1、 20222022 年高考数学真题试卷（新高考卷）年高考数学真题试卷（新高考卷） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1若集合 则 =（ ） A B C D 2若 则 （ ） A-2 B-1 C1 D2 3在 中，点 D 在边 AB 上， 记 则 （ ） A3-2 B-2+3 C3+2 D2+3 4南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔 148.5m 时，相应水面的
2、面积为 水位为海拔 157.5m 时，相应水面的面积为 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为（ ） A B C D 5从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（ ） A B C D 6记函数 的最小正周期为 T，若 则 的图像关于点 中心对称，则 （ ） A1 B C D3 7设 则（ ） A B C D 8已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 36 ，且 则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A B C D18，27 二、选择题：本题共二、选择题：
3、本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得目要。全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分。分。 9已知正方体 则（ ） A直线 与 所成的角为 B直线 与 所成的角为 C直线 与平面 所成的角为 D直线 与平面 ABCD 所成的角为 10已知函数 则（ ） Af(x)有两个极值点 Bf(x)有三个零点 C点(0，1)是曲线 的对称中心 D直线 是曲线 的切线 11已知 O 为坐标原点，点 A(1，1)在抛物
4、线 C： 上，过点 的直线交 C于 P，Q 两点，则（ ） AC 的准线为 B直线 AB 与 C 相切 C D 12已知函数 及其导函数 的定义域均为 R，记 若 均为偶函数，则（ ） A B C D 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13 的展开式中 的系数为 (用数字作答). 14写出与圆 和 都相切的一条直线的方程 15若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是 . 16已知椭圆 C： C 的上顶点为 A，两个焦点为 离心率为 ，过 且垂直于 的直线与 C 交于 D，E 两点， 则ADE的周长是 四
5、、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。分。 17记 为数列 的前 n 项和，已知 是公差为 ，的等差数列. （1）求 的通项公式； （2）证明： 18记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）若 求 B； （2）求 的最小值. 19如图，直三棱柱 的体积为 4， 的面积为 （1）求 A 到平面 的距离； （2）设 D 为 的中点， 平面 平面 求二面角 的正弦值. 20一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了 100 例(称为病例组)，同时在未患该疾
6、病的人群中随机调查了 100 人(称为对照组)，得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 附： P(K2 k) 0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 （1）能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异? （2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该 疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 R. (i)证明： (ii)利用该调查数据，给出 的估计值，并利用(i)的结果给出 R 的估计值. 21已知点 A(
7、2，1)在双曲线 C： 上，直线 交 C 于 P，Q 两点，直线 AP，AQ 的斜率之和为 0. （1）求 的斜率； （2）若 求 的面积. 22已知函数 和 有相同的最小值. （1）求 a； （2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 2 【答案】D 3 【答案】B 4 【答案】C 5 【答案】D 6 【答案】A 7 【答案】C 8 【答案】C 9 【答案】A,B,D 10 【答案】A,C 11 【答案】B,C,D 12 【答案】B,C 13 【答案】-28 14 【答案】x=-1 或 7x
8、-24y-25=0 或 6x+8y-10=0 15 【答案】a0 或 a-4 16 【答案】13 17 【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ， 所以 时， -有： . 所以 ， 以上式子相乘，得 经检验， 时， ，符合. 所以 . （2）由（1）知 所以 所以 = = 因为 ，所以 ， 所以 ， 即 18 【答案】（1）因为 ， 所以 ， 所以 ， 又因为 ， ，所以 ，故 . （2）因为 所以 所以 由余弦定理 所以 当且仅当 ，即 时取得等号， 综上， 的最小值为 . 19 【答案】（1）因为 ， 所以 ，设 A 到平面 的距离为 h； 则 （2）设 D 为 的中点，且 ， 由于
9、 BC平面 因为 平面 ，所以 ， 在直角 中， ，连接 ，过 A 作 ，则 平面 ，而 平面 ，故 . 由 ， 所以 ， 由 ， 以 B 为原点，向量 ， ， 分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以 设平面 ABD 的一个法向量 ， ，令 ，则有 . 设平面 BCD 的一个法向量 ， 令 ，则有 所以 所以二面角 的正弦值为 . 20 【答案】（1） 所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）用局部估计总体 (i) (ii) 故 R 的估计值为 6 21 【答案】（1）因为点 A(2，1)在双曲线 上，所以有 解得 ，所以双曲线
10、设直线 ， 联立 消去 y 得到 显然 ，否则不可能有两个交点， 而 ， 由韦达定理得 ， 因为直线 AP，AQ 的斜率之和为 0， 所以 所以 所以 即 ， 所以有 ， 将韦达定理代入化简得 ， 而当 ，此时直线 为 ，易知恒过定点 ，故舍去， 所以 ，此时满足 . （2）又由（1）易知 ， 且 依题可设 AP 斜率为 ， 斜率为- ， 则由夹角公式知（后面补充证明） ， 由对称性易知，只需考虑 的情况就行， 所以有 ，解得 或 （舍）. 而 ，同理 ， 而 ， 另一方面，联立 ， （1） 同理 ， （2） 将以上两式相加，得 ， 解得 ， 所以 22 【答案】（1）因为 ，所以 ， 若 ，
11、则 恒成立， 所以 在 上单调递增，无最小值，不满足； 若 ，令 f（x）0 xlna，令 f（x）0 xlna， 所以 ， 因为 ，定义域 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 依题有 ，即 ， 令 ，则 恒成立 所以 在 上单调递增，又因为 ， 有唯一解 ， 综上， （2）由(1)易知 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增， 存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点， 设三个不同交点的横坐标分别为 ，不妨设 ， 显然有 ， 则肯定有 ， 注意 的结构，易知 ， 所以有 ，所以有 ，而由 在 上单调递减， 知 ，同理 ， 所以 ， 又由 ， 故 ， 所以存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
