1、 研究对象的机理比较简单研究对象的机理比较简单 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型可以利用初等数学方法来构造和求解模型尽量采用简单的数学工具来建模尽量采用简单的数学工具来建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎. 第二章 初等模型 第二章 初等模型2.1 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.2 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩2.3 实物交换实物交换 2.4 汽车刹车距离与道路通行能力汽车刹
2、车距离与道路通行能力2.5 估计出租车的总数估计出租车的总数2.6 评选举重总冠军评选举重总冠军2.7 解读解读CPI 2.8 核军备竞赛核军备竞赛2.9 扬帆远航扬帆远航2.10 节水洗衣机节水洗衣机2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失.假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流.T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态.材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数.建建模模热传导定律热传导定
3、律dTkQQ1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差, d材料厚度材料厚度, k热传导系数热传导系数2.1 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效双层双层单单层层dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数dTTkQa111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模lTTkba2dTTkb21记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q2dTTkQ2
4、21122d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=48 10-3 (J/cmskwh), k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模hQ1/Q242O0.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4, 则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可料的单层玻璃窗相比，可减少减少97%的热量
5、损失的热量损失.结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系所以如此小，是由于层间空气的热传导系数数k2 2极低极低, , 而这要求空气非常干燥、不流通而这要求空气非常干燥、不流通. .房间通过天花板、墙壁、房间通过天花板、墙壁、损失的热量更多损失的热量更多.dlhhQQ,18121实际上双层窗的功效不会如此之大实际上双层窗的功效不会如此之大!2.2 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇 2000m成绩成绩 t (min)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四
6、人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84空艇重空艇重w0(kg) 桨桨手数手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人单人、双人、四人、八人) 4次国际次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨桨手数有某手数有某种关系种关系. 试建立数学模型揭示这种关系试建立数学模型揭示这种关系.问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和质量调查赛艇的尺寸和质量l /b, w0/n 基本不变基本不变艇长艇长l 艇宽艇宽b l/b (m) (m) 7.93 0.293 27.0
7、9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 桨手的划桨功率桨手的划桨功率分析赛艇速度与桨手数量之间的关系分析赛艇速度与桨手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:划桨划桨功率功率 赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力桨手桨手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定. . 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建
