1、数值分析 复习第一章第一章 绪论绪论1 1 绪论：数值分析的研究内容绪论：数值分析的研究内容2 2 误差的来源和分类误差的来源和分类3 3 误差的表示误差的表示4 4 误差的传播误差的传播5 5 算法设计的若干原则算法设计的若干原则一、误差的分类（绝对误差，相对误差）一、误差的分类（绝对误差，相对误差）例例1-1 设设 x*=2.18是由精确值是由精确值x 经过四舍五入得到的经过四舍五入得到的近似值。问近似值。问 x的绝对误差限的绝对误差限和相对误差限和相对误差限各是各是多少？多少？解：解：因为因为 x=x * 0.005 ， 所以所以绝对误差限绝对误差限为为=0.005%23.018.200
2、5.0* x 相对误差限相对误差限为为二、有效数字二、有效数字则称近似数则称近似数 x* 具有具有 n 位位有效数字有效数字。定义定义 设数设数 x 的近似值可以表示为的近似值可以表示为mnx10. 021* 其中其中 m 是整数是整数,i (i=1,2, , n) 是是0到到9 中的一个数字，中的一个数字，而而1 0. 如果如果其绝对误差限为其绝对误差限为*1102m nxx结论：结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。 例例1-2 1-2 下列近似数是通过四舍五
3、入的方法得到的，试下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试判定它们各有几位有效数字：判定它们各有几位有效数字： 解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，也可以通过绝对误差限来判断。也可以通过绝对误差限来判断。有有5 5位有效数字。同理可以写出位有效数字。同理可以写出可以得出可以得出 x2 , x3 , x4 各具有各具有4、3、4 位有效数字位有效数字。 x1* =87540，x2*=875410, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 10-21112xx510.87540 10 x而55111021 xx所以1221102
4、xx 520.875410 x 54221102xx 5331102xx 6441102xx 230.34510 x 240.345010 x -23331102xx 24441102xx 已已知知*11 02mnxx 例例1-3 已知已知 e =2.718281828, 试判断下面两个近似试判断下面两个近似数各有几位有效数字数各有几位有效数字？6110210000005. 00000001. 0 ee718281. 2,718282. 221 ee615210211021000005. 00000008. 0 ee解解：由于由于而而11102718282. 0718282. 2 e所以所以7
5、161102110210000005. 00000001. 0 ee e1有有7 7位有效数字。同理：位有效数字。同理：e2 只有只有6 6位有效数字。位有效数字。三、算法设计的若干原则三、算法设计的若干原则 1：两个很接近的数字不做减法：两个很接近的数字不做减法: 2: 不用很小得数做分母不用很小得数做分母(不用很大的数做分子不用很大的数做分子)练习：练习： 求方程求方程 x2-56x+1=0 的两个根，使它们至少具有四的两个根，使它们至少具有四位有效数字位有效数字 .964.553132 第二章第二章 插值与拟合插值与拟合1 1、LagrangeLagrange插值多项式插值多项式,New
6、ton,Newton插值多项式的构造与插值插值多项式的构造与插值余项估计，及证明过程。余项估计，及证明过程。 2 2、 Hermite插值多项式的构造与插值余项估计，插值多项式的构造与插值余项估计， 带导数条件的插值多项式的构造方法，基于承袭性的带导数条件的插值多项式的构造方法，基于承袭性的算法，基函数法，算法，基函数法， 重节点差商表的构造；重节点差商表的构造； 3、分段插值及三次样条插值的构造、分段插值及三次样条插值的构造4、最小二乘拟合、最小二乘拟合掌握掌握Lagrange 插值多项式的构造方法及具体结构插值多项式的构造方法及具体结构掌握掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和证明方
