1、 一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标，按适当比例作出剪力和力值和弯矩值为纵坐标，按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图。 剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁轴线选取坐标轴线变化的情况，沿梁轴线选取坐标 x 表示梁截表示梁截面位置，则剪力和弯矩是面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解析的函数，函数的解析表达式分别称为表达式分别
2、称为剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程。)( )(SSxMMxFF 剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解决梁的弯曲强度和刚度问形象直观，两者对于解决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础基础。 例例5-3 如图所示简支梁，如图所示简支梁，C截面处作用有集中力截面处作用有集中力偶偶M，作梁的剪力图和弯矩图。，作梁的剪力图和弯矩图。 0)(1BiniMF0AMlFlMF A0)(1AiniMF0BMlFlMF B解：解：1）求）求支座反力支座反力AC段段 lMFxFAS)
3、()0(ax xlMxFxMA)(CB段段 )0(ax lMFxFBS)()(lxa)()()(BxllMxlFxM)(lxa2）求）求剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程（分段分段建立方程）建立方程） x3）作剪力图作剪力图和和弯矩图弯矩图 注意注意：弯矩图是两斜弯矩图是两斜直线，在直线，在 C 截面处有突截面处有突变，突变量为变，突变量为 M 。)0( )(SlxlMxF)()()0 ()(lxaxllMaxxlMxMx0)(1BiniMF0)(AalFlFFF6 . 0A0)(1AiniMF0BaFlFFF4 . 0B解：解： 1）求）求支座反力支座反力2）求）求剪力方程剪力方程和和弯矩
4、方程弯矩方程 C截面作用有集中力，截面作用有集中力，AC 梁段和梁段和BC梁段的剪梁段的剪力方程表达式不一样，需力方程表达式不一样，需分段分段建立方程。建立方程。 例例5-4 如图所示简支梁，如图所示简支梁，C 截面处作用集中力截面处作用集中力 ，且且 ，试作梁的剪力图和弯矩图。，试作梁的剪力图和弯矩图。Fla4 . 0分段分段建立方程：建立方程： AC 段段 FxF6 . 0)(S)0(axCB 段段 FFxF4 . 0)(BS)(lxaFxxFxM6 . 0)(A)0(ax )(4 . 0)()(BxlFxlFxM)(lxax)(4 . 0)0(6 . 0)(SlxaFaxFxF)()(4
5、 . 0)0(6 . 0)(lxaxlFaxFxxM3）作）作剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图 x( a )( b )( c ) 例例5-5 如图所示，简支梁如图所示，简支梁AB受载荷集度为受载荷集度为 q 的的均布载荷作用，试作梁均布载荷作用，试作梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。 1）求）求支座反力支座反力解：解：qlFF21BA2）求）求剪力方程剪力方程和和 弯矩方程弯矩方程 )0(21)(SlxqxqlxF)0(2121)(2lxqxqlxxMx3）作）作剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图 剪力图：是一剪力图：是一斜直线斜直线qlF21)0(SqllF21)(S当当 时时 0 x当当 时
6、时 lx )0(21)(SlxqxqlxF剪力图剪力图如图所示。如图所示。 确定抛物线的确定抛物线的极值点极值点 qxqlxxM21d)(d2max81qlM弯矩图弯矩图如图所示。如图所示。 弯矩图弯矩图：是一：是一抛物线抛物线0) 0(M0)(lM当当 时时 0 x当当 时时 lx0lx21得得)0(2121)(2lxqxqlxxM二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系剪力、弯矩与载荷剪力、弯矩与载荷集度的微分关系集度的微分关系)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 的特点和规律的特
