1、第五章第五章频域分析法频域分析法频率法频率法基本要求基本要求 1. 正确理解正确理解频率特性频率特性的概念。的概念。2. 熟练掌握熟练掌握典型环节的频率特性典型环节的频率特性，熟记其，熟记其幅相特性曲幅相特性曲线及对数频率特性曲线线及对数频率特性曲线。3. 熟练掌握熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。的方法。4. 熟练掌握由熟练掌握由具有最小相位性质的系统具有最小相位性质的系统开环对数幅频开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。特性曲线求开环传递函数的方法。 5. 熟练掌握
2、熟练掌握Nyquist稳定判据稳定判据和对数频率稳定判据。和对数频率稳定判据。6. 熟练掌握熟练掌握稳定裕度稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。的概念及计算稳定裕度的方法。7. 理解理解闭环频率特性的特征量闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的与控制系统阶跃响应的定性关系。定性关系。8. 理解理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。析与比较。 频率特性法频率特性法是经典控制理论中对系是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法。统进行分析与综合的
3、又一重要方法。J与时域分析法和根轨迹法与时域分析法和根轨迹法不同不同；J频域性能指标与时域性能指标之间有频域性能指标与时域性能指标之间有内在联系内在联系；J频率特性法可以根据系统的开环传递函数采用频率特性法可以根据系统的开环传递函数采用解解析的方法析的方法得到系统的频率特性，也可以用得到系统的频率特性，也可以用实验的方实验的方法法测出稳定系统或元件的频率特性；测出稳定系统或元件的频率特性；J频率特性分析系统对频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应正弦信号的稳态响应；频率法的五个特点频率法的五个特点51 频率特性频率特性一、基本概念一、基本概念( )sinrr tAt输入信号：输入信号：22)(s
4、AsR其拉氏变换式：其拉氏变换式：控制系统在正弦信号作用下的稳态输出控制系统在正弦信号作用下的稳态输出频率特性频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应。分析系统对正弦信号的稳态响应。输出：输出：1( )( )( )niiiCBDC sR sssssjsj1( )()( )( )ins tj tj tiitsc tC eDeBec tc t拉氏反变换得：拉氏反变换得：22()2( )()()()22rsjjjrrADssjsjAjA ej其中：其中：同理：同理：()2()2jjrjBA e将将B、D代入代入c(t)，则，则:()()22()( )(2()cos()2()sin()sin()jtjjt
5、jsrrrcjc tA eejAtjjAtjAt 式中：式中：()crAjA()j 结论：结论：线性定常系统在正弦信号作用下，输出线性定常系统在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。稳态分量是和输入同频率的正弦信号。( )sin()scc tAt二、频率特性的定义及求取方法二、频率特性的定义及求取方法 线性定常系统，在正弦信号作用下，线性定常系统，在正弦信号作用下，输出输出的稳态分量与输入的复数比的稳态分量与输入的复数比，称为系统的，称为系统的频率频率特性特性（即为幅相频率特性，简称幅相特性）。（即为幅相频率特性，简称幅相特性）。()( )|() | ()|jjs jsjje
6、频率特性表达式为：频率特性表达式为：以以RC网络为例网络为例 其传递函数其传递函数RCTuudtduTrcc( )1( )( )1crU sG sU sTstAursin22( )rAU ss/2222sin() (0)11t TcA TAuet arctg TtTT)sin(122TtgarctTAucss正弦稳态输出正弦稳态输出稳态输出幅值：稳态输出幅值：221ATTtgarc稳态输出相位：稳态输出相位：221( )( )( )1crAUsG s UsTss对于任何线性系统都可以采用这种方法分析。对于任何线性系统都可以采用这种方法分析。幅频特性：幅频特性：221()|1G jT()G ja