8、立模型. .模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数), w0与与n成正比成正比2）v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速 v, 浸没面积浸没面积 s, 浸没体积浸没体积 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 桨手数桨手数 n, 桨手功率桨手功率 p, 桨手体重桨手体重 w, 艇重艇重 W.艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比桨手的特征桨手的特征模型模型建立建立f sv2,p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/
9、9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv,模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 11. 021. 7ntnbatloglog线性最小二乘法线性最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验进行检验.与模型吻合！与模型吻合！tn12487.216.886.325.84O划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩 对实际数据做比较、分析，发现并提出问题对实际数据做比较、分析，发现并提出问题. 利用物理基本知识分析问题利用物理基本知识分析问题. 模型假设比较粗糙模型假设比较粗糙. 利用合适的物理定律及简单的
10、比例利用合适的物理定律及简单的比例方法建模方法建模(只考虑各种艇的相对速度只考虑各种艇的相对速度). 模型结果与实际数据十分吻合模型结果与实际数据十分吻合 (巧合！巧合！)问问题题甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要，商定商定相互交换相互交换一部分一部分. 研究实物交换方案研究实物交换方案.yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲,乙占有乙占有X,Y的数量的数量. 设交换前甲占设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0, 乙占有乙占有Y的的数量为数量为y0, 作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点
11、p(x,y)都是一种都是一种交换方案交换方案：甲占有：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y). xyy0Ox02.3 实物交换实物交换xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有具有同样的满意同样的满意程度程度,即即p1, p2对甲是对甲是无差别无差别的的.MN将将所有与所有与p1, p2无差别的点无差别的点连接起来连接起来, 得到一条得到一条无差别无差别曲线曲线MN.线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同, 线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度的偏爱程
12、度.N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲，在另一条无差别曲线线M1N1上上, 于是形成于是形成一族无差别曲线一族无差别曲线（无数条）（无数条）.yxp1.yxp2.c1 yOxf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质： 单调减单调减(x增加增加, y减小减小) 下凸下凸(凸向原点凸向原点) 互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y.甲的无差别曲线族记作甲的无
13、差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线）甲的无差别曲线甲的无差别曲线xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有具有相同性质（形状可以不同）相同性质（形状可以不同）. 双方的交换路径双方的交换路径xyy0Ox0f=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系坐标系xOy, 且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB（交换路径）上（交换路径）上! !因为在因为在AB外的任一点外的任一点p, (双方双方)满意度低于
14、满意度低于AB上的点上的点p.两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB分析与建模分析与建模AB 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩形内任一点矩形内任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族X,Y用货币衡量其价值，设用货币衡量其价值，设交换前交换前x0,y0价值相同，则等价值相同，则等价交换原则下交换路径为价交换原则下交换路径为CD(x0,0), (0,y0) 两点的连线两点的连线CD.AB与与CD的交点的交点p设设X单价单价a, Y单价单价b, 则等价交换下则等价交换下ax
