1、第三章第三章 力系的平衡力系的平衡静定与超静定的概念静定与超静定的概念第一节第一节 平衡方程的解析形式平衡方程的解析形式一、空间任意力系的平衡方程一、空间任意力系的平衡方程平衡的必要、充分条件。平衡的必要、充分条件。0RF0OMkFjFiFFiziyixRkMjMiMMiziyixO空间任意物体有六个平衡方程；可解六个未知量。空间任意物体有六个平衡方程；可解六个未知量。 0ixF 0iyF 0izM 0izF 0iyM 0ixM xyzABCD例例3-13-1：有一匀质矩形等厚的板，重力有一匀质矩形等厚的板，重力P P =200N=200N，角，角A A为球为球铰，铰，另一另一端端B B用铰链
2、（沿轴用铰链（沿轴y y向无约束力）与墙壁相连，再用向无约束力）与墙壁相连，再用一索一索ECEC使板维使板维持于水平位置。若持于水平位置。若= = =30=30，试求索内的拉力及，试求索内的拉力及A A, ,B B两两处的约束处的约束力力。FP设ADCB=b，则 02sin, 0)(bPbFFMiy0coscos, 0FFFAyiy02sin, 0)(lPlFlFFMBzix xyzABCDBzFBxFAzFAyFAxF0sin, 0PFFFFBzAziz0, 0)(lFFMBxiz0sincos, 0FFFFBxAxixN6 .8643FFAz xyzABCD xyzABCDAzFAyFAx
3、FFBzFBxFP从而得到以下规律：从而得到以下规律：（1 1）可以用力矩形式的平衡方程投影式来替代力形式的平可以用力矩形式的平衡方程投影式来替代力形式的平衡方程的投影式衡方程的投影式，即有，即有3 36 6个力矩投影式，也就是说力矩投个力矩投影式，也就是说力矩投影形式的平衡方程不得少于三个，至多可以有六个。影形式的平衡方程不得少于三个，至多可以有六个。（2 2）力的投影轴与矩轴不一定重合力的投影轴与矩轴不一定重合，但投影轴及矩轴必须，但投影轴及矩轴必须受到如下限制：受到如下限制：不全相平行；不全相平行；不全在同一平面内。不全在同一平面内。（3 3）六力矩形式的矩轴不交于同一点六力矩形式的矩轴
4、不交于同一点。据此，我们可以选择合适的力投影轴和矩轴，使每个方程所据此，我们可以选择合适的力投影轴和矩轴，使每个方程所包含的未知量为最少，从而简化计算。包含的未知量为最少，从而简化计算。 例例3-23-2：重力为重力为P P的匀质正方形平台，由六根不计自重的直杆支撑，的匀质正方形平台，由六根不计自重的直杆支撑，在水平力在水平力F F的作用下保持静止。杆与水平面的夹角均为的作用下保持静止。杆与水平面的夹角均为 =45=45 ， 试求各杆的力。试求各杆的力。设板边长为设板边长为l , ,用多力矩形式求解。用多力矩形式求解。0cos, 03FFiy03F0cos, 0)(5lFFMiAA05F02)
5、sin(, 0)(56BDFFFMiAC06F02)sin(, 0)(34lPlFFFMiAD24PF0izF0sinsinsin654321PFFFFFFFPF210cos, 02FFFixFF22（压） （压） 特例特例1. 1. 空间汇交力系空间汇交力系空间汇交力系平衡方程空间汇交力系平衡方程 0ixF 0iyF 0izF 0ixM合力偶矩恒为零，即合力偶矩恒为零，即 0iyM 0izM例例3-3：结构如图所示，杆重不计，已知结构如图所示，杆重不计，已知力力P P，试求两杆的内力和绳，试求两杆的内力和绳BDBD的拉力。的拉力。 1F3F2F解：解：研究铰链研究铰链B0sin03PFFzs
6、in3PF 0sincos023FFFxsincos32FFcoscos31FF 0iyF 例例3-4：重力重力P=1kN，A是球铰支座、是球铰支座、A、B、C点是固定点是固定在同一墙上，试求：杆在同一墙上，试求：杆AD、绳、绳DB，DC的约束力。的约束力。解：解：这是空间汇交力系，取这是空间汇交力系，取D点为汇交点，点为汇交点，00;ixDCCEFDBBEFFDCDBBE=CE,DB=DC,则：则：FDB=FDC00;iyDADOFDCDOFDBDOFFDADCDB;520,320 DADB,745N33PFDA020;izPDAAOFDBEOFFDADBFDB=FDC=289NFDCFDA
7、FDBP特例特例2. 2. 空间平行力系空间平行力系空间平行力系平衡方程空间平行力系平衡方程 0izF 0iyM 0ixM 0ixF若各力平行轴若各力平行轴z，则，则 0iyF 0izM例例3-6：三轮平板车放光滑地面上，自重为三轮平板车放光滑地面上，自重为：W，货重为货重为F，已知：已知：F=10kN,W=8kN，试，试求各轮约束力的值。求各轮约束力的值。解：解：这是空间平行力系这是空间平行力系。FAFBFC Fiz=0 ， xyz(20080)W200FA =0；FA=4.8kN，FA +FB+FCWF=0； Miy =0，60W+(6020)F60FA260FB =0；FB=4.93kN