7、rctg T相频特性：相频特性：2211()()11G jarctg Tj TT取：取： 显然，显然，G(jw)能够完整描述网络在正弦信号作用下能够完整描述网络在正弦信号作用下稳态输出的稳态输出的幅值和相角与输入信号频率幅值和相角与输入信号频率之间的规律。之间的规律。 G(jw)即为即为系统的频率特性系统的频率特性。RC网络网络v其传递函数其传递函数1( )1G sTRCTs1tan ()211( )()1()1jTs jG seG jTjTv频率特性频率特性该结论适用任何线性系统！该结论适用任何线性系统！三、频率特性的几种表示方法三、频率特性的几种表示方法1 1、幅频特性、相频特性、幅相特性
8、、幅频特性、相频特性、幅相特性()()()()()jGjGjGjAe :0)(A为系统的为系统的 幅频特性幅频特性 。)(为系统的为系统的 相频特性相频特性 。RC RC 网络的幅频特性和相频特性网络的幅频特性和相频特性RCRC网网络络的的幅幅相相特特性性曲曲线线oojGjGT90450)(02/11)(/1002 2、对数频率特性、对数频率特性v对数频率特性曲线又称对数频率特性曲线又称伯德（伯德（Bode)图图，包括，包括对数幅频和对数相频对数幅频和对数相频两条曲线。两条曲线。( )20lg ( ) (lg )LA对数幅频特性：对数幅频特性：() (lg) 对数相频特性对数相频特性: 对数相
9、频特性曲线：对数相频特性曲线：横坐标为角频率仍采用对数分横坐标为角频率仍采用对数分度度，纵坐标采用线性分度用角度表示纵坐标采用线性分度用角度表示。 对数幅频特性曲线：横坐标对数幅频特性曲线：横坐标 采用对数分度，取采用对数分度，取10为底的对数为底的对数 ，纵坐标采用，纵坐标采用线性分度用分贝数线性分度用分贝数(dB)表示。表示。10log)(dBL01 . 0110201 . 0110o45o90o0)(对数坐标刻度图对数坐标刻度图注意：注意：纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横 坐标坐标按频率对数标尺刻度按频率对数标尺刻度，但标出的是实际
10、的值，但标出的是实际的值， 是不均匀的。是不均匀的。 这种坐标系称为这种坐标系称为半对数坐标系半对数坐标系。在横轴上，对应于频率每增大在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为倍的范围，称为十十 倍频程倍频程(dec)，如，如1-10，5-50，而，而轴上所有十倍频程轴上所有十倍频程 的长度都是相等的长度都是相等的。的。为了说明对数幅频特性的特点，引进为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率斜率的概念，的概念， 即即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐 标分贝数的变化量标分贝数的变化量。 以以角频率为参变量角频率为参变量，横坐标是相位，单位采用角度
11、；纵坐，横坐标是相位，单位采用角度；纵坐标为幅值，单位采用分贝。标为幅值，单位采用分贝。对数幅相频率曲线（尼柯尔斯图）对数幅相频率曲线（尼柯尔斯图）p幅值的乘除简化为加减；幅值的乘除简化为加减；p可以用叠加方法绘制可以用叠加方法绘制BodeBode图；图；p可以用简便方法近似绘制可以用简便方法近似绘制BodeBode图；图；p扩大研究问题的范围；扩大研究问题的范围；p便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数。便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数。BodeBode图的优点图的优点对数坐标系对数坐标系52 典型环节的频率特性典型环节的频率特性0( )()( )jjG jKK eAe 一、比例环
12、节（放大环节）一、比例环节（放大环节）( )20lg ( )20lgLAK幅频特性幅频特性0)(相频特性相频特性( )( )0AK 对数幅相特性对数幅相特性比例环节的频率特性曲线比例环节的频率特性曲线二、积分环节21)(jejG幅相特性幅相特性ssG1)(传递函数传递函数相频特性是一常值相频特性是一常值2积分环节的幅频积分环节的幅频/相频、幅相特性曲线相频、幅相特性曲线对数频率特性对数频率特性三、微分环节2()jG je幅相特性幅相特性( )G ss传递函数传递函数相频特性是一常值相频特性是一常值2微分环节的幅频微分环节的幅频/相频、幅相、对数特性曲线相频、幅相、对数特性曲线四、惯性环节（一阶