15、+by=s (s=ax0=by0)等价交等价交换原则换原则x0yy0O.xp.2.4 汽车刹车距离与道路通行能力汽车刹车距离与道路通行能力提高道路通行能力是现代城市交通面临的重要课题提高道路通行能力是现代城市交通面临的重要课题.背景和问题背景和问题车辆速度越高、密度越大，道路通行能力越大车辆速度越高、密度越大，道路通行能力越大. 介绍交通流的主要参数及基本规律；介绍交通流的主要参数及基本规律； 讨论汽车刹车距离与道路通行能力两个模型讨论汽车刹车距离与道路通行能力两个模型. 车速高，刹车距离变大，车辆密度将受到制约车速高，刹车距离变大，车辆密度将受到制约.需要对影响通行能力的因素进行综合分析需要
16、对影响通行能力的因素进行综合分析.交通流的主要参数及基本规律交通流的主要参数及基本规律流量流量q某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数(辆辆/h ) 密度密度k某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数(辆辆/km ) 速度速度v 某时刻通过道路某断面的车辆速度某时刻通过道路某断面的车辆速度(km/h) 交通流交通流 标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响. 借用物理学概念借用物理学概念, 将交通流
17、看作一辆辆汽车组成的连续将交通流看作一辆辆汽车组成的连续流体流体, 用用流量、速度、密度流量、速度、密度3个参数描述其基本特性个参数描述其基本特性. vkq 3个参数之间的基本关系个参数之间的基本关系 速度速度v 与密度与密度k 的关系的关系 vf 畅行车速畅行车速(k=0时时)kj阻塞密度阻塞密度(v=0时时)数据分析、机理分析数据分析、机理分析流量流量q与密度与密度k 的关系的关系车速车速v=vf /2时流量时流量q最大最大密度密度k变大变大，流量流量q增加增加；k=kj/2时时q最大最大；k继续变大，继续变大， q减小减小. 车流密度加大车流密度加大 司机被迫减速司机被迫减速 交通流的主
18、要参数及基本规律交通流的主要参数及基本规律vkq )/1 (jfkkvv线性模型线性模型 )/1 (jfkkkvq抛抛物物线线)/1 (fjvvvkq流量流量q与速度与速度v的关系的关系)/1 (jfkkkvqvkq )/1 (jfkkvv)/1 (fjvvvkq速度速度v流量流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度密度k 流量流量qkm=kj/2 最大流量时的密度最大流量时的密度vm=vf/2 最大流量时的速度最大流量时的速度 交通流的主要参数及基本规律交通流的主要参数及基本规律车速越快刹车距离越长车速越快刹车距离越长.刹车距离刹车距离从司机决定刹车到车完全停止行驶的距离从司
19、机决定刹车到车完全停止行驶的距离.汽车刹车距离模型汽车刹车距离模型二者是二者是线性关系线性关系吗？吗？车速车速v (km/h)20406080100120140刹车距离刹车距离d (m) 6.5 17.8 33.6 57.183.4 118.0 153.5d 与与v不是线性关系！不是线性关系！20406080100120140050100150200vd需对刹车过程需对刹车过程作作机理分析机理分析，建立建立d 与与v的数学模型的数学模型.测试测试数据数据问题分析问题分析最大制动力与车质量成正比最大制动力与车质量成正比,使汽车作匀减速运动使汽车作匀减速运动常数常数刹车距离刹车距离 反应距离、制动
20、距离反应距离、制动距离常数常数反应距离反应距离司机决定刹车到制动器开始起作用司机决定刹车到制动器开始起作用.制动制动距离距离反应反应距离距离反应时间反应时间车速车速司机状况司机状况制动系统灵活性制动系统灵活性制动器作用力制动器作用力车重、车速车重、车速道路、气候道路、气候制动距离制动距离制动器开始起作用到汽车完全停止制动器开始起作用到汽车完全停止.模型假设模型假设1. 刹车距离刹车距离 d 为反应距离为反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2之和之和.2. 反应距离反应距离 d1与车速与车速 v 成正比成正比, 比例系数为反应时间比例系数为反应时间.3. 刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制
21、动力F ： F作的功等于汽车动能的改变作的功等于汽车动能的改变. F与车的质量与车的质量 m 成正比成正比.F = mad1= c1 v模型建立模型建立F d2= m v2/2d = d1 +d2制动制动距离距离为为d2时，制动力时，制动力F作的功作的功为为Fd2车速从车速从v变成变成0，动能的变化为，动能的变化为mv2/2d2= c2 v2 , c2= m /2F d = c1v + c2 v2 参数估计参数估计 调查调查交通工程学的相关资料交通工程学的相关资料： 根据根据测试测试数据对数据对模型模型作拟合作拟合.司机反应时间司机反应时间c1约为约为0.71s，系数系数c2约为约为0.01(
22、 mh2/km2)c2= 1 /2a 城市通行能力模型城市通行能力模型道路通行能力道路通行能力单位时间内通过某断面的最大车辆数单位时间内通过某断面的最大车辆数. 通行能力通行能力表示道路的容量，表示道路的容量，交通流量交通流量表示道路的负荷表示道路的负荷.饱和度饱和度流量与通行能力的比值流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度表示道路的负荷程度.通行能力通行能力在安全条件下，当具有标准长度和技术指在安全条件下，当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车标的车辆，以前后两车最小车头间隔连续行驶最小车头间隔连续行驶时，单时，单位时间内通过道路某断面的位时间内通过道路某断面的最大车辆数最大车辆数N