7、法插值多项式误差分析方法和证明方法掌握掌握Newton插值多项式的形式及误差插值多项式的形式及误差掌握差商表的构造过程掌握差商表的构造过程关于离散数据：关于离散数据：ixiy0 x1x0y1ynxny构造了构造了lagrange插值多项式：插值多项式：),(),()!1()()(1)1(baxnfxRnnn njjijinjiinyxxxxxL00)(Newton插值多项式：插值多项式：,)()(,)(,)()()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN )4)(3)(2)(1(5 . 0)3)(2)(1(2)2)(1(4)1(20)(4 xx
8、xxxxxxxxxN28125. 0329)5 . 1()5 . 1(4 Nf)5)(4)(3)(2)(1( 1 . 0)()(45 xxxxxxNxN)5 . 1()5 . 1(5Nf )55 . 1)(45 . 1)(35 . 1)(25 . 1)(15 . 1(1 . 0)5 . 1(4 N328125. 028125. 0 609375. 0 2.2.分段性插值有何优缺点？误差估计？分段性插值有何优缺点？误差估计？（插值节点的选择）（插值节点的选择） 1. 1. 高次插值的高次插值的Runge 现象，应如何避免？现象，应如何避免？ 3. 3. Hermite插值的构造插值的构造, ,
9、误差估计误差估计4 4. .三次样条函数的定义、构造过程三次样条函数的定义、构造过程5.5.数据拟合的最小二乘法（可化为直线拟合的非线性数据拟合的最小二乘法（可化为直线拟合的非线性拟合的处理方法）拟合的处理方法）解：解：二、典型例题分析二、典型例题分析 例例1. 令令x00， x11，写出，写出y(x)e-x的一次插值多项式的一次插值多项式L1(x) ,并估计插值误差并估计插值误差（P55,t14题）题） 记记x00， x11 , y0e-01，y1e-1;则函数则函数ye-x以以x0、 x1为节点的一次插值多项式为为节点的一次插值多项式为因为因为 y(x)-e-x，y(x) e-x ，所以，
10、所以 01012102 158()( ),( )()( )( )max( )xx xtf xxxp xxxf xp xfx 例例证证明明：对对于于以以为为节节点点的的一一次次插插值值多多项项式式，插插值值误误差差为为012( )( )( )()(), , !ff xp xxxxxa b 证证明明：根根据据插插值值余余项项定定理理，对对于于一一次次插插值值多多项项式式误误差差余余项项为为R(x)=R(x)=010101010112212( )( )()()( ) ()()!max( ) max ()()xx xxx xfR xxxxxfxxxxfxxxxx 01( )=()()g xxxxx令令
11、0101012102020248( )=()( )( )()max( )()( )( )max( )xx xg xxxxxxxg xg xxxg xxxf xp xfx 时时，取取极极小小值值，取取得得极极大大值值推广：等距节点推广：等距节点(h),二次插值的误差界是二次插值的误差界是0132327( )( )max( )xx xf xpxhfx 20123( )( )( )()()(), , !ff xpxxxxxxxa b 证证明明：根根据据插插值值余余项项定定理理，对对于于二二次次插插值值多多项项式式误误差差余余项项为为R(x)=R(x)=020201201201213616( )( )
12、()()()( ) ()()()!max( ) max ()()()xx xxx xfR xxxxxxxfxxxxxxfxxxxxx 012( )=()()()g xxxxxxx令令10231111,() ,()( )=g(t)=t(t-1)(t+1)h , x xxxth xxthg xt 令令 =+th=+th 则则21331032 32 399( ),( ),( )g ttttt 驻驻点点为为极极大大值值为为g g极极小小值值为为g g2 39max|g(x)|=|g(x)|=0132327( )( )max( )xx xf xpxhfx 例例3 设设f(x)x4，试利用拉格朗日插值，试