13、系统）11)(TssG传递函数传递函数TjeTTjjG1tan21)(111)(惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线对数频率特性对数频率特性 11lg2022TAL1lg2022T TG1tan 当当, 1T 0L当当, 1T TLlg20, 1T惯性环节的对数频率特性曲线惯性环节的对数频率特性曲线221log20)(TLTarctg)(图示：当图示：当T=0.5（s）时，系统的极坐标图、伯德图）时，系统的极坐标图、伯德图0对数幅频特性的渐近线的近似方法：对数幅频特性的渐近线的近似方法：221log20)(TL)(01log201log20)(,/122dBTL
14、T在频率很低时，对数幅频曲线可用在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。分贝线近似。TTLTlog201log20)(,/122在图中在图中 T=0.5, 1/T=2 (rad/sec)TTTLa/1log20/10)( 当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直线斜率为线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。 惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线相交，交点处频率相交，交点处频率 ，称为，称为转折频率转折频率。 两直线实际上是对数幅
15、频特性曲线的渐近线，故又称为两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线，故又称为对数幅频特性渐近线。对数幅频特性渐近线。 用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大误差发生在转折用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大误差发生在转折频率处，即频率处，即 处。处。 惯性环节的误差曲线惯性环节的误差曲线1/T1/T2222120log 1( )120log 120logTTLTTT 误差的最大值发生在角频率为误差的最大值发生在角频率为1/T处，这时处，这时误差最大值为误差最大值为-3dB 。用渐近线近似产生的误差曲线用渐近线近似产生的误差曲线)()()(aLLL五、一阶微分环节1)( ssG1tan21)(1)(j
16、ejjG六、振荡环节（二阶系统）2222)(nnnsssG传递函数传递函数222222()()2()2nnnnnnG jjjj 频率频率特性特性22221()2()21ns js jnnnnG jssss2222224)1 (1)(nnjG2212)(nnarctgjG22224)1 (1)(uujuG212)(uuarctgjuG若若221()901uuG juarctgu令无因次频率令无因次频率 为参变量为参变量nu/0u1u4 . 06 . 08 . 09 . 0振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）05. 02 . 05 . 07 . 0振荡环节的幅频、相
17、频特性曲线振荡环节的幅频、相频特性曲线幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：22224)1 (1)(uujuG)707. 02/1(21,0)(2rudujuGd)707. 02/1(212nr2212/1)(,21rrnrjGM幅频特性的谐振幅频特性的谐振角频率角频率和谐振和谐振峰值峰值：谐振频率谐振频率212mn谐振峰值谐振峰值21()21mmA振荡环节的对数频率特性振荡环节的对数频率特性2222224)1 (log20)(log20)(nnjGL0)(Ln低频渐近线是零分贝线。低频渐近线是零分贝线。( )40log( /)40log()1/nnnLTT 高频段是
18、一条斜率为高频段是一条斜率为- 40/dB的直线，和零分的直线，和零分贝线相交于贝线相交于 ，振荡环节的交接频率为，振荡环节的交接频率为 。 nn特征点特征点 ： 1,20lg902nL 1.03.05.07.0decdB /40n振荡环节的伯德图振荡环节的伯德图渐近线对数幅频特性引起的误差：渐近线对数幅频特性引起的误差：)()(),(aLLL),()()(LLLannnnnnnLL2222222222222)log(204)1 (log20),(4)1 (log20),(振荡环节的幅相特性振荡环节的幅相特性振荡环节的对数幅频渐进特性振荡环节的对数幅频渐进特性七、二阶微分环节12)(2nnss