23、 (辆辆/h). v车速车速 (km/h)， D最小车头间隔最小车头间隔(m) N=1000 v/D城市干道的通行能力城市干道的通行能力最小车头间隔最小车头间隔D主要由刹车距离主要由刹车距离d决定：决定：d0车身标准长度与两车间安全距离之和，取固定值车身标准长度与两车间安全距离之和，取固定值. 车速车速v一定时一定时，道路通行能力道路通行能力N与与c1，c2，d0（道路、车辆、司机等状况道路、车辆、司机等状况）有关有关.城市通行能力模型城市通行能力模型D=d+d0d = c1v + c2 v2 N=1000 v/D 当当d0，c1， c2变大时最大通行能力变大时最大通行能力Nm减小减小. 城市
24、通行能力模型城市通行能力模型 最大通最大通行能力行能力02121000dccNm一些人喜欢一些人喜欢记驶过身旁记驶过身旁的的汽车号码汽车号码.两难境地的决策两难境地的决策与朋友打赌的与朋友打赌的“骰子骰子”共识共识：出现出现任何号码汽车的任何号码汽车的机会机会相同相同.随意记下驶过的随意记下驶过的10辆出租车牌号：辆出租车牌号：0421, 0128, 0702, 0410, 0598, 0674, 0712, 0529, 0867, 0312估计这座城市出租车的总数估计这座城市出租车的总数.出租车牌号从某一个数字出租车牌号从某一个数字0101按顺序发放按顺序发放.2.5 估计出租车的总数估计出
25、租车的总数估计出租车的总数估计出租车的总数问题分析问题分析10个号码从小到大重新排列个号码从小到大重新排列. x0, x 区间内全部整数值区间内全部整数值 总体总体x1, x2, , x10 总体的一个总体的一个样本样本根据样本和根据样本和x0对总体的对总体的x作出估计作出估计.起始号码起始号码(已知已知)终止号码终止号码(未知未知)出租车总数为出租车总数为 x-x0+1起始号码起始号码x0平移为平移为0001模型建立模型建立总体总体 全部号码全部号码0001, 0002, , x样本样本 总体中的总体中的n个号码从小到大排列个号码从小到大排列 x1, x2, , xn建立由建立由x1, x2
26、, , xn估计估计x的模型的模型基本假定基本假定：每个每个xi 取自总体中任一号码的概率相等取自总体中任一号码的概率相等. x出租车总数出租车总数估计出租车的总数估计出租车的总数模型模型1 平均值模型平均值模型 模型建立模型建立 总数是样本均值的总数是样本均值的2倍倍模型模型2 中位数模型中位数模型x1-1x-xn假定假定：样本的最小值与最大值在总体中对称样本的最小值与最大值在总体中对称. 模型模型3 两端间隔对称模型两端间隔对称模型x1-1=x-xn 模型模型4 平均间隔模型平均间隔模型把起始号码和样本排成数列：把起始号码和样本排成数列：1, x1, x2, , xn,相邻两数相邻两数有有
27、n个间隔个间隔：x1 1, x2 x1 1, , xn xn-1 1 n个间隔个间隔的的平均值平均值 作为作为xn与与x间隔的估计间隔的估计模型模型5 区间均分模型区间均分模型将总体区间将总体区间1, x平均分成平均分成 n 份份.每个小区间长度每个小区间长度 假定假定：样本中每个样本中每个xi 都位于小区间的中点都位于小区间的中点.x xn应是小区间长度的一半应是小区间长度的一半 计算与分析计算与分析第第1样本样本： 0321, 0028, 0602, 0310, 0498, 0574, 0612, 0429, 0767, 0212第第2样本样本：0249, 0739, 0344, 0148
28、, 0524, 0284, 0351, 0089, 0206, 0327设设定定x0 =0001 模型模型1 模型模型2 模型模型3 模型模型4 模型模型5最大相差最大相差第第1样本样本870926794843807134第第2样本样本651610827812778217相差相差221316333129用用5个模型估计出租车总数个模型估计出租车总数x不合理不合理 (x = 651, 610 739)6516100739不稳定（相差大）不稳定（相差大）计算与分析计算与分析用全部样本，有用全部样本，有统计依据统计依据 数值模拟数值模拟样本估计结果与总体对比样本估计结果与总体对比, 评价各评价各个个
29、模型模型.用用5个模型分别对个模型分别对每个每个样本估计总体样本估计总体x.画画m个样本估计的个样本估计的x的直方图的直方图，分析分析x的分布的分布.给定总体给定总体1, 2, , x，x=1000从从总体总体中中取取n=10个数为一个样本个数为一个样本，共，共m=200个个样本样本对每个模型对每个模型计算计算m个样本估计的个样本估计的x的的平均值平均值、标准差标准差及平均值及平均值与真值与真值x=1000间间的误差的误差 模型模型1模型模型2模型模型3模型模型4模型模型5平均值平均值1023.21037.41010.01005.6962.3平均值误差平均值误差23.237.410.05.6-
30、37.7标准差标准差170.1261.0126.390.987.0 模型模型1模型模型2模型模型3模型模型4模型模型5平均值平均值986.5985.4980.8992.9950.1平均值误差平均值误差-13.5-14.6-19.2-7.1-49.9标准差标准差181.4271.1107.986.682.8数值模拟数值模拟第第1次次 模拟模拟第第2次次 模拟模拟总体总体x=1000,每个样本每个样本 n=10, m=200个个样本样本平均值误差平均值误差小小 标准差标准差大大标准差标准差小小平均值误差平均值误差大大 模型模型4 (平均间平均间隔模型隔模型)较优较优.5.690.9-7.186.6
