1、第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-1 6-1 概述概述6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁一、梁的挠曲轴一、梁的挠曲轴 在外力作用下，受弯后梁的轴线变为一条连续光在外力作用下，受弯后梁的轴线变为一条连续光滑的曲线。滑的曲线。 6.1 概述CCABBxy 挠度正负规定挠度正负规定 挠度与坐标轴正向一致取正，反之取负。挠度与坐标轴正向一致取正，反之取负。 转角正负规定转角正负规定 转角
2、顺时针转向为正，逆时针转向为负。转角顺时针转向为正，逆时针转向为负。 6.1 概述ClFABCCABBxy 挠挠度度 梁横截面的形心在垂直梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移。于轴线方向的位移。 转转角角 梁横截面绕其中性轴梁横截面绕其中性轴所转的角位移。所转的角位移。 二、挠度、转角二、挠度、转角 CCABBxy三、挠度和转角的关系三、挠度和转角的关系 1. 1. 挠度方程挠度方程 ( )x 2. 2. 转角方程转角方程 ( )x 3. 3. 挠度和转角的关系挠度和转角的关系 挠曲线上任一点斜率挠曲线上任一点斜率 d ( )tandxx 在小挠度情况下，在小挠度情况下，很小很小 tan d
3、( )( )( )dxxxx 挠曲轴是挠曲轴是挠度方程的函挠度方程的函数曲线数曲线 6.1 概述平面弯曲时梁轴线的曲率平面弯曲时梁轴线的曲率 1( )( )M xxEI 由微积分可知，挠曲线任一点曲率由微积分可知，挠曲线任一点曲率 22322d1d( )d1() dxxx 梁的挠曲线微分方程梁的挠曲线微分方程 22322d( )dd1() dM xxEIx 6.2 梁的挠曲线微分方程CCABBxy22d( )dM xxEI 在小挠度条件下在小挠度条件下 d1dx 梁的挠曲线微分方程梁的挠曲线微分方程 22322d( )dd1() dM xxEIx 6.2 梁的挠曲线微分方程xoyMM220d
4、ydxxoyMM220d ydx22d( )dM xxEI 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 22d( )dM xxEI 近似微分方程适用近似微分方程适用于弹性范围内小挠度平于弹性范围内小挠度平面弯曲。面弯曲。 6.2 梁的挠曲线微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 22d( )dEIM xx 梁的转角方程梁的转角方程 ( )( )dEIxMCxx 梁的挠度方程梁的挠度方程 ( )( )d )dEIxM xxCxDx 积分常数由支承条件（边界的转角和挠度已知积分常数由支承条件（边界的转角和挠度已知）和连续条件（挠曲线连续光滑）确定。）和连续条件（挠曲线连续光滑）确定。 6.
5、3 积分法求弯曲变形CCABBxyA例6.1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角xyxAlABF MxFx ()ZdMxdxCdxE IzdE IF xdxCdx22zFxEIdxCxD36zFxEICxD22zFxEIC边界条件xl0B22zFlCEIxl0B33zFlDEI2222zzFxFlEIEI323623zzzFxFlFlxEIEIEI0 x22AzFlEI 33AzFlEI例6.2 求图所示悬臂梁B端的挠度与转角lABxyx212Mxq lx 212zEIM xq lx 316zzEIEIq lxC 4124zEIq lxCxD边界条件0 x036zqlCEI0 x0324zqlDE
6、I 336zqlxlEI 434424zqlxl xlEIxl36BzqlEI48BzqlEI例6.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。xxyxlFBAbaCFblFal1FbMxxlax 02FbMxxFxalaxlAC段 11zFbEIMxxl 2112zFbEIxCl 31116zFbEIxC xDl CB段 22zFbEIMxxF xal 2222122zFbEIxF xaCl 33222166zFbEIxF xaC xDl 0 x 00 xl 0l01Dax aa21 aa21232121222FbFbaCaF aaCll 21CC 33311221666
