1、第第2章章 测量误差及数据处理测量误差及数据处理 研究测量误差的目的是要在认识和掌握误差规律研究测量误差的目的是要在认识和掌握误差规律的基础上指导设计、制造和使用测量仪表。要解的基础上指导设计、制造和使用测量仪表。要解决一项测量任务，必须分析被测对象和被测量的决一项测量任务，必须分析被测对象和被测量的特性，选用适当的测量仪表和测量方法，组成合特性，选用适当的测量仪表和测量方法，组成合理的测量系统，然后对测量结果进行数据处理和理的测量系统，然后对测量结果进行数据处理和作出恰当的评价。所有这些都离不开误差理论的作出恰当的评价。所有这些都离不开误差理论的指导。指导。第第2章章 测量误差及数据处理测量
2、误差及数据处理 2.1 2.1 误差来源及其分类误差来源及其分类 2.2 2.2 误差的表示方法误差的表示方法 2.3 2.3 随机误差的估算随机误差的估算 2.4 2.4 粗大误差的判断准则粗大误差的判断准则 2.5 2.5 系统误差及其减小方法系统误差及其减小方法 2.6 2.6 测量数据的处理测量数据的处理 2.7 2.7 误差的合成与分配误差的合成与分配 2.8 2.8 最佳测量条件的确定最佳测量条件的确定教学目标教学目标 掌握研究测量误差的目的。掌握研究测量误差的目的。 熟悉测量误差的来源及分类。熟悉测量误差的来源及分类。 掌握误差的表示方法、仪表的等级确定和测量仪掌握误差的表示方法
3、、仪表的等级确定和测量仪表选用。表选用。 掌握随机误差、粗大误差和系统误差的估算、判掌握随机误差、粗大误差和系统误差的估算、判断和减小方法断和减小方法 掌握测量数据的处理过程掌握测量数据的处理过程 掌握常见的误差合成和分解掌握常见的误差合成和分解 掌握如何确定最佳测量条件掌握如何确定最佳测量条件2.1 误差来源及其分类误差来源及其分类 在科学实验和工程实践中，任何测量结果都含有在科学实验和工程实践中，任何测量结果都含有误差误差。由于误差存在的。由于误差存在的必然性和普通性必然性和普通性，人们只，人们只能将它控制到尽量低的程度而能将它控制到尽量低的程度而无法消除它无法消除它。因此。因此我们根据需
4、要对误差的我们根据需要对误差的来源来源和测量误差的和测量误差的性质性质进进行分类，便于研究。行分类，便于研究。2.1.1 误差的来源误差的来源 2.1.2 误差的分类误差的分类2.1.12.1.1 误差的来源误差的来源人身误差理论误差影响误差方法误差仪器仪表误差误差来源2.影响误差影响误差 由于各种环境因素与由于各种环境因素与仪器仪表所要求的使仪器仪表所要求的使用条件不一致而造成用条件不一致而造成的误差称为影响误差。的误差称为影响误差。例如，由于温度、湿例如，由于温度、湿度、大气压、电磁场、度、大气压、电磁场、电源电压及频率等波电源电压及频率等波动所造成的误差均属动所造成的误差均属于影响误差。
5、于影响误差。1.仪器、仪表误差仪器、仪表误差 仪器仪表本身及其仪器仪表本身及其附件引起的误差称为附件引起的误差称为仪器仪表误差。例如，仪器仪表误差。例如，仪器仪表本身的电气仪器仪表本身的电气或机械性能不完善、或机械性能不完善、零点和增益漂移、非零点和增益漂移、非线性、刻度不准确以线性、刻度不准确以及标准量不稳定等所及标准量不稳定等所引起的误差均属于仪引起的误差均属于仪器仪表误差。器仪表误差。3.方法误差方法误差 由于测量方法不合由于测量方法不合理所造成的误差。理所造成的误差。例如用低输入电阻例如用低输入电阻的仪表测量高内阻的仪表测量高内阻回路的输出电压所回路的输出电压所引起的误差属于方引起的误
6、差属于方法误差。法误差。4.理论误差理论误差 由于仪器仪表所依据的由于仪器仪表所依据的理论或公式本身不完善或理论或公式本身不完善或者是近似的所引起的误差者是近似的所引起的误差称为理论误差。例如，用称为理论误差。例如，用均值表测量非正弦信号电均值表测量非正弦信号电压，须进行波形换算，其压，须进行波形换算，其定度系数为：定度系数为： 由于和均是无理数，所取由于和均是无理数，所取得的得的1.11是个近似值所造是个近似值所造成的误差属于理论误差。成的误差属于理论误差。 11. 122K5.人身误差人身误差 由于测量者的分辨由于测量者的分辨力、视觉疲劳、习力、视觉疲劳、习惯或缺乏责任心等惯或缺乏责任心等