31、500600700800900100011001200130014001500051015202530354045模型120040060080010001200140016001800051015202530354050060070080090010001100120013001400010203040506070模型2模型3663709755801847893939985103110770102030405060706356797237678118558999439871031010203040506070模型4模型5数值模拟数值模拟第第1 1次模拟的直方图次模拟的直方图左低右高的非对称型左
32、低右高的非对称型左右对称左右对称型型模型模型中中起始号码已知起始号码已知(平移至平移至1),限制了应用范围限制了应用范围.小结与评注小结与评注5个模型个模型中中平均值和中位数模型用平均值和中位数模型用到到一点统计一点统计，其他其他3个模型来自常识个模型来自常识, 后者后者竟然竟然较前者更优较前者更优.数值模拟数值模拟是是模型检验模型检验的重要方法的重要方法: 给定总体通给定总体通过模拟产生样本过模拟产生样本, 根据模型得到总体参数根据模型得到总体参数, 进行进行比较和评价比较和评价.问题：问题：哪些模型可以推广到起始号码未知哪些模型可以推广到起始号码未知的情况？的情况？与与“估计出租车的总数估
33、计出租车的总数”相关的历史事实相关的历史事实二战中一支盟军二战中一支盟军的的指挥部急需掌握德军指挥部急需掌握德军坦克的数量坦克的数量.盟军俘获了若干辆德军坦克，得到它们的盟军俘获了若干辆德军坦克，得到它们的序列号码序列号码.情报人员获知这支情报人员获知这支部队的部队的坦克号码坦克号码按顺序编排按顺序编排.以俘获的坦克号码为以俘获的坦克号码为样本样本，估计估计出坦克出坦克总量总量.英美情报机构通过捕获德军武器英美情报机构通过捕获德军武器的的序列编号，对军用序列编号，对军用轮胎、枪支、装甲车等众多装备的产量做出估计轮胎、枪支、装甲车等众多装备的产量做出估计.战后将估计值与从档案中得到的实际产量进行
34、比较，战后将估计值与从档案中得到的实际产量进行比较，多数估计的多数估计的误差在误差在10%以内以内！举重举重依靠运动员全身力量完成依靠运动员全身力量完成的体育项目的体育项目按照运动员体重划分按照运动员体重划分级别级别进行比赛进行比赛.赛艇赛艇拳击拳击摔跤摔跤每个级别都每个级别都有有一个一个冠军冠军.能评选出一个能评选出一个“总冠军总冠军”吗？吗？2.6 评选举重总冠军评选举重总冠军56kg, 62kg, 69kg, 77k, 85kg, 94kg, 105kg, 105kg以上以上. 男子举重比赛按运动员体重男子举重比赛按运动员体重 (上限上限)分为分为8个级别个级别：问题问题每个级别设每个级
35、别设3个项目：抓举、挺举个项目：抓举、挺举、总成绩总成绩.每个级别每个级别、每个项目都产生、每个项目都产生一个冠军一个冠军.同一项目同一项目 (如抓举如抓举) 的的8个冠军个冠军中中怎样怎样选出选出“总冠军总冠军”？不同级别冠军成绩不同级别冠军成绩按体重按体重 “折合折合”到到某个标准级别，某个标准级别，比较比较折合成绩折合成绩，选出最高的作为，选出最高的作为总冠军总冠军.评选举重总冠军评选举重总冠军问题分析问题分析比赛比赛产生产生各级别冠军成绩的各级别冠军成绩的实际值实际值建立体重与举重成绩的建立体重与举重成绩的数学模型数学模型计算各级别冠军举重成绩的计算各级别冠军举重成绩的理论值理论值计算
36、实际值与理论值的计算实际值与理论值的比值比值构造一个简单、合适的指标作为构造一个简单、合适的指标作为折合成绩折合成绩各级别冠军折合成绩最各级别冠军折合成绩最高的高的为为总冠军总冠军评选举重总冠军评选举重总冠军数据收集数据收集利用举重比赛的利用举重比赛的世界纪录世界纪录建立建立数学模型数学模型.级别级别项目项目纪录纪录保持者保持者日期日期62 kg级级抓举抓举153 kg石智勇（中国）石智勇（中国）2002.6.28挺举挺举182 kg乐茂盛（中国）乐茂盛（中国）2002.10.2总成绩总成绩327 kg金恩国（朝鲜）金恩国（朝鲜）2012.7.3169 kg级级抓举抓举165 kg马尔科夫（保
37、加利亚）马尔科夫（保加利亚） 2000.9.20挺举挺举198 kg廖辉（中国）廖辉（中国）2013.10.23 总成绩总成绩358 kg廖辉（中国）廖辉（中国）2013.10.23 多年积累下来的世界记录与某一次比赛成绩相比，多年积累下来的世界记录与某一次比赛成绩相比，更能避免偶然性更能避免偶然性.不同级别成绩的差别基本上由运动员体重决定不同级别成绩的差别基本上由运动员体重决定.不掌握创造记录的运动员的实际体重不掌握创造记录的运动员的实际体重.因为因为体重越大、举得越重，比赛时运动员体重体重越大、举得越重，比赛时运动员体重都会调整到非常接近各级别的上限都会调整到非常接近各级别的上限.105
38、kg以上级未设上限，只在其余以上级未设上限，只在其余7个级别中选总冠军个级别中选总冠军. 数据收集数据收集利用举重比赛的利用举重比赛的世界纪录世界纪录建立建立数学模型数学模型.世界记录与体重数据世界记录与体重数据的的散点图散点图数据分析数据分析大致呈线性关系大致呈线性关系大级别成绩的增加变慢大级别成绩的增加变慢线性关系有所改进线性关系有所改进幂函数幂函数(幂次小于幂次小于1)可能更合适可能更合适556065707580859095100105110100150200250300350400450 x 抓举+ 挺举* 总成绩世世界界记记录录体重体重普通坐标普通坐标1.71.751.81.851.
