1、3.1 3.1 二维随机变量二维随机变量3.2 3.2 分布律分布律3.3 3.3 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数3.4 3.4 随机变量的独立性与条件分布随机变量的独立性与条件分布3.5 3.5 n维随机变量维随机变量 第三章第三章 随机变量的联合概率分布随机变量的联合概率分布 3.1 3.1 二维随机变量二维随机变量 定义定义3.13.1 设设X,Y是随机变量，则称向量是随机变量，则称向量(X,Y)为为二维二维随机变量随机变量或或二维随机向量二维随机向量。 3.2 (, ), ( , ),(, ).X YF x yP Xx YyX Y 定义设为二维随机变量 则称为的联合分布函数
2、如果将二维随机变量如果将二维随机变量(X,Y)视为平面上随机点的坐视为平面上随机点的坐标，则分布函数标，则分布函数F(x,y)在点在点(x,y(x,y) )处的函数值就是随机点处的函数值就是随机点落在以点落在以点(x,y(x,y) )为顶点且位于该点左下方的无界矩形域为顶点且位于该点左下方的无界矩形域内的概率内的概率. . 二维随机变量联合分布函数的性质二维随机变量联合分布函数的性质 性质性质1 F(x,y)分别关于分别关于x和和y单调不减单调不减. 1212(,)(,)xxXx YyXx Yy证明:对于任意,因为 12(,)(,)P Xx YyP Xx Yy所以12( , )(, )F x
3、yF xy即 1212,( ,)( ,)yyF x yF x y同理,对于任意有2 (,)lim( , )0; (,)lim( , )1 ( ,)lim( , )0; (, )lim( , )0 xxyyyxFF x yFF x yF xF x yFyF x y 性质性质性质3 3 F(x,y)关于关于x右连续右连续,关于关于y右连续右连续. . 1212121222122111 , , (,)( ,)(,)( ,)xxyyP xXxyYyF xyF x yF xyF x y性质4 设则 注注: :如果一个二元函数具有上述四条性质，则该函数一如果一个二元函数具有上述四条性质，则该函数一定可以作
4、为某个二维随机变量的分布函数定可以作为某个二维随机变量的分布函数. . 例例3.1 3.1 已知二维随机变量已知二维随机变量( (X, ,Y) )的分布函数为的分布函数为 F( (x, ,y)=)=A( (B+arctan+arctanx)( )(C+arctan+arctany) )求常数求常数A, ,B, ,C. .lim( , )lim(arctan )(arctan ) ()()122xxyyF x yA Bx CyA BC解：lim( , )lim(arctan )(arctan ) ()(arctan )02xxF x yA Bx CyA BCylim( , )lim(arctan
5、 )(arctan ) (arctan )()02yyF x yA Bx CyA Bx C21,.22ABC解得本节结束本节结束3.2 3.2 分布律分布律 定义定义3.33.3 若二维随机变量的所有可能取值为有限对若二维随机变量的所有可能取值为有限对或可列无限多对时，则称为二维或可列无限多对时，则称为二维离散型随机变量离散型随机变量. . 3.4 (, )( ,),1,2, ,( ,1,2,)(, ).ijiji jX Yx yi jP Xx Yypi jX Y 定义设为二维离散型随机变量的取值为且称的联合分布律:(, ),:1)0,( ,1,2,)2)1ijijijX Ypi jp注1 设
6、为离散型随机变量 则其分布律满足 注注2: 2: 二维随机变量二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律可以用如下的表格的分布律可以用如下的表格来表示，称为来表示，称为联合概率分布表联合概率分布表. . 3.5 ,(, ), ,(1,2,)iijjijjiiP XxP Xx YyX YXppP Xxpi 定义称 为二维随机变量关于 的边缘分布律 记则,(, ) ,(1,2,)jijjiX YYP Yyppj类似地 二维随机变量关于 的边缘分布律 注注3: 3: 二维随机变量二维随机变量(x,y(x,y) )关于关于x x和关于和关于y y的边缘分布律放在的边缘分布律放在联合概率分布表中联合概率分
7、布表中. . 例例3.23.2 箱子中装有箱子中装有1010件产品，其中件产品，其中4 4件是次品，件是次品，6 6件是正件是正品，不放回地从箱子中任取两次产品，每次一个品，不放回地从箱子中任取两次产品，每次一个. .定义随定义随机变量机变量 0,0,1,1,XY第一次取到的是次品第二次取到的是次品第一次取到的是正品第二次取到的是正品求求(X,Y)(X,Y)的分布律以及分布函数的分布律以及分布函数. . 4320,00 0010915:P XYP XP YX解4640,10 1010915P XYP XP YX6441,01 0110915P XYP XP YX6551,11 1110915P
