1、（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容一、主要内容曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(
2、lim10iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 计计算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在单连通开区域在单连通开区域D上上),(),(yxQyxP具有具有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数, ,则以下四个命题成立则以下四个命题成立. . LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(
3、内内在在等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiiSfdSzyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 联联系系 RdxdyQdzdxPdydz计计 算算一代一代,二换二换,三投三投(与侧无关与侧无关) 一代一代,二投二投,三定向三定向 (与侧有关与侧有关) dSRQP)coscoscos( dSzyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲
4、面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系计算上的联系计算上的联系)( ,),(),()()(21面面元元素素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)( ,),(),()()(),(),(2121体体元元素素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投投影影线线元元素素 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdx
5、dyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsQPQdyPdxLL)coscos( )(曲曲面面元元素素dS)(投影投影面元素面元素dxdy理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP
6、)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三）（三）场论初步场论初步二、二、典型例题典型例题思路思路 LyQxPIddxQyP xQyP 0dd LyQxPI ),(),(00ddyxyxyQxPI闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式对坐
7、标的曲线积分对坐标的曲线积分的计算法的计算法( , )d( , )dLP x yxQ x yy ()d dDQPIx yxy 例例 计算计算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(,其中其中L为由点为由点)0 ,(a到点到点)0 , 0(的上半圆周的上半圆周0,22 yaxyx.解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xQyP 即即( (如下图如下图) )xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(00 medxxaAO, 0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI。其其
8、中中计计算算例例22222:,)(2RzyxdSdczbyaxI dSddScdzbdyadxdSbcyzacxzabxydSzcybxaI2222222)222()222()(解：解： dSddSzcybxa222222200)(奇奇偶偶对对称称性性 dSddSzyxcba2222222)(31)(轮轮换换对对称称性性.)(314)(3122222222222 dRcbaRdSdRcba 曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(oLBzxy),(yxfz sAab曲顶柱体
9、的表面积曲顶柱体的表面积 LDyxdsyxfdffS),()11(22 xzyo),(yxfz LD如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，例例 3 3 求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx内内的的侧侧面面积积. .解解由对称性由对称性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx参参数数方方程程为为,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积
10、分的计算法1. 利用高斯公式利用高斯公式)1(vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd 闭曲面闭曲面具有具有则则取取其其中中 外侧外侧. .在在若若RQP,中中所围成的空间域所围成的空间域 一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,2. 通过投影化为二重积分通过投影化为二重积分yxzyxRxzzyxQzyzyxPIdd),(dd),(dd),( yzDzyzyzyxPdd),),( zxDxzzxzyxQdd),(,( xyDyxyxzyxRdd),(,(注意注意 的确定的确定!3.向量点积法向量点积法(化为同一组坐标积分）化为同一组坐标积分） ,1,),(:yxffyxfz 法法向向量量
11、为为设设 RdxdyQdzdxPdydzIdxdyffRQPyx1 , dSnA0, dxdydzdxdydzRQP.1,dxdyffRQPxoyyx 面投影面投影在在将将 被积函数中有抽象函数被积函数中有抽象函数,故无法直接计算故无法直接计算. 如直接计算如直接计算分析分析 用用高斯公式高斯公式.例例,dd1dd1dd333yxzzyfyxzyzyfzzyxI 是锥面是锥面22zyx 4222 zyx所围立体的表面所围立体的表面1222 zyx计算设计算设f(u)是有连续的导数是有连续的导数,计算计算和球面和球面及及外侧外侧. .xyzO解解 由于由于,3xP ,32xxP ,3122yzy
