1、一、内容分布一、内容分布 5 52 21 1 可逆矩阵的定义可逆矩阵的定义 5 52 22 2 可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 5 52 23 3 初等矩阵的定义、性质初等矩阵的定义、性质 5 52 24 4 矩阵可逆的判别矩阵可逆的判别 5 52 25 5 逆矩阵的求法逆矩阵的求法 5 52 26 6 矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式二、教学目的二、教学目的 1 1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别 2 2 掌握求逆矩阵的方法掌握求逆矩阵的方法, ,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变尤其是能熟练利用矩阵的行初等变 换求逆矩阵。换求逆矩阵。 3 3 了解初等矩阵与初等
2、变换的关系了解初等矩阵与初等变换的关系三、重点、难点三、重点、难点 逆矩阵的求法逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别矩阵可逆的判别定义1 A为F上n 阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵. 例：BA10013152215321533152A与B互为逆矩阵. 把矩阵A的逆矩阵记为 .1A4）可逆矩阵与逆矩阵是两个不同的概念，由等式AB=BA=I联系着；可逆矩阵一定有逆矩阵，逆矩阵是对于一个可逆矩阵而言的 ;NoteNote：1）由于只有方阵才满足AB=BA=I ，所以可逆矩阵一定是方阵，且它的逆矩阵也是方阵;3）由于矩阵乘法一般不满足交换律，所以条件要
3、求两个等式 AB=I, BA=I ;5）由定义判断一个方阵A是否可逆，在于说明是否存在一个方阵B,使得AB=BA=I ,一般用待定法转化为方程组判断求解的问题，比较麻烦（例略），并且并非每一个方阵都可逆.2）并不是所有的方阵都可逆,比如零矩阵和有一列或一行全是零的矩阵等 ;1) A可逆，则A的逆矩阵唯一.证 设B,C均为A的逆矩阵 ，则 AB = BA =I,AC = CA =IB = BI = BAC =（BA）C = IC = C 证 注意到 ,即得.IAAAA11)(证 注意到 ,即得.IABABABAB)()(11114) A可逆，则)()(,11AAA且可逆2) A可逆，则 可逆，且
4、1AAA11)(证 由 ,有 . IAAAA11IAAAA)()(113) A，B可逆，则AB也可逆，且 .(可推广)111)(ABAB定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵. 对n = 4000101000010100014P( )3100001000000001D kk( )24100001000100001kTk都是四阶初等矩阵.相应地,对于n 阶单位矩阵I ,对其进行初等变换,得初等矩阵1101111011ijipj第第 行行第第 行行换法矩阵换法矩阵( )1111iD kki第第 行行( (k k0 0) )( )1111ijkiTkj第第 行行第第 行行倍法矩阵倍
5、法矩阵消法矩阵消法矩阵命题1 对A作行初等变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A; 对A作列初等变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A.如1、交换A的i ，j 行相当于用 .ijPA左乘1112133131331,321222321222313313233111213aaaaaaaaaaaaP Aaaaaaa 如 2、把A的第i 行乘以数k 相当于用 .( )iD kA左乘3、把A的第j 行乘以k后加到第i 行相当于用 .( )ijT kA左乘即 .,AAEAA E 行为相应的初等矩阵命题第二结论同理可得.NoteNote：1）注意一次和相应的含义; 2）作用在于把矩阵经初等变换而得到的新矩阵可用矩阵
6、等式表示出来，为表述和论证有关问题带来方便.命题2 初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍为同类型的初等矩阵. )()()1()(111kTkTkDkDPPijijiiijij引理5.2.1 对矩阵A施行一个初等变换后得矩阵 .则 A可逆可逆AA定理5.2.2 任一mn矩阵A总可以通过初等变换化为(其中r(A)=r). rnrmrrmrnrrOOOIA,进一步有,初等变换不改变矩阵的可逆性. NoteNote：引理提供了一种思想：对要判断矩阵可逆性，可考虑用初等变换化为最简单的形式，从最简单形式的矩阵的可逆性判断原矩阵的可逆性。问题是，矩阵在初等变换下的最简形式如何？为此有：证 由定理4.1.2，A可通过
7、行及第一种列变换化为(*)00001000100011,21,211,1rnrrnrnrCCCCCC对（*）作第三种列变换即可化为 .ANoteNote：1）定理的结论可叙述为：存在一些初等矩阵使11rtsIOEE AQQOO rIOPAQOO2) 也可叙述为：存在阶m可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得3）由此可得判断矩阵可逆的思想： 对A作初等变换化为 rIOAOO则A与 有相同的可逆性,而 的可逆性容易判断: AA当 时可逆；当 时不可逆（因它与任一方阵乘积的结果至少有一行全为0）.并且由此易得：AIAI命题3 n阶矩阵A可逆的充分必要是它可以通过初等变换化为单位矩阵I.定理5.2.3 n