8、 XYP XP YX(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为 (X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数. . 0,00,2,01,01,15( , )6, 01,11,01,151,1,1.xyxyF x yxyxyxy或或例例3.33.3 已知已知(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为 13200,00,110105P XP XYP XY解： 求求(X,Y)(X,Y)关于关于X X和关于和关于Y Y的边缘分布律的边缘分布律. . 33311,01,110105P XP XYP XY13200,0 1,010105P YP XYP XY33310,11,110105P YP XYP XY解解
9、PX=i,Y=j=PY=j|X=iPX=i=(1/i)(1/4),(ij)于是于是(X,Y)的分布律及关于的分布律及关于X和和Y的边缘分布律为的边缘分布律为Y X1234PY=j11/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/48PX=i1/41/41/41/41本节结束本节结束3.3 3.3 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 定义定义3.63.6 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,yF(x,y) )，如，如果存在非负函数果存在非负函数f(x,yf(x,y) )，
10、使得对于任意的实数，使得对于任意的实数x,yx,y都有都有 ( , )( , )d dxyF x yf s tt s 则称则称(X,Y)(X,Y)的的二维连续型随机变量二维连续型随机变量，f(x,yf(x,y) )称为称为联合密度函数联合密度函数. . 2:(, )( , ), 1) ( , )0 2)( , )d d1 3) (, )( , )d d( , ) 4) ( , )DX Yf x yf x yf x yx yPX YDf x yx yF x yf x yx y 注 设的联合密度函数为则 定义定义3.73.7 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)(X,Y)的联合概率密
11、度的联合概率密度为为f(x,yf(x,y) )，称，称 ( )( , )dXfxf x yy为二维随机变量关于为二维随机变量关于X X的的边缘概率密度边缘概率密度. .称称( )( , )dYfyf x yx为二维随机变量关于为二维随机变量关于Y Y的的边缘概率密度边缘概率密度. .3.5 (, ),01,01 ( , )0,.(1);(2) .X Ycxyxyf x ycP XY 例设的联合概率密度为，其他求常数1100:(1)( , )d dd df x yx ycxy x y 解1110001ddd124ccxy yxcx x,4.c 因此(2)( , )|01,01,( , )|Dx
12、yxyGx yxy记( , )d d4d dx yD GP XYf x yx yxy x y11014dd2xx xy y(34 )3.6 (, )120,0 ( , )0(, ),.xyX Yexyf x yX YXY 例设的联合概率密度为，其他求关于关于 的边缘密度函数(34 )012ed ,0:( )( , )d0,0 xyXyxfxf x yyx解(34 )03ed(34 ),00,0 xyxyxx33e,00,0 xxx(34 )3.6 (, )120,0 ( , )0(, ),.xyX Yexyf x yX YXY 例设的联合概率密度为，其他求关于关于 的边缘密度函数(34 )01
13、2ed ,0:( )( , )d0,0 xyYxyfyf x yxy解(34 )04ed(34 ),00,0 xyxyyy44e,00,0yyy00( )( , ),0000yxXxe dy xexfxf x y dyxx000( )( , ).0000yyyYe dxyyeyfyf x y dxyy3.8 ,1,( , ), ( , )0,.(, ).GGGxoySx yGSf x yX YG 定义设 为面上的有界区域 其面积为如果二维连续型随机变量的联合密度函数为其他则称在区域 上服从均匀分布 注：若在平面有界区域注：若在平面有界区域G G内任取一点，用内任取一点，用(X,Y)(X,Y)表
