1、电路分析基础电路分析基础 第七章第七章 第第7章章 正弦稳态分析正弦稳态分析 7.1 正弦量 7.2 正弦量的相量表示法 7.3 正弦稳态电路的相量模型 7.4 阻抗和导纳 7.5 正弦稳态电路的相量分析法 7.6 正弦稳态电路的功率 7.7 三相电路 7.8 非正弦周期电路的稳态分析 习题 本章研究线性动态电路在正弦电源激励下的响应。线性时不变动态电路在角频率为的正弦电压源和电流源激励下，随着时间的增长，当暂态响应消失，只剩下正弦稳态响应，电路中全部电压电流都是角频率为的正弦波时，称电路处于正弦稳态。满足这类条件的动态电路(渐近稳定电路)通常称为正弦电路或正弦稳态电路。 正弦稳态分析的重要性
2、在于：(1)正弦信号是最基本的信号，它容易产生、加工和传输；(2)很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多数电路。(3)用相量法分析正弦稳态十分有效。(4)已知电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应。 分析正弦稳态的有效方法是相量法。7.1 正 弦 量正弦量按正弦规律随时间变化的物理量。)cos()(m tFtf7.1.1 正弦量的三要素函数式表示：Fm振幅；振幅；角频率；rad/st+ 相位；弧度（rad）或度()； 初相位。| 。 f频率；赫（Hz） =2f T周期；秒（s） T=1 / f 由于已知可知振幅Fm ，角频率和初相 ，可以完全确定一个正弦量，称它们为正弦
3、量的三要素。 正弦稳态电路中，各电压电流都是频率相同的正弦量，常常需要将这些正弦量的相位进行比较。两个正弦电压电流相位之差，称为相位差。如两个同频率的正弦电流 )cos()()cos()(22m211m1 tItitIti电流i1(t)与i2(t)间的相位差为 2121)()( tt7.1.2 正弦量间的相位差 上式表明两个同频率正弦量在任意时刻的相位差等于它们初相之差，与时间t无关。 相位差 反映出电流i1(t)与电流i2(t)在时间上的超前和滞后关系： 当=1-20时，表明i1(t)超前i2(t)，超前的角度为 ； 当=1-20时，Z0，端口电压超前电流，网络呈感性，电抗元件可等效为一个电
4、感； 当X 0时，Z0时，Y0，端口电流超前电压，网络呈容性，电纳元件可等效为一个电容； 当B 0时，Y0时，Z0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为R串联电感； 当X=XL-XC 0时，Z0时，Y0，电流超前于电压，电路呈容性，等效为G并联电容； 当B=BC-BL 0时，Y0时，该网络吸收功率；当p(t)0，电感或电容吸收功率获得能量；另外一段时间内p(t)0，电感或电容发出功率释放出它所获得的全部能量。显然，平均功率为 P 0 可见，电感和电容不消耗能量，它们是无源元件。但要注意，它们的瞬时功率并不为零。或者说，电感和电容需要电源(外电路)供给一定的瞬时功率以满足能量不断的往返交换。定义：
5、无功功率 把瞬时功率的振幅(最大值)定义为电感和电容的无功功率，以表明电感和电容与外电路电流和电压不断往返的程度。即UIQUIQCL3、任意二端网络的情况ZIUPcos 电阻分量消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。 设二端网络RUPGIPGURIUIPBjGYXjRZZ2222cos3、视在功率UIS 下面介绍正弦电路有功功率的测量。在测量负载的有功功率时，既要测出它的电压和电流的有效值，又要测出两者之间的相位差。在工程上通常用瓦特表来测量电路的平均功率，瓦特表也称(单相)功率表。 表示一个电气设备的容量，是单口网络所吸收平均功率的最大值，单位：伏安(VA)。例如我们说某个发电机的容量
