1、 闭环控制系统的动态性能，主要由系闭环控制系统的动态性能，主要由系统的闭环极点在统的闭环极点在s平面上的分布所决定。平面上的分布所决定。利用系统的开环零、极点分布图，采用利用系统的开环零、极点分布图，采用图解法来确定系统的闭环特征根随参数图解法来确定系统的闭环特征根随参数变化的运动轨迹变化的运动轨迹-根轨迹。根轨迹。 第第4 4章章 根轨迹法根轨迹法内 容 提 要根轨迹的基本条件、幅值方程、相角方程，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制、根轨迹图分析系统的动态、静态特性。 知 识 要 点4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹 设控制系统的开环传递函数为设控制系统的开环
2、传递函数为)2)(1()()(ssKsHsG2, 121ppKssKs23)(2KsssD23)(2Ks4121232, 1系统开环极点有两个系统开环极点有两个系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为系统的特征方程为系统的特征方程为其特征根为其特征根为0:K时，系统特征根时，系统特征根(闭环极点闭环极点)变化情况如下：变化情况如下：0K2211-2,-1psps25. 00 K 25. 0K5 . 121 ss K25. 014215 . 12, 1Kjs1.当系统的闭环极点为开环极点；时，闭环极点 为两个互不相等的负实根两个互不相等的负实根时，闭环极点为两个相等的负实根两个相等的负实根时，闭
3、环极点为实部为负的共轭复根实部为负的共轭复根。2.当3.当4.当系统的根轨迹图 由根轨迹图可以直观地分析参数由根轨迹图可以直观地分析参数K变化时系统的各项性能。变化时系统的各项性能。 K25. 00 K 25. 0K K25. 0K当从0变化到时，根轨迹均在s平面的左半平面，时，闭环极点为负实根，系统为过阻尼时，闭环极点为重根，系统为临界阻尼状态，闭环极点为实部为负的共轭复根，因此，因此，系统是系统是稳定的。状态，系统的阶跃响应为单调变化。系统的阶跃响应为单调变化。系统为欠阻尼状态，系统的阶跃响应为衰减振荡，且系统的超调量随 值增大而增大，但是调节时间不变。4.1.2 根轨迹的基本条件 对于典
4、型的负反馈控制系统，如图4-3所示，图4-3 反馈控制系统闭环传递函数为)()(1)()(sHsGsGs1)()( 0)()(1)(sHsGsHsGsD系统的特征方程为：系统的特征方程为： 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为（4-2） 满足式（满足式（4-2）的点，必定是根轨迹上的点，式）的点，必定是根轨迹上的点，式（4-2）称作根轨迹的基本方程（或根轨迹的基本）称作根轨迹的基本方程（或根轨迹的基本条件）。因为条件）。因为s是复变量，所以式（是复变量，所以式（4-2）可以写成）可以写成式（式（4-3）幅值幅值(模值模值)条件条件和式（和式（4-4）相角条件相角条件。1)()(sHsG,
5、2 , 1 , 0) 12()()(kksHsG（4-3）（4-4）mzzz、21nppp、21K).()().()()()(2121nmpspspszszszsKsHsG当系统的开环传递函数为零、极点表示形式，即式（当系统的开环传递函数为零、极点表示形式，即式（4-5）：（4-5）为系统的开环零点；为系统的开环零点； 为系统的开环极点；为系统的开环极点； 为系统的根轨迹增益。为系统的根轨迹增益。1)()()()(11niimjjpszsKsHsG根轨迹的根轨迹的幅值条件和相角条件幅值条件和相角条件又可表示为：又可表示为： mjjniizspsK11)()(, 2 , 1) 12()()(11
6、kkpszsinijmjK0180假设研究系统的根轨迹增益假设研究系统的根轨迹增益闭环系统的特征根的轨迹，闭环系统的特征根的轨迹，根轨迹。根轨迹。 则称为则称为典型根轨迹或常规根轨迹典型根轨迹或常规根轨迹或或从零变化到无穷远时，从零变化到无穷远时，4.2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则规则规则1 根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。0Knppp,21Kmjzsj, 2 , 1,当时，为根轨迹的起点，求得根轨迹的起点为时，为根轨迹的起点，求得根轨迹的起点为，即系统的即系统的开环极点开环极点。时，由根轨迹方程知根