7、因素引起的误差称因素引起的误差称为人身误差。人身为人身误差。人身误差是由于人为因误差是由于人为因素造成的，欲减小素造成的，欲减小人身误差必须加强人身误差必须加强责任心责任心。2.1.2 误差的分类误差的分类根据误差的性质及其产生的原因，可将误差分为三类：根据误差的性质及其产生的原因，可将误差分为三类： 1. 系统误差系统误差（简称系差）（简称系差） a) 定义：在相同条件下多次测量同一量值时，误差的定义：在相同条件下多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者改变测量条件时，按绝对值和符号保持不变，或者改变测量条件时，按一定规律变化的误差称为系统误差。一定规律变化的误差称为系统误差。b
8、) 前述仪器仪表误差、方法误差和理论误差均属于系前述仪器仪表误差、方法误差和理论误差均属于系统误差。统误差。 c) 系统误差是有规律性的误差。通过仔细分析和研究，系统误差是有规律性的误差。通过仔细分析和研究，产生系统误差的规律是可以掌握的。因此，可设法产生系统误差的规律是可以掌握的。因此，可设法减小或消除系统误差。减小或消除系统误差。 d) 系统误差表征了测量结果的准确度，系统误差愈小，系统误差表征了测量结果的准确度，系统误差愈小，准确度愈高，反之亦然。准确度愈高，反之亦然。2.1.2 误差的分类误差的分类2. 随机误差随机误差 a) 在相同条件下多次重复测量同一被测量，其误差的大在相同条件下
9、多次重复测量同一被测量，其误差的大小和符号均是无规律变化的误差称为随机误差。产生小和符号均是无规律变化的误差称为随机误差。产生随机误差的原因是由于许多复杂的因素微小变化的总随机误差的原因是由于许多复杂的因素微小变化的总和引起的。和引起的。b) 例如，仪表内部某些元件的热噪声和散粒噪声、机械例如，仪表内部某些元件的热噪声和散粒噪声、机械部件的间隙和摩擦、电源电压、频率和环境因素的频部件的间隙和摩擦、电源电压、频率和环境因素的频繁而无规律的变化等引起的误差均属随机误差。繁而无规律的变化等引起的误差均属随机误差。c) 随机误差表征了测量结果的精密度，随机误差小，精随机误差表征了测量结果的精密度，随机
10、误差小，精密度高，反之，精密度低。密度高，反之，精密度低。服从正态分布规律的随机误差服从正态分布规律的随机误差d) 当测量次数足够多时，大多数随机误差是服从正态当测量次数足够多时，大多数随机误差是服从正态分布的。服从正态分布规律的随机误差具有下列特分布的。服从正态分布规律的随机误差具有下列特点点（如下图所示如下图所示） ： 单峰性单峰性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大，绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大，在误差在误差 处，出现的概率最大。处，出现的概率最大。 有界性有界性 绝对值大于某一数值的误差几乎不出现，故可认绝对值大于某一数值的误差几乎不出现，故可认为随机误差有一定的
11、界限。为随机误差有一定的界限。 对称性对称性 大小相等符号相反的误差出现的概率大致相同。大小相等符号相反的误差出现的概率大致相同。 抵偿性抵偿性 正、负误差是相互抵消的，因此随机误差的代数正、负误差是相互抵消的，因此随机误差的代数和趋于或者等于零。和趋于或者等于零。服从正态分布规律的服从正态分布规律的随机误差的特点：随机误差的特点：单锋性单锋性有界性有界性对称性对称性抵偿性抵偿性0粗大误差粗大误差3. 粗大误差（简称粗差）粗大误差（简称粗差） a) 定义：在相同定义：在相同 条件下多次测量同一被测量时，可能有条件下多次测量同一被测量时，可能有某些测量值明显偏离了被测量的真正值所形成的误差某些测
12、量值明显偏离了被测量的真正值所形成的误差称为粗大误差。称为粗大误差。b) 前述的人身误差是产生粗差的原因之一。此外，由于前述的人身误差是产生粗差的原因之一。此外，由于测量条件的突然变化，例如电源电压突变、雷电、机测量条件的突然变化，例如电源电压突变、雷电、机械冲击等是造成粗差的客观原因。械冲击等是造成粗差的客观原因。c) 凡是被确认含有粗差的测量结果称为坏值。在测量数凡是被确认含有粗差的测量结果称为坏值。在测量数据处理时，所有坏值都必须剔除。据处理时，所有坏值都必须剔除。 测量结果的表征测量结果的表征 准确度准确度，表示系统误差的大小。系统误差越小，则准确度表示系统误差的大小。系统误差越小，则
13、准确度越高，即测量值与实际值负荷的程度越高。越高，即测量值与实际值负荷的程度越高。 精密度，精密度，表示随机误差的影响。精密度越高，表示随机误表示随机误差的影响。精密度越高，表示随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。布在平均值附近。 精确度，精确度，用来反映系统误差和随机误差的综合影响。精确用来反映系统误差和随机误差的综合影响。精确度越高，标傲世正确度和精密度都高，意味着系统误差和度越高，标傲世正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。随机误差都小。射击误差射击误差示意图示意图2.2 误差的表示方法误差
