1、 微 弱 信 号 检 测 方 法 肖海林随机共振检测方法混沌检测方法粒子滤波检测方法压缩感知检测方法 本章内容 随机共振检测方法10.2.1 随机共振系统随机共振系统随机共振系统稳态随机共振系统稳态随机共振系统单稳态模型单稳态模型双稳态模型双稳态模型耦合双隐态模型耦合双隐态模型双隐态阵列模型双隐态阵列模型多隐态模型多隐态模型阈值随机共振系统阈值随机共振系统超阈值模型超阈值模型亚阈值模型亚阈值模型阈值阵列模型阈值阵列模型混沌随机共振系统混沌随机共振系统Chuas电路模型电路模型Duffing阵子模型阵子模型神经随机共振系统神经随机共振系统HHHH神经模型神经模型FNFN神经模型神经模型人工神经模
2、型人工神经模型整合放电模型整合放电模型广义随机共振系统（广义随机共振系统（Noise Enhanced System）10.2.1 随机共振系统n 双稳态系统模型双稳态系统模型2dx =x(a-x )+ Acostdt +dWdTd(T,t)=+(t)dtdt周期变化周期变化n 阈值系统模型阈值系统模型-1s(t)+(t) 0lin nninf Px - Pym= 0lin nnnsup Px - Pl m 0iy （1 1）自时域直接观察法）自时域直接观察法（2 2）自）自Poincare截面法截面法（3 3）频谱分析法）频谱分析法（4 4）Lyapunov指数法指数法（5 5）Kolmog
3、orov 法法 （6 6）Melnikov 法法（7 7）Shilnikov 法法（8 8）分型理论分析）分型理论分析（9 9）分维数计算法）分维数计算法10.3.2 混沌运动的分析方法10.3.3 Duffing振子的运动特性研究无阻尼、无驱动力的无阻尼、无驱动力的DuffingDuffing方程相平面轨迹图方程相平面轨迹图一对内轨道的参数方程：一对内轨道的参数方程： 2222222tdn,k2-k2-k2kttsn,k cn,k2-k2-k2-kx ty t = = k k趋向于趋向于1 1时，内轨道趋向于同宿轨道时，内轨道趋向于同宿轨道同轨道参数方程：同轨道参数方程： 2sech t2s
4、ech t tanh tx ty t = = 10.3.3 Duffing振子的运动特性研究外轨的时间参数方程：外轨的时间参数方程： 2k222222kt- 2ktt1qt =cn,k ,sn,k dn,k,k,12k -12k -122k -12k -12k -1 k k趋向于趋向于1 1时，轨道趋向于同宿轨道时，轨道趋向于同宿轨道224yxxH x,y =-+224Hamilton Hamilton 函数：函数：10.3.3 Duffing振子的运动特性研究Duffing产生混的条件4csch23 2 DuffingDuffing振子周期轨道存在的条件振子周期轨道存在的条件 22m3/22
5、k K k + 2k -1 E k2 2Rw =mK k3 2k -1wsech2K k当当 ，不存在周期闭轨，而当，不存在周期闭轨，而当 时，存在一条稳定的周期时，存在一条稳定的周期闭轨和一条不稳定的周期闭轨。闭轨和一条不稳定的周期闭轨。m R(w)10.3.4 参数对混沌振子运动的影响混沌质子的参数敏感性混沌质子的参数敏感性23x-1+x +tan(t) +3xtan(t)x+tan(t)(x -x)=0参数的敏感性与对初值的敏感性是等价的参数的敏感性与对初值的敏感性是等价的稳定周期轨道的选择稳定周期轨道的选择 22m3/22k K k + 2k -1 E k2 2Rw =mK k3 2k
6、 -1wsech2K k 设设 选择合适的选择合适的 和和 的临界值，的临界值，系统才能够混沌向周期运系统才能够混沌向周期运动状态转变的分岔值动状态转变的分岔值p1p /=R10.3.4 参数对混沌振子运动的影响混沌振子的噪声统计特性混沌振子的噪声统计特性系统周期轨道上的噪声统计特性输出噪声在一个周期内的各轨迹点上统计特性都不同，为非输出噪声在一个周期内的各轨迹点上统计特性都不同，为非平稳过程。但在若干周期之间，呈现为循环平稳过程平稳过程。但在若干周期之间，呈现为循环平稳过程。可见。可见输出噪声均方值最小点在输出噪声均方值最小点在A A或或E E附近附近10.4 粒子滤波检测法 n 基于粒子滤
7、波基于粒子滤波算法算法的存在概率检测算法的存在概率检测算法。u 连续的目标状态和离散的目标存在状态连续的目标状态和离散的目标存在状态。 一维一维连续状态变量根据状态空间模型预测和更新连续状态变量根据状态空间模型预测和更新 存在变量依据转移概率公式实现预测和更新存在变量依据转移概率公式实现预测和更新n 基于粒子滤波算法的似然比检测方法。基于粒子滤波算法的似然比检测方法。u 当近似似然比大于给定门限时，认为目标存在当近似似然比大于给定门限时，认为目标存在u 当近似似然比小于给定门限时，认为目标不存在当近似似然比小于给定门限时，认为目标不存在10.4.1 粒子滤波背景知识 n 状态空间模型状态空间模