13、利用拉格朗日插值余项余项定理写出以定理写出以- -1, 0, 1, 2为插值节点的三次插值多项式为插值节点的三次插值多项式 解解: 记记f(x)以以- -1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式为为插值节点的三次插值多项式为L3(x)由插值余项定理有由插值余项定理有 所以所以例例4证明由下列插值条件证明由下列插值条件 所确定的拉格朗日插值多项式所确定的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式是一个二次多项式该例说明了什么问题该例说明了什么问题?( t8)以以x0，x2，x4为插值节点作为插值节点作f(x)的的2次插值多项式次插值多项式p(x)，则，则 解解:x0 x2 x4 容易验证容易验证因而因而
14、6个点个点(xi, yi)，i0 1,5均在二次曲线均在二次曲线p(x)x2- -1 上上 换句话说，满足所给插值条件的拉格朗日插值多项式换句话说，满足所给插值条件的拉格朗日插值多项式为为 p(x)x2- -1.35 16251 2 3 41 2 3 4 5() ( ),( , , , ),( , , , , )tf xxff例例求求差差商商01( )( ),!nnff xxxn 解解：利利用用差差商商与与导导数数的的关关系系341 2 3 4231 2 3 4 504( )( )( )( , , , )!( )( , , , , )!ffff 分析分析: 这是一个非标准插值问题这是一个非标准
15、插值问题,我们可以按各种思路我们可以按各种思路去做可按两种方法去做去做可按两种方法去做:一种是先求牛顿或拉格朗目型插一种是先求牛顿或拉格朗目型插值值,再通过待定系数法求再通过待定系数法求Pn(x)；另一种是先求埃尔米特插值；另一种是先求埃尔米特插值,再通过待定系数法确定再通过待定系数法确定Pn(x) 下面给出三种做法下面给出三种做法 例例6 求一个次数不高于求一个次数不高于4的多项式的多项式P4(x)，使它满足，使它满足P4(0)= P4(0)=0， P4(1)= P4(1)=1，P4(2)=1 解法一解法一 先求满足先求满足P4(0)=0， P4(1)=1，P4(2)=1 的插值的插值多项式
16、多项式P2(x)，易得，易得显然显然P4(x)满足满足P2(x)的插植条件，利用两个导数条件确定系数的插植条件，利用两个导数条件确定系数A，B由由P4(0)=0, P4(1)=1解得解得A=1/4,B=-3/4. 故故设设解法二解法二 先作满足埃尔米特插值多项式先作满足埃尔米特插值多项式 H3(x)解法三解法三 构造插值基函数求构造插值基函数求. 记记x0=0，x1=1，x2=2，并设所，并设所求多项式为求多项式为 其中其中li(x)均为次数不超过均为次数不超过4的多项式且满足如下条件：的多项式且满足如下条件：300110011( )( )( )( )( )Hxx yx yx yx y易知易知
17、7000111.( )( ), ( )( )( ):ppppp x例例 采采用用下下列列方方法法构构造造满满足足条条件件的的插插值值多多项项式式（1 1）用用待待定定系系数数法法(2) (2) 利利用用承承袭袭性性(t22)(t22)2( )解解： 基基于于承承袭袭性性22223200001131 112( )( )=( ),;( ),( )()( )=( )ppxp xcxxp xxcxxpcp xxx 由由条条件件，知知为为的的二二重重零零点点，又又满满足足条条件件p(1)=1p(1)=1；设设H(x)=cxH(x)=cx则则即即满满足足前前三三个个边边界界条条件件的的多多项项式式为为H
18、H设设三三次次多多项项式式为为满满足足前前 个个边边界界条条件件由由条条件件，确确定定因因此此：8001122332024.( )( ), ( ), ( ),( )( ).()pppppp xt例例 求求做做满满足足条条件件，的的插插值值多多项项式式00 10 1 210 1 2 312 , , , () , , , ()()ffxfx xfx xx3 33 3解解：前前四四个个边边界界条条件件确确定定3 3次次多多项项式式N (x)N (x)N (x)N (x)1 00000 111 01 20 10 1 200 1 2 3020( )( ); , ; , , , , ; , , , fpf