19、sG222()2112nnnnjjG jj 0,01n2222224)1 ()(nnjG2212)(nnarctgjG2112tan)()(nnjG二阶微分环节的对数频率特性二阶微分环节的对数频率特性)(tan(211)(111)(TjeTTjjG八、一阶不稳定环节11)(TssG非最小相位环节 定义：传递函数中有右极点、右零点的环节定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统），称为（或系统），称为非最小相位环节非最小相位环节（或系统）。（或系统）。 一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，相同，但是相频大不一
20、样。相位的绝对值大，故故一阶不稳定环节又称非最小相位环节一阶不稳定环节又称非最小相位环节。九、延迟环节 sesRsCsG 1A jG 0L延迟环节输入输出关系为延迟环节输入输出关系为 c tr t53 系统的开环频率特性系统的开环频率特性 设系统开环传递函数由若干典型环节串联设系统开环传递函数由若干典型环节串联 12nG s = Gs GsGs开环频率特性开环频率特性1()1()niinjGjiiGjGje一、开环幅相特性曲线一、开环幅相特性曲线系统开环幅频与相频分别为系统开环幅频与相频分别为nii=1A w = Gjw =G (jw) 12n 1120lg()20lg()20lg()nnii
21、iiLG jG jG j 1、开环幅相特性曲线、开环幅相特性曲线（1）当）当 niisTKsG11 系统开环传递函系统开环传递函数不包含数不包含积分环节积分环节和和微分环节微分环节。系统开环幅相特性曲线系统开环幅相特性曲线（2）当）当 niimiisTsKsG1111取取m=1,n=3时系统开环幅相特时系统开环幅相特性曲线性曲线 系统开环传递系统开环传递函数分子有一阶微函数分子有一阶微分环节，其开环幅分环节，其开环幅相特性曲线出现相特性曲线出现凹凹凸凸。（3）当）当 1KG ss Ts含有积分环节时的开环幅相特性曲线含有积分环节时的开环幅相特性曲线 开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，开环
22、传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。幅值趋于无穷大。2.系统开环幅相的特点系统开环幅相的特点 当频率当频率 0 时，其开环幅相特性完全由时，其开环幅相特性完全由比比例环节和积分环节例环节和积分环节决定。决定。 当频率当频率 时，若时，若nm，G(j)|=0相角为相角为(m-n)/2。 若若G(s) 中分子含有中分子含有s因子环节，其因子环节，其G(j)曲线随曲线随 变化时发生弯曲。变化时发生弯曲。 G(j) 曲线与负实轴的交点，是一个关键点。曲线与负实轴的交点，是一个关键点。系统开环传函的频率特性称为系统开环传函的频率特性称为开环频率特性。开环频率特性。 控制系统一般总是由若干
23、环节组成的控制系统一般总是由若干环节组成的, , 设其开环设其开环传递函数为传递函数为 ：G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s) 系统的开环频率特性为：系统的开环频率特性为： )()()()(21jGjGjGjGn二、开环对数频率特性曲线的绘制二、开环对数频率特性曲线的绘制或或 )()(2)(1)()()()()(21njnjjjeAeAeAeA得得)()()()()()()()(2121nnAAAA则系统的开环对数频率特性为则系统的开环对数频率特性为 )()()()()()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(212121nnnLLLAAAAL其中其中, Li()=20
24、lgAi(), (i=1, 2, , n)。 12n 系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。相频等于各环节相频之和。 11nniii=i=L=20lg G(j )=20lgG(j )=20lg G(j )例例 5-1 5-1 绘制开环传递函数为绘制开环传递函数为 )101)(1 ()(ssKsG的零型系统的伯德图。的零型系统的伯德图。 解解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别为系统开环对数幅频特性和相频特性分别为 12322( )( )( )( )20lg20lg 120lg 1 100LLLLK123( )( )( )(