14、的表示方法2.2.1 测量误差的表示方法测量误差的表示方法 由于误差是客观存在的，因此在计量学上认为被测量由于误差是客观存在的，因此在计量学上认为被测量的真正值是无法得到的。讨论被测量示值与真值的误的真正值是无法得到的。讨论被测量示值与真值的误差是没有应用意义的。差是没有应用意义的。 实际值绝对误差、修正值实际值绝对误差、修正值 被测量实际值取得的方法被测量实际值取得的方法 实际值相对误差实际值相对误差 实际值绝对误差实际值绝对误差定义：由测量所得之被测量的值定义：由测量所得之被测量的值 与被测量实与被测量实际值际值 之差称为实际值绝对误差，记为之差称为实际值绝对误差，记为 。 （2-1）由此
15、可见，由此可见， 为可正可负和有量纲的数值，其大小和符为可正可负和有量纲的数值，其大小和符号分别表示测量值偏离被测量实际值的程度和方向。号分别表示测量值偏离被测量实际值的程度和方向。被测量实际值可用下列两种方法取得：被测量实际值可用下列两种方法取得：a) 用比所用仪表的精度等级高一级或数级的仪表的指示用比所用仪表的精度等级高一级或数级的仪表的指示值作为被测量的实际值值作为被测量的实际值 。b) 在测量此数足够多时，仪表示值的算术平均值作为被在测量此数足够多时，仪表示值的算术平均值作为被测量的实际值测量的实际值 。xxAAxxxAA修正值修正值定义：定义：a)与绝对误差的数值相等而符号相反的量值
16、称为修正值，用与绝对误差的数值相等而符号相反的量值称为修正值，用 来来表示，则：表示，则： b) 修正值修正值 是通过检定（或校准）由上一级标准（或基准）以表是通过检定（或校准）由上一级标准（或基准）以表格、曲线、公式或数字等形式给出的。因此，用修正值与仪表格、曲线、公式或数字等形式给出的。因此，用修正值与仪表的示值相加，可算出被测量的实际值，即：的示值相加，可算出被测量的实际值，即： c)可见，用修正值可以减小测量误差，得到更接近于被测量真值可见，用修正值可以减小测量误差，得到更接近于被测量真值的实际值。的实际值。 d)应该指出，使用修正值必须在仪表检定的有效期内。修正值本应该指出，使用修正
17、值必须在仪表检定的有效期内。修正值本身也有误差。身也有误差。 xAxcccxAc实际值相对误差实际值相对误差例例2-3 测量两个电压，实际值测量两个电压，实际值 ， ，仪表的示值分别为仪表的示值分别为 ， 。其绝对误差。其绝对误差分别为：分别为： 很显然，虽然二者的绝对误差相同，但是二者测量的很显然，虽然二者的绝对误差相同，但是二者测量的精确度却相差甚远，因此有必要引入相对误差的概念。精确度却相差甚远，因此有必要引入相对误差的概念。 定义：定义： 实际值绝对误差与被测量实际值之比的百分数称为实实际值绝对误差与被测量实际值之比的百分数称为实际值相对误差，即：际值相对误差，即：%100AxA1V1
18、00)V-(101111UUUx1V5)V-(6222UUUx100V1U5V2U101V1xU6V2xU2.2.2 仪器仪表误差的表示方法仪器仪表误差的表示方法 误差是仪器仪表的重要质量指标。按有关规定，误差是仪器仪表的重要质量指标。按有关规定，可用工作误差、固有误差、影响误差和稳定误差可用工作误差、固有误差、影响误差和稳定误差来表征仪器仪表的性能；也可以用基本误差和附来表征仪器仪表的性能；也可以用基本误差和附加误差来表征仪器仪表的性能，本书采用后面一加误差来表征仪器仪表的性能，本书采用后面一种表示方法。种表示方法。 1.1.基本误差基本误差 它是仪器仪表在标准条件下使用时所它是仪器仪表在标
19、准条件下使用时所具有的误差。具有的误差。2.2.附加误差附加误差 当仪表在使用中偏离了标准工作条件，当仪表在使用中偏离了标准工作条件，除了基本误差外，还会产生附加误差。除了基本误差外，还会产生附加误差。 基本误差基本误差 定义定义：它是仪器仪表在：它是仪器仪表在标准条件标准条件下使用时所具有的误差。下使用时所具有的误差。标准条件一般是指仪器仪表在标定刻度时所保持的工作条标准条件一般是指仪器仪表在标定刻度时所保持的工作条件。例如电源电压交流件。例如电源电压交流(220(2205%)V5%)V，环境温度，环境温度(20(205)5)；相对湿度相对湿度(70(7015)15)；大气压；大气压(98.