6、为100kVA，而不能说其容量为100kW4、功率因数SPpfZ cosZ=u-i为功率因数角。当二端网络为无源元件R、L、C组成时：|Z|90 ,0 pf 1。 Z0 ,电路感呈性，电流滞后电压。 网络吸收的平均功率P与cosZ的大小密切相关，cosZ表示功率的利用程度，称为功率因数。 为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施力求提高功率因数。例如使用镇流器的日光灯电路，它等效于一个电阻和电感的串联，其功率因数小于1，它要求线路提供更大的电流。为了提高日光灯电路的功率因数，一个常用的办法是在它的输入端并联一个适当数值的电容来抵销电感分量，使其端口特性接近一个纯电阻以便使功率因数接近于1。
7、5、无功功率tIUtIUtIUtIUIUtIUIUtpZZZZZZZ2sinsin)2cos1 (cos2sinsin2coscoscos)2cos(cos)(上式第二项的最大值为二端网络的无功功率Q 。即ZUIQsin可验证L和C时的特殊情况。 无功功率反映电源(或外电路)和单口网络内储能元件之间的能量交换情况，单位为乏(var)(无功伏安：volt amper reactive)与功率计算类似:XUQBIQBUXIUIQZ2222sin6、复 功 率 为了便于用相量来计算平均功率，引入复功率。工作于正弦稳态的网络，其电压电流采用关联的参考方向，设iuIIUUIUNQPUIUIUIUIIUS
8、ZZZjsinjcos iu*单位：VA复功率还有两个常用的公式：YUYVUYUUIUSZIIIZIUS22)(注意：电流、电压若用振幅值时，不要忘了要乘1/2。7、复功率守恒复功率守恒定理：对于工作于正弦稳态的电路，由每个独立电源发出的复功率的总和等于电路中其它电路元件所吸收复功率的总和： 吸吸收收发发出出SS 由此可以导出一个正弦稳态电路的有功功率和无功功率也是守恒的结论。 正弦稳态电路中，由每个独立电源发出的有功功率的总和等于电路中其它元件所吸收的有功功率的总和；由每个独立电源发出的无功功率的总和等于电路中其它元件所吸收的无功功率的总和： 吸吸收收发发出出吸吸收收发发出出QQPP 由此可
9、得网络吸收的有功功率等于该网络内每个电阻吸收的平均功率总和。注意正弦稳态电路中视在功率并不守恒。 8、功率三角形ZPQS阻抗三角形，导纳三角形，电压，三角形电流三角形和功率三角形都是相似三角形。7.6.2 最大功率传输 图(a)所示含独立电源网络用戴维南等效电路代替，得到图(b)。其中， 是含源网络的开路电压，Zo=Ro+jXo是含源网络的输出阻抗，ZL=RL+jXL是负载阻抗。 ocU负载电流： LLLXRXRUZZUIjj00oc0oc2L02L0oc)()(XXRRUI负载吸收的平均功率：2L02L02L2)()(XXRRRURIPLoc当XL=-Xo时，分母最小，此时得 RL=Ro 。
10、 负载获得最大功率的条件是 2L0L2oc)(RRRUP求导数，并令其等于零。0)()(2)(dd2oc4L0LL02L0LURRRRRRRRP所获最大功率： o2ocmax4RUP最大功率传输定理：工作于正弦稳态的网络向一个负载ZL=RL+jXL供电，由戴维南定理(其中 Zo=Ro+jXo)，则在负载阻抗等于含源网络输出阻抗的共轭复数，(即 ）时，负载可以获得最大平均功率：o2ocmax4 RUPo*LZZ 满足 的匹配，称为共轭匹配。o*LZZ ooo*LLLjjXRZXRZ 实际上还有一种情况：负载阻抗的模任意改变，而其阻抗角不能变。 用相同的方法，可得ZZLO时负载可获得最大功率。 数
11、学意义上讲，这时负载可获得的功率为极大值。并不是最大值。满足 的匹配，称为模匹配。ZZLO正弦稳态晌应的叠加 几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生的稳态电压和电流，可以利用叠加定理-先用相量法分别计算每个正弦激励单独作用时产生的电压电流相量，然后得到电压uk(t)电流和ik(t)，最后相加求得总的稳态电压u(t)和电流i(t)。7.7 三相电路 由三相电源、三相线路和三相负载组成的电路称为三相电路。三相供电系统具有很多优点，为各国广泛采用。 三相电路的分析计算其实可以看成一个正弦稳态电路的分析计算问题。 对于对称三相电路由其特殊性，可以用更简单的方法去分析计算。 三相发电机 三相供电系