7、轨迹的终点为时，由根轨迹方程知根轨迹的终点为，即系统的即系统的开环零点。开环零点。mn m）（mn-但是，当但是，当时，条根轨迹趋向于开环零点（称为条根轨迹趋向于开环零点（称为有限零点有限零点），还有），还有条根轨迹将趋于无穷远处（称为条根轨迹将趋于无穷远处（称为无限零点无限零点）。 mn ）（nm-如果出现如果出现的情况，的情况，必有必有条根轨迹的起点在条根轨迹的起点在无穷远处无穷远处。 规则规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数等于数等于 ， 根轨迹对称于实轴并且连续变化。根轨迹对称于实轴并且连续变化。),max(mn由根轨迹的对称性
8、和连续性，根轨迹只需作出上半部分，由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分，对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。aa规则规则3 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 当开环极点数大于开环零点数时，有当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹条根轨迹趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为 ，渐近线与实轴正方向的夹角渐近线与实轴正方向的夹角(倾角倾角)为为mnzpmjjniia11, 2 , 1 , 0) 12(kmnka)2)(1()()(sssKsHsG2, 1, 0321ppp0, 3mn2, 1, 0
9、321ppp例例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为单位负反馈系统的开环传递函数为系统开环传递函数有三个极点：系统开环传递函数有三个极点：开环无零点，即开环无零点，即系统有三条根轨迹，分别起始于三个开环极点系统有三条根轨迹，分别起始于三个开环极点三条根轨迹趋向于无穷远处，其渐近线与实轴交点坐标为三条根轨迹趋向于无穷远处，其渐近线与实轴交点坐标为-10-30-2-1-011）（）（mnzpmjjniia渐近线与实轴正方向的夹角为渐近线与实轴正方向的夹角为1 0 33) 12() 12(kkkmnka，三条渐近线如图三条渐近线如图4-4所示。所示。图4-4根轨迹的渐近线规则规则4:实轴上的根轨迹段
10、实轴上的根轨迹区段位于其右实轴上的根轨迹段实轴上的根轨迹区段位于其右边开环零、极点数目总和为边开环零、极点数目总和为奇数奇数的区域。的区域。规则规则5根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点 几条根轨迹在几条根轨迹在s平面上相遇后又分开（或分开后又相遇）的点，平面上相遇后又分开（或分开后又相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。称为根轨迹的分离点（或会合点）。1.重根法重根法 根轨迹的分离点（或会合点）是系统特征方程的重根，可根轨迹的分离点（或会合点）是系统特征方程的重根，可以采用求重根的方法确定其位置。以采用求重根的方法确定其位置。设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为)()(
11、)()(sNsKMsHsG系统的特征方程为系统的特征方程为0)()(sNsKM（4-15） 特征方程有重根的条件特征方程有重根的条件0)()(sNsMK（4-16） 分离点（或会合点）为重根，必然同时满足方程式（分离点（或会合点）为重根，必然同时满足方程式（4-15）和）和式（式（4-16），联立求解得分离点（或会合点）的），联立求解得分离点（或会合点）的d 0)()()()(sMsNsMsN所对应的所对应的K值为值为 dsMsNK)()(-2极值法极值法 由系统的特征方程式（由系统的特征方程式（4-15）求极值得）求极值得0ddsK即可确定分离点（或会合点）的值即可确定分离点（或会合点）的值
12、d。 3零、极点法零、极点法mjjniizdpd1111必须说明必须说明，采用上式确定的是特征方程的重，采用上式确定的是特征方程的重根点，对分离点（或会合点）来说，根点，对分离点（或会合点）来说，它只是它只是必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件，也就是说它的解不，也就是说它的解不一定是分离点（或会合点），是否是分离点一定是分离点（或会合点），是否是分离点（或会合点）还要看其它规则。（或会合点）还要看其它规则。 例例4-2 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为221)()()(2sssKsHsG分离点（或会合点）的确定分离点（或会合点）的确定 02022-1)(2222sssss