8、型 系统方程系统方程 观测方程观测方程n 后验概率密度函数后验概率密度函数u根据根据观测观测方程方程及其概率形式及其概率形式10.4.2 状态空间模型和后验概率密度函数kk-1k-1k-1x =fx+vkkkkz =hx+wu根据根据观测观测方程方程及其概率形式及其概率形式 -1-1-1-1-1kkkkkkkkkkkkkkkkkk-1p|,Zp|Zp|pzxxzxx |Zp|Z= p|,Z=p|Zpxz |Zxzz -1-1kkkkkkkzzxp|Z=p|pZdx|x10.4.3 卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波卡尔曼滤波卡尔曼滤波k-1k-1k-1k-1k-1k-1k-1|xxxp|Z= N;,P
9、$|k k-1kk-1kk k-1xx ;x|,PpZ= N$k k |kkkk k |p|Z= N;xxx,P$u后验概率的递推过程后验概率的递推过程卡尔曼滤波器框图卡尔曼滤波器框图10.4.3 卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波其他最优滤波器其他最优滤波器uK K时刻更新的方差时刻更新的方差uK K时刻更新的均值时刻更新的均值T-1k|kk-1|k-1kkkk-1|k-1k|k-1k|k-1kkkkk-1|k-1xxKh xxPzzh Sh x=+-=+-1TTTTTk|kk|k-1k|k-1kkk|k-1kkkPPU AAUPK AA KPK S K=-=-=-uK K时刻预测后验概率密度函数时
10、刻预测后验概率密度函数 iikkiiNNiikk-1k-1kkkkk-1k-1k-1k-1i=1i=1NNik-1k-1kki=1 j=1NNNiiik-1k-1|k-1kkk-1|k-1kki=1kk-1i1jj=i=1kxxxxxxxxxxxxxp|Z=p|Z-=-p|p|Zd =p|Zp|Z- =p|Zw-=xxxxx -xw10.4.3 卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波uK K时刻后验概率密度函数时刻后验概率密度函数kk-1kkkkk-1kiNNkk|k-1iiikkk|kkkNiik=1i=1k|k-1k=1kijjkkkZZp(z |)p|Zdwxpxxxp(z |)p|p|=p(z |
11、)w =-=-(xxxxzwx|x )xx扩展卡尔曼滤波器扩展卡尔曼滤波器扩展卡尔曼滤波器框图扩展卡尔曼滤波器框图10.4.3 卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波u预测均值与协方差预测均值与协方差u更新均值与协方差更新均值与协方差k|k-1k-1|k-1k-1xfx=Tk-1k-1k|k-1k-1|k-1k-1P= FQ+PFk|kk|k-1k|k 1kkk-zxhKxx=+-Tkkk|kk|k-1kPPK S K=-其他次优滤波器其他次优滤波器u预测后验概率密度函数预测后验概率密度函数sNiik1:kk|kkki=1xxxp|Zw- 10.4.4 粒子滤波算法蒙特罗积分蒙特罗积分u预测后验概率密度函
12、数预测后验概率密度函数sNiik1:kk|kkki=1xxxp|Zw- Nii=11I =fd =gpd = E gxxxxxgxxN 蒙特卡罗近似的收敛速度只样本维数蒙特卡罗近似的收敛速度只样本维数N N有关，与积分位数有关，与积分位数 无关无关xn重要性采样重要性采样10.4.4 粒子滤波算法序贯重要性采样序贯重要性采样u后验概率密度函数后验概率密度函数 iikkiikkiiiiikkk-1k-1k-1kkk-1iikk-1iiik-1kk-1k-1k-1kp|p|p(X|Z)p|p|w= wq(|,Z )q(zxxxzxxxxXX|Z)q(|xX,Z )Nikki=1ikkkzp| xw
13、- xX 10.4.5 各种粒子滤波算法序贯重要性采样粒子滤波算法序贯重要性采样粒子滤波算法uSIRSIR算法中的权值：算法中的权值： iiiikkk-1kkk-1iiiiikk-1k-ii1k-1kkiik-1kk-1kkiikkp|p|p|p|ww= w= wp|q(|,)q(|zxxxzxxxzxxxzxX)SIRSIR算法收敛较慢。另外，算法收敛较慢。另外，SIRSIR算法在每个观测时刻都执行重采样过算法在每个观测时刻都执行重采样过程，必然会导致样本大量重复，损失样本多样性。程，必然会导致样本大量重复，损失样本多样性。10.4.5 各种粒子滤波算法其他其他粒子滤波算法粒子滤波算法 规划