25、)arctanarctan10 例例 5-1 5-1 的伯德图的伯德图 L()/dBL1()20lgK0.120dB/dec1L3()0dB20dB40dBL2()L()40dB/dec1()2()3()()()/()04590135180102101100101102 实际上实际上, , 在熟悉了对数幅频特性的性质后在熟悉了对数幅频特性的性质后, , 不必先一一画出各环节的特性不必先一一画出各环节的特性, , 然后相加然后相加, , 而而可以采用更简便的方法。可以采用更简便的方法。 由上例可见由上例可见, , 零型系统开环对数幅频特性零型系统开环对数幅频特性的低频段为的低频段为20lg20l
26、gK K的水平线的水平线, , 随着随着的增加的增加, , 每遇到一个交接频率每遇到一个交接频率, , 对数幅频特性就改变一对数幅频特性就改变一次斜率次斜率。 例例 5-2 设设型系统的开环传递函数为型系统的开环传递函数为 )1 ()(TssKsG试绘制系统的伯德图。试绘制系统的伯德图。 223211lg20lg20lg20)()()()(TKLLLLTarctan90)()()()(321系统的伯德图如图所示。系统的伯德图如图所示。 解解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别为系统开环对数幅频特性和相频特性分别为 例例 5-2的伯德图的伯德图 1/TL()/dBL() 20dB/decL1()
27、20lg K0dB0.11L2() 20dB 40dBL3() 40dB/dec0 45 90 135 1801()3()2()()()/( ) 此系统对数幅频特性的低频段斜率为此系统对数幅频特性的低频段斜率为20 dB/dec, 它在它在=1 处与处与L1()=20 lgK的水平线相交。的水平线相交。 在交接频在交接频率率=1/T处处, 幅频特性的斜率由幅频特性的斜率由20 dB/dec 变为变为40 dB/dec。 通过以上分析通过以上分析, , 可以看出系统开环对数幅频特性有可以看出系统开环对数幅频特性有如下特点如下特点: : 低频段的斜率为低频段的斜率为2020dB/dec,dB/de
28、c,为开环系统中所为开环系统中所包含的积分环节的数目。包含的积分环节的数目。 低频段在低频段在1 1处的对数幅值为处的对数幅值为20lg20lgK K。 在在典型环节的交接频率处典型环节的交接频率处, , 对数幅频特性渐近线的对数幅频特性渐近线的斜率要发生变化斜率要发生变化, , 变化的情况取决于典型环节的类型。变化的情况取决于典型环节的类型。u遇到遇到G(s)(1+Ts)-1的环节的环节, 交接频率处斜率改交接频率处斜率改变变-20dB/dec;u遇到遇到G(s)(1+Ts)的环节的环节, 交接频率处斜率改交接频率处斜率改变变+20dB/dec;u遇到二阶振荡环节遇到二阶振荡环节 ,交接交接
29、频率处斜率改变频率处斜率改变40dB/dec。 22211)(sTTssG 综上所述综上所述, 可以将绘制对数幅频特性的步骤归可以将绘制对数幅频特性的步骤归纳如下纳如下: (1) 将将开环传函分解开环传函分解, 写成典型环节相乘的形式写成典型环节相乘的形式; (2) 求出各典型环节的求出各典型环节的交接频率交接频率, 将其将其从小到大排从小到大排列列为为1, 2, 3, 并标注在并标注在轴上轴上; (3) 绘制绘制低频渐近线低频渐近线(1左边的部分左边的部分), 这是一条斜率这是一条斜率为为-20dB/dec(为开环系统中所包含的积分环节的数为开环系统中所包含的积分环节的数目目)的直线的直线,
30、 它或它的延长线应通过它或它的延长线应通过(1, 20lgK)点点; (4) 随着随着的增加的增加, 每遇到一个典型环节的交接频率每遇到一个典型环节的交接频率, 就改就改变一次斜率变一次斜率; 对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相加而得加而得, 也可以利用相频特性函数也可以利用相频特性函数() 直接计算。直接计算。 ) 12 . 0)(11 . 0() 105. 0(100)(sssssG)2 . 01)(1 . 01 ()05. 01 (100)(jjjjjG例例5-35-3 系统开环传递函数系统开环传递函数试绘制开环对数频率特性。试绘制开环对
31、数频率特性。解解: : 系统开环频率特性为系统开环频率特性为100)(1jG1( )20lg10040 LdB1( )0 jjG1)(2lg20)(2L90)(2系统由系统由5个典型环节串联组成：个典型环节串联组成：比例环节比例环节积分环节积分环节1 对数幅频特性渐近线在对数幅频特性渐近线在 时穿越时穿越0dB线，其斜线，其斜率为率为-20dB/dec。1 . 011)(3jjG23)1 . 0(1lg20)(L1 . 0)(3arctg110sradc)(3(, )4c 转折频率转折频率 ，对数幅频特性渐近线曲，对数幅频特性渐近线曲线在转折频率前为线在转折频率前为0dB0dB线，转折频率后为