19、ffff3N (x)=xN (x)=x330 1 2 31231202( )( )( )( )( )( ), , ,( )( )()()()( );p xNxR xR xp xNxxR xR xcx xxxp根根据据已已知知插插值值条条件件，设设均均为为的的零零点点设设由由条条件件得得c=c=000090 126.()()(, )()(),()()( ).()iip xf xip xfxpxfxp xt例例 求求做做满满足足条条件件，的的插插值值多多项项式式002200000320121300 1 2( )( )()(), ,()()()()()( )( )()()()()kkpxfxkf x
20、fxxxfxxxp xT xc xxf xT xcxx 解解：由由边边界界条条件件得得到到满满足足此此边边界界条条件件的的2 2次次泰泰勒勒插插值值T(x)=T(x)=由由剩剩余余的的边边界界条条件件知知待待构构造造插插值值多多项项例例1111 已知函数已知函数y=f(x) 的如下数据的如下数据, ,试求其在区间试求其在区间0,30,3上的三次样条插值函数上的三次样条插值函数S(x)。 0)3(, 1)0(, 1)3(, 0)2(, 1) 1 (, 0)0( ffffff212121 hhh 解解 这里边界条件是这里边界条件是0)3(, 1)0( SS3, 2, 1, 03210 xxxx设设
21、1, 0, 1, 03210 yyyy求得求得1321 hhh21111 213232 hhh 0),( 31012111 xxfxxfg 21122 0),( 32123222 xxfxxfg 已知已知0, 130 mm nnnnnnygmmgmmmygmm11121232212011211222 由方程组由方程组及及100 my033 my得到方程组得到方程组 0221212122121mmmm解得解得151,15421 mm这样便求得这样便求得 1 , 0),1(154) 1()1( 21 )(2221 xxxxxxxxS0,151,154, 13210 mmmmiiiiiiiiiiiy
22、hxxxxhyhxxxxhxS3211321)( 2)( 2)( iiiiiiiimhxxxxmhxxxx2211221)()()( 代入表达式代入表达式便得到所求的三次样条函数便得到所求的三次样条函数3 , 2)3)(2(151)2)(3( 21 )(223 xxxxxxS222)2)(1(154)2)(1( 21 )( xxxxxS2 , 1 ),2() 1(1512 xxx例例12 对如下数据作形如对如下数据作形如 y = a eb x 的拟合曲线的拟合曲线 解解: : 由于函数集合由于函数集合=a eb x | a,b R 不成为线性空不成为线性空间，因此直接作拟合曲线是困难的。间，因
23、此直接作拟合曲线是困难的。 在函数在函数 y = a eb x 两端分别取对数得到两端分别取对数得到这时，需要将原函数表进行转换如下这时，需要将原函数表进行转换如下令令 z= ln y , A = ln a , B=b,则则 z=A+Bxln y = ln a+bx xi12345678 yi15.320.527.436.649.165.687.8117.6xxx )(, 1)(10 yzln 对对 z=A+Bx 作线性拟合曲线，取作线性拟合曲线，取这时这时 8765432111111111TD 20436368DDT 77. 448. 418. 489. 360. 331. 302. 372
24、. 2 Tz 14.14798.29zDT xi12345678 yi15.320.527.436.649.165.687.8117.6 xi12345678 zi2.723.023.313.603.894.184.484.77得正则方程组得正则方程组 14.14798.2920436368BA解得解得 29. 0,44. 2 BA29. 0,44.11 BbeaA于是有于是有xey29.0*44.11 拟合曲线为拟合曲线为：第三章数值积分 插值型积分公式插值型积分公式 Newton-Cotes 型求积公式型求积公式 复化求积公式复化求积公式 Romberg算法算法 GaussGauss积分积
25、分 数值微分数值微分SimpsonSimpson公式公式n=2n=2 )()(2)(bfafabdxxfba , )(12)(31 fabfR ),(ba 梯形公式梯形公式 n=1n=1 )()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba),(,)(2880)()4(52bafabfR ( (1 1 ,2),2)需要掌握需要掌握：1. 1. 等距节点等距节点(Newton-Cotes)的积分公式是如何构造的？的积分公式是如何构造的？)()()(xRxLxfnn nkkikinkiinyxxxxxL00)()()()()!1()()(10) 1(nnnxxxxxxnfxR dxxRdxxLdx
