1、1 函数的连续函数的连续 性与间断点性与间断点 函数的函数的 连续性连续性 函数的函数的 间断点间断点 左连续左连续 左连续左连续 第一类间断点第一类间断点 第二类间断点第二类间断点 可去间断点可去间断点 跳跃间断点跳跃间断点 无穷间断点无穷间断点 振荡间断点振荡间断点 其它间断点其它间断点 一、连续与间断一、连续与间断2上面的定义用上面的定义用 “ ”语言表达如下：语言表达如下： )()(lim00 xfxfxx就称函数就称函数 )(xf在点在点 0 x连续。连续。 定义定义1 1 设函数设函数 )(xfy 在点在点 0 x的某一的某一邻域内有定义，若函数邻域内有定义，若函数 )(xf当当
2、0 xx 时的极限存在，时的极限存在， ),(0 xf即即 0 x处的处的函数值函数值 且等于它在点且等于它在点 此定义经常用来判断此定义经常用来判断 函数在某点的连续性函数在某点的连续性 定义定义2 2 设函数设函数 )(xfy 在点在点 0 x的某一的某一邻域内有定义，若对于邻域内有定义，若对于 , 0 , 0 使得对于适合不等式使得对于适合不等式 0 xx的的一切一切 ,x对应的函数值对应的函数值 都满足不等式都满足不等式 )()(0 xfxf就称函数就称函数 在点在点 0 x连续。连续。 )(xf)(xf3在区间上每一点都连续的函数，叫做在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函
3、数该区间上的连续函数， 或者说或者说函数在该区间上连续。函数在该区间上连续。 连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。 如函数如函数 xyxyxyln, 1,sin3是连续函数。是连续函数。但但 xyxy1,tan不是连续函数。不是连续函数。 4证明：函数证明：函数xysin是连续函数。是连续函数。证：证：),(x设设 当当x有增量有增量 x 时，则时，则 xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx 12cosxx .2sin2sin)sin(xxxxy 又因为当又因为当0 时，时， sinxxxxxxy 222sin2sin)sin(0当当0
4、x 时，时， 由夹逼准则得由夹逼准则得. 0y 这就证明了这就证明了 xysin在在),(内连续。内连续。 5)(xf则函数则函数 在点在点 0 x不连续，不连续， 0 x称为函数称为函数 )(xf的不连续点的不连续点 而而点点 设函数设函数 )(xf在点在点 0 x的某去心邻域内有定义。的某去心邻域内有定义。 有下列情形之一：有下列情形之一： （1）在在0 x没有定义；没有定义； （2）虽在虽在 0 x有定义，但有定义，但 )(lim0 xfxx不存在；不存在； （3）虽在虽在 0 x有定义，且有定义，且 )(lim0 xfxx存在，但存在，但 );()(lim00 xfxfxx或间断点。或
5、间断点。 )(xf若函数若函数 6例例1 函数函数 112xxy在点在点 1x没有定义，没有定义， 2)1(lim11lim121xxxxx 令令 1x时时, 2y则该函数在则该函数在 1x处连续。处连续。 所以，所以， 1x称为该函数的称为该函数的可去间断点可去间断点。 。Oxy1x为函数为函数的间断点。的间断点。 所以所以 7例例2 函数函数 ,21,)(xxfy. 1, 1xx, 1lim)(lim11xxfxx而而.21)1(fxyO。.改变函数的定义，令改变函数的定义，令 1)1(f则该函数在则该函数在 1x成为连续。成为连续。 1x也称为该函数的也称为该函数的可去间断点可去间断点。
6、 xyO。.8例例3 函数函数, 1, 0, 1)(xxxfy. 0, 0, 0 xxxxyO。 1)1(lim)(lim00 xxfxx1)1(lim)(lim00 xxfxx所以所以 )(lim0 xfx不存在。不存在。 0 x称为称为 该函数的该函数的跳跃间断点跳跃间断点。 9例例4 正切函数正切函数 xytan在在2 x处没有定义，处没有定义， 所以所以 2 x是函数是函数 xytan的间断点。的间断点。 Oxy2 2 23 xxtanlim2 所以，称所以，称 2 x为函数为函数 xytan的的无穷间断点无穷间断点。 10例例5 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那下列函数