7、点和规律 1. q = 0的梁段：的梁段： ， 为为常数，常数，剪力剪力图图为为水平直线水平直线；而；而 为常数，则为常数，则 是是x的一次函数，即的一次函数，即弯矩图弯矩图为为斜直线斜直线，斜率斜率由由 值确定。值确定。 0d/dSxFQFSFxxMd/ )(d)(xMSF 当梁上当梁上仅有仅有集中力集中力作用时，作用时，剪力图剪力图在集中力作用在集中力作用处有处有突变突变，突变量突变量是是集中力的大小集中力的大小；弯矩图弯矩图在集在集中力作用处产生中力作用处产生尖角尖角。 当梁上当梁上仅有仅有集中力偶集中力偶作用时，作用时，剪力图剪力图在集中力偶在集中力偶作用处作用处不变不变；弯矩图弯矩图
8、在集中力偶作用处有在集中力偶作用处有突变突变，突变量是集中力偶的大小。突变量是集中力偶的大小。剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 的特点和规律的特点和规律 1. q = 0的梁段：的梁段： ， 为为常数，常数，剪力剪力图图为为水平直线水平直线；而；而 为常数，则为常数，则 是是x的一次函数，即的一次函数，即弯矩图弯矩图为为斜直线斜直线，斜率斜率由由 值确定。值确定。 0d/dSxFQFSFxxMd/ )(d)(xMSF 2. q = 常数常数的梁段：的梁段： ， 为为 x 的一次的一次函数，函数，剪力图剪力图为为斜直线斜直线，斜率斜率由由 值确定；而值确定；而 是是x的二次函数，则的二次函数，则弯矩
9、图弯矩图为为二次抛物线二次抛物线。 qxFd/dSSF)(xMq 当分布载荷当分布载荷向上向上 时，时， ，弯矩图为弯矩图为凹凹曲线。此时，因为曲线。此时，因为 ， 当当 时，弯矩图存在极时，弯矩图存在极小小值。值。0d/(x)d22qxMSd/ )(dFxxM0SF（即（即 q 0） 当分布载荷当分布载荷向下向下 时，时， ，弯矩图为弯矩图为凸凸曲线。此时，因为曲线。此时，因为 ， 当当 时，弯矩图存在极时，弯矩图存在极大大值。值。0d/(x)d22qxMSd/ )(dFxxM0SF（即（即 q 0）剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 的特点和规律的特点和规律表表 5-1 各种形式载荷作用下的剪力
10、图和弯矩图各种形式载荷作用下的剪力图和弯矩图0q常常数数q0SF0SF0SF0SF0q0q0q0qMFC不变不变CF突变突变CM突变突变C转折转折解：解： 1）计算支座反力）计算支座反力 0 xFFFBAFFSA 例例5-6 简支梁在横截面简支梁在横截面 C 和和 D 处各作用一集中处各作用一集中载荷载荷 。如图所示，试利用剪力、弯矩与载荷集度。如图所示，试利用剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。间的微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。 F由由对称性对称性可知可知2）用截面法求控制截）用截面法求控制截 面处的剪力和弯矩面处的剪力和弯矩 A 右侧截面右侧截面 0AM3xFFSCC
11、 左侧截面左侧截面 FM3CC 右侧截面右侧截面 3x0SCFFM3C 由于由于 AC、CD、DB 三段梁上三段梁上无分布载荷无分布载荷作用，作用，故各段梁的故各段梁的剪力图剪力图均为均为水平直线水平直线。在。在 CD 段，由于剪段，由于剪力恒为零，故由力恒为零，故由M、FQ 与与 q 之间的之间的微分关系微分关系知，知，该段的弯矩该段的弯矩 M 为常数，为常数，即对应即对应弯矩图弯矩图应为应为水平水平直线直线；其他两段的弯矩；其他两段的弯矩图则均为图则均为斜直线斜直线。 7x0SDFD 左侧截面左侧截面 FM3DD 右侧截面右侧截面 7xFFSDFM3D10 xFFSBB 左侧截面左侧截面
12、0BM3）判断判断剪力图和弯矩图形状剪力图和弯矩图形状 4）作剪力图和弯矩图）作剪力图和弯矩图 剪力图剪力图 弯矩弯矩图图 AC、CD、DB 各段各段梁的梁的剪力图剪力图均为均为水平水平直线直线。在。在 CD 段，弯段，弯矩矩 M 为常数，对应为常数，对应弯弯矩图矩图应为应为水平直线水平直线；其他两段的弯矩图则其他两段的弯矩图则均为均为斜直线斜直线。 3）判断判断剪力图和弯矩剪力图和弯矩 图形状图形状 例例5-7 如图所示悬臂梁，自由端如图所示悬臂梁，自由端A作用有集中力作用有集中力F = 10kN，CB段作用有载荷集度为段作用有载荷集度为 q = 2kN/m的均布的均布载荷，试作梁的剪力图和
13、弯矩图。载荷，试作梁的剪力图和弯矩图。 AC段段 kN10)(SxF)m20 (xxxMkN10)()m20( x解：解：1）求剪力方程和弯矩）求剪力方程和弯矩 方程（分段建立）方程（分段建立） CB段段 )m2(mkN2kN10)(SxxF)m5m2( x2)m2(mkN221kN10)(xxxM)m5m2(xxmkN1 .36 mkN) 25 . 3 (215 . 310) 5 . 3 (2M弯矩图如图弯矩图如图c)所示。所示。 2）作剪力图和弯矩图）作剪力图和弯矩图 剪力图中剪力图中AC段的为一段的为一水平线，水平线，CB段是斜直线，段是斜直线，如图如图b)所示；弯矩图中所示；弯矩图中AC段是一斜直线，段是一斜直线，CB段是抛段是抛物线，物线，CB段的段的中点坐标中点坐标为为m 5 . 321CBACx36.1KN mx