7、FbFbaC aDaF aaC aDll 21DD 3321066ZFbEIllF laC lL 22126FbCClbl222126zFb lbFbEIxll 223166zFb lbFbEIxxll 222221226zFb lbFbEIxF xall 223321666zFb lbFbEIxF xaxll xxyxlFBAbaCLFbLFa222126zFb lbFbEIxll 223166zFb lbFbEIxxll 222221226zFb lbFbEIxF xall 223321666zFb lbFbEIxF xaxll 最大转角0 0 xM0 xxl226AzFb lbEI l6
8、zFab lbEI l22221226zBFb lbFbEIlF lall 6BzFab laEI l 力靠近哪个支座，哪边的转角最大。最大挠度0令x=a22226zCFb lbFbEIall 3CFab abl 转角为零的点在AC段2220026Fb lbFbxll2203lbx12bl012xl0b033xl0.577l一般认为梁的最大挠度就发生在跨中例6.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。例6.4 画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。AF两根梁由中间铰连接，挠曲线在中间铰处，挠度连续，但转角不连续。2121FBAqCLzEIa例6.5 用积分法求图示各梁挠曲
9、线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数ax 0BLax0Cxy边界条件连续条件ax 21BB21BB6.3 积分法求弯曲变形2lBAqC2lzEIkxy挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数0 x0ALx kFcC边界条件连续条件2Lx21BB21BBkqL86.3 积分法求弯曲变形A2L1zEI2zEIFBC2Lxy挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数0 x0A0A边界条件连续条件2Lx 21BB21BB6.3 积分法求弯曲变形LABCqZEIEAL1全梁仅一个
10、挠曲线方程共有两个积分常数0 x0ALx BCBL边界条件EAqLL21xy6.3 积分法求弯曲变形AaLBCeMzEI挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数0 x0A0A边界条件连续条件ax21BBxyLax0C6.3 积分法求弯曲变形EIPly33maxEIPl22maxEIMly22maxEIMlmaxEIql63maxEIqly84maxEIMlEIMl63、ZEIPl162maxZEIPly483maxZEIql243maxZEIqly38454max 梁材料服从胡克定律下的小变形，几种载荷共同作用梁材料服从胡克定律下的小变形，几种载荷共同作用产生的变形等于各载荷单独作用产生
11、变形的代数和。产生的变形等于各载荷单独作用产生变形的代数和。 例例6.6 6.6 简支梁上作用均布载荷简支梁上作用均布载荷q 和集中力和集中力F，设弯曲刚度为，设弯曲刚度为常数。试用叠加法求横截面的挠度。常数。试用叠加法求横截面的挠度。 C C( )q C()F 45384qlEI 348FlEI 解：解： 6.4 叠加法求弯曲变形 例例6.76.7 悬臂梁在段作用集度为悬臂梁在段作用集度为q 的均布载荷，设弯曲刚度的均布载荷，设弯曲刚度EI为常数。试用叠加法求自由端为常数。试用叠加法求自由端C 的挠度和转角。的挠度和转角。 6.4 叠加法求弯曲变形CC1C2()()qqCC1C2()()qq
12、B22()()2BlqqC1()q C1()q 43( )( )22826zllqqlEIEI 48qlEI 44138qlEI 36qlEI B2()q 3( )26lqEI 3748qlEI 6.4 叠加法求弯曲变形 例例6.86.8 图示等截面外伸梁，设弯曲刚度图示等截面外伸梁，设弯曲刚度EI 为常数。试用叠为常数。试用叠加法求截面加法求截面B 的转角和端点的转角和端点C 的挠度。的挠度。 解：外伸梁可看作由简支梁和固定在解：外伸梁可看作由简支梁和固定在B处的悬臂梁组成处的悬臂梁组成 简支梁简支梁AB的变形，将均布载荷向的变形，将均布载荷向B处简化，得作用在处简化，得作用在B处的处的集中
13、力集中力qa和力偶和力偶 M = qa2/2 22BB2()36qalqa lMEIEI 6.4 叠加法求弯曲变形2B6qa lEI 悬臂梁悬臂梁BC的变形，均布载荷的变形，均布载荷引起引起C有挠度，简支梁有挠度，简支梁AB在在B处可处可以转动，由于转动引起以转动，由于转动引起C有挠度有挠度 C12 BC( )aq 2468qa lqaaEIEI 3(43 )24qalaEI 6.4 叠加法求弯曲变形 例例6.96.9 图所示图所示AB梁端固定，梁端固定，B端活动铰，承受均布载荷，端活动铰，承受均布载荷，梁的弯曲刚度为梁的弯曲刚度为EI。求。求A、B 处的约束力。处的约束力。 解：解除解：解除