7、在指出的点处间断，说明这些间断点属于那一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。 . 1, 1,3, 1, 14; 0,1cos3;2,tan; 2, 1,2311222xxxxxyxxykkxkxxxyxxxxxy 2,1,0, , 2 11解解 2, 1,231122xxxxxy 231lim221xxxx21lim1xxx21x是是可去间断点，属于第一类间断点可去间断点，属于第一类间断点。补充定义：补充定义：. 21yx时时，当当则该函数在则该函数在1x点连续。点连续。0123lim222xxxx231lim222xx
8、xx2x是是无穷间断点，属于第二类间断点无穷间断点，属于第二类间断点。12xxkxtanlim ,kkxkxxxy2102,tan 2 1cossinlim0 xxxxxxxtanlim0当当0k时，时，所以所以 0 x是是可去间断点，属于第一类间断点可去间断点，属于第一类间断点 补充定义：补充定义： .10yx时时，当当则则函数在该点连续函数在该点连续。 当当0k时，时，则则 kx 是是无穷间断点无穷间断点。 0tanlim2xxkx 所以所以 2 kx是是可去间断点可去间断点。属于第一类属于第一类 补充定义：补充定义： . 02ykx时，时，当当 则则函数在该点连续函数在该点连续。13 0
9、,1cos32xxy 时时，当当0 x函数在函数在 -1 到到 +1 之间变动无限多次，之间变动无限多次， 0 x所以所以 是是振荡间断点振荡间断点， 属于属于第二类间断点第二类间断点。 1, 1,3, 1, 14xxxxxy 01lim0101xfx23lim0101xfx则则 1x是是跳跃间断点，属于第一类间断点跳跃间断点，属于第一类间断点。 14解解1,1, 011,1, 01,xxxxxxxx例例6 讨论函数讨论函数 xxxxfnnn2211lim)(的连续性，若有间断点的连续性，若有间断点 判断其类型。判断其类型。 ,1,1, 11, 0lim2xxxxnn1,1, 01,)(xxx
10、xxxf,1, 11, 01, 111lim22xxxxxnnn15 11lim0101fxfx 11lim0101fxfx1x是跳跃间断点。是跳跃间断点。 11lim0101fxfx11lim0101fxfx1x是跳跃间断点。是跳跃间断点。 函数在函数在 1x处既不左连续，也不右连续。处既不左连续，也不右连续。 函数在函数在1x处既不左连续，也不右连续。处既不左连续，也不右连续。 16 连续函数和、差、积、商的连续性连续函数和、差、积、商的连续性 反函数的连续性反函数的连续性 复合函数的连续性复合函数的连续性 基本初等函数的连续性基本初等函数的连续性 初等函数的连续性初等函数的连续性 17例
11、：证明：例：证明：处处连连续续。在在则则处处连连续续在在、若若函函数数00)()(,)()(xxgxfxxgxf 证：证：20100)()(,)()(,)()( xgxgxfxfxxgxf 则则处处连连续续在在、因因为为函函数数.时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中021,xx 处处连连续续。在在、则则处处连连续续，在在、若若函函数数00)()()()()()(xxgxfxgxfxxgxf连连续续。处处则则在在处处连连续续。且且在在、若若函函数数)()(,0)()()(000 xgxfxxgxxgxf18例例1如如xxxxxxsincoscot,cossintan在它们的定义域内是连续的。在它
12、们的定义域内是连续的。 点点连连续续。在在即即：于于是是小小量量，上上式式后后三三项项之之和和为为无无穷穷000)()(),()()()(lim0 xxgxfxgxfxgxfxx 210201002010)()()()()( )()()( xfxgxgxfxgxfxgxf19,2,2sin 2上上单单调调增增加加且且连连续续在在闭闭区区间间例例 xy .1 , 1arcsin上上单单调调增增加加且且连连续续在在对对应应区区间间反反函函数数 xy ,1 , 1arccos,上单调减少且连续上单调减少且连续在在同样同样 xy .,arctan内内单单调调增增加加且且连连续续在在区区间间 xy .,