12、统的三相电源是三相发电机。三相发电机的结构如图，它有定子和转子两大部分。7.7.1 三相电源 定子铁心的内圆周的槽中对称地安放着三个绕组AX、BY和CZ。A、B、C为首端；X、Y、Z为末端。三绕组在空间上彼此间隔120。转子是旋转的电磁铁。它的铁心上绕有励磁绕组。 当转子恒速旋转时，AX、BY、CZ 三绕组的两端将分别感应振幅相等、频率相同的三个正弦电压uA(t)、uB(t)、uC(t)，三个电源的的初相互相差120。 若以 作为参考相量，这三个电压相量为 AU120 120 0pCpBpAUUUUUU1201200pCpBpAUUUUUU 对称三相电压源的相量图和波形图图 相量图和波形图分别
13、如图(a)、(b)所示。这样三个振幅相等、频率相同、相位差120的一组正弦电源称为对称三相正弦电源。它们分别称为A相、B相和C相，每相的电压称为相电压。 按照各相电压经过正峰值的先后次序来说，它们的相序是A、B、C（或B、C、A；C、A、B）称为 正序(顺序)，如果各相电压到达正峰值的次序为A、C、B（或C、B、A；B、A、C）则称为 负序(逆序)。用户可以改变三相电源与三相电动机的连接方式来改变相序，从而改变三相电动机的旋转方向。 通常，非特别说明，三相电源均为正序连接。 三相电源有两种基本联接方式：1.星形联接（又称Y形联接) 三相电源的末端 X、Y、Z接在一起，形成一个节点，记为 N，称
14、为中性点或中点，将各相的首端 A、B、C以及中点N与四根输电线（分别称为火线和中线）联接，如图(a)所示。 (与传输线相联接的)负载可以从火线与中线之间得到三个相电压，用 表示，也可以从三根火线之间得到三个线电压，用 表示。线电压与相电压之间的关系可以从图(b)相量图中计算出来。CBAUUU、CABCABUUU、 三相电压源的星形联接 1503903303PACCAPCBBCPBAABUUUUUUUUUUUU 7.7-17.7-1三相电压源三相电压源的星形联接的星形联接 p3UUl 例如日常生活用电是220V相电压，相应的线电压则是380V。即 线电压是相电压的 倍，即3 从相量图上可以看出，
15、三个对称相电压以及三个对称线电压之间存在以下关系： 00CABCABCBAUUUUUU 此结论可以推广到 任意对称多相电路的（线、相）电压和电流之和为零。 流过火线的线电流等于流过每相电源的相电流，即 plII 2.三角形联接 三相电源的三角形联接 (又称联接)它是将三相电源各相的始端和末端依次相连，再由A、B、C引出三根火线线与负载相连，如图所示。 作三角形联接时，要求三绕组的电压对称，如不对称程度比较大，所产生的环路电流将烧坏绕组。对称三相电源在联接时，不能将各电源的始末端接错，否则将烧坏绕组。 事实上应该指出，对称三相电源可以认为它是星形连接的，也可以认为是三角形连接的。这要根据具体情况
16、来选择。 三相负载也有Y和两种连接方式。下图表示Y形三相负载连接到Y形对称三相电源的情况。当三相负载相同时，即ZA=ZB=ZC=Z，三相的线路也完全一样，则称为对称三相电路。 对称Y-Y三相电路7.7.2 三相电路1.YY联接的三相电路 列出电路的节点方程，并代入 ，得到0CBAUUU01313NCBANCBANNZZZUUUZZZUZUZUU由于 ，相当于中线短路，每相负载上的电压是相电压，其电流可以各相单独计算如下： 0NNU120|120|pCCpBBpAAZUZUIZUZUIZUZUI注意：在对称三相四线制电路中，中线阻抗并不影响相电流。 在Y-Y形联接的对称三相电路中，中线电流为零，