13、s）（）（，01s02122-1021KsssKs，2-2s2122-222ssssK2-2s01s解得：，对应的对应的对应的对应的所以所以在根轨迹段上是分离点；而在根轨迹段上是分离点；而不在根轨迹段上，则舍弃。不在根轨迹段上，则舍弃。系统的根轨迹图1）实轴上两个相邻的开环极点之间为根轨迹段则实轴上两个相邻的开环极点之间为根轨迹段则一定有分离点；一定有分离点；2）实轴上两个相邻的开环零点之间为根轨迹段则实轴上两个相邻的开环零点之间为根轨迹段则一定有会合点；一定有会合点；3）实轴上一个开环零点和一个开环极点之间为根实轴上一个开环零点和一个开环极点之间为根轨迹段则或一定既有分离点又有会合点，或既没
14、有轨迹段则或一定既有分离点又有会合点，或既没有分离点又没有会合点。分离点又没有会合点。 当然，分离点（会合点）可以是实数，也可以是当然，分离点（会合点）可以是实数，也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点（或会合点）。有分离点（或会合点）。 规则规则6 根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角 根轨迹从开环极点出发时的切线与正实轴的夹角，根轨迹从开环极点出发时的切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的起始角；根轨迹进入开环零点时切线称为根轨迹的起始角；根轨迹进入开环零点时切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的终止角。与正实轴的夹角，称为根轨
15、迹的终止角。nilllimjjipppzpki11)()() 12(niijmjllljzpzzzkj11)()() 12(lk/) 12(l规则规则7 根轨迹上分离点（会合点）的分离角（会合角）根轨迹上分离点（会合点）的分离角（会合角）在分离点处（会合点）根轨迹离开（进入）实轴的相在分离点处（会合点）根轨迹离开（进入）实轴的相角为角为规则规则8根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点为趋向或离开实轴的根轨迹的分支数。为趋向或离开实轴的根轨迹的分支数。方法一：令方法一：令 js 代入特征方程得代入特征方程得 0)()(1Im0)()(1RejHjGjHjG联立求解得到临界增益 及虚轴交点及虚轴交点
16、 K方法二：由劳斯稳定判据的临界稳定状态求取。方法二：由劳斯稳定判据的临界稳定状态求取。例例4-4已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为)2(1)()()(sssKsHsG系统的特征方程为系统的特征方程为 023)2(1)()(23KsssKssssD方法一 020302)(3)()(3223KKjjjjD6,20, 0KK方法二：列劳斯表为方法二：列劳斯表为KsKsKss012336321系统稳定条件为系统稳定条件为 060KK系统临界增益系统临界增益 K=6由辅助方程由辅助方程 063)(2 ssP2s所以根轨迹与虚轴的交点为所以根轨迹与虚轴的交点为 2s6K规则规则9 根之和根
17、之和 当系统的开环传递函数分母和分子的次数满足当系统的开环传递函数分母和分子的次数满足 时，则系统开环极点之和总是等于系统闭环特征根时，则系统开环极点之和总是等于系统闭环特征根 2 mnniciniipp11规则规则10 根之积根之积 根据特征方程根和系数的关系，得根据特征方程根和系数的关系，得)()(111mjjniinicizKpp第1章 引 论 例：系统的开环传递函数为例：系统的开环传递函数为)54ss)(4s ( sK) s (H) s (G2j2p, 4p, 0p4, 321开环极点为开环极点为渐近线于实轴的交点为渐近线于实轴的交点为24224a渐近线的倾角为渐近线的倾角为4344)
18、 12k(a与虚轴的交点为与虚轴的交点为25.46K,5 . 20K, 00208-0K210Kj2021j8)j (D0K20s21s8ss) s (D324234234第1章 引 论 根轨迹的分会点：根轨迹的分会点：25.6K25,.6K,4K-0.78s-3.22,s-2,s00.78)3.22)(s2)(s(s2042s24s4s)20s21s8ss (32132123234第1章 引 论 第1章 引 论 第1章 引 论 例：系统的开环传递函数为例：系统的开环传递函数为j42p, 4p, 0p4, 321开环极点为开环极点为渐近线于实轴的交点为渐近线于实轴的交点为24224a渐近线的倾