26、xfbanbanba )()()()(fRTdxxfnnba 2. 2. N点等距节点的积分公式及其误差式怎么表示？点等距节点的积分公式及其误差式怎么表示？ nnkiiknkdtitknknabA00)()!( !)1( nkkkbaxfAdxxf0)()(dtnttttfnhfRnnnn)()2)(1()()!1(0)1(2 3. 3. 如何由上式给出梯形公式、如何由上式给出梯形公式、SimpsonSimpson公式及其误差？公式及其误差？ )()(2)(bfafabdxxfba , )(12)()(12331 fabfhfR ),(ba 复化梯形公式及其误差复化梯形公式及其误差 11)()
27、(2)(2)(nkkbabfxfafhdxxf),(),(12)(2bafabhfRn 212 ( )( )nhRff bf a 例例 3-0 3-0 用四点复化梯形公式计算用四点复化梯形公式计算 10214dxxI013132例例 3-1 3-1 用复化梯形公式计算积分用复化梯形公式计算积分 ，应将区间，应将区间0,10,1多少等分，才可以使其截断误差不超过多少等分，才可以使其截断误差不超过 10dxeIx41021 解：复化梯形公式的误差为解：复化梯形公式的误差为)(12)()(23 fnabTdxxffRbann 而而xexf )( 1 , 0,)( xexf从而从而22312)(12)
28、01(nefnfRn 令令42102112 ne30.676104 en68 n于是，只要将区间至少于是，只要将区间至少6868等分等分, ,就可以达到需要的精度要求。就可以达到需要的精度要求。复化复化SimpsonSimpson公式及其误差为：公式及其误差为： nknkkkbabfxfxfafhdxxf11121)()(2)(4)(6)(441802( )() ( ),( , )nb ahRffa b 4331802( )( )() ( )( ) ,nb ahRffbfa 要求：要求：了解各种积分公式的原理，构造方法了解各种积分公式的原理，构造方法,会利用公式计算积分，会利用公式计算积分，
29、（复化）梯形公式，（复化）梯形公式，(复化复化)Simpson公公式及余项表达式，求解代数精度式及余项表达式，求解代数精度会利用代数精度构造积分公式，并用构造的积分公式计算相应会利用代数精度构造积分公式，并用构造的积分公式计算相应积分值积分值Romberg算法的实现原理，计算，外推加速技术；算法的实现原理，计算，外推加速技术；数值微分公式的构造方法数值微分公式的构造方法一、确定数值积分公式或数值微分公式，并推出余项一、确定数值积分公式或数值微分公式，并推出余项 根据代数精度的概念根据代数精度的概念 对对GuassGuass型求积公式，可借助型求积公式，可借助GuassGuass点与求积系数点与
30、求积系数的关系确定参数的关系确定参数 推导余项时，可设推导余项时，可设 对于数值微分公式，可构造适当的插值多项式或对于数值微分公式，可构造适当的插值多项式或应用应用TaylorTaylor展开式推导展开式推导1()()( ),mR fkfk 为为待待定定参参数数0121310-+( )( )()( )( )hhtf x dxA fhA fA f h例例 ：确确定定下下列列求求积积公公式式中中的的待待定定参参数数，使使其其代代数数精精度度尽尽量量高高，并并指指明明求求积积公公式式所所具具有有的的代代数数精精度度（ ）012,A A A解解：需需要要确确定定三三个个待待定定参参数数22230121
31、023=+= 012012( ), ,A +A +A =2h-A h+A0+A0+f xx xhA hAA hh令令积积分分公公式式对对于于准准确确成成立立，可可得得方方程程组组021433=,hhAAA解解得得021322301223=01( ),( ),2A +A =2hf xx xf xxA hh0202方方法法二二. .充充分分利利用用对对称称性性（求求积积节节点点x ,x ,x ,x ,关关于于x x 对对称称）则则A =A ,A =A ,积积分分区区间间关关于于原原点点对对称称，对对于于奇奇函函数数准准确确成成立立，令令，可可得得方方程程组组021433=,hhAAA解解得得141