8、阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以写成初等矩阵的积.证明： AI，即IA,即存在初等矩阵 使tssEEEE,11211211sstsstAEE E IEEEE E EE定理5.2.4 n 阶矩阵A可逆的充分必要条件是A的秩等于n .定理5.2.5 n 阶矩阵A可逆的充分必要条件是detA0. 行初等变换法 A可逆，由 ，即存在初等矩阵 ，使IA行sEE,1即1|A II A 行例1 1,814312201AA求21121ssEE E AIEE E IA从而解：解：1161042211,1161042211)|(1AIIA即 公式法公式法设设nnnnnnaaaaaaaaaA21222211121
9、1*212221212111AAAAAAAAAAnnnnnn令 称 .*的伴随矩阵为AA则由行列式的依行依列展开公式jijiAaAaAanjinjiji0|A|2211，有，有nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnAaAaAaAaAaAaAaAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA112221211112121111212221212111212222111211*000000即即IAAAAAAAA|000|0000|*若若A可逆，则可逆，则|A|0，从而，从而IAAAAA)1()1(*即即*11AAA 例例2： 22122111*,1112AAAAAA1|, 2, 1, 1, 1222
10、11211AAAAA21111A故故 例例3：求矩阵求矩阵 的逆矩阵的逆矩阵. 021112111A解法一解法一 利用公式利用公式.11AAA因为因为, 04021112111A计算每个元素计算每个元素 的代数余子式的代数余子式ija:ijA, 10112, 202111211AA, 20211, 521122113AA, 12111, 101112322AA, 11211, 211113231AA. 3121133A所以所以,.3151112224114341454141412121211AAA解法二解法二 行初等变换法行初等变换法.10131510211040020110101200111
11、0130111100010001021112111)()3(32) 1(31) 1( 13) 1( 12IA,1000100010101000011011021101002014341454141412121213 , 2414141434145212121) 1 (23)2(21434145412 所以所以.4341454141412121211A例例4 解矩阵方程解矩阵方程 其中其中,BAX .315241,100210321BA解解 显然显然A是可逆的是可逆的.先求出先求出.1002101211A再在原方程两边左乘再在原方程两边左乘 得得,1A.11BAAXA所以所以.311109431
12、52411002101211BAX注：当注：当n 3时，求时，求 的计算量较大，因此公式的计算量较大，因此公式（*）常用于理论的证明）常用于理论的证明. *A引理引理5.2.6：n阶矩阵阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等总可以通过第三种行和列的初等变换化为对角矩阵变换化为对角矩阵 ndddA0021|21AdddAn且 若若A的第一行、第一列元素不全为零，则总可使的第一行、第一列元素不全为零，则总可使A的左上角的元素不为零的左上角的元素不为零. 1112112122211120000nnnnnnaaadaaaBAaaa 若若A的第一行，第一列元素全为零，则已具有的第一行，第一列元素全为零，则
13、已具有 的形式，同理，可以把的形式，同理，可以把 化为化为1B1B0000000000221Add继续作第三种初等变换，则可将继续作第三种初等变换，则可将A化为对角形矩阵，化为对角形矩阵，且且ndddAA21|定理：定理：设设A，B为为n 阶矩阵，则阶矩阵，则 |AB| = |A| |B| 证证 若若A为对角矩阵为对角矩阵 ndddA21nnnnnnnnnadadadadadadadadadAB212222221211121111则|21BABdddABntssTTATTTA121 对一般情形，由引理对一般情形，由引理5.2.6，A可通过第三种变换化可通过第三种变换化为对角矩阵为对角矩阵 ，即
14、存在初等矩阵，即存在初等矩阵 使使AsTT,1|121BTTATTTABtss从而从而 |)(11121BABTTABTTABTTATTTtststss推广推广 |2121mmAAAAAA 相当于对相当于对 作第三种行作第三种行初等变换初等变换. 故故 BTTAts1)(121BTTATTTtss定理定理 A，B为为mn及及np阶矩阵，则秩（阶矩阵，则秩（AB）秩秩A，秩（秩（AB）秩秩B. 特别当特别当A可逆时，秩（可逆时，秩（AB）= 秩秩B. 推论：推论： ),min()(2121mmAAAAAA秩秩秩秩例例5 A可逆，则存在可逆，则存在 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P，Q，使，使 PAQ = I证：证：A可逆，则可逆，则1111,ppqppqAIEE AEEIPEEQEE 令,易知P,Q可逆.