20、1(98.14.0)kPa4.0)kPa等。等。 对于相同的绝对误差，相对误差随被测量对于相同的绝对误差，相对误差随被测量 的增加而减小，的增加而减小，相反，随相反，随 的减小而增加，在整个测量范围内相对误差不的减小而增加，在整个测量范围内相对误差不是是一个定值一个定值。 因此，相对误差不能用于评价仪器仪表的精确度，也不便因此，相对误差不能用于评价仪器仪表的精确度，也不便于用来划分仪器仪表的精度等级。为此提出最大满度相对于用来划分仪器仪表的精度等级。为此提出最大满度相对误差称为误差称为最大引用误差最大引用误差的概念（的概念（在标准工作条件下在标准工作条件下）。）。xx满度相对误差与引用误差满度
21、相对误差与引用误差 最大满度相对误差最大满度相对误差是仪表基本误差最大值是仪表基本误差最大值 与仪器仪表与仪器仪表量程之比的百分数，即：量程之比的百分数，即： 最大引用误差最大引用误差是仪表的绝对误差最大值是仪表的绝对误差最大值 与仪器仪表量与仪器仪表量程之比的百分数，即：程之比的百分数，即： 当仪表是在标准条件下使用的，则：当仪表是在标准条件下使用的，则：%100量程基momx%100量程绝mx基mx绝mx大引用误差最大满度相对误差最仪表精度等级的确定仪表精度等级的确定 按国家标准规定，用最大引用误差来定义和划分仪器仪按国家标准规定，用最大引用误差来定义和划分仪器仪表的精度等级，将仪器仪表的
22、精度等级分为：表的精度等级，将仪器仪表的精度等级分为： ， 0.05， 0.1，0.25，0.35，0.5，1.0，1.5，2.5，4.0，5.0（以前只有七种以前只有七种） 当计算所得的与仪表精度等级的分档不等时，应取稍大当计算所得的与仪表精度等级的分档不等时，应取稍大的精度等级值。仪表的精度等级通常以的精度等级值。仪表的精度等级通常以S来表示。例如，来表示。例如，S=1.0，说明该表的最大引用误差不超过，说明该表的最大引用误差不超过1.0%。仪表的精确度等级仪表的精确度等级 仪表的精确度等级：仪表的精确度等级：指仪表在规定的工作条件下允许的最指仪表在规定的工作条件下允许的最大相对百分误差。
23、（把仪表允许的最大相对百分误差去掉大相对百分误差。（把仪表允许的最大相对百分误差去掉“”号和号和“”号，便可用来确定其精度等级）号，便可用来确定其精度等级） 所谓的所谓的0.50.5级仪表，表示该仪表允许的最大相对百分误差级仪表，表示该仪表允许的最大相对百分误差为为0.50.5，以此类推。，以此类推。 精度等级一般用一定的符号形式表示在仪表面板上（如右精度等级一般用一定的符号形式表示在仪表面板上（如右图所示）：图所示）： 也有以也有以0.20.2FSFS 等形式写出等形式写出 精度等级数值小于等于精度等级数值小于等于0.050.05的仪表通常用来作为标准表，的仪表通常用来作为标准表，而工业用表
24、的精度等级数值一般大于等于而工业用表的精度等级数值一般大于等于0.50.5。1.51.0仪表的精确度等级仪表的精确度等级5*100%1.25%4000 0.5*100%1.25%400 附加误差附加误差 当仪表在使用中偏离了标准工作条件，除了基本误差外，当仪表在使用中偏离了标准工作条件，除了基本误差外，还会产生附加误差。附加误差也用百分数表示。还会产生附加误差。附加误差也用百分数表示。 例如，仪表使用时温度超出例如，仪表使用时温度超出(20(205)5)，则会产生温度附，则会产生温度附加误差；使用时电源电压超出加误差；使用时电源电压超出(220(2205%)V5%)V，则会产生电压，则会产生电
25、压附加误差。附加误差。 此外，还有频率附加误差，湿度附加误差，振动附加误差此外，还有频率附加误差，湿度附加误差，振动附加误差等等。等等。 在使用仪表时，附加误差和基本误差要合理综合，再估计在使用仪表时，附加误差和基本误差要合理综合，再估计出测量的总误差。出测量的总误差。 2.2.3 数字仪表误差的表示方法数字仪表误差的表示方法 数字仪表的基本误差用下列两种方式表示：数字仪表的基本误差用下列两种方式表示： 式中，式中， 为绝对误差；为绝对误差； 为误差的相对项系数；为误差的相对项系数； 为被测为被测量的指示值；量的指示值； 为误差固定项的系数；为误差固定项的系数； 为仪表的满度为仪表的满度值。值
