1、（一）不同表象之间的变换和么正（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵变换矩阵 （二）波函数和算符的变换关系（二）波函数和算符的变换关系 （三）么正变换的性质（三）么正变换的性质 么正变换矩阵么正变换矩阵设设 算符算符A的本征函数系为：的本征函数系为： 12,xx设设 算符算符B的本征函数系为：的本征函数系为： 12,xx则算符算符F在在A表象中的矩阵元表象中的矩阵元*( )( )mnmnFx Fx dx则算符算符F在在B表象中的矩阵元表象中的矩阵元*( )( )Fx Fx dx (4.4-1)(4.4-2)算符 F 的变换关系A 表象：|mnmnFFB 表象： |FF那么这两个不同矩阵之间有什
2、么关系可以证明可以证明 |FF*|mmnnmnmmnnmnmmnnmnFFF mm nnm nSFS*mm nnm nSFS*|( ) ( )nnnSxxdx (4.4-9)(4.4-4)mmnnmnFSF S F = S+ F S = S-1 F S 以F表示算符在B表象中的矩阵, F表示算符在A表象中的矩阵,则有(4.4-10)可以证明 S+ S = S S+ =I|nmmknmmknkmmnknkS SS S 即S+ S 为单位矩阵同理S S+ 也为单位矩阵(4.4-7)如何求么正变换矩阵如何求么正变换矩阵由由 S S 矩阵元的定义式：矩阵元的定义式： dxxxSkk)()(* 计算出全
3、部矩阵元即可得到 S 矩阵。方法 1：方法 II ：由表达式 kkkS |可知，S 矩阵元S k, n = 1, 2, 3, . 即是 基矢 | 在A表象中的表示，在 A 表象中，B 的本征基矢可表示为： 332313332221223121111SSSSSSSSS 将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵： 333221232221131211SSSSSSSSSS就是由 A 表象到 B 表象的么正变换矩阵。 （1 1）波函数变换关系）波函数变换关系对任一态矢 |u uukkk| kkka |有有波函数的变换关系( , )( )( )( )* ( ) ( . )nnnnnu x tatxatx u
4、 x t dx(4.4-11) uukkk| kkka | uakk| 其其中中于是 |u 在 A 表象中的表示为：aaaauk 21同理： uu| b | ub| 其其中中则 |u 在 B 表象中的表示：bbbbu 21 ub| ukkk|* kkkaS* kkkaS b = S+ a = S-1 ab b 与与 a a 之间之间 的变换关系的变换关系则可得出(4.4-13)（1）么正变换不改变算符的本征值设 F 在 A 表象中的本征方程为： F a = a在B 表象，= S= S-1-1 a a F = S F = S-1-1 F S F S b = S b = S-1-1 a aF b =F b = S= S-1-1 F a F a= S= S-1-1 a a=b=bS S-1-1 F S S F S S-1 -1 a a 么正变换的性质可见，不同表象中，力学量算符 F对应同一状态（a 和 b 描写同一状态）的的本征值不变。基于这一性质，解F的本征值问题就是把该力学量从某一表象变到自身表象，使F矩阵对角化。（2）么正变换不改变矩阵的迹矩阵的迹定义为该矩阵对角元素之和，即kkkTrFF()Tr FF )(1FSS kjkjjkSFS1 jkkjjkFSS 1 jkjkjkF kkkF ()Tr FF 的迹等于 F 的迹，也就是说：么正变换不改变矩阵的迹。