13、cot内内单单调调减减少少且且连连续续在在区区间间 xarcyxarcxxxcot,arctan,arccos,arcsin,反反三三角角函函数数综综上上 在它们的定义域内都是连续的。在它们的定义域内都是连续的。 ,且且连连续续减减少少在在某某区区间间上上单单调调增增加加如如果果xfy .且且连连续续减减少少在在对对应应区区间间上上单单调调增增加加则则它它的的反反函函数数yx 20 1 .lim0afxfxx 即即 ,lim0axxx ,连连续续在在点点函函数数auufy设设 0 xxxfy当当则则复复合合函函数数 ,af且且等等于于,时时的的极极限限也也存存在在 式式又又可可写写成成：由由1
14、,lim,lim0afufaxauxx 2 xfxfxxxx 00limlim 3 ufxfauxx limlim0 或或1. xf 2. （2）式表示在求复合函数）式表示在求复合函数 时，极限符号与函数时，极限符号与函数 符号可以交换次序符号可以交换次序; ,limlim,30ufxfxuauxx就就化化为为求求则则求求式式表表示示：作作代代换换 .lim0 xaxx 这这里里3. .50可可得得类类似似的的定定理理换换成成中中的的把把定定理理xxx4. 4. 2193lim23xxx求求例例 3,939322复复合合而而成成与与由由解解xxuuyxxy ,6193lim23xxx ,61连
15、连续续在在点点而而函函数数 uuy 93lim 23xxx 93lim 23xxx.6661 1)1(coslim 422xxx 求求：例例1cos1)1(limcos1)1(coslim2222 xxxxxx解解：22xaxx1lim50求求例例 00,1log,1 txtxtaax则则令令解解 ttxaatxx 1loglim1lim 00 tatt101log1lim .lnlog1aea ttat101limlog122011lim 6xxx求：求：例例1111lim11lim2220220 xxxxxxx解：解：211011111lim220 xx23.1sin 7的连续性的连续性讨
16、论函数讨论函数例例xy xuuyxy1,sin1sin 分解为分解为解解,sin内内连连续续在在而而 uu ., 00 ,1sin, 6内连续内连续和和在在函数函数由定理由定理 x,001内是连续的内是连续的和和在在 xxx ufyxxxu 且且函函数数连连续续在在点点设设函函数数, 0 .,00也也是是连连续续的的在在点点则则复复合合函函数数连连续续在在点点xxxfyuu 24。的的连连续续区区间间，且且求求求求例例xxyxsinlnlimsinln 82 . 02sinlnsinlnlim2 xx,12,2sinlnZkkkxy 的的定定义义域域是是解解.定定义义域域内内连连续续基基本本初
17、初等等函函数数在在它它们们的的 .定定义义区区间间内内都都是是连连续续的的一一切切初初等等函函数数在在它它们们的的 ,0的的定定义义区区间间内内的的一一点点是是且且是是初初等等函函数数设设xfxxf .lim00 xfxfxx则则。的的连连续续区区间间为为则则Zkkkxy 12,2sinln 处处连连续续，在在即即2sinln,12,22 xxyZkkkx 25.21arcsinlim 921xx求求例例是其定义域内的点，是其定义域内的点，且且是初等函数是初等函数解解1,21arcsin2xxy 211arcsin21arcsinlim 221xx621arcsin .121arcsin2处处
18、连连续续在在则则 xx26闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 最大值与最小值定理最大值与最小值定理 有界性定理有界性定理 介值定理介值定理 零点定理零点定理 27 . 022 , 0sin1 和和最最小小值值上上有有最最大大值值在在区区间间例例如如 xxf xsgn在区间（在区间（,）内有最大值）内有最大值1和最小值和最小值-1；在开区间（在开区间（0,）内的最大值和最小值都等于）内的最大值和最小值都等于1（最大值和最大值和最小值可以相等最小值可以相等）。）。 0 xfxf 上上的的最最大大值值在在区区间间是是函函数数则则称称Ixfxf0 都都有有使使得得如如果果有有上上有有定定义义
19、在在区区间间设设,0IxIxIxf ,0 xfxf.最最小小值值28xOyab1 2 bax,)()(1xff )()(2xff 注注: :最大值和最小值定理最大值和最小值定理.有有最最大大值值和和最最小小值值 上上一一定定则则在在上上连连续续在在闭闭区区间间如如果果函函数数babaxf,.定定有有最最大大值值或或最最小小值值则则函函数数在在该该区区间间上上不不一一，或或在在闭闭区区间间上上有有间间断断点点若若函函数数在在开开区区间间内内连连续续 , ba,xy 内，内，既无既无 ba,最大值，也无最小值。最大值，也无最小值。（非闭区间）（非闭区间）例如，例如，在在内连续，但在内连续，但在29