26、。 上述两种方式实质上是一致的，常用后一种，因较为方便。上述两种方式实质上是一致的，常用后一种，因较为方便。 是用示值相对误差表示的，它与读数成正比，称为是用示值相对误差表示的，它与读数成正比，称为读数误差。它与仪表各单元电路的不稳定性有关。读数误差。它与仪表各单元电路的不稳定性有关。 不随读数变化，不随读数变化， 一定时，它是个固定值，称为满一定时，它是个固定值，称为满度误差。它包括量化误差和零点误差等度误差。它包括量化误差和零点误差等。 mxbxax% 几个字xax%xabxmxxa%mxb%mx2.2.4 一次直接测量时最大误差的估计一次直接测量时最大误差的估计 在工程测量中，通常只做一
27、次直接测量而取得测量结果，在工程测量中，通常只做一次直接测量而取得测量结果，此时如何从仪器仪表的精度等级来确定测量误差呢？此时如何从仪器仪表的精度等级来确定测量误差呢？ 设只有基本误差的情况下，仪器仪表的最大绝对误差为：设只有基本误差的情况下，仪器仪表的最大绝对误差为： 与与 示值之比，即为最大示值相对误差：示值之比，即为最大示值相对误差：mmxsx%mxxxxsxxmmxm%100一次直接测量时最大误差的估计一次直接测量时最大误差的估计 可见，可见， 不仅与仪器仪表的精度不仅与仪器仪表的精度 有关，有关， 而且与满度值而且与满度值 和示值和示值 之比值有关。示值之比值有关。示值 大时，相对误
28、差大时，相对误差 小。当小。当 时，时， 。可见，仪器仪表给出的精度。可见，仪器仪表给出的精度 是相对误差的最小值。是相对误差的最小值。 离开满度离开满度 愈远，愈远， 愈大。愈大。 因此，当仪器仪表的精度等级已知时，示值因此，当仪器仪表的精度等级已知时，示值 愈接近满度愈接近满度值值 ，测量示值的精度愈高。在使用正向刻度的模拟式仪，测量示值的精度愈高。在使用正向刻度的模拟式仪表时，应尽量使指示值表时，应尽量使指示值 靠近满度值靠近满度值 ，至少应在，至少应在 左右。左右。 反之选择仪表量程时，反之选择仪表量程时， 应该使其满度值尽量接近被测量应该使其满度值尽量接近被测量的数值，至少不应比被测
29、值大得太多。的数值，至少不应比被测值大得太多。xmsmxxxxmmxx %sxm%sxmxxmxmxxmx3/2mxx mx例例2-72-7 测量一个约测量一个约80V80V的电压。现有二块电压表，一块的电压。现有二块电压表，一块量程为量程为300V300V，0.50.5级，另一块量程级，另一块量程100V100V，1.01.0级，级，问选择哪一块为好？问选择哪一块为好？解：根据式（解：根据式（2-92-9），求其最大相对误差。），求其最大相对误差。1 1） 使用使用300V300V，0.50.5级电压表时级电压表时2 2） 使用使用100V100V，1.01.0级电压表时级电压表时 可见，用
30、可见，用100V100V，1.01.0级电压表测量该电压时，精度比较级电压表测量该电压时，精度比较高，故选用高，故选用100V100V，1.01.0级电压表较好。级电压表较好。%88. 180300%5 . 01x%25. 180100%0 . 12x例例2-92-9 用一台用一台4 4位的数字电压表的位的数字电压表的5V5V量程分别测量量程分别测量5V5V和和0.1V0.1V电压，已知该仪表电压，已知该仪表的基本误差为的基本误差为 个字，求由于该表的基本误差引起的测量误个字，求由于该表的基本误差引起的测量误差。差。解解 ：测量：测量5V5V电压时的绝对误差。电压时的绝对误差。 因为该表是因为
31、该表是4 4位，用位，用5V5V量程时，量程时，1 1个字相当于个字相当于0.001V0.001V，所以绝对误，所以绝对误差为：差为：= =0.01%0.01%5V5V1 1个字个字=(=(0.00050.00050.001)V=0.001)V=0.0015V0.0015V因此其示值相对误差为：因此其示值相对误差为： 测量测量0.1V0.1V电压时的绝对误差。电压时的绝对误差。 = =0.01%0.01%0.1V0.1V1 1个字个字 =(=(0.000010.000010.001)V0.001)V 0.001V0.001V其示值相对误差为：其示值相对误差为：101. 0 xU1U%03. 0