12、fzyQ 2231zzyfzzR 故由故由高斯公式高斯公式vzyxId)(3222 dddsin34rrrr d214 ).22(593 40dsin = 20d3 球球,13yzyfzQ ,13zzyfyR xyzO在在第第四四卦卦限限部部分分的的上上侧侧为为平平面面为为连连续续函函数数其其中中计计算算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例xyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1 , 1, 1 n的的法法向向量量为为.31cos,31cos,31cos dSzzyxfyzyxfxzyxf
13、I),(31),(231),(31 dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 例例. 计算曲面积分计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333 其中其中, ,222zyxr .:2222取外侧取外侧Rzyx 解解:31d dd dd d ()Ix y zy z xz x yR 代入方程313d ddxyzR（高斯公式）4引申引申: 1.本题本题 改为椭球面改为椭球面1222222 czbyax 时时, 应如何应如何计算计算 ?应如何计算应如何计算 ?2.若本题若本题 改为不经过原点的任意闭曲面的外侧，改为不经过原点的任意闭曲面的外侧，1222222 czbyax yxrzx
14、zryzyrxIdddddd333 ,222zyxr 计算：计算：其中其中：3xPr 3yQr 3zRr 2223355133()xPxxrxxrrrr 22353()yQyryyrr 22353()yRzrzzrr x, y,z 当当( () )0 0, ,0 0, ,0 0引申引申: 122221:()xyz 充充分分小小 取取内内侧侧，然后用高斯公式然后用高斯公式 .0PQRxyz 1333ddd ddd0 xyzyzzxxyrrr 1333333ddd dddddd dddxyzyzzxxyrrrxyzyzzxxyrrr 1313dddxyz （高高斯斯公公式式） 4 引申引申: 2分
15、两种情形分两种情形情形情形1： 不包围原点的任意闭曲面。不包围原点的任意闭曲面。333ddd ddd00 xyzIyzzxxydvrrr 情形情形2： 包围原点的任意闭曲面。包围原点的任意闭曲面。问题转化为与引申问题转化为与引申1类似的情形。类似的情形。 2121I例例. 设设 是曲面是曲面2221:yxz 9)1(16)2(5122 yxz 23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI解解: 取足够小的正数取足够小的正数 , 作曲面作曲面取下侧取下侧 使其包在使其包在 内内, 为为 xoy 平面上夹于平面上夹于之间的部分之间的部分, 且取下侧且取下侧 ,1与21ozyx取上侧取上侧,
16、 计算计算, )0( z则则2 21ozyx)2(133 I 2121I 1dddddd13yxzxzyzyx 2 第二项添加辅助面第二项添加辅助面, 再用高斯公式再用高斯公式计算计算, 得得 22322)(0yxdxdy dv0例例.计算曲面积分计算曲面积分 其其,d2)(22SzyzyxI 中中 是球面是球面.22222zxzyx 解解: Szxd)22( 32 SzyxId )(222 zyyx22 Syzxd)(2 Szxd)(20利用对称性利用对称性用重心公式用重心公式(曲面关于曲面关于xoz面面对称）对称）xzoy例例.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222 设设
17、L 是平面是平面与柱面与柱面1 yx的交线的交线从从 z 轴正向看去轴正向看去, L 为逆时针方向为逆时针方向, 计算计算 解解: 记记 为平面为平面2 zyx上上 L 所围部分的上侧所围部分的上侧, D为为 在在 xoy 面上的投影面上的投影. I3131312 zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz Szyxd LD Dyxyxdd)6(2Dxyo11 Dyxdd1224 SzyxId)324(32Dyxzyx ),(, 2:1: yxD选择题选择题：).(),()()()(),()()()(:. 1 LdxyxfABBAttytxL则则，终点为，终点为中始点为中始
18、点为的有向光滑曲线段，其的有向光滑曲线段，其是一连接两点是一连接两点已知已知 dttttfDtdtttfCdtttfBdtttfA)()(),(.)()(),(.)(),(.)(),(.D.),(),(. 3）径无关的充要条件是（径无关的充要条件是（域内与路域内与路在在分分连续偏导数，则曲线积连续偏导数，则曲线积上具有一阶上具有一阶在单连通区域在单连通区域设函数设函数DQdyPdxDyxQyxPL yPxQDxPyQCxPyQByPxQA .D).(,). 222的的圆圆周周，则则积积分分是是半半径径为为是是圆圆心心在在原原点点、其其中中（曲曲线线积积分分aCdsyxC 33324 .2 .2
19、.aDaCaBaA CBCC).(),1 , 0(, )0 , 1(:1)cossin()sincos2(. 8222 IBAyxBAdyxyxdxxyyxIBA则则弧弧为为位位于于第第一一象象限限中中的的圆圆其其中中弧弧，曲曲线线积积分分2.2.1.0.DCBA C).(2 , 1,),(,),(. 7212222，则，则，的同向光滑闭曲线，记的同向光滑闭曲线，记是两条包围原点是两条包围原点 iQdyPdxICCyxyxyxQyxyxyxPiCi.,.0.0.2121212121而而定定的的大大小小关关系系视视与与CCIIDIICIIBIIA B222xyz 9.9.设为球面+=1的上半部分
20、的上侧，设为球面+=1的上半部分的上侧，则下列式子错误的是( )则下列式子错误的是( ) 20Ax dydz 0Bydydz 0Cxdydz 20Dy dydz C 222221,.yozyzxyzds 10.10.设是平面上的圆域则设是平面上的圆域则等于 等于 0;A ;B ;4C .2D 22221,.xyzxyzDxoyxyzdydz 11.11.设是旋转抛物面+,1的外侧，是平面上设是旋转抛物面+,1的外侧，是平面上圆域则可化为二重积分 圆域则可化为二重积分 222;xyDAxyxdxdy 222;xyDBxyx dxdy 222;xyDCxyydxdy 22;xyDDxydxdy DA 212.x+ y+ zxyz dxdy 2 2已知曲面为=1在第一卦限部分且方向向下，则已知曲面为=1在第一卦限部分且方向向下，则等于 等于 B 1122001;xAdxxyxydy 1122001;xBdxxyxydy 112200;xCdyxyz dx 112200.xDdxxyz dy 13.2222x + y + z = R设设S S为为球球面面：，在在下下列列四四组组积积分分中中，同同一一组组的的两两个个积积分分均均为为零零的的是是 22,;SSAx dSx dydz 2,;SSBxdSx dydz ,;SSCxdSxdydz ,.SSDxydSydzdxB