14、示该点表示该点的坐标，则的坐标，则(X,Y)(X,Y)服从区域上二维均匀分布服从区域上二维均匀分布. .23.8 ,(, ),(1) ;(2)(, ),.GyxyxX YP XYX YXY 例设 为曲线与围成的区域服从均匀分布求关于关于 的边缘密度函数1201:()3GSxx dx解,(, )3,( , ) ( , )0,( , )X Yx yGf x yx yG因此的密度函数为(1) ( , )x yP XYf x y dxdy210132xxdxdy23,01(2)( )( , )d0,xxXdyxfxf x yy其他23(),010,xxx其他223d ,013(),01( )0,0,y
15、yYxyyyyfy其他其他22:(, )11 ( , )0X Yxyf x y解的联合密度函数为其它221121, 11( )( , )0,21, 11 0 ,xXxdyxfxf x y dyxx 从而其它其它221, 11( )0,Yyyfy 同理其它二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布1. 1. 二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布 113.10 (1, ),(2, ),(1);(2).42XBYBXYXY例设求的分布的分布:,X Y解的分布律分别为313(1) 00,04416P XYP XY10,11,0P XYP XYP XY3111742441620,2
16、1,1P XYP XYP XY3111544421611131,24416P XYP XY113.10 (1, ),(2, ),(1);(2).42XBYBXYXY例设求的分布的分布: XY解的分布律为(2),X Y同理由的边缘分布律XY得到的分布律12123.11 ,(),(),:().X YXPYPXYP 例设相互独立服从泊松分布 且证明11: e,0,1,2,!iP Xiii证明22e,0,1,2,!jP Yjjj0,klP XYkPXl Ykl0( )klP XlP Ykl12120ee!()!lk lkllkl12()120e!()!klk llkkl kl12()12()e,0,1
17、,2,!kkk12,().XYP因此2. 2. 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布 问题问题: :设设(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,yf(x,y) )，求，求Z=X+YZ=X+Y的概率密度的概率密度. .( )ZFzP ZzP XYz解:( , )d d( , )ddz xx y zf x yx yf x yyx ( ,)()zf x ux du dxyux作变换( ,)ddzf x uxxu,( )( )( ,)d .ZzfzF zf x zx x因此,( )(, )d .Zfzf zy yy同理:,(
18、)( )(),( )()( )dZXYZXYX YZXYfzfx fzx dxfzfzy fyy注 若独立 则的密度为或积的分布积的分布3.12 (, )( , )|02,01,.X YDx yxySXY 例设在上服从均匀分布 求的密度函数:(, )1,02,01 ( , )20,X Yxyf x y解的联合密度函数为其他0,( )0,2,( )1.sF ssF s当时当时2,( )sF sP XYs当0 0, 0( , )( )( )0,xyXYX Yxyf x yfx fy 解 由条件可知的联合密度函数为其他.0,( )0,ZzFz当时12()11200120,( ) ( , )d d d
19、edZxzyzyXzFzP ZzPzYf x yx yzyxz 当时12212,0,()( )( )0,0.ZZzzfzFzz 3.17 ,(0,1),(0,1),.X YXUYUZXY 例设随机变量独立 且求随机变量的概率密度函数1011, 011, 01:( )( )0,0,( )()( )d()d( )( )dXYZXYXzZXzxyfxfyfzfzy fyyfzyyzytfzftt解 由条件可知，其他其他由卷积公式得令得,1011011110,( )00;01,( )( )012,( )( )d1d0d22( )0.zZzzzZXzzzzZXzzZzfzdtzfzft dtdtdtzz