39、91.9522.12.22.32.42.52.62.7x 抓举+ 挺举* 总成绩世世界界记记录录体重体重对数坐标对数坐标建立举重建立举重总成绩总成绩y与与运动员运动员体重体重w的的数学数学模型模型模型模型建立建立模型模型1 线性模型线性模型 最小二乘法编程计算最小二乘法编程计算 k = 2.7039-60k 430/160= 2.69估算估算 线性模型线性模型 -60-40-20020406080100120050100150200250300350400450wyyw430160模型模型2 幂函数模型幂函数模型 运动生理学运动生理学确定幂函数的幂次确定幂函数的幂次举重举重总成绩总成绩y与与运
40、动员运动员体重体重w的模型的模型s 肌肉截面积肌肉截面积l 身体尺寸身体尺寸最小二乘法编程计算最小二乘法编程计算 k = 20.4711 幂函数模型幂函数模型 14151617181920212223300320340360380400420440w2/3 yyw2/3模型模型3 幂函数改进模型幂函数改进模型 举重举重总成绩总成绩y与与运动员运动员体重体重w的模型的模型最小二乘法最小二乘法 举重过程中力量的损失及身体尺寸的变化举重过程中力量的损失及身体尺寸的变化.50名顶尖运动员成绩名顶尖运动员成绩的的统计分析统计分析幂函数幂函数改进改进模型模型 非肌肉部分举重举重总成绩总成绩y与与运动员运动
41、员体重体重w的模型的模型5060708090100110300350400450线性模型线性模型5060708090100110250300350400450500幂函数模型幂函数模型 5060708090100110250300350400450幂函数幂函数改进改进模型模型 级别级别总成绩纪录总成绩纪录线性模型线性模型幂函数模型幂函数模型幂函数改进模型幂函数改进模型56 kg级级305 kg313.6486 (-2.76%)299.6405 (1.79%)298.2689 (2.26%)62 kg级级327 kg329.8718 (-0.87%)320.6784 (1.97%)324.331
42、7 (0.82%)69 kg级级358 kg348.7988 (2.64%)344.3827 (3.95%)350.2363 (2.22%)77 kg级级379 kg370.4298 (2.58%)370.5121 (2.56%)375.7952 (1.12%)两个幂函数模型比线性模型改进两个幂函数模型比线性模型改进不大不大. .1.71% 2.32% 1.47%总平均误差总平均误差评选总冠军评选总冠军wi (i=1, 2, , 7) 从轻到重从轻到重7个级别个级别的的体重体重(上限上限) 线性模型线性模型 幂函数模型幂函数模型 幂函数幂函数改进改进模型模型 各级别冠军的各级别冠军的理论成绩理
43、论成绩yi 一次比赛中各级别冠军的一次比赛中各级别冠军的实际成绩实际成绩 级别级别i冠军在评选总冠军中冠军在评选总冠军中实力实力 以以线性模线性模型型为例为例 评选总冠军评选总冠军任取级别任取级别i=4 (w4=77kg级级)为为标准标准使使 z4=y4 与与实力实力成正比的成正比的指标指标按按7个级别冠军的折合成绩排名，第一者为个级别冠军的折合成绩排名，第一者为总冠军总冠军. 将体重折合成将体重折合成77kg级后级别级后级别i冠军的实际成绩冠军的实际成绩. 折合成绩折合成绩 模型中系数模型中系数k随世界纪录的刷新而改变随世界纪录的刷新而改变.评选总冠军评选总冠军折合成绩折合成绩 线性模型线性
44、模型 幂函数模型幂函数模型 幂函数幂函数改进改进模型模型 评选评选2008年北京奥运会男子举重比赛年北京奥运会男子举重比赛总冠军总冠军 级别级别 冠军获得者冠军获得者总成绩总成绩折合成绩及名次折合成绩及名次线性模型线性模型幂函数模型幂函数模型幂函数改进模型幂函数改进模型56 kg级级龙清泉（中）龙清泉（中）292 kg344.8621（7） 361.0644 （5） 367.8969 （4）62 kg级级张湘祥（中）张湘祥（中）319 kg358.2213（6） 368.5729 （3） 369.6175 （3）69 kg级级廖辉（中）廖辉（中）348 kg369.5814（2） 374.40