32、%10050015. 0%10011xUU2U%1%1001 . 0001. 0%10022xUU结论结论 可见，当不在接近满量程显示时，误差是很大的。可见，当不在接近满量程显示时，误差是很大的。因此，当测量小电压时，应当用较小的量程。同因此，当测量小电压时，应当用较小的量程。同时还可看出，时还可看出，“1 1个字个字”的误差对测量结果的影的误差对测量结果的影响也是比较大的，不可忽视。响也是比较大的，不可忽视。2.3 随机误差的估算随机误差的估算 2.3.1 测量值的算术平均值与数学期望测量值的算术平均值与数学期望 2.3.2 标准差标准差 2.3.3 随机误差的正态分布随机误差的正态分布 2
33、.3.4 贝塞尔公式贝塞尔公式 2.3.5 算术平均值标准差算术平均值标准差2.3.1 测量值的算术平均值与数学期望测量值的算术平均值与数学期望 由同一测量者用同一仪器和方法，以同样的精细程度在短由同一测量者用同一仪器和方法，以同样的精细程度在短时间内对同一被测量进行多次重复测量，称为等精密度测时间内对同一被测量进行多次重复测量，称为等精密度测量。设对被测量量。设对被测量 进行进行 次等精密度测量，得测量值数列次等精密度测量，得测量值数列为：为： 这里为随机变量，测量值的算术平均值为：这里为随机变量，测量值的算术平均值为： 也称为样本平均值。当测量次数也称为样本平均值。当测量次数 时，样本平均
34、时，样本平均值的极限称为测量值的数学期望值的极限称为测量值的数学期望 ： 也称为总体平均值。也称为总体平均值。xnnxxxx,321niixnx11xnExniinxnEx1)1(limEx 随机误差是随机误差是精密度精密度的反映，表征了各次测量值的分散程度，的反映，表征了各次测量值的分散程度，故随机误差故随机误差 为：为： ，即，即 而系统误差是而系统误差是准确度准确度的反映，则系统误差的反映，则系统误差 为：为：，即，即 式中，式中， 是被测量真值。是被测量真值。 真值绝对误差真值绝对误差 是测量示值是测量示值 与真值之差：与真值之差： 由上式可见，绝对误差等于随机误差和系统误差的代数和。
35、由上式可见，绝对误差等于随机误差和系统误差的代数和。 若系差和粗差等于零，故若系差和粗差等于零，故 则：则：iExxiiExxii0AEx ExA00AiiiiExExAxx)()(0ixix0AEx 0Axii 随机误差的算术平均值为：随机误差的算术平均值为： 由上式可知，当由上式可知，当 时，时， 则则 由此可见，当由此可见，当 时，随机误差的算术平均值为零。时，随机误差的算术平均值为零。 对于有限次等精密度测量，当对于有限次等精密度测量，当 足够多时，可近似认足够多时，可近似认为为 。由上式得：。由上式得： 由此可见，若仅存在随机误差，可用多次测量的算术平由此可见，若仅存在随机误差，可用
36、多次测量的算术平均值均值 作为最后测量结果。作为最后测量结果。（常在实验里用到）（常在实验里用到） niniiniiniiAnxnAxnn10101111)(110Ax nExx 00AExnn00Ax x2.3.2 标准差标准差 测量值的算术平均值是被测量的最可信赖值。但是仅知道测量值的算术平均值是被测量的最可信赖值。但是仅知道测量值的算术平均值仍无法知道测量值的分散程度。被测测量值的算术平均值仍无法知道测量值的分散程度。被测量的分散程度可以用测量值数列的标准差来表示。其定义量的分散程度可以用测量值数列的标准差来表示。其定义为：当为：当 时，随机误差时，随机误差 的平方的算术平均值再开平的平
37、方的算术平均值再开平方后，只取正值，即方后，只取正值，即 标准差标准差 是表征精密度的重要参数。是表征精密度的重要参数。 小表示测量值集中；小表示测量值集中； 大，表示测量分散。大，表示测量分散。 取平方的目的是，不论取平方的目的是，不论 是正是负，其平方总是正的，是正是负，其平方总是正的，其平方和不会等于零，给计算带来方便。其平方和不会等于零，给计算带来方便。 niin121inii2.3.3 随机误差的正态分布随机误差的正态分布 由概述论中的讨论可知，测量中随机误差由概述论中的讨论可知，测量中随机误差 的分布和在的分布和在 影响下的测量数据的分布大多数是服从正态分布的。服影响下的测量数据的
38、分布大多数是服从正态分布的。服从正态分布的随机误差，其概率密度函数从正态分布的随机误差，其概率密度函数 为：为： 式中，式中， 为随机误差；为随机误差； 为标准差。为标准差。 与与 的曲线见图的曲线见图2-12-1。 由图可见，标准差由图可见，标准差 一经确定，一经确定， 就是就是 的单值函数的单值函数。 22221)(ei)(i)()(图2-1 随机误差的正态分布曲线2.3.3 随机误差的正态分布随机误差的正态分布图图2-2 2-2 示出了三个不同的示出了三个不同的 对应的三条正态分布曲线。对应的三条正态分布曲线。由图可见，由图可见， 愈小，曲线愈小，曲线愈高愈陡，小误差出现的愈高愈陡，小误
