等于零的情况。 * 已知：单元体已知：单元体 x， y， xy=yx， a a 研究与研究与z轴平行的任一斜截面轴平行的任一斜
4、截面c e上的应力。上的应力。* 符号规则：符号规则： q q 角：从角：从x轴正方向反时针转至斜截面的轴正方向反时针转至斜截面的 外法线方向为正，反之为负。外法线方向为正，反之为负。 正应力：拉为正，压为负。正应力：拉为正，压为负。 剪应力：使微元体或其局部产生顺时针方剪应力：使微元体或其局部产生顺时针方 向转动趋势者为正，反之为负。向转动趋势者为正，反之为负。一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力SN=0 a dA+( xy dAcosa)sina-(x dAcosa)cosa +( yx dAsina)cosa-(y dAsina)sina=0 S T=0 a dA-(xy dAcosa)
5、cosa-(x dAcosa)sina +(yx dAsina)sina+(y dAsina)cosa=0讨论讨论a-a-=a+a-+=2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx1 、=90=90o o + a+ a结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数2、比较、比较 a a 、 : a a = - 二、主应力二、主应力0=aadd0=a02cos22sin22=-aaxyyxyxxytga-=22主方向yxxytga-=22022max022xyyxyxa+-+=对应22min02290 xyyxyxa+-+=+对应三、最大和最小剪应
6、力三、最大和最小剪应力0=aadd02sin22cos22=-aaxyyxxyyxtga22-=22max2xyyx+-+=22min2xyyx+-=（1）求主应力）求主应力 + += =+ + - - + += =+ + - - + += = = = = =（压压应应力力）（拉拉应应力力）2.4MPa- MPa4 .4220230102301022MPa20,MPa30,MPa102222minmaxxyxyxxyx MPa4 . 204 .42321 - -= = (a) 试求中所示单元体的主应力和最大剪应力。试求中所示单元体的主应力和最大剪应力。（2）求最大剪应力）求最大剪应力MPa4
7、. 204 .42321 - -= = MPa.max422231=-=确定主平面的位置确定主平面的位置23010202220= =- - - -= =- - -= =yxxtg a a431210=a(a)11330a02a在第三象限在第三象限626318020+=a最大主应力位置最大主应力位置000045135=aa-=yxxtga22022minmax22xyxyx + + - - + += = xminxmax-=31x=1-=31357-3 7-3 空间应力状态空间应力状态三个主应力均不为零三个主应力均不为零2311-=maxmaxEE - -= =- -= = = =横横向向应应变
8、变纵纵向向应应变变单单向向应应力力状状态态下下有有EE212111 - -= = = = 引起的应变引起的应变由由引起的应变引起的应变由由E313 - -= = 引起的应变引起的应变由由沿主应力沿主应力 1的方向的总应变为：的方向的总应变为：()()()213313223211111+-=+-=+-=EEE1111 + +=7-4 7-4 材料的破坏形式材料的破坏形式1、 材料破坏的基本形式材料破坏的基本形式低碳钢低碳钢铸铁铸铁轴向拉伸轴向拉伸45轴向压缩轴向压缩45扭转扭转452、材料破坏的主要因素、材料破坏的主要因素拉伸时拉伸时45截面上具有最大剪应力截面上具有最大剪应力扭转时横截面周线上
9、具有最大剪应力扭转时横截面周线上具有最大剪应力max45222=aaasin拉伸时横截面上具有最大正应力拉伸时横截面上具有最大正应力扭转时扭转时45截面上具有最大正应力截面上具有最大正应力1x=1-=3457-5 7-5 强度理论强度理论对于单向应力状态，比如轴向拉压，对于单向应力状态，比如轴向拉压，其强度条件为：其强度条件为： nAN0=材料破坏的主要因素与应力状态之间存在何种关系？材料破坏的主要因素与应力状态之间存在何种关系？长期生产实践中，人们提出某些假说，称为强度理论，长期生产实践中，人们提出某些假说，称为强度理论，常用的有常用的有4种种最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因素，最大拉应
10、力是引起材料断裂破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，第一主应即认为无论是单向或复杂应力状态，第一主应力是主要破坏因素。力是主要破坏因素。b=1脆性材料的破坏形式是断裂脆性材料的破坏形式是断裂 nb=1没有考虑第没有考虑第2、3主应主应力的影响力的影响最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因素素,即认为无论是单向或复杂应力状态即认为无论是单向或复杂应力状态, 是主是主要破坏因素要破坏因素.Eb=01脆性材料的破坏形式是断裂脆性材料的破坏形式是断裂() nb=+-321考虑第考虑第2、3主应主应力的影响力的影响1()32111+-=E()321+
11、-=bmax231-=max2222045smaxsinaaa=s=-31 -31fufu()()()()221323222126161sfEEu+=-+-+-+=0321=,s()()()21323222121-+-+-=s()()() -+-+-21323222121 eq()()()()-+-+-=-=+-=213232221431332121121eqeqeqeq塑性材料宜采用第三、第四强度理论塑性材料宜采用第三、第四强度理论脆性材料宜采用第一、第二强度理论脆性材料宜采用第一、第二强度理论但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三向拉应力接近相等状态下
12、，都以断裂形式破坏，向拉应力接近相等状态下，都以断裂形式破坏，宜采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等宜采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等状态下，都引起塑性变形，宜采用第三、第四强状态下，都引起塑性变形，宜采用第三、第四强度理论。度理论。 nneq=0式中：式中：n-构件的工作安全系数；构件的工作安全系数； n-构件的许用安全系数；构件的许用安全系数； 0- 材料的材料的极限应力；极限应力； eq-相当应力；相当应力；（1）通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。）通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。（2）通过应力分析确定危险截面上的危险点。）通过应力分析确定危险截面上的危
13、险点。（3）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。（4）选用适当的强度理论计算相当应力）选用适当的强度理论计算相当应力 eq。（5）确定材料的许用拉应力）确定材料的许用拉应力 ，将其与，将其与 eq比较。比较。薄壁容器的强度计算薄壁容器的强度计算由横向截面上的静力平衡条件由横向截面上的静力平衡条件由纵向截面上的静力平衡条件由纵向截面上的静力平衡条件04022=-=DpDX()0201=-=lDplY42pD=21pD= 21pD= = 42pD= =03=3 .2243 = = = =pDpDeqeq 已知一容器内压已知一容器内压 p = 4MPa,
14、平均直径平均直径D =1500mm，壁，壁厚厚 = 30mm、 = 120MPa，试校核筒壁的强度。试校核筒壁的强度。MPa870303251432MPa1000302514243=.pD.pDeqeq()MPaxxxminmax=-+=+=14-1144021002100222222MPaMPaMPa14,114,140321-=+=+= 从某构件的危险点处取出一单元体如图从某构件的危险点处取出一单元体如图7-8a 所示，已所示，已知钢材的屈服点知钢材的屈服点 s = 280MPa.试按最大剪应力理论和形状改变试按最大剪应力理论和形状改变比能理论计算构件的工作安全系数。比能理论计算构件的工作安全系数。82. 1154280MPa154)14(14033313= = = = =- - -= =- -= =eqseqn ( () )( () )( () ) 95. 1143280MPa14321442132322214= = = = =- -+ +- -+ +- -= =eqseqn