32、0333-+( )()( )( )hhf x dxhfhhfhf h所所以以积积分分公公式式为为：454452520333=+=( )f xxhhhhhh当当时时，左左右右左左端端3 该该求求积积公公式式的的代代数数精精度度为为10120113424+( )( )( )( )f x dxA fA fA f(2)(2)021201010010121113142421191164162=+=+=+= ( ), , xf xxAAAAAAAA0202方方法法二二. .充充分分利利用用对对称称性性（求求积积节节点点x ,x ,x ,x ,关关于于x x 对对称称）则则A =A ,A =A ,令令准准确
33、确成成立立，可可得得方方程程组组0212133= -,AAA解解得得10211123343234-+( )( )( )( )f x dxfff1000104+( )( )()f x dxfA f x(3)(3)000111411042( ), ,f xAA xx解解：公公式式中中含含有有两两个个待待定定参参数数，令令准准确确成成立立，可可得得方方程程组组=+=+= 003243=,Ax解解得得0113244=.,xx例例 给给定定求求积积节节点点试试构构造造计计算算积积分分的的插插值值型型积积分分公公式式，并并指指明明代代数数精精度度(t6)(t6)0 1=( ), ,kbkkaAlx dx
34、kn解解: :插插值值型型积积分分公公式式的的系系数数A A 为为1111000100011101110000314122114122-=-=-蝌蝌( )( )xxxAlx dxdxdxxxxxxAl x dxdxdxxx10100010+( )( )( )( )f x dxA fA fB f例例3 3设设计计求求积积公公式式201101111213=+=+= ( ), ,f xxAAABAx解解：公公式式中中含含有有三三个个待待定定参参数数令令准准确确成成立立，可可得得方方程程组组010211336=,AAB解解得得12121112215.,( )()()x xA Af x dxA f xA
35、 f x例例 用用两两种种不不同同的的方方法法确确定定使使下下面面公公式式为为GaussGauss求求积积公公式式23431( ), ,f xx xx解解：公公式式含含有有 个个待待定定参参数数，因因此此最最高高代代数数精精度度至至少少为为 ，即即对对准准确确成成立立p72方法二、方法二、p87例例21122ba( )()()f x dxA f xA f x利用变量替换利用变量替换,将将a,b转化为转化为-1,1区间区间22abbaxt引引进进变变换换+-=+0102030.()()()()fxA f xhA f xA fx例例6 6 求求出出如如下下数数值值微微分分公公式式的的系系数数，使使
36、其其对对次次数数尽尽可可能能高高的的多多项项式式精精确确成成立立公公式式导导出出该该数数值值微微分分公公式式的的余余项项表表达达式式2121020322102030100223( ), ,()()f xx xAAA xhA xAA xhA xA x解解：公公式式含含有有 个个待待定定参参数数，即即上上式式对对准准确确成成立立可可得得方方程程组组12322222:,AAAhhh解解得得= -= - 余项表达式余项表达式0000233320000222226331133 ()()()()( )( )()()!( )Rfxf xhf xfxkfhhf xxxxhxxkhhkhRhf 方方法法一一、设
37、设令令，则则有有，因因此此余余项项表表达达式式为为002300000000002232213 ()( )()()()(),!()()()()( )f xhxTaylorhff xhf xfx hfxhxxhfxf xhf xfxhfhh 方方法法二二、将将在在处处展展开开，得得介介于于之之间间因因此此：二、计算定积分和函数的导数的近似值二、计算定积分和函数的导数的近似值 对于给定的被积函数与求导函数，应用指定的数值对于给定的被积函数与求导函数，应用指定的数值积分公式或数值微分公式计算，积分公式或数值微分公式计算，t9,t12,t13,t18,t19t9,t12,t13,t18,t19，t25t