39、差出现的概率愈大，表示测量值集概率愈大，表示测量值集中，精密度高；反之，中，精密度高；反之， 愈大，曲线平坦，测量值愈大，曲线平坦，测量值分散，精密度低。分散，精密度低。 图2-2 标准差 的意义2.3.4 贝塞尔公式贝塞尔公式 在实际测量中，测量次数不可能无穷大。当测量次数在实际测量中，测量次数不可能无穷大。当测量次数 为为有限次时，可用剩余误差有限次时，可用剩余误差 来计算标准差来计算标准差 ，同时用标，同时用标准差的估计值准差的估计值 代替代替 。在有限次测量中，标准差估计。在有限次测量中，标准差估计值值 可用贝塞尔公式计算，即：可用贝塞尔公式计算，即： 式中，（式中，（ ）称为自由度，
40、常用）称为自由度，常用 表示，表示， 。 由上式可见，当由上式可见，当 时，时， 值不定，故仅做一次测量的数值不定，故仅做一次测量的数据是不可靠的。据是不可靠的。 in1n1 nKK1nniin12112.3.5 算术平均值标准差算术平均值标准差 在有限次等精密度测量中，以测量值的算术平均值作为测在有限次等精密度测量中，以测量值的算术平均值作为测量结果。量结果。 如果在相同条件下对同一量值作如果在相同条件下对同一量值作 组，每一组作组，每一组作 次测次测量，通过计算可得到量，通过计算可得到 个算术平均值。个算术平均值。 由于随机误差的存在，这由于随机误差的存在，这 个算术平均值并不相同，而个算
41、术平均值并不相同，而围绕着真值围绕着真值 有一定的分散性。有一定的分散性。 这说明了算术平均值还存在着误差。当需要更精密考虑时，这说明了算术平均值还存在着误差。当需要更精密考虑时，可用算术平均值的标准差可用算术平均值的标准差 来评定测量结果的分散程度。来评定测量结果的分散程度。算术平均值标准差与标准差估计值的关系为：算术平均值标准差与标准差估计值的关系为： nxmnmm0Ax算术平均值标准差算术平均值标准差 由上式可见，由上式可见， 随随 的增加而减小，测量次数愈多，测的增加而减小，测量次数愈多，测量结果的精密度愈高。但由于量结果的精密度愈高。但由于 与与 成反比，精密度的成反比，精密度的提高
42、随提高随 的增加而越来越慢。一般取的增加而越来越慢。一般取 次即可。次即可。不能单靠增加不能单靠增加 来减小来减小 ，而应该在增加，而应该在增加 的同时，的同时，设法减小设法减小 。 这就意味着要改善测量方法，采用精确度等级较高的仪器这就意味着要改善测量方法，采用精确度等级较高的仪器仪表，才能进一步提高测量的精密度。仪表，才能进一步提高测量的精密度。xnnxn2010nnxnx2.4 粗大误差的判断准则粗大误差的判断准则2.4.1 置信概率与置信区间置信概率与置信区间2.4.2 有限次测量的置信度有限次测量的置信度2.4.3 随机不确定度与坏值剔除随机不确定度与坏值剔除2.4.1 置信概率与置
43、信区间置信概率与置信区间 由概率积分可知，随机误差的正态分布曲线所包含的全部面由概率积分可知，随机误差的正态分布曲线所包含的全部面积相当于全部误差出现的概率，对式（积相当于全部误差出现的概率，对式（2-182-18）从）从-到到+积积分，并令其等于分，并令其等于1 1，即：，即： 对式（对式（2-182-18）从）从 到到 积分，便可得积分，便可得 误差出现的概率：误差出现的概率： 将积分变换成将积分变换成 ，设，设 ，则，则 ，故上式变为：，故上式变为：式中，式中， 称为概率积分，称为概率积分， 与与 的关系见表的关系见表2-12-1。 121222dededeP02222222221)(t
44、dtdt)(2)21(2)(022tdtePtt)(t)(tt 由写出随机误差的表达式，由写出随机误差的表达式，并取绝对值，即：并取绝对值，即： 可得出超出的概率为：可得出超出的概率为： 由表由表2-12-1查出不同的查出不同的 对对应的应的 值，值， 便可由式算出便可由式算出 ，见表，见表2-2-2 2t |)(21tat)(ta图2-3 置信概率与置信区间的关系t)(t表2-1 正态分布下的置信概率数值表0.500.600.700.800.901.001.101.201.301.400.19150.22570.25800.28810.31590.34130.36430.38490.4032