19、角为渐近线的倾角为4344) 12k(a与虚轴的交点为与虚轴的交点为260K,100K, 00808-0K360Kj8036j8)j (D0K80s36s8ss) s (D324234234)204ss)(4s ( sK) s (H) s (G2第1章 引 论 根轨迹的分会点：根轨迹的分会点：100KK,64K6j2s-2,s0)104s2)(s4(s8072s24s4s)80s36s8ss (3212,31223234第1章 引 论 第1章 引 论 4.4 广义根轨迹广义根轨迹 常规根轨迹的绘制规则是以负反馈系统的根轨迹常规根轨迹的绘制规则是以负反馈系统的根轨迹增益为可变参数给出的。但是，实
20、际系统中可能研增益为可变参数给出的。但是，实际系统中可能研究其它参数变化（如开环零点、开环极点、时间常究其它参数变化（如开环零点、开环极点、时间常数等）对系统特征根的影响，或研究正反馈系统参数等）对系统特征根的影响，或研究正反馈系统参数变化的根轨迹等，上面这些根轨迹统称为广义根数变化的根轨迹等，上面这些根轨迹统称为广义根轨迹。轨迹。4.4.1参数根轨迹参数根轨迹以非以非K为可变参数的根轨迹称为参数根轨迹，可以研为可变参数的根轨迹称为参数根轨迹，可以研究系统的开环零点、极点、时间常数等对系统性能的究系统的开环零点、极点、时间常数等对系统性能的影响。影响。 对于参数根轨迹的绘制可采用等效传递函数的
21、原则，对于参数根轨迹的绘制可采用等效传递函数的原则，即由系统的闭环特征方程，求出所研究参数类似即由系统的闭环特征方程，求出所研究参数类似 K位位置的等效开环传递函数，则常规根轨迹绘制的所有规置的等效开环传递函数，则常规根轨迹绘制的所有规则均适用于参数根轨迹的绘制。则均适用于参数根轨迹的绘制。例例4-7 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为)(4(20)()(bsssHsG试绘制极点试绘制极点 0:b时系统的根轨迹。 020)(4()(bsssD)42)(42()4()()(11jsjssbsHsG等效的开环传递函数为等效的开环传递函数为4.4.2 多参数根轨迹族多参数根轨迹族 有时
22、需要研究多个参数同时变化时对系统性能的影响，构成了有时需要研究多个参数同时变化时对系统性能的影响，构成了多参数的根轨迹族。以两个参数为例：多参数的根轨迹族。以两个参数为例：)(1()()(asssKsHsG第一步：选取一个参数为零，绘制另一个参数变化的根轨迹。第一步：选取一个参数为零，绘制另一个参数变化的根轨迹。 0a) 1()()(211ssKsHsG第二步：令第二步：令 常数K，绘制另一个参数变化的根轨迹。由绘制另一个参数变化的根轨迹。由系统的特征方程得系统的等效开环传递函数为系统的特征方程得系统的等效开环传递函数为KsssassHsGKasasssKassssD2322223) 1()(
23、)( 0)(1()(4.4.3 正反馈系统的根轨迹（正反馈系统的根轨迹（零度根轨迹零度根轨迹） 在有些系统中，内环是一个正反馈回路，其在有些系统中，内环是一个正反馈回路，其正反馈回路的闭环传递函数为正反馈回路的闭环传递函数为)()(1)()(sHsGsGs系统的特征方程为系统的特征方程为0)()(1)(sHsGsD1)()(sHsG绘制系统根轨迹的幅值条件和相角条件可写为：绘制系统根轨迹的幅值条件和相角条件可写为： 1)()()()(11niimjjpszsKsHsG, 2 , 1 , 02)()()()(11kkpszssHsGniimjj这种根轨迹为零度根轨迹。对于零度根轨迹绘制的规则，这
24、种根轨迹为零度根轨迹。对于零度根轨迹绘制的规则，可由常规根轨迹绘制规则和相角有关的适当调整得到，修可由常规根轨迹绘制规则和相角有关的适当调整得到，修改的规则有改的规则有： 规则规则3 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 当开环极点数大于开环零点数时，有当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹趋于条根轨迹趋于无穷远处，渐近线与实轴正方向的夹角为无穷远处，渐近线与实轴正方向的夹角为 , 2, 1, 02kmnka规则规则4实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹区段位于其右边开环零、极点数目总实轴上的根轨迹区段位于其右边开环零、极点数目总和为偶数的区域。和为偶数的区域。规则规则6 根轨迹的起始
25、角和终止角根轨迹的起始角和终止角 开环极点出发的起始角开环极点出发的起始角 nilllimjjipppzpki11)()(2根轨迹终止于开环零点的终止角根轨迹终止于开环零点的终止角 niijmjllljzpzzzkj11)()(2例例4-9已知负反馈系统的开环传递函数为已知负反馈系统的开环传递函数为)3)(2()1 ()()(ssssKsHsG将开环传递函数化成标准的零极点形式，即将开环传递函数化成标准的零极点形式，即 )3)(2() 1(-)()(ssssKsHsG等效为正反馈的开环传递函数等效为正反馈的开环传递函数)3)(2() 1()()(11ssssKsHsG