14、B 端约束，用自由端和约束力端约束，用自由端和约束力FBy 代替代替B0 34BBBBB( )()083yyF lqlqFEIEI解得：解得： B38yqlF 变形协调条件变形协调条件 6.5 简单超静定梁建立静力平衡方程建立静力平衡方程 0:yF AB0yyFFql()0:AMF BA02ylFlqlM 解得：解得： A58yqlF 2A8qlM B38yqlF 6.5 简单超静定梁解除解除A端转动约束，用固定铰和约束力端转动约束，用固定铰和约束力MA代替。变形协调条件代替。变形协调条件 3AAAAA( )()0243zzM lqlqMEIEI解得：解得： 2A8qlM 建立静力平衡方程建立
15、静力平衡方程 0:yF AB0yyFFql()0:AMF BA02ylFlqlM 解得：解得： A58yqlF B38yqlF 6.5 简单超静定梁 例例6.106.10 悬臂梁承受集中载荷悬臂梁承受集中载荷F 作用，因其刚度不够用杆作用，因其刚度不够用杆CB 加固。试计算梁加固。试计算梁AB 的最大挠度的减少量。设梁与杆的长度均为的最大挠度的减少量。设梁与杆的长度均为l ，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度分别为，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度分别为EI与与EA，且，且A = 3I/l2。 解：解：将加固梁将加固梁B 处的约束解除，用相应的约束力处的约束解除，用相应的约束力FR 代替代替变形协调条件变形
16、协调条件 33RRR()33FFlF lF lEIEAEI 6.5 简单超静定梁33FlEI 解得：解得： R2FF 加固梁的最大挠度加固梁的最大挠度 33R()36FFlFlEIEI 12 未加固梁的最大挠度未加固梁的最大挠度 33RRR()33FFlF lF lEIEAEI 6.5 简单超静定梁一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 max max (0.0003 0.0005)l 一般轴一般轴 吊车梁吊车梁 (0.0013 0.0025)l 架空管道架空管道 0.002l 滑动轴承滑动轴承 (0.001 0.005)rad 6.6 提高梁抗弯刚度的措施 例例6.116.11 简支梁跨中承受集中
17、载荷简支梁跨中承受集中载荷F = 35kN。已知跨度。已知跨度l = 4m，许用应力，许用应力=160MPa，许用挠度，许用挠度=l /500，弹性模量，弹性模量E = 200GPa，试选择工字钢型号。，试选择工字钢型号。解：解： 按强度条件选择工字钢型号按强度条件选择工字钢型号 maxmaxzMW 343max635 1042.19 10 m4 160 10zMW 按刚度条件选择工字钢型号按刚度条件选择工字钢型号 3max48zFlEI 333549500 35 1042.92 10 m4848 200 104zFlIE 查表选择查表选择 22a工字钢工字钢 6.6 提高梁抗弯刚度的措施1
18、1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状二、提高梁弯曲刚度的措施二、提高梁弯曲刚度的措施6.6 提高梁抗弯刚度的措施2 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式6.6 提高梁抗弯刚度的措施2 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变载载荷荷类类型型%5 .6212CCww6.6 提高梁抗弯刚度的措施3 3）采用超静定结构）采用超静定结构6.6 提高梁抗弯刚度的措施33FlEI 加固梁的最大挠度加固梁的最大挠度 33R()36FFlFlEIEI 12 未加固梁的最大挠度未加固梁的最大挠度 小结小结1 1、明确挠曲线、挠度和转角
19、的概念、明确挠曲线、挠度和转角的概念2 2、掌握计算梁、掌握计算梁变形的积分法和叠加法变形的积分法和叠加法3 3、学会用、学会用变形比较法解简单超静定问题变形比较法解简单超静定问题例例5 5 图示为三个等直径圆相切的组合问题,求对形心轴x的惯性矩.O1O2O3xcO2、O3到xc轴的距离dd632331O1到xc轴的距离dd33233222422433464634642ddddddIx 64114d 实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较对于宽为对于宽为b、高为高为h的矩形截面的矩形截面maxmax = ? ( l / h )目录（l 为梁的跨度）为梁的跨度）5.4 弯曲切应力