45、0.41921.501.601.701.801.902.002.102.202.302.400.43320.44520.45540.46410.47130.47720.48210.48610.48930.49182.502.602.702.802.903.003.203.403.804.000.49380.49530.49650.49740.49810.498650.499310.499660.4999280.499968t)(tt)(ttt |)(t)(21taan/11.001.962.002.583.001.001.962.002.583.00 0.34130.47500.47720.4
46、9500.498650.31740.05000.04560.01000.002732022100370表2-2 正态分布的置信系数|P总而言之，不超出 的概率为 ，可由式（2-24）求得： )(2)(21 11ttaP置信区间置信区间 取不同值时，随机误差取不同值时，随机误差 出现的概率为出现的概率为 ： 当当 时，时， 时，时， 时，时， 上述结果表明，对于正态分布规律的随机误差，不超出上述结果表明，对于正态分布规律的随机误差，不超出 的随机误差出现的概率为的随机误差出现的概率为95.44%95.44%；不超出；不超出 的随机误差出的随机误差出现的概率为现的概率为99.73%99.73%。
47、上述用于描述测量结果的误差处于某一范围内的可靠程度上述用于描述测量结果的误差处于某一范围内的可靠程度的量称为置信程度或者置信概率。所选择的极限误差范围的量称为置信程度或者置信概率。所选择的极限误差范围称为称为置信区间置信区间。 tP1t2t3t%26.683413. 02)(2tP%44.954772. 02)(2tP%73.9949865. 02)(2tP232.4.2 有限次测量的置信度有限次测量的置信度 图图2-42-4所示的置信概率与置信区间的关系，是在测量次数所示的置信概率与置信区间的关系，是在测量次数 足够多，误差服从正态分布，以标准差为条件得出的足够多，误差服从正态分布，以标准差
48、为条件得出的结论。结论。 当测量次数当测量次数 足够多（足够多（ ）时，应用这一结论是合适）时，应用这一结论是合适的。因为随机误差的分布接近正态分布。的。因为随机误差的分布接近正态分布。 若测量次数若测量次数 较小（较小（ ），随机误差的分布曲线与正），随机误差的分布曲线与正态分布曲线差别较大，而服从态分布曲线差别较大，而服从 分布（也称学生分布），分布（也称学生分布），正态分布曲线与正态分布曲线与 分布曲线的不同见图分布曲线的不同见图2-42-4。 为区别于正态分布，为区别于正态分布， 分布用置信系数分布用置信系数 表示。自由表示。自由度度 、置信概率、置信概率 与置信系数与置信系数 的关系
49、见表的关系见表2-32-3。 若已知若已知 和置信概率和置信概率 ，可由表，可由表2-32-3查出置信系数查出置信系数 。 nn20nn20ntttat) 1( nKKatPKPat95%99%95%99%123456789101214161812.714.303.182.782.572.452.362.312.262.232.182.142.122.1063.669.925.844.604.033.713.503.363.253.173.052.982.922.882022242628304050607080901002.092.072.062.062.052.042.022.012.001
50、.991.991.991.981.962.852.822.802.782.762.752.702.682.662.652.642.632.632.58表2-3 学生分布的置信系数 PK PK2.4.3 随机不确定度与坏值剔除随机不确定度与坏值剔除 由表由表2-22-2可见，若取置信系数可见，若取置信系数 ，在，在2222个随机误差中，个随机误差中，至多仅有一个的误差大于至多仅有一个的误差大于 ；若取；若取 ，在，在370370个误差个误差中，至多仅有一个误差大于中，至多仅有一个误差大于 。 在实际测量中，可以认为大于在实际测量中，可以认为大于 的误差出现的可能性极的误差出现的可能性极小，所以通
