1、2022年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知全集 ，集合 ，则 （） ABCD2若复数 满足 ，则 （） A1B5C7D253若直线 是圆 的一条对称轴，则 （） ABC1D-14已知函数 ，则对任意实数 ，有（） ABCD5已知函数 ，则（） A 在 上单调递增B 在 上单调递增C 在 上单调递减D 在 上单调递增6设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7在北京冬奥会上，国家速滑馆
2、“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（） A当 ， 时，二氧化碳处于液态B当 ， 时，二氧化碳处于气态C当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态D当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态8若 ，则 （） A40B41C-40D-419已知正三棱锥 的六条棱长均为6， 是 及其内部的点构成的集合，设集合 ，则 表示的区域的面积为（）ABCD10在 中， ， ， 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（）ABCD二、填空题共5小题，每小题5
3、分，共25分。11函数 的定义域是 12已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 13若函数 的一个零点为 ，则 ； 14设函数 ，若 存在最小值，则 的一个取值为 ； 的最大值为 15已知数列 的各项均为正数，其前 项和 ，满足 给出下列四个结论： 的第2项小于3； 为等比数列； 为递减数列； 中存在小于 的项。其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。16在 中， （I）求 ：（II）若 ，且 的面积为 ，求 的周长17如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ， 分别为 ， 的中点 （I）求证： 平面 ；（II）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面
4、所成角的正弦值。条件： ；条件： 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分。18在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80， 9.70， 9.55， 9.54， 9.48， 9.42， 9.40， 9.35， 9.30， 9.25；乙：9.78， 9.56， 9.51， 9.36， 9.32， 9.23；丙：9.85， 9.65， 9.20， 9.16假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（I）估
5、计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 的数学期望 ；（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 （）求椭圆 的方程：（）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 ，当 时，求 的值。20已知函数 （）求曲线 在点 处的切线方程；（）设 ，讨论函数 在 上的单调性；（III）证明：对任意的 ，有 21已知 为有穷整数数列给定正整数 ，若对任意的 ，在 中存在 ，使得 ，则称 为 连续可表数列 （）判断 是否为5-
6、连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；（）若 为 连续可表数列，求证： 的最小值为4；（）若 为 连续可表数列， ，求证： 答案解析部分1【答案】D2【答案】B3【答案】A4【答案】C5【答案】C6【答案】C7【答案】D8【答案】B9【答案】B10【答案】D11【答案】12【答案】-313【答案】1；14【答案】0（答案不唯一）；115【答案】16【答案】（I） ，根据正弦的二倍角公式可得 ，可得 ，所以 ； （II） ， ， ，由余弦定理 ，得 ，所以 周长为 .17【答案】（I）设点P为AB中点，由于P为AB中点，N为AC中点所以PN为 中位线 又M为AB中点，PM是正方形 的中位
7、线所以 面 面 又 面 平面 （II）选择条件，面 面 面 面 ，面 面 又 ，又由： 面 面 故 两两垂直以B为原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向建立坐标系则BMN的法向量 AB与面BMN所成角的正弦等于 与 所半余弦的绝对值，即 故所求正弦为 .18【答案】（I）由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A： 比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有： 9.80，9.70，9.55，9.54 四个，所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为 ；（II）X所有可能取值为0，1，2，3甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为 乙在校运会铅球比赛中获优
8、秀奖的概率为事件B，则 丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则 01230.150.40.350.1（III）甲的平均数： 乙的平均数： 丙的平均数： 甲的方差： 乙的方差： 丙的方差： 在校运动会铅球比赛中，乙获得冠军的概率估计值最大.19【答案】（）由已知 ()设直线 ， ， 联立 由 得 ， ， ， 由ABM共线得 由 得 即 即 解得 20【答案】（） ，则 ，又 ， 故所求切线方程为 （） ，又 ， 故 对 成立， 在 上单调递增（III）证明：不妨设 ，由拉格朗日中值定理可得： 其中 ，即 ，其中 ，即 由 在 上单调递增，故 证毕21【答案】（） 若，则对于任意，所以Q是
9、5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6-连续可表数列； （）若 ，设为a，b，c，则至多 6种矛盾 满足（）若k5，则 至多可表15个数，矛盾，从而若 ，则 至多可表21个数，而 ，所以其中有负的，从而a，b，c，d，e，f可表 及那个负数（恰21个)这表明 中仅一个负的，没有0，且这个们的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同，设那个负数为 则所有数之和 ，再考虑排序 (仅一种方式)-1与2相序若-1不在两端，则 2 _形式若 ，则 (2种方式矛盾) ，问理 ，故-1在一端，不妨为 形式右 ，则 (2种矛盾) 同理不行 ，则 (2种矛盾)从而 由 ，由表法唯一知3，4不相邻，故只能 或 这2种情形对 矛后对 也矛盾综上