14、粒子滤波算法规划粒子滤波算法基于基于MCMCMCMC步进步进与与SIRSIR算法相比算法相比，APFAPF算法算法利用利用k k时刻的观测信息从时刻的观测信息从k-1k-1时刻的时刻的更新样本中直接采样，因此可更接近真实的目标状态。更新样本中直接采样，因此可更接近真实的目标状态。当过当过程噪声较小时程噪声较小时，APFAPF算法的性能优于算法的性能优于SIRSIR。当过程噪声较大时当过程噪声较大时，此时此时APFAPF性能较性能较SIRSIR差差辅助粒子滤波算法辅助粒子滤波算法10.4.6 代价参考粒子滤波算法代价参考代价参考粒子滤波算法粒子滤波算法 初始化初始化重采样重采样样本更新及其代价样
15、本更新及其代价状态估计状态估计0iminikk0kkx= x ,i = arglim = c ,i =1,2,L,Nii2kk-1k-1x N fx, I%qiiikk-1kkk2c = c+ z -hx%Nii00i=1x ,cNiik-1k-1i=1x,c %10.4.6 代价参考粒子滤波算法 前向前向- -后向代价参考粒子滤波算法后向代价参考粒子滤波算法步骤一：步骤一：代价参考粒子滤波算法估计目标在各个时刻的状态，得代价参考粒子滤波算法估计目标在各个时刻的状态，得到各个时刻的粒子到各个时刻的粒子- -代价集合代价集合 步骤二：步骤二：然后以然后以K K的粒子的粒子- -代价集合代价集合
16、，作为初始时刻作为初始时刻的样本的样本- -代价集合代价集合，估计，估计 ，并以此估计目标在各并以此估计目标在各个时刻的状态个时刻的状态。Niikki=1x ,ck =,1,L ,KNiikki=1x ,ck = K -1,K -2,1L L10.5 压缩感知检测方法u定义定义10.5.2 压缩感知理论的基本框架压缩感知理论框架压缩感知理论框架信号的稀疏变换信号的稀疏变换 信号信号X X在正交基在正交基 下的变换系数下的变换系数 假如对于假如对于0P20P0,R0,这些系数满足这些系数满足: : T x1/ppipi=R则则说明在某种意义下系数向量说明在某种意义下系数向量 是稀疏的是稀疏的。压
17、缩感知问题描述压缩感知问题描述=y = 10.5.3 压缩感知的核心问题压缩感知的稀疏字典设计压缩感知的稀疏字典设计K-SVDK-SVD算法实现的迭代步骤为算法实现的迭代步骤为：（1 1）求）求x x的稀疏编码的稀疏编码（MPMP或或OMPOMP算法）算法）：（2 2）更新字典更新字典D D。22K22jjkkjTjTkTkkTFFj=1jkFFy -Dx= y -D x=y -D x-D x= E -D x过完备字典能够由多个正交基组成过完备字典能够由多个正交基组成，且过完备字典包含的原子最大个数且过完备字典包含的原子最大个数为为 ，并且其相干系数仍为并且其相干系数仍为2N / 2 =1/N
18、单一正交基单一正交基10.5.3 压缩感知的核心问题压缩感知的测量矩阵设计压缩感知的测量矩阵设计限制等距性质限制等距性质对于任意给定的整数对于任意给定的整数 ，矩阵矩阵 的限制等距常数的限制等距常数 对于任意对于任意K K稀疏向量稀疏向量 均满足均满足K =1,2,k0,1 2222kk2t21-1+则称矩阵则称矩阵 满足满足K K阶阶RIPRIP性质性质。10.5.3 压缩感知的核心问题压缩感知的重构算法设计压缩感知的重构算法设计步骤步骤一：一：基于采样值基于采样值 ，对测量矩阵对测量矩阵 ，求得估计值求得估计值 ；步骤二：步骤二：利用利用 求重构信号求重构信号y x稀疏度为稀疏度为K K的
19、的x x信号信号在变换基下的系数向量为在变换基下的系数向量为 , ,对于由感知对于由感知 矩阵矩阵 获得的获得的M M个采样个采样数据，如果数据，如果 ，则，则 优化问题将以极大概优化问题将以极大概率精确恢复率精确恢复 ，式中式中 是一个与恢复精度相关的常数。是一个与恢复精度相关的常数。 22Mc, KlogNTT1x = argmin s.t. = = Yc定理定理10-5-310-5-310.5.3 压缩感知的核心问题n 重构算法的两大类：重构算法的两大类： 以匹配追踪为代表的贪婪类算法以匹配追踪为代表的贪婪类算法 以基追踪（以基追踪（Basic Pursuit BP）算法为代表的凸优化类算法）算法为代表的凸优化类算法 范数优化图范数优化图1l 谢谢！
