1、:关于解三角形);,(,:) 1 (的对边分别为其中三角形的六元素CBAcbacbaCBA:(2).用三角形已知元素求未三角形知元素解(1)正弦定理的表示形式:)正弦定理的表示形式:为外接圆半径RRCcBbAa2sinsinsinsinsinsinsinsinsinabcabckABCABCsin ,sin ,sin .(0)akA bkB ckC ksin,sin,sin222abcABCRRRR为外接圆半径Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222bcbcaB2cos222222cos2abcCab(2)余弦定理的表示形式:)余
2、弦定理的表示形式:sinsinbAaBsinsinaABb222cos2bcaAbc(3)正弦定理的应用范围:)正弦定理的应用范围:已知两角和任一边,求其它两边及一角;已知两角和任一边,求其它两边及一角;已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。(4)余弦定理的应用范围:)余弦定理的应用范围:(1)已知三边求三个角;)已知三边求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角。)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角。注意:注意:利用正弦定理求角时,应先求较短边的对角利用正弦定理求角时,应先求较短边的对角(一定是锐角)可避免讨论。(一定是锐角)
3、可避免讨论。2222coscababC在 ABC中,已知a,b,A,讨论三角形解探究:的情况。sinsinbAa分析:由B=,可求出角B,sinc=sinaCA从而.1.当A为钝角或直角时,必须ab,才能有且只有一解,否则无解。0(),AB则C=1802.当A为锐角时,如果ab,那么只有一解。如果absinA,则有两解。(2)若a=bsinA,则只有一解。(3)若absinA,则无解。n若A为锐角时:锐角一解一锐、一钝二解直角一解无解babaAbAbaAbasinsinsinn若若A A为直角或钝角时为直角或钝角时: :锐角一解无解baba评述:注意评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角
4、解三在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当角形时,只有当A A为锐角且为锐角且 时,有两解;时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。其它情况时则只有一解或无解。sinbAab 0例1.在中,已知80,100,45 ,试判断此三角形解的情况。ABCabA0sin100sin45解: sinB=180bAa又a ,b 有两解。B三角形有两解。01例2.在 ABC中,1,40 ,2则符合题意的b的值有_个。acC0sin解: sinA=2sin401aCc又a,c 有两解。A三角形有两解,b的值有两个。0例3.在 ABC中,2,45 ,如果用正弦定理解三角形有两解,求x的取值范围。ax
5、cmbcmB0sinsin45解: sinA=12aBxb2 2x ,ab2.x即 22 2.x又三角形有两解,sin,sin,sin.(0)akA bkB ckC ksin,sin,sin222abcABCRRRR为外接圆半径bcacbA2cos2220例1.在 ABC中,已知:B=45 ,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求AB的长。 222222AD73511解:在 ADC中,cosC=22 7 314ACDCAC DC5 30C , sinC=.145 37sin5 614在 ABC中,AB=.sin222ACCB4 66例2.在 ABC中,已知:AB=,cosB=,AC
6、边上的36中线BD= 5. 求sin 的值。A,BCE解:取中点连DE,2 6.3DE=222DE.设BE=x,在 BDE中,BD =BE +-2BE DEcos BED2222 62 66( 5)().336 ) =x +(-2x270.即3x +4x7.3 x=1或x(舍)1.2则DEAB且DE=AB4 66例2.在 ABC中,已知:AB=,cosB=,AC边上的36中线BD= 5. 求sin 的值。A222.ABCA在BC中,AC =AB +BC -2ABcosBC2224 64 6684=.3369 AC =() +2 -22x=1,即BC=2.2 213AC=630由cosB=, s
7、inB=.66=.sinsinACBCBA302706sin.142 213A例1.在 ABC中,7,5,3,判断 ABC的形状。abc222解:由余弦定理cosA=可知:2bcabc2222225370bca 为钝角.A为钝角三角形.ABC 222为直角ABC为直角三角形。abcA 222为钝角ABC为钝角三角形。abcA222为锐角( ABC不一定为锐角三角形)。abcA例2.在 ABC中,已知c=acosB,b=asinC,试判断 ABC的形状。解法一:(边化角)sinC=sinAcosB,即sin() sin cos ,ABABB0, sinB0,化简得:cosAsinB=0.0cos
8、A=0, A=90 .又由b=asinC,得sinB=sinAsinC0而A=90 , sin1AsinB=sinC,B=C或B= -C(舍) BC为等腰直角三角形。Ac=acosB,例2.在 ABC中,已知c=acosB,b=asinC,试判断 ABC的形状。解法二:(角化边)222c=a,2acbac222.abc0A=90 .又b=asinC,而Rt ABC中,b=asinB,sinB=sinC,B=C或B= -C(舍). BC为等腰直角三角形。Ac=acosB,22例3.在 ABC中,已知tanA:tanB=a :b ,试判断 ABC的形状。解法一:(边化角)22sin cossin,
9、cos sincosABAABBcossin即,cossinBAAB即sin2sin2 ,AB22 或22 .ABAB或.2ABAB为等腰 或.ABCRt22tan,tanAaBb22例3.在 ABC中,已知tanA:tanB=a :b ,试判断 ABC的形状。解法二:(角化边)cossin即,cossinBAAB2222222即,2acbaacbbcabc422224整理得:0,aa cb cb22222() (a) 0,abbc222或a,abbc为等腰 或.ABCRt22tan,tanAaBb22sin cossin,cos sincosABAABB例4.在 ABC中,若acosA+bc
10、osB=ccosC,试判断 ABC的形状。解:由已知得sinAcosA+sinBcosB=sinCc(边化角)osC,sin2A+sin2B=sin2C,2sin(A+B)cos(A-B)=-2sin(A+B)cos(A+B),sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)=0,2sin(A+B)cosAcosB=0, 0A+B0,2A+C2cos=cos.22AC2sin=cos.22BAC11sin=cos.2222BAC0030 或150(舍).22BB060 .B112Sah()111sinsinsin222SabCbcAacB(2),4abcSRABCR(3)为外接圆半径。1,2
11、Sabcr rABC(4)()为内切圆半径。()()().1(a+b)2Sp papbpcpc(5)海伦公式:其中222222.(6)ABCD中,AC +BD =AB +BC +CD +DA222122.2bca(7) ABC中线 AD =03例:在中,60 ,1,面积为,2求的值。sinsinsinABCAbabcABC13解:由sin,22SbcA得:2c 222220则2cos122 1 2cos603abcbcA 3a从而2sinsinsinsinabcaABCA1. 在中,若55,16,且此三角形面积220 3,求角 .ABCabSC0060 或1202222. 在中,其三边分别为 , ,c且此三角形面积,求角 .4ABCababcSC04501.在 ABC中已知4,10,30 ,试判断三角形解的情况bcB2.设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长,求实数x的取值范围。03. 在中,60 ,1,2,判断的形状。ABCAabcABC4.三角形的两边分别为三角形的两边分别为3cm,5cm,它们所夹的角它们所夹的角的余弦为方程的余弦为方程 的根,求这个三角的根,求这个三角形的面积。形的面积。25760 xx13x