8、FC=8.27kN Mix =0，特例特例3. 3. 空间力偶系空间力偶系 空间力偶力系空间力偶力系平衡方程平衡方程 0izM 0iyM 0ixM 0ixF合力恒为零，即合力恒为零，即 0iyF 0izF例例3-7：边长为边长为a 的等边三角形的等边三角形水平板上作用着力偶水平板上作用着力偶M M，並並用六用六根二力杆支撑，板自重不计，试求各杆的力。根二力杆支撑，板自重不计，试求各杆的力。F1F3F6F4F5F2 MAD =0, F5cos300acos300+M=0; ;345aMF MFB =0, F6cos300acos300+M=0; MEC =0, F4cos300acos300+M
9、=0; ;346aMF;344aMF MCA =0, F2 asin600 F5 sin300asin600=0; MAB =0, F3 asin600 F6 sin300asin600=0; MBC =0, F1 asin600 F4 sin300asin600=0; ;323aMF ;322aMF ;321aMF 二、平面任意力系二、平面任意力系( (也是空间力系的特例也是空间力系的特例) )， 设平面为设平面为Oxy平面，则各力在轴平面，则各力在轴z上的投影上的投影及对轴及对轴x, ,y的力矩都恒等于零，即的力矩都恒等于零，即 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程 0ixF 0iyF
10、 0iOM 0izF 0iyM 0ixM 平面任意力系平衡方程的基本形式的三个平面任意力系平衡方程的基本形式的三个独立的平衡方程，可求解三个未知量独立的平衡方程，可求解三个未知量多力矩形式多力矩形式二力矩式：二力矩式：垂直连线不能与力投影轴与矩心xBAFFMFMnininixiiBiA1110, 0)(, 0)(三力矩式：三力矩式：三点不共线矩心CBAFMFMFMnininiiCiBiA,0)(, 0)(, 0)(111A,B连线不垂直连线不垂直x x轴轴。A,B,C 三点不能同线三点不能同线。例例3-8：图示为叉车的钢叉简图，已知：货物均重为图示为叉车的钢叉简图，已知：货物均重为 q=150
11、0N/m，其它尺寸如图示，试求约束其它尺寸如图示，试求约束A，B处的约束力。处的约束力。解：解：200550q1400mm40AB Fix=0, FAx+FB=0FAXFAYFB Fiy=0, FAy FQ=0FQ=1.4 q=2.1kNFQFB=2.8kN, FAx= 2.8kN。 MAi=0, FB550(14000.5+40)FQ=0 FAy=FQ=2.1kN，如：二力矩如：二力矩 MBi=0， FAx 550+ (14000.5+40)FQ=0, FAx= 2.8kN。如校核方程如校核方程： MCi=0， 应满足应满足。cF1F3FF2AC例例3-9：图示雨蓬结构，因雨蓬对称结构可简化
12、为平面结构，自图示雨蓬结构，因雨蓬对称结构可简化为平面结构，自重不计，已知有力重不计，已知有力F作用，试求三根支撑杆的约束力。作用，试求三根支撑杆的约束力。解：解：试用三力矩方程试用三力矩方程D1m1m4mF1mACB,FFM0520,1A 251FF 040,2CFFM,FFM0320,3D FF42 233FF 如校核方程如校核方程： Fix=0， 应满足应满足。特例特例1 1、平面汇交力系、平面汇交力系， 当平面中的各力的作用线均汇交于一点或利当平面中的各力的作用线均汇交于一点或利用三力平衡汇交原理得到一交点，设该点为点用三力平衡汇交原理得到一交点，设该点为点O，显然，各力对汇交点的矩恒
13、为零，显然，各力对汇交点的矩恒为零， 即即 独立平衡方程个数减少到两个，为独立平衡方程个数减少到两个，为 0)(iOFMniiyniixFF110, 0 xyPAB例例3-103-10：圆柱圆柱物为确定圆心位置，置于光滑的燕物为确定圆心位置，置于光滑的燕尾槽内，已知：尾槽内，已知：P=P=500N,500N,试求：试求：A A、B B点约束力。点约束力。045cos30cos00BAFF 0ixF045sin30sin00PFFBA 0iyFN366AFN448BF解解:450BFAF030AB045060P特例特例2 2、平面平行力系、平面平行力系， 当平面内的各力相互平行，设均平行于轴当平
14、面内的各力相互平行，设均平行于轴y，则各力在轴则各力在轴x上的投影恒等于零，即上的投影恒等于零，即 独立的平衡方程式个数减到两个，为独立的平衡方程式个数减到两个，为 niixF10niiOniiyFMF110)(, 0MAFA固定端有固定端有三个约束力三个约束力qLA例例3-113-11：图示悬臂梁，上侧作用三角形均布载图示悬臂梁，上侧作用三角形均布载荷荷，试求固定端试求固定端A A处的约束力。处的约束力。:0iyFQF2qLFFQA:0iAM231322qLLqLMA特例特例3 3、平面力偶系、平面力偶系， 平面力系的主矢为零，即平面力系的主矢为零，即 独立的平衡方程只有一个，即独立的平衡方
