1、点、线、面的辅助投影本章学习目标本章学习目标应用换面法求解空间几何元素的度量和应用换面法求解空间几何元素的度量和位置问题位置问题 换面法换面法 本章学习内容本章学习内容换面法的基本概念换面法的基本概念 点的换面点的换面直线的换面直线的换面平面的换面平面的换面换面法的应用换面法的应用 当直线或平面对投影面处于一般位置时，在当直线或平面对投影面处于一般位置时，在投影图上不能直接反映它们的实长、实形。投影图上不能直接反映它们的实长、实形。 当它们处于特殊位置时，在投影图上就可以直当它们处于特殊位置时，在投影图上就可以直接得到它们的实长、实形。接得到它们的实长、实形。 实长实长实形实形1 1 换面法的
2、基本概念换面法的基本概念XOXOXOXOa abb 两点之间距离两点之间距离XOa abb c c三角形实形三角形实形XOa abb c cdd 直线与平面的直线与平面的交点交点XOa b c d abcd两平面夹角两平面夹角XO问题的提出：问题的提出： 空间几何元素位于特殊位置时有利于解决问题空间几何元素位于特殊位置时有利于解决问题换面法的基本概念换面法的基本概念 如能将与投影面处于一般位置的几何元素变为与投影面处如能将与投影面处于一般位置的几何元素变为与投影面处于特殊位置，则一些问题的求解就会变得容易。于特殊位置，则一些问题的求解就会变得容易。 可选取新投影面可选取新投影面V1代替代替V面
3、面 实长实长 让空间几何元素的位置保持不动，用一个新的投影面体系让空间几何元素的位置保持不动，用一个新的投影面体系替换原来的投影面体系的方法称为变换投影面法，简称换面法。替换原来的投影面体系的方法称为变换投影面法，简称换面法。 换面法的基本概念换面法的基本概念实长实长新投影面必须满足下列两个条件：新投影面必须满足下列两个条件：(1) 新投影面必须垂直原来的投影面体系中一个不变的新投影面必须垂直原来的投影面体系中一个不变的投影面；投影面； (2) 新投影面对空间几何元素应处于有利于解决问题的新投影面对空间几何元素应处于有利于解决问题的位置。位置。 V/H称为旧投影面体系，称为旧投影面体系，V1/
4、H称为新投影面体系称为新投影面体系 在新投影面体系中，在新投影面体系中，V1面垂直于面垂直于H面，面，a1a垂直于垂直于X1轴轴 新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离，新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离，即即a1ax1=aax 2.12.1点的一次变换点的一次变换（1 1）变换）变换V V面面2 2 点的换面点的换面82.2 点的一次变换点的一次变换（2） 变换变换H面面1. 作出新轴作出新轴X12. 过过b 作作bb1垂直于垂直于X1轴轴 3. 量取量取b1bx1=bbx，b1为所求为所求 2.2 点的两次变换点的两次变换(1) 通过一次变换求得通过一次变换求得a1 (2) 在适当
5、的位置画出第二在适当的位置画出第二次换面的新轴次换面的新轴X2 (3) 过过a1作作a1a2垂直于垂直于X2轴轴,量取量取a2ax2=aax1,得得a2 实长实长直线对直线对H面面的倾角的倾角3.1 直线的一次变换直线的一次变换1.一般位置直线可以变为投一般位置直线可以变为投影面的平行线影面的平行线3 3 直线的换面直线的换面3.1 直线的一次变换直线的一次变换2.投影面平行线可以变为新投影面平行线可以变为新投影面的垂直线投影面的垂直线正平线正平线 变换哪一个投影面？变换哪一个投影面？将一般位置直线变为投影面的垂直线，需经过两次换面将一般位置直线变为投影面的垂直线，需经过两次换面 3.2 一般
6、位置直线的两次变换一般位置直线的两次变换1. 1. 一般位置平面可以变为投影面的垂直面一般位置平面可以变为投影面的垂直面 4.1 4.1 平面的一次换面平面的一次换面作图要点：新投影轴垂直于平面内作图要点：新投影轴垂直于平面内的正平线。的正平线。4 4 平面的换面平面的换面2. 投影面垂直面可变为投影面平行面投影面垂直面可变为投影面平行面 4.1 平面的一次换面平面的一次换面铅垂面铅垂面变换变换V面面(1) 在适当的位置画出新轴在适当的位置画出新轴X1平行于平行于abc (2) 求出求出ABC各点的新投影并连线各点的新投影并连线 实形实形4.2 一般位置平面的两次换面一般位置平面的两次换面要将
7、一般平面变为投影面的平行面，需经过两次换面要将一般平面变为投影面的平行面，需经过两次换面 (1) 第一次换面，作正平线第一次换面，作正平线AD，把把ABC 更换为投影面的垂直面更换为投影面的垂直面 (2) 第二次换面，新轴第二次换面，新轴X2平行于平行于a1b1c1，求各点的新投影求各点的新投影a2、b2、c2，连线，连线实形实形解题步骤：解题步骤： 例题例题1 求点C到直线AB的距离5 5 应用举例应用举例c2作图c1b1a1X2H1V2H1X1Vkkk1b2 k2a2距离例题例题2已知点已知点M到直线到直线AB的距离为的距离为15和点和点M的水平的水平投影投影m，求点，求点M的正面投影。的
8、正面投影。 (1) 直线直线AB经一次换面变经一次换面变成投影面平行线成投影面平行线a1b1 解题步骤：解题步骤：(2) 直线直线AB经第二次换面经第二次换面变成投影面垂直线变成投影面垂直线(a2)b2 (3) 根据已知条件求出根据已知条件求出m 例题例题3 已知已知CD直线长直线长15mm,并且与直线并且与直线AB平行，平行，求直线求直线CD的两面投影。的两面投影。cbcbaac1ddd1b1a1x1211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c121b例题例题4 求两直线AB与CD的公垂线 。 k1X1H1Vb1a1c1 d1s1例题例题5 求点S到平面ABC的
9、距离距离eN ddX1VH1k1e1例题例题6 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。b1a1c1d1例题例题7求平面求平面ABC与平面与平面ABD夹角的实际大小。夹角的实际大小。 两三角形有一公共边两三角形有一公共边AB，只要把直线，只要把直线AB变换为投影面的变换为投影面的垂直线即可得夹角的实际大小垂直线即可得夹角的实际大小 两次换面，第一次变换使直线两次换面，第一次变换使直线AB为为投影面平行线，第二次变换使直线投影面平行线，第二次变换使直线AB为投影面垂直线为投影面垂直线 两平面的两平面的夹角夹角例题例题8 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2