17、中线可以不用，可以只用三根火线传输(称为三相三线制)，以适合于高压远距离传输电之用。对于日常生活的低压用电，由于三相负载可能不完全对称，还有一定的中线电流存在，中线还必须保留，即采用三相四线制供电系统。假如不用中线，不对称三相负载的三相电压将不相同，过高的相电压可能损坏电气设备。在Y-Y联接的对称三相电路中，其负载电压电流关系为 pp3IIUUll2 Y-联接的三相电路 图(a)表示Y形联接的对称三相电源和联接的对称负载，这也是一种对称三相电路。每相负载上的电压为线电压，其相电流为 120|120|CACABCBCABABZUZUIZUZUIZUZUIlllBCIIBABAIIIBCCCAII
18、I线电压相位分别为0,120，120时得（b）图此时三根火线中的线电流为 CBA,III9031503303BCCACABBCBCAABAlllIIIIIIIIIIII 由此看出， Y-联接的对称三相电路中，线电流是相电流的 倍，即 3p3IIl小结， 在Y-对称联接时，其负载电压电流关系为 pp3IIUUllcos3cos33ppAAAYIUIUPP其中cos是功率因数，是相电压与相电流的相位差，UA，IA是相电压和相电流的有效值。由于线电压和线电流容易测量，注意到关系式 ，上式变为 pp,3IIUUllcos3cos33YllllIUIUP3 对称三相电路的功率 对称Y形联接负载吸收的总平
19、均功率。 用相似的方法，得到对称形联接负载吸收的总平均功率。 cos3cos3cos33ppABABABllIUIUIUPP 最后得到对称三相电路中三相负载吸收的平均功率的一般公式 cos3cos3ppllIUIUPcos3 )240cos(2cos )240cos(2cos )cos(2cos )120)cos(120cos( )120)cos(120cos( )cos()cos( )()()()(pppppppppmpmpmpmpmpmCBAIUtIUtIUtIUttIUttIUttIUtptptptp下面讨论对称三相电路的瞬时功率: 式中的三项交变分量之和为零，三相瞬时功率是不随时间变化
20、的常数，并且等于其平均功率。在这种情况下，三相电动机的转矩是恒定的，有利于发电机和电动机的工作，是三相电路的优点之一。 通常，在不对称三相电路中，主要负载是不对称的，而三相电源和三相线路一般是对称的。不对称三相电路没有上节所述的特点，不能采用单相电路来进行计算。一般情况下，不对称三相电路可以看成复杂正弦稳态电路，可用一般复杂正弦稳态电路的方法来分析计算。本小节主要介绍具有静止负载Y-Y连接的不对称三相电路。由节点法，负载中点电压为 7.7.3 不对称三相电路概念OCBACCBBAAOOZZZZUZUZUZU1111111 当负载阻抗互不相等时，除中线阻抗外，。说明电源中点与负载中点电位不相同，
21、各相负载的相电压为OOCCOOOBBOOOAAOUUUUUUUUU 电压 称为负载中点对电源中点的位移。 OOU 最小位移出现在地线阻抗为零的情况，这时没有中点位移。当中线不长且较粗时，就接近这种情况。这时，尽管负载不对称，由于中线阻抗非常小，强迫负载中点电位接近于电源中点电位，使各相电压接近对称。在民用线路中必须采用三相四线制，同时规定中线上不准安装开关或保险丝。在这种情况下，负载各相相电压虽然近似对称，但由于负载不对称，各相相电流并不对称，其中线电流不再为零。 7.7.4 三相电路的功率测量 三相电路的有功功率可用功率表来测量，测量方法随三相电路连接形式以及是否对称而有所不同。 先讨论三相
22、四线制电路中的有功功率测量方法。由于三相负载吸收的有功功率为其各相有功功率之和，所以，三相负载的有功功率可以用三只功率表分别测量。三表指示值之和为三相负载吸收的总功率。这种方法共用三只功率表，所以叫作三表法。 当三相电路对称时，上述三只功率表指示值是相同的。故此时可以用一只功率表测量任一相的功率，然后再乘以3即可得到三相负载吸收的有功功率。这种方法称为一表法。当然，电路不对称时，三只功率表的指示一般不相同，这时，只能用三表法。 在三相三线制电路中，理论上也可以用三表法来测量。但实际上很少应用。如星形负载的中点O常常不易在电机或电器的外部找到；三角形负载也会带来连接方面的困难。 工程实际中，三相