15、程只有一个，即 0RFniiM10例例3-12：图示杆图示杆BC上固定销子可在杆上固定销子可在杆AD的光滑直槽中滑动，的光滑直槽中滑动，已知：已知：L=0.2m，M1=200Nm，a a30300 0，试试求平衡求平衡时时M2。解解：BC: Mi=0, FCLsin300M1=0,得得:FC=FB=2000N再取再取AD: Mi=0, M2FCL/sin300=0,得：得：M2=800Nm。M1a aB BA ADLCM2FCFCFBFABCM1BCA AADM2D第二节第二节 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题一、静定与超静定的概念一、静定与超静定的概念静定：未知量数静定：未知量数=独立的
16、平衡方程数；独立的平衡方程数；静不定静不定(超静定超静定)：未知量数：未知量数独立的平衡方程数。独立的平衡方程数。FBYFBX超超:1次次2次次3次次MAFAXFFAYFBYMBFBX二、物体系统的平衡问题二、物体系统的平衡问题未知量：未知量：N=3n 方程数方程数n物体数物体数几个原则：几个原则：1）尽量选取尽量选取整体整体为研究对象为研究对象。2）从受力情形最简单的某一刚体或分系统入手。尽可能从受力情形最简单的某一刚体或分系统入手。尽可能 满足满足一个平衡方程求解一个未知力一个平衡方程求解一个未知力。3）分清分清内力内力和和外力外力、施力体施力体与与受力体受力体、作用力作用力与与反作用力反
17、作用力。4）注意注意二力平衡二力平衡条件和条件和三力平衡汇交三力平衡汇交原理原理。 例例4-13：图示三铰拱结构，已知：单边拱重为图示三铰拱结构，已知：单边拱重为：P，试试求：求：A,B的约束力。的约束力。解：解：整体整体PAFAxFAy MA=0, P3P9+FBy12=0FBy=P Fiy=0, FAy+FBy-2P=0 FAy=P Fix=0, FAxFBx=0 MC=0, FAx6FAy6+P3=0FAx=P/2,FBx=P/2。左左ACC左左PFCyFCx6m6m6mPPACBFAxFAyFByFBxxy例例4-14：多跨桥梁简图如图示，巳知多跨桥梁简图如图示，巳知：F=500N,q
18、=250N/m,M=500Nm，试，试求：求：A,B,E 处的支座约束力。处的支座约束力。 MC=0, FE4MFQ11=0FBFEFQFAxFAy整体整体 Fix=0, FAx=0 Fiy=0, FAy+FB+FEFFQ=0 MA=0, F1+FB2FQ4M+FE8=0FE=250N,CEFQ=4qFQ1=2qFB=1500NFAy=250NFCxFCyFQ1MECFECEABCDqFME11222m解解ACqFQDB例例4-15：三根自重不计的杆组成构件如图示，巳知三根自重不计的杆组成构件如图示，巳知：F=600N,q=300N/m。试。试求求B处约束力。处约束力。解：解：整体整体FBxF
19、ByFCFQFBy,FBxFDyFDxABCDqEF3m3m3m4m4m2mFC MA=0, 6F+10FC7FQ=0AC MA=0, 4FBy+10FC=0DB MD=0, 4FQ+3FBx=0FC=990NFBy=2475NFBx=1200N，取与取与B有有关的物关的物体分析体分析FQ=3006/2=900FAyFAxFAy1FAx13m2m2m2m2mFMACBD例例4-16：组合托架组合托架组成构件如图示，三根链杆自重不计，巳知：组成构件如图示，三根链杆自重不计，巳知：F=1kN, M=600Nm, 试求：试求：A 处约束力。处约束力。MAFAyFAxFByFBxF3FMBDF3CF2
20、F1F1解：解：BD得：得：F3= 500N, 0iBMC 得：得：F1= 400N，04340,2231ix FFF得：得： MA=3.4kNm，得：得： FAx= 400N,32104332223FM整体整体 MA=0, MA4F M3F1=0 Fix=0, FAxF 1=0 Fiy=0, FAyF =0得：得：FAy= 1000N,例例4-17：折叠凳子的简图折叠凳子的简图如图示，在水平如图示，在水平凳凳面有面有F力作用，力作用，试求试求E处约束力。处约束力。解：解：整体整体3aCFaABED3a整整FDFCFCBECCBDAEADFAyFAxFExFEyFDFByFBxFExFEy MC=0, Fa3a FD=0FD=F/3 Fiy=0, F+ FD+FC=0FC=2F/3AD02233 0,ExDAFaaFMFFEx32022330,CEyBFaaFMFFEy322CB