38、25，t26t26等等明确积分公式与微分公式明确积分公式与微分公式三、确定复化求积公式和数值微分公式的步长或节点三、确定复化求积公式和数值微分公式的步长或节点数，使计算结果满足所给精度要求数，使计算结果满足所给精度要求 根据复化求积公式和数值微分公式的余项或截断误根据复化求积公式和数值微分公式的余项或截断误差表达式，对满足精度要求解一个相应的不等式，差表达式，对满足精度要求解一个相应的不等式，即可确定所需的步长或节点数即可确定所需的步长或节点数15017102.xe dx例例 给给定定积积分分为为使使截截断断误误差差不不超超过过，用用复复化化梯梯形形公公式式和和复复化化SimpsonSimps
39、on公公式式计计算算时时所所需需节节点点数数及及步步长长分分别别为为多多少少？t10t1022010152501111 112121110122110212 86 ( ),()()( )max( )max()().xnxxxnf xeabnbannbaI fTfh fenfxeeI fTfenn 解解：设设应应用用复复化化梯梯形形公公式式计计算算需需要要个个等等距距节节点点才才能能满满足足截截断断误误差差要要求求，此此时时步步长长为为h=h=由由复复化化梯梯形形公公式式的的截截断断误误差差，得得n=213445401111111018021801623 7 ( )()S ()( )max.xn
40、xnbannbahI fffenn 对对于于应应用用复复化化SimpsonSimpson公公式式计计算算需需要要个个等等距距节节点点才才能能满满足足截截断断误误差差要要求求，此此时时步步长长为为h=h=由由复复化化梯梯形形公公式式的的截截断断误误差差，得得n=42521 1111012122()()( )( )nhI fTff bf aen（2 2）N169.2n=170454110180 21111101801623 3()()( )( ).nhI fSfffennn=41012( )() )bnkaf x dxhf akh复复化化中中矩矩形形方方法法常微分方程数值解 复习 常微分方程初值问
41、题常微分方程初值问题 Euler法（显式法（显式Euler公式，隐式公式，隐式Euler公式，梯形公式，公式，梯形公式，改进改进Euler公式，变形公式，变形Euler公式）基本公式公式）基本公式 Runge-Kutta方法（四阶和二阶）方法（四阶和二阶） 线性多步法线性多步法Adams预报校正系统预报校正系统 收敛性和稳定性的定义收敛性和稳定性的定义 局部截断误差的定义，计算及确定公式的阶局部截断误差的定义，计算及确定公式的阶 数值方法的稳定性区域数值方法的稳定性区域 常微分方程组，高阶常微分方程初值问题的计算常微分方程组，高阶常微分方程初值问题的计算 一、对于给定数值方法求解常微分方程初值
42、问题一、对于给定数值方法求解常微分方程初值问题 对于显式单步方法，直接代入相应计算公式计算对于显式单步方法，直接代入相应计算公式计算 对于隐式方法，若对于隐式方法，若f(x,y)关于关于y是线性的，可从隐式公式是线性的，可从隐式公式中解出中解出yn+1,使公式显式化，不需要迭代，否则，需要用使公式显式化，不需要迭代，否则，需要用迭代法计算迭代法计算 对于多步方法，需要用同阶的单步法提供多步法所需对于多步方法，需要用同阶的单步法提供多步法所需要的值要的值 对于高阶或方程组的初值问题，需要进行转化对于高阶或方程组的初值问题，需要进行转化2021230 1101.+( )+yyhEulerxyyxx
43、 习习题题 ，取取，用用法法求求解解初初值值问问题题并并与与精精确确解解y=y=进进行行比比较较21002021122112001110 1200 100 111 0110 120 1 0 12 0 10 197011 0 1n+1nnnnEulery=y +hf(x ,y )=y(), ( )+. (). ().+. (). ().+ .nnhyyxyyyxyyyx 解解：方方法法的的计计算算公公式式x xn n数值解数值解 精确解精确解 误差误差24001122,( )( )( )()nnnyaxbEuleryyy xyanh 习习题题 ，用用法法求求解解初初值值问问题题导导出出近近似似解
44、解 的的显显式式表表达达式式；证证明明整整体体截截断断误误差差为为1111100011001 2( , ), ,(,)()nnnnnnnniiiiiinnniiif x yaxb xnh nEuleryyhf xyyyhaxbyahxnbhahihnbh解解：则则公公式式为为1202221121122()()ninnahinhbah n nnhba xbxanh212( )y xaxbx准准确确解解：212()nny xyanh因因此此000( )yy831261210 25,( )( ).yyxyh 习习题题 ，用用梯梯形形公公式式求求解解初初值值问问题题取取步步长长计计算算结结果果至至少少