20、fzfttttzzfz当时当时当时当时,01( )2, 120,Zzzfzzz其它2211223.18 ,(,),(,).X YXNYNZXY 例设随机变量独立 且求随机变量的概率密度函数2212221222122212()()2212()()221211:( ),( )221( ) 2xyXYxz xZfxefyefzedx 解 由条件可知由卷积公式得2222121()+2112121,(),( )e d2uv uZuxvzfzu 令得22222212222222121222222212122221212212()2 uvuuvvuvvu 注意到22221221222122212122122
21、122()22212()2()2212,11( )eed221 e2vtZztuvfzt 再令得221212,(,).ZN 因此 注注: : 两个独立的正态随机变量之和仍为正态随机变量，两个独立的正态随机变量之和仍为正态随机变量，且其两个参数恰好为原来两个正态随机变量相应参数之且其两个参数恰好为原来两个正态随机变量相应参数之和，利用数学归纳法，不难将此结论推广到和，利用数学归纳法，不难将此结论推广到n n个独立正个独立正态随机变量之和的情形态随机变量之和的情形. . n22223.19 ,(0,),(0,).X YXNYNZXY 例设随机变量独立 且求随机变量的概率密度函数222221:( ,
22、 )( )( )2xyXYf x yfxfye解 由条件可知2222222222222222222220000,( )0;0,( )1 ( , )d dd d211 dd12ZZxyxyzxyzzrrzzFzP ZzPXYzzFzP ZzPXYzf x yx yex yeree 当时当时222z2222,0,( )( )0,0.zZZzezfzFzz本节结束本节结束3.5 3.5 n维随机向量维随机向量一、联合分布与边缘分布一、联合分布与边缘分布定义定义3.10 n维随机向量维随机向量(X1，X2，Xn)定义定义3.11 n维随机向量维随机向量(X1, ,X2,Xn)的联合分布函数为的联合分布
23、函数为 F(x1, ,x2,xn)=PX1x1, ,X2x2,Xnxn 记记FXi(xi)=Fi(xi)=PXixi为关于为关于Xi的的边缘分布函数边缘分布函数。定义定义3.12 离散型离散型n维随机向量维随机向量(X1, ,X2, , ,Xn)的联合概率函数为的联合概率函数为 p(x1, ,x2,xn)=PX1=x1, ,X2=x2,Xn=xn 记记pXi(xi)=pi(xi)=PXi=xi为关于为关于Xi的的边缘概率函数边缘概率函数。定义定义3.13 连续型连续型n维随机向量维随机向量(X1, ,X2,Xn)的联合密度函数为的联合密度函数为 f(x1, ,x2,xn) 记记 fXi(xi)
24、=fi(xi) 为关于为关于Xi的的边缘密度函数边缘密度函数。二、独立性二、独立性定义定义3.14 对于对于n维随机向量维随机向量(X1，X2，Xn)，如果对任意，如果对任意的的xiR,都有都有 F(x1, x2, , xn)=FX1(x1)FX2( x2) FXn(xn)则称则称X1，X2，Xn 相互独立相互独立。对于对于离散型离散型n维随机向量维随机向量(X1，X2，Xn)，则，则 X1, ,X2,Xn 相互独立的相互独立的充分必要条件充分必要条件是：对于任意的是：对于任意的 x1, ,x2,xn，有，有 PX1=x1, ,X2=x2,Xn=xn=PX1=x1PX2=x2PXn=xn对于对
25、于连续型连续型n维随机向量维随机向量(X1，X2，Xn) ，则，则 X1,X2, ,Xn 相互独立的相互独立的充分必要条件充分必要条件是：对于任意的是：对于任意的 x1, ,x2,xn，有，有 f(x1, ,x2,xn)= fX1(x1) fX2(x2) fXn(xn)即联合密度函数等于各个边缘密度函数之积。即联合密度函数等于各个边缘密度函数之积。 定义定义3.15 (独立同分布的随机变量序列独立同分布的随机变量序列) 若若随机向量序列随机向量序列X1, ,X2,Xn中任意中任意n个随机变量个随机变量(n=2,3,)都都相互独立，且每个随机变量相互独立，且每个随机变量Xi都服从同一种分布，都服
26、从同一种分布，则则称称X1, ,X2,Xn,独立同分布的随机变量序列。独立同分布的随机变量序列。例例3.20 设设X1, ,X2, , ,Xn相互独立且同分布，分布函数均为相互独立且同分布，分布函数均为F(x)，Y=maxX1,X2,Xn，Z=minX1,X2,Xn，分别求随机变量，分别求随机变量Y和和Z的分布函数。的分布函数。解解：FY(x)=PYx=PmaxX1,X2,Xnx =PX1x,X2x,Xnx =PX1xPX2xPXnx=F(x)nPZx=PminX1,X2,Xnx =PX1x,X2x,Xnx =PX1xPX2xPXnx=1- -F(x)nFZ(x)=PZx=1 PZx=1 1 F(x)n本节结束本节结束
