1、National Kaohsiung First University of Science and TechnologyInfomechatronics and Power Electronics Lab. Chapter 8級數微積分微積分NKFUSTIPEL函數與極限函數與極限u8.1 數列u8.2 級數u8.3 積分及比較檢定法u8.4 其他收斂檢定u8.5 冪級數u8.6 函數的冪級數展開u8.7 泰勒及馬克勞林級數u8.8 泰勒多項式的應用NKFUSTIPEL8.1 數列數列 數列數列(sequence)是指把一系列的數依照某種順序寫下來： a1為第1項，a2為第2項，an為第n項
2、。 數列a1 , a2 , a3 , . . . 也可表示為 或naa1, a2, a3, a4,an,1nnaNKFUSTIPEL 如果數列an的第n項an在 n 夠大時會靠近L，則an的極極限限(limit)為L，並記為 或 當n 時 an L 當 存在，即此數列an收斂收斂(converges)；反之則是發散的發散的(diverges)。Lannlimnnalim定義定義 INKFUSTIPEL圖1 極限趨近於L之數列NKFUSTIPEL 如果對任意的0，都可以找到正整數 N 使得 若 n N ，則數列an的極限極限是L，並記為 或 當n時 an L 定理: 若 且 則LanLannli
3、m定義定義 IILxfx)(limnanf)(LannlimNKFUSTIPEL定義定義 III 如果對任意的正數 M，都可以找到正整數N使得 若 n N 則 如果對任意 n no都滿足an bn cn而且 ，那麼極限 如果 則MannnalimLcannnnlimlimLbnnlim0limnna0limnnaNKFUSTIPEL 假設數列an和bn都收斂，c是常數，則: nnnnnnnnbabaalimlim)(limnnnnnnnnbabaalimlim)(limnnnnacca limlimccnlim0limlimlimlimnnnnnnnnnbbaba若nnnnnnnbabalim
4、lim)(limlimlimapnnpnna若p0而an 0NKFUSTIPEL定義定義 IV 數列r n在 -1 r 1時會收斂，而在其他情形都會發散。 如果一數 M 使得對任何 n1 都滿足 an M，則數列an是有上界的上界的(bounded above)。 而如果存在 m 使得 n 1 時都有 m an，則an是有下下界的界的(bounded below)。 當這個數列同時有上界和下界時，即是有界數列有界數列(bounded sequence)。 單調數列定理單調數列定理 : 所有單調有界的數列都是收斂的。NKFUSTIPEL 如果把數列 的每一項加起來，其結果為: 則稱此為無窮級數無
5、窮級數(infinite series)或級數級數(series)。 級數也可以表示為 或 a1 + a2 + a3 +an1nna1nnana8.2 級數級數NKFUSTIPEL 部分和部分和(partial sums):212aas11as 3213aaas43214aaaas1231.nnniisaaaaaNKFUSTIPEL 用sn表示級數 前n項的部分和: 當數列sn收斂而且極限 是個實數，即此級數 收斂收斂，並記為 s 為級數和和。如果sn是發散的，則級數是發散發散的。.3211aaaann或nininaaaas121ssnnlimna1nnsaa1 + a2 + a3 +an+=
6、s定義定義 INKFUSTIPEL 幾何級數幾何級數: 當r 1時收斂，而在p 1時發散。 1)( dxxf1nna1)(dxxf1)(dxxf1nna1nna8.3 積分及比較檢定法積分及比較檢定法11npnNKFUSTIPEL 比較檢定法比較檢定法: 假設級數 及 的項都是正的。(a)如果 收斂而且對任意 n 都滿足an bn ，那麼 也是收斂的。(b)如果 發散而且對任意 n 都滿足 an bn ， 那麼 也是發散的。 極限檢定法極限檢定法: 假設級數 及 的項都是正的。如果極限 其中c 0 是一個有限的數。那麼二個級數就會同時收斂或發散。nanbnbnbnanacbannnlimnan
7、bNKFUSTIPEL8.4 其他收斂檢定其他收斂檢定 交錯級數交錯級數(alternating series): 正負數會輪流出現的級數。例如 交錯級數檢定法: 如果交錯級數 滿足 (i) 對任意n 都有 (ii) 這個級數就會收斂。)0() 1(65432111nnnnbbbbbbbbnnn1) 1(6151413121111nnbb10limnnbNKFUSTIPEL 交錯級數估計定理交錯級數估計定理: 如果 是交錯級數的和，而且滿足 (i) (ii) 則 然而對其他數列來說，這個性質並不適用。nnbs1) 1(nnbb100limnbn1nnnbssRNKFUSTIPEL定義定義 如果
8、級數 的絕對值形成 的級數是收斂的，則此級數為絕對收斂絕對收斂(absolutely convergent)。 如果級數 收斂但是不是絕對收斂，則此級數為條件收條件收斂斂(conditionally convergent)。 定理定理: 如果級數 是絕對收斂的，那級數就會是收斂的。nanananaNKFUSTIPEL 比值比值檢定法檢定法: (i) 如果級數 滿足條件 ，則此級數為絕對收斂。 (ii) 如果級數 滿足條件 或 ，則此級數就會發散。 (iii) 如果級數 滿足條件 ，比值檢定並不適合，即不能由此判斷級數 的收斂性。1lim1Laannn1nnannnaa1lim1nna1lim1