32、一条斜率为线，转折频率后为一条斜率为-20dB/dec-20dB/dec的直线。的直线。 对称于点对称于点 。 惯性环节惯性环节12 . 01)(4jjG24)2 . 0(1lg20)(L2 . 0)(4arctg惯性环节惯性环节1452 . 01srad)(3L)(3 转折频率转折频率 ，对数幅频特性渐近线，对数幅频特性渐近线类似于类似于 ，相频特性类似于，相频特性类似于 。05. 01)(5jjG25)05. 0(1lg20)(L05. 0)(5arctg一阶微分环节一阶微分环节152005. 01srad1520srad5 转折频率转折频率 ，对数幅频特性渐近线，对数幅频特性渐近线在在
33、之前为之前为0 0分贝线，在分贝线，在 之后为一条斜率之后为一条斜率为为20dB/dec20dB/dec的直线。的直线。 相频特性相频特性 在转在转折频率处为折频率处为4545，低，低频段为频段为0 0，高频段为，高频段为9090，且曲线对称于，且曲线对称于点点 。 将以上个环节的将以上个环节的对数幅频特性渐近线对数幅频特性渐近线和相频特性曲线绘制和相频特性曲线绘制出，在同一频率下相出，在同一频率下相加即得到系统的开环加即得到系统的开环对数幅频特性渐近线对数幅频特性渐近线及相频特性，如图所及相频特性，如图所示。示。 )(5)45 ,(5Bode图图例例54 系统开环传递函数系统开环传递函数绘制
34、系统开环对数幅频与相频特性曲线。绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。) 1)(11 . 0 (10)(sssG解：解：1111 . 0110) 1)(11 . 0 (10)(sssssG 开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。频及相频。例例5 55 5) 15 . 0(105. 0111110)20)(1()2(100)(sssssssssG(0.51)s51011s2
35、11s310.051s4五个基本环节五个基本环节绘制开环系统的波特图绘制开环系统的波特图将写成典型环节之积；将写成典型环节之积；找出各环节的转角频率；找出各环节的转角频率；画出各环节的渐近线；画出各环节的渐近线；在转角频率处在转角频率处修正渐近线修正渐近线得各环节曲线；得各环节曲线；将将各环节曲线相加各环节曲线相加即得波特图。即得波特图。一般规则：一般规则： 具有最小相位传递函数的系统具有最小相位传递函数的系统, , 称为最小相位系统称为最小相位系统; ; 具有非最小相位传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统, , 则称为非最小相位系统。则称为非最小相位系统。 三、最小相位系统三、最小相位
36、系统 若系统传递函数的极点和零点都位于若系统传递函数的极点和零点都位于s平面的左平面的左半部半部, 这种传递函数称为这种传递函数称为最小相位传递函数最小相位传递函数; 否则否则, 称称为为非最小相位传递函数非最小相位传递函数。 对于幅频特性相同的系统对于幅频特性相同的系统, , 最小相位系统的相位最小相位系统的相位迟后是最小的迟后是最小的, , 而非最小相位系统的相位迟后必大于而非最小相位系统的相位迟后必大于前者。前者。 )0(11)(1221TTjTjTjG例如有一最小相位系统例如有一最小相位系统, , 其频率特性为：其频率特性为： 另有一非最小相位系统另有一非最小相位系统, , 其频率特性
37、如下其频率特性如下: : 2111)(jTjTjG(T2T10) 这两个系统的对数幅频特性完全相同这两个系统的对数幅频特性完全相同 22222111lg20)(TTL相频特性不同：相频特性不同：前一系统的相角前一系统的相角 角度变化范围角度变化范围 0负角度值负角度值 0；后一系统的相角后一系统的相角 角度变化范围角度变化范围 0 -180。211arctanarctan)(TT21arctan)arctan()(TT2它们的它们的Bode图如图图如图3-22所示。所示。 对于对于最小相位系统，对数幅频特性与相频特性之间存在着最小相位系统，对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一的对应关系唯一的对