45、保保留留小小数数点点后后 位位11111831 220 283832( , ), ,(,)(,).nnnnnnnnnnnf x yy xnh nhyyf xyf xyyyyy 解解：梯梯形形公公式式为为因因此此1017161313121 22 30769( )( . ).nnyyyyyy整整理理得得显显式式格格式式为为因因此此计计算算得得121 02010 4,( ). ,xyyxxyh 习习题题，用用四四阶阶R-KR-K方方法法求求解解初初值值问问题题 取取步步长长并并与与精精确确解解y=x+ey=x+e 比比较较1123412112312241322622,.nnnnnnnnnnhyyKK
46、KKKf xyhKfxyKhKfxyKKf xyhK220101012, ( )( )()nyyyyyxx 习习题题，取取N=5,N=5,用用差差分分方方法法求求解解边边值值问问题题验验证证计计算算解解恒恒等等于于原原边边值值问问题题的的精精确确解解112212021122121222nnnnnnNNNyyyhyyhyyyyhyyhy解解：此此问问题题的的有有限限差差分分法法为为所所得得线线性性方方程程组组为为1223421001121010 20121100121.yyyy 1234008012012008.,.,.,.yyyy解解得得：与与精精确确解解一一致致 二、对于给定的常微分方程初值
47、问题的某种数值二、对于给定的常微分方程初值问题的某种数值方法，证明其阶次方法，证明其阶次123121329211,() ,(),nnnnnnnnhyyKKKfxyKfxth ythKKfxt h yt hK习习题题 ，证证明明下下列列格格式式对对于于任任意意参参数数t t都都是是二二阶阶的的231231 (),nnxthxt hKKK KK Taylornn+1nn+1证证明明: :所所给给格格式式选选用用区区间间x ,xx ,x内内的的两两点点，上上的的斜斜率率值值的的算算术术平平均均代代替替平平均均斜斜率率将将展展开开，有有1221221231(,)(,)(,)(,)()()()()nnn
48、nnnnnnnnnnnnKf xyyffyKf xth ythKf xythxyO hxyxfffthKO hythyO hxyKythyO h同同理理（）23112311212()()()()()()()()nnnnnnnnnnny xyyyhyh yO hy xTaylory xy xhy xh yxO h设设则则的的展展开开式式为为311()()nny xyO h该该方方法法的的局局部部截截断断误误差差为为因因此此为为二二阶阶方方法法5Euler习习题题 ，证证明明隐隐式式格格式式是是一一阶阶方方法法1112312311211222(,)()()()()()()()()()()( )nn
49、nnnnnnnnnnnnnnnnnEuleryyhf xyhy xy xy xhyxO hy xyhyy xhyy xh yhyyO hhy xyy 证证明明：隐隐式式格格式式因因为为令令因因此此有有因因此此为为一一阶阶方方法法 三、确定某些方法中的参数三、确定某些方法中的参数 主要用主要用Taylor展开将方法的局部截断误差的各项在展开将方法的局部截断误差的各项在xn处处进行进行Taylor展开并比较展开并比较h同幂项的系数，得到待定参数同幂项的系数，得到待定参数满足的方程组，求解方程组即可满足的方程组，求解方程组即可001011011( , ), ()()nnnnnyf x yy xyyy
50、yhff 例例：解解初初值值问问题题用用显显式式二二步步法法试试确确定定参参数数，使使方方法法阶阶次次尽尽量量高高，并并求求局局部部截截断断误误差差1110101()()()()()()nnnnnnnnTy xyy xhy xy xhhy xy xh解解：根根据据局局截截断断误误差差的的定定义义1011012311114451111111112266211124246( )()()()()()()nnnnnnTy xhy xh yxh yxh yxO h2344523445234426426426( )( )( )()()()()()()()!()()()()()()()!()()()()()
