1、 20222022 年高考文数真题试卷（全国乙卷）年高考文数真题试卷（全国乙卷） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1集合，则（ ） A B C D 2设 ，其中为实数，则（ ） A B C D 3已知向量，则 （ ） A2 B3 C4 D5 4分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长（单位：h） ，得如下茎叶图： 则下列结论中错误的是（ ） A甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4 B
2、乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8 C甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4 D乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.6 5若 x，y 满足约束条件 则的最大值是（ ） A B4 C8 D12 6设 F 为抛物线 的焦点，点 A 在 C 上，点 ，若 ，则 （ ） A2 B C3 D 7执行下边的程序框图，输出的 （ ） A3 B4 C5 D6 8如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（ ） A B C D 9在正方体 中，E，F 分别为 的中点，则（ ） A平面 平面 B平面 平面 C平面 平面 D平面 平面 10已知
3、等比数列 的前 3 项和为 168， ，则 （ ） A14 B12 C6 D3 11函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ） A B C D 12已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13记 为等差数列 的前 n 项和若 ，则公差 14从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 15过四点 中的三点的一个圆的方程为 16若 是奇函数，则 ， 三、
4、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答。，考生根据要求作答。 17记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 （1）若 ，求 C； （2）证明： . 18如图，四面体 中， ，E 为 AC 的中点 （1）证明：平面 平面 ACD； （2）设 ，点 F 在 BD 上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积 19某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成
5、了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： ）和材积量（单位： ） ，得到如下数据： 样本号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 积 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得 附：相关系数 （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精
6、确到 0.01） ； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值 20已知函数 （1）当 时，求 的最大值； （2）若 恰有一个零点，求 a 的取值范围 21已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过 两点 （1）求 E 的方程； （2）设过点 的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点T，点 H 满足 证明：直线 HN 过定点 四、选考题：共四、选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2
7、222、2323 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B2B 铅笔在答题卡上将所铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。按所答第一题评分。 22在直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 （1）写出 l 的直角坐标方程； （2）若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围 23已知 a，b，c 都是正数，且 ，证明： （1） ； （2）
8、 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 2 【答案】A 3 【答案】D 4 【答案】C 5 【答案】C 6 【答案】B 7 【答案】B 8 【答案】A 9 【答案】A 10 【答案】D 11 【答案】D 12 【答案】C 13 【答案】2 14 【答案】 15 【答案】 或 或 或 16 【答案】； 17 【答案】（1）解： 且 sinB0 C=C-A（舍）或 C+（C-A）= 即：2C-A= 又A+B+C=，A=2B C= （2）证明：由 可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立 18 【答案】（1）证明：由于 ， 是 的中点，所以 . 由于 ，
9、所以 ， 所以 ，故 ， 由于 ， 平面 ， 所以 平面 ， 由于 平面 ，所以平面 平面 . （2）解：依题意 ， ，三角形 是等边三角形， 所以 ， 由于 ，所以三角形 是等腰直角三角形，所以 . ，所以 ， 由于 ， 平面 ，所以 平面 . 由于 ，所以 ， 由于 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 由于 ，所以当 最短时，三角形 的面积最小值. 过 作 ，垂足为 ， 在 中， ，解得 ， 所以 ， 所以 过 作 ，垂足为 ，则 ，所以 平面 ，且 ， 所以 ， 所以 . 19 【答案】（1）解：样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 据此可估
10、计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 ， 平均一棵的材积量为 （2）解： 则 （3）解：设该林区这种树木的总材积量的估计值为 ， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得 ，解之得 则该林区这种树木的总材积量估计为 20 【答案】（1）解：当 时， x （0，1） 1 （1，+） f（x） + 0 - f（x） 的最大值=f（1）=-1-ln1=-1 （2）解： 定义域为（0，+） 根据（1）得：a=0 时，f（x）max=-10，f（x）无零点 当 a0 时，x0，ax-10，又 x20 x （0，1） 1 （1，+） f（x） + 0 - f（x） x0，f（x）f（1）=
11、a-10，f（x）无零点 当 a0 时， 当 0a1 时， 1 x （0，1） 1 （1， ） （ ，+） f（x） + 0 - 0 + f（x） x（0， ，f（x）f（1）=a-10， 又 f（x）=+，f（x）恰有一个零点 当 a=1 时， ， f（x）在（0，+）上递增， 由 f（1）=a-1=0 可得，f（x）恰有一个零点 当 a1 时， （0，1 x （0， ） （ ，1） 1 （1，+） f（x） + 0 - 0 + f（x） x ，+） ，f（x）f（1）=a-10， 又 f（x）=-，f（x）恰有一个零点 综上所得 a 取值范围为 21 【答案】（1）解：设椭圆 E 的方程为
12、 ，过 ， 则 ，解得 ， ， 所以椭圆 E 的方程为： （2）证明： ，所以 ， 若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ， 可得 ， ，代入 AB 方程 ，可得 ，由 得到 .求得 HN 方程： ，过点 . 若过点 的直线斜率存在，设 . 联立 得 ， 可得 ， ， 且 联立 可得 可求得此时 ， 将 ，代入整理得 ， 将 代入，得 显然成立， 综上，可得直线 HN 过定点 22 【答案】（1）解：因 l： ，所以 ， 又因为 ，所以化简为 ， 整理得 l 的直角坐标方程： （2）解：联立 l 与 C 的方程，即将 ， 代入 中，可得 ， 所以 ， 化简为 ， 要使 l 与 C 有公共点，则 有解， 令 ，则 ，令 ， ， 对称轴为 ，开口向上， 所以 ， ， 所以 m 的取值范围为 . 23 【答案】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ， 所以 ， 即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号 （2）证明：因为 ， ， ， 所以 ， ， ， 所以 ， ， 当且仅当 时取等号