9、Laannn1nna1lim1nnnaanaNKFUSTIPEL根式根式檢定法檢定法: (i) 如果級數 滿足條件 ，則此級數會絕對收斂。(ii) 如果級數 滿足條件 或 ，則此級數就會發散。 (iii) 如果級數 滿足條件 ，根式檢定並沒有用。 1nna1nna1nna1limLannn1limLannnnnnalim1limnnnaNKFUSTIPEL8.5 冪級數冪級數 若一級數的形式為:1. 其中x為變數，cn為常數。此級數稱為冪級數(power series)，而常數cn稱為這個級數的係數係數(coefficients)。2. 此級數稱為(x-a)的冪級數的冪級數，或以以a為中心的冪
10、級數為中心的冪級數，或者是在在a點的冪級數點的冪級數。xcxcxccxcnnn0332210axcaxccaxcnnn02210)()()(NKFUSTIPEL對於冪級數 來說，會有三種情形發生：(i) 級數只在x = a 這點收斂。(ii) 級數對任何x 都會收斂。(iii) 存在正數R 使得級數在 時收斂，而在 時發散。 R為冪級數的收斂半徑收斂半徑(radius of convergence)。冪級數的收斂區間收斂區間(interval of convergence) 是所有會收斂的 x 值形成的區間。(i)中的收斂區間只有一個點a， (ii)中的收斂區間是(-,)。 (iii)中不等式
11、 x - a R可以寫成a- R x 0，那麼函數在區間(a - R, a + R) 可微，且(i)(ii)(i)和(ii)中的冪級數也都有收斂半徑R。nnaxc)(02210)()()()(nnnaxcaxcaxccxf112321)()(3)(2)( nnnaxncaxcaxccxf0!1)(nnnnaxcCaxcaxcaxcCdxxf3)(2)()()(32210NKFUSTIPEL 定理定理 如果 f 在 a 點有冪級數展開，即 而係數為20)()(axcxfnn!)()(nafcnnx-a R8.7 泰勒及馬克勞林級數泰勒及馬克勞林級數NKFUSTIPEL f 在 a 點的泰勒展開式
12、泰勒展開式或泰勒級數泰勒級數(Taylor series):axafaxafaxafafaxnafxfnnn320)()(! 3)( )(! 2)()(! 1)( )()(!)()(泰勒級數泰勒級數NKFUSTIPEL 當a = 0時，泰勒展開式為 此稱為f 的馬克勞林級數馬克勞林級數(Maclaurin series)。 axfaxffxnfxfnnn20)()(! 2)0()(! 1)0( )0()(!)0()(馬克勞林級數馬克勞林級數NKFUSTIPEL 泰勒級數的部分和 Tn是一個次數為n的多項式，稱為 f 在在a點的點的n次泰勒多項式。次泰勒多項式。微積分, 8.7 頁8-57nni
13、ninaxnafaxafaxafafaxiafxT)(!)()(! 2)()(! 1)( )()(!)()()(20)(NKFUSTIPEL 它就會是泰勒級數的和，如果令 或者是 Rn (x)稱為泰勒級數的餘項餘項(remainder)。微積分, 8.7 頁8-57)()()(xTxfxRn)()()(xRxTxfnNKFUSTIPEL 8. 定理定理 如果f(x)=Tn(x)+Rn(x)，其中Tn是f 在 a 點的 n 階泰勒多項式，而且對任意 x - a R 都滿足 那麼在區間x - a R 中，f 會等於泰勒級數的和。微積分, 8.7 頁8-580)(limxRnnNKFUSTIPEL
14、9.泰勒公式泰勒公式 如果函數 f 在包含 a 的區間I中一直到第n+1階的導數都存在，那麼對任何在I中的x，都可以找到一個介於x和a之間的數z，使得泰勒展開式的餘項為微積分, 8.7 頁8-581) 1()()!1()()(nnnaxnzfxRNKFUSTIPEL 11. 對任意的實數 x 都會有極限微積分, 8.7 頁8-580!limnxnnNKFUSTIPEL 12. 對任意 x 都滿足微積分, 8.7 頁8-590!nnxnxeNKFUSTIPEL 13. 微積分, 8.7 頁8-59nne! 31! 21! 111!10NKFUSTIPEL 16. 對任意 x 都滿足微積分, 8.
15、7 頁8-61)!12() 1(! 7! 5! 3sin120753nxxxxxxnnnNKFUSTIPEL 17. 對任意 x 都滿足微積分, 8.7 頁8-61)!2() 1(! 6! 4! 2cos20642nxxxxxxnnnNKFUSTIPEL f (x)=(1+k)k的馬克勞林級數是 這個級數稱為二項式級數二項式級數(binomial series)微積分, 8.7 頁8-62nnnnnxnnkkkxnf00)(!) 1() 1(!) 0 (NKFUSTIPEL 我們把二項式級數的係數記為 這個級數稱為二項式係數二項式係數(binomial coefficients)。微積分, 8.7 頁8-62!) 1() 2)(1(nnkkkknkNKFUSTIPEL 二項式級數二項式級數 如果k是實數，則在x1時會有 微積分, 8.7 頁8-63xkkkxkkkxxnkxnnx320! 3)2)(1(! 2) 1(1)1 (