38、应关系。根据系统的对数幅频特性，可以唯一地确定。根据系统的对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数相应的相频特性和传递函数, , 反之亦然。但是，对于非最小相反之亦然。但是，对于非最小相位系统，就不存在上述的这种关系。位系统，就不存在上述的这种关系。由最小相位系统的对数幅频特性确定其传递函数的步骤：由最小相位系统的对数幅频特性确定其传递函数的步骤：（1）由低频段确定系统传函的型别：由低频段确定系统传函的型别：-20dB/dec(为传函中包为传函中包含的积分环节数含的积分环节数) )（2）确定传函增益确定传函增益K 0 0型：型：20lgK=L1 型：低频段或其延长线交频率轴于型：低
39、频段或其延长线交频率轴于 点点 0，K= 0 型：低频段或其延长线交频率轴于型：低频段或其延长线交频率轴于 点点 0，K= 02 L( )L1 1（3）串联环节的确定：串联环节的确定： 交接频率交接频率 1处，处， 斜率改变斜率改变-20dB/dec，串，串111s 斜率改变斜率改变+20dB/dec，串，串11s 斜率改变斜率改变-40dB/dec， 串串12)(1121ss 斜率改变斜率改变+40dB/dec，串，串12)(121ss最小相位系统幅频、相频对应关系最小相位系统幅频、相频对应关系j19001800Tj112)(122TjjT)90(0m1jniijT1) 1(1900 )90
40、(0nmiij1)1(19090环环 节节幅幅 频频相相 频频- -20dB/dec-20dB/dec0dB/dec-20dB/dec0dB/dec-40dB/dec0dB/dec20dB/dec0dB/decn(-20)dB/dec0dB/decm(+20)dB/dec例例5-6 已知最小相位系统的对数幅频特性图如下：已知最小相位系统的对数幅频特性图如下： -20 -40 L( ) 1 c 0试求系统的传递函数。试求系统的传递函数。) 1()(1ssKsG解：解：系统传递函数为系统传递函数为其中，其中， 或或0K12111)lg(lg40lg20lg20)(ccKKL54 稳定判据及稳定裕度
41、稳定判据及稳定裕度一、奈奎斯特稳定判据一、奈奎斯特稳定判据反馈控制系统反馈控制系统 sNsMsG11 sNsMsH22开环传递函数开环传递函数 sNsNsMsMsHsG2121闭环传递函数闭环传递函数121212( )( )( )( )1( ) ( )( )( )( )( )M s N sG ssG s H sN s N sM s M s sNsNsMsMsNsNsHsGsF2121211令令将将F(s)写成零、极点形式，则：写成零、极点形式，则： niiniipszssF11辅助函数辅助函数F(s)具有如下特点：具有如下特点：其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。其零点和极点分别是闭环和开环
42、的特征根。其零点的个数与极点的个数相同。其零点的个数与极点的个数相同。辅助函数与系统开环传递函数只差常数辅助函数与系统开环传递函数只差常数1。1.幅角原理幅角原理 如果封闭曲线如果封闭曲线 内有内有Z个个F(s)的零点，有的零点，有P个个F(s)的极点，则的极点，则 s 依依 顺时针转一圈时，在顺时针转一圈时，在F(s)平面上，平面上，F(s)曲线绕原点反时针转的圈数曲线绕原点反时针转的圈数N为为P和和Z之差，即之差，即NPZss 若若N为负，表示为负，表示F(s)曲线绕原点顺时针转过的曲线绕原点顺时针转过的圈数。圈数。 N=P-Z 也可写成也可写成: Z=P-N s为复变量，以为复变量，以
43、s 复平面上的复平面上的 s =+j 来表示。来表示。F (s)为复变函数，以为复变函数，以F (s)复平面上的复平面上的F (s)= u+j v表示。表示。点映射关系、点映射关系、s平面与平面与F(s)平面的曲线映射关系，如图平面的曲线映射关系，如图所示。所示。点映射关系点映射关系s平面与平面与F(s)平平面的映射关系面的映射关系 如果在如果在s平面上任取一条封闭曲线平面上任取一条封闭曲线Cs，且要求，且要求Cs曲线曲线满足下列条件满足下列条件:1)曲线曲线Cs不通过不通过F(s)的的奇点奇点（即（即F(s)的零点和极点）；的零点和极点）；2)曲线曲线Cs包围包围F (s)的的Z个零点和个零
44、点和P个极点。个极点。 )(sFj1z2ziz1iz1psABjsF3p2pip1ips、F(s)平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线Cs、 Cs如图所示如图所示 niiniipszssF11 niiniipszssF11 复变函数复变函数F(s)，当，当s1 （封闭曲线（封闭曲线Cs上任一点上任一点 ）沿）沿闭合曲线闭合曲线Cs顺时针转动一圈时，其顺时针转动一圈时，其矢量总的相角增量矢量总的相角增量记为记为F(s)。由由 式中，式中，P和和Z分别是被封闭曲线分别是被封闭曲线Cs包围的特征方程包围的特征方程函数函数F(s)的极点数和零点数。当的极点数和零点数。当s平面上的试验点平面上的试验点s1沿