23、三线制电路无论负载对称与否，其三相负载吸收的总有功功率一般都使用两只单相功率表来测量，这种方法称为两表法。两只功率表的电流线圈分别串入任意两条端线中，它们的电压线圈的非星号端共同接到第三条端线上。显然，这种测量方法中功率表的接线只触及到端线而不触及到负载或电源的内部，且与负载或电源的连接方式无关。这时，两只功率表读数的代数和等于被测三相电路的总功率。 设两个功率表W1和W2的读数分别为 AACIUPRe1BBCIUPRe2和两个功率表的总功率为BBCAACIUIUPPRe21由于三相电路无论负载如何联接，也无论负载是否对称，都可以等效变换为星形联接。由KCL，必然满足 IIIABC 0可得 S
24、SSSIUIUIUPPCCBBAAReReRe32121PPPPPPABC12即应该指出： 1两表法不能用来测量三相四线制负载的有功功率。 2用两表法测量三相三线制负载功率时，一般来说，每只功率表的读数没有什么意义。两表的读数一般不相同，其中一只读数还可能为零或负值。 3当然，对于对称三相三线制电路也可以用一只功率表来测量三相负载的总功率。但这时需要建立中点，以便使功率表电压线圈得到规定的相电压，即需在另两条端线上分别接两个高阻值电阻，其阻值与功率表电压线圈电阻值相同，且接成星形联接。 两表法还能测得对称三相电路的功率因数。对称三相电路的功率因数为 pfPPPPP PZcos121222122
25、 主要讨论非正弦周期信号号激励的稳态电路的响应及其功率。7.8 非正弦周期电路的稳态分析一、非正弦周期电路的稳态分析 为了方便，以两个不同频率正弦信号激励的非正弦稳态电路为例，讨论其分析方法。 下图所示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下，假设其电压和电流为 在对称三相电路中还可以用一只功率表来测量三相电路的无功功率。21i222mi111mu222mu111m)cos()cos()()cos()cos()(且tItItitUtUtu 非正弦稳态的单口网络单口网络的瞬时功率为 )cos()cos( )cos()cos( )cos()cos( )cos()cos( )()()(i1
26、11mu222mi222mu111mi222mu222mi111mu111mtItUtItUtItUtItUtitutp瞬时功率随时间作周期性变化，有正交函数的特性，它在一个周期内的平均值（平均功率）为 212 0 22111 00coscosd)(1PPIUIUttpTPT 这说明两种不同频率正弦信号激励的单口网络所吸收的平均功率等于每种正弦信号单独引起平均功率之和。 一般来说，n 种不同频率正弦信号作用于单口网络引起的平均功率等于每种频率正弦信号单独引起的平均功率之和，即 nPPPPP 321其中 kkkikukkkkIUIUPcos)cos( 一般来说，周期性非正弦电压和电流，用傅里叶级
27、数分解出它的直流分量和各种谐波分量。 二、周期信号的有效值 同样，为了方便，以两个不同频率正弦信号为例，说明其计算过程。依电流为例，有效值由有效值的定义： TttiTI 0 2)d(1)cos()cos(2 )(cos)(cosi222mi111mi2222m2i1122m12tItItItIi 根据正交函数的特性，i2在一个周期内的平均值（电流的有效值）为 2221III两个频率电流有效值平方之和的开平方。 引入周期性非正弦电压和电流的有效值后，也可以用以下公式计算电阻的平均功率。RURIP22推广到一般情况：22221202222120nnUUUUUIIIII 应该特别注意的是： 电路在频率相同的几个正弦信号激励时，不能用平均功率叠加的方法来计算正弦稳态的平均功率。应该先计算出总的电压和电流后，再用公式 P=UIcos 来计算平均功率。