45、39 （1） 373.3957 （1）77 kg级级史才秀（韩）史才秀（韩）366 kg366.0000（3） 366.0000 （4） 366.0000 （6）85 kg级级陆永（中）陆永（中）394 kg372.2621（1） 368.8735 （2） 371.7543 （2）94 kg级级伊利亚（哈）伊利亚（哈）406 kg361.1818（5） 355.4413 （6） 362.5143 （7）105 kg级级阿拉姆诺夫（白）阿拉姆诺夫（白）436 kg362.0121（4） 354.5581 （7） 367.7366 （5）69 kg级级廖辉（中）廖辉（中）348 kg369.581
46、4（2） 374.4039 （1） 373.3957 （1）3个模型中都个模型中都只有一个只有一个以因子形式出现的以因子形式出现的系数系数k,可以在可以在构造折合成绩构造折合成绩时消去时消去,便于评选便于评选总冠军总冠军.小结与评注小结与评注举重成绩与体重举重成绩与体重关系关系的数学模型的数学模型是评选总冠军是评选总冠军方法的基础方法的基础.通过世界纪录通过世界纪录数据观察数据观察和和机理分析机理分析分别分别建立线建立线性模型、幂函数模型和幂函数改进模型性模型、幂函数模型和幂函数改进模型.CPI (Consumer Price Index) 居民消费价格指数居民消费价格指数每月每月9日左右国家
47、统计局日左右国家统计局发布上月全国发布上月全国CPI数据数据.反映购买消费品和服务项目时价格变动趋势的数字反映购买消费品和服务项目时价格变动趋势的数字.观察通货膨胀水平的重要指标观察通货膨胀水平的重要指标.从从数学建模的思路，按照数据分析方法解读数学建模的思路，按照数据分析方法解读CPI.2.7 解读解读CPI按照时间顺序解读按照时间顺序解读CPI环比环比价格指数价格指数 以以上月为基期上月为基期进行对比进行对比消除季节变化和节日对价格的影响消除季节变化和节日对价格的影响同比同比价格指数价格指数反映当前价格的波动反映当前价格的波动以以上年同月为基期上年同月为基期进行对比进行对比通常公布价格指数
48、通常公布价格指数增长率增长率(%),方便方便了解价格上涨幅度了解价格上涨幅度2011.3环比增长率环比增长率-0.2%2011.2环比增长率环比增长率1.2%基期指数基期指数1002011.3同同比增长率比增长率5.4%环比指数环比指数101.2 (2011.1为为100)同同比指数比指数105.4 (2010.3为为100)环比指数环比指数99.8(2011.2为为100)月份月份 k123456789101112环比环比 (%) 1.0 1.2 0.2 0.1 0.1 0.3 0.5 0.30.5 0.1 0.2 0.3全国全国2011年年CPI各月份各月份环比增长率环比增长率环比环比价格
49、指数价格指数pk某年某年k月环比增长率月环比增长率(%)Pk 以上年以上年12月为基期月为基期, 本本年年k月月的的价格指数价格指数 pk为正为正Pk上升上升, pk为负为负Pk下降下降Pk涨幅回落涨幅回落Pk上升变缓上升变缓024681012-1-0.500.511.5pk(%)024681012100101102103104105Pk2011CPI环比环比月份月份k12345678910111220114.9 4.95.45.3 5.5 6.4 6.5 6.2 6.1 5.54.24.1 20124.5 3.23.63.4 3.0 2.2 1.8 2.0 1.9 1.72.02.5qk某年
50、某年k月同比增长率月同比增长率(%)同比同比价格指数价格指数全国全国2011, 2012年年CPI各月份各月份同同比增长率比增长率123456789101112123456720112012qk(%)2012年比年比2011年每月价年每月价格上涨的幅度明显减少格上涨的幅度明显减少.qk(j) j年年k月月同比同比指数指数环比环比价格指数价格指数与与同比同比价格指数价格指数的关系的关系pk(j) j年年k月月环比环比指数指数xk(j) j年年k月价格指数（以月价格指数（以j-2年年12月为基期）月为基期） 从从1月到月到k月以上年同一月以上年同一时期时期为基期进行对比为基期进行对比.累计累计价格