45、沿封闭曲线封闭曲线Cs顺时针方向绕行一圈时，顺时针方向绕行一圈时，F(s)平面上对应的平面上对应的封闭曲线将按逆时针方向包围坐标原点（封闭曲线将按逆时针方向包围坐标原点（P-Z）圈。）圈。11( )()()nniiijF sszsp1111()()()()ZnPniijjii Zjj Ps zs zs ps p ( 2 )( 2 ) ()2ZPP Z)(sFj1z2ziz1iz1pizssABjsFjsp3p2pip1ip例：例： 2sFNPZ=-1 即即F(s)曲线绕原点顺时针转一圈。曲线绕原点顺时针转一圈。2.2.奈式判据奈式判据 若若开环传函开环传函 在在s s的右半平面有的右半平面有p
46、 p个极个极点点，则为使闭环系统稳定，当，则为使闭环系统稳定，当 从从变化时，变化时， 的轨迹必逆时针包围的轨迹必逆时针包围GHGH平平面上的面上的 点点 次。即：次。即：)()(sHsG)()(jHjG(1,0)jpN 0Npzz闭环传递函数在闭环传递函数在s右半平面的极点数。右半平面的极点数。（F(s)在在s右平面的零点数）右平面的零点数）p开环传函在开环传函在s右半平面的极点数。右半平面的极点数。N 绕绕 点逆时针转的次数。点逆时针转的次数。若若N为顺时针旋转圈数，则有为顺时针旋转圈数，则有 )()(jHjG( 1, 0)jNpz 为将映射定理与控制系统为将映射定理与控制系统稳定性分析联
47、系起来，稳定性分析联系起来，适当适当选择选择s平面的封闭曲线平面的封闭曲线Cs：由：由整个虚轴和半径为整个虚轴和半径为的右半的右半圆组成，试验点按顺时针方圆组成，试验点按顺时针方向移动一圈，该封闭曲线称向移动一圈，该封闭曲线称为为Nyquist轨迹（路径）轨迹（路径）。 Nyquist轨迹在轨迹在F(s)平面上平面上的映射也是一条封闭曲线，的映射也是一条封闭曲线，称为称为Nyquist曲线曲线。 s平面上的平面上的Nyquist轨迹轨迹Nyquist轨迹及其映射轨迹及其映射 Nyquist轨迹轨迹Cs由两部分组成，由两部分组成，一部分沿虚轴由一部分沿虚轴由下而上移动下而上移动，试验点，试验点s
48、=js=j在整个虚轴上的移动，在在整个虚轴上的移动，在F 平面上的映射就是曲线平面上的映射就是曲线F(j) (由由-+)。 F(j)=1+G(j)H(j) Nyquist轨迹轨迹Cs的的另一部分另一部分为为s平面上半径为平面上半径为的右半圆的右半圆，映射到映射到F(s)平面上为平面上为 F ()=1+G ()H () 根据映射定理可得，根据映射定理可得，s平面平面上的上的Nyquist轨迹在轨迹在F平面上的平面上的映射映射F(j)，(从从-+)F F平面上的平面上的NyquistNyquist曲线曲线F平面上的平面上的Nyquist曲线曲线ZF(s)位于右半平面的位于右半平面的零点数，即闭环右
49、极点个数；零点数，即闭环右极点个数； PF(s)位于右半平面的位于右半平面的极点数，即开环右极点个数；极点数，即开环右极点个数； NNyquist曲线逆时针曲线逆时针包围坐标原点的次数。包围坐标原点的次数。 F (s)=1+G (s) H (s) 闭环系统稳定的条件为闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在系统的闭环极点均在s平面平面的左半平面的左半平面。即。即 Z=0 或或 N=P。 由由幅角定理幅角定理可得可得F(s)逆时逆时针包围坐标原点的次数针包围坐标原点的次数N为为N=P-Z Nyquist稳定判据一稳定判据一 由由G(j)H(j)的的Nyquist曲线曲线 (从从0+)判别闭判别闭环
50、系统稳定性的环系统稳定性的Nyquist判据为判据为G(j)H(j)曲线曲线(：0+)逆时针包围逆时针包围(-1，j0)的次数为的次数为 。 /2P 当系统的当系统的开环传递函数开环传递函数G(s)H(s)在在s平面的原点及平面的原点及虚轴上无极点虚轴上无极点时，时，Nyquist稳定判据可表示为：稳定判据可表示为： 当当从从-+变化时变化时G(j)H(j)的的Nyquist曲线逆曲线逆时针包围时针包围(-1，j0)点的次数点的次数N，等于系统，等于系统G(s)H(s)位于位于右半右半s平面的极点数平面的极点数P，即，即N=P，则闭环系统稳定，则闭环系统稳定,否则否则(NP)闭环系统不稳定闭环