20、。.1122证证 ,上上连连续续在在闭闭区区间间设设函函数数baxf ,mMbaxf和和下下界界上上有有上上界界在在 .,上有界上有界在在baxf 21, 1, 10,3, 1, 1xxxxxxfy 函函数数例例如如 ,120 x上上有有间间断断点点，在在 .,既既无无最最大大值值也也无无最最小小值值内内在在闭闭区区间间baxfy .,Mxfmbax都都有有使使得得 ,1mMbaxf和和最最小小值值上上一一定定有有最最大大值值在在则则由由定定理理一一定定在在该该区区间间上上有有界界。在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数30 .,0000的的零零点点称称为为函函数数则则使使得得如如果果xfx
21、xfx)零零点点定定理理( ,异异号号与与且且上上连连续续在在闭闭区区间间设设bfafbaxf , 0 bfaf即即 ,内内至至少少有有一一个个零零点点在在开开区区间间则则baxf . 0, fba使使得得即即至至少少存存在在一一点点xy xfy ab O31 ,上连续上连续在在则则设设证证baxCxfx ,异号异号与与且且CBbCAa . 0, 使得使得至少存在一点至少存在一点由零点定理由零点定理ba .baCf ,122121上上或或则则在在且且设设xxxxMmxfMxfm.应应用用介介值值定定理理可可证证 )(介介值值定定理理 ,BABbfAafbaxf且且上上连连续续在在闭闭区区间间设
22、设,baCBA 至至少少存存在在一一点点之之间间的的任任意意一一个个数数与与则则对对于于 . Cf 使使得得小小值值必必取取得得介介于于最最大大值值与与最最在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数.之之间间的的任任何何值值321 1、最值定理、最值定理闭区间上连续的函数必能取得最大值和最小值。闭区间上连续的函数必能取得最大值和最小值。 2 2、有界定理、有界定理闭区间上的连续函数有界。闭区间上的连续函数有界。3 3、介值定理、介值定理4 4、零点定理、零点定理. 0)(),(0)()(,)( fbabfafbaxf使使则则，上上连连续续，在在闭闭区区间间函函数数 .)(,)( fbaMmbax
23、f使使则则上上连连续续，在在设设 以上所有定理，都是存在性定理，即：定理只是指出结论的以上所有定理，都是存在性定理，即：定理只是指出结论的存在（不一定唯一），而且不能确定相关的数值是多少。存在（不一定唯一），而且不能确定相关的数值是多少。33 .1 , 001 13内内有有唯唯一一的的实实根根在在区区间间证证明明方方程程例例 xx先先证证存存在在性性： ,1 , 0上上连连续续在在闭闭区区间间显显然然xf . 011, 010 ff且且 . 0,1 , 0: f使使得得至至少少存存在在一一点点由由零零点点定定理理再再证证唯唯一一性性： 1112122212 xxxxxfxf则则 .1 ,001
24、3内内有有唯唯一一的的实实根根在在方方程程 xx由以上证明可得：由以上证明可得： ,1 ,0内内单单调调增增加加在在区区间间xf 122122xxxx , 0 ,1 , 0,2121xxxx 且且 , 13xxxf设设证证34 （记录）（记录）至少有一个零点至少有一个零点证明多项式：证明多项式：例例.0 201221120 aaxaxaxpnnn, 0 0 a不不妨妨设设证证 12121012limlimnnnxxxaxaaxxp 12121012limlimnnnxxxaxaaxxp , 0 , 0 , 0 XpXpX使得使得 ,上连续上连续在在XXxp由由零零点点定定理理知知： .至至少少存存在在一一个个零零点点即即多多项项式式xp , 0, pXX使使得得，至至少少存存在在一一点点354最大值和最小值定理最大值和最小值定理5有界性定理有界性定理6零点定理零点定理7介值定理介值定理小结：小结：1连续函数的和、积及商的连续性连续函数的和、积及商的连续性2反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性3初等函数的连续性初等函数的连续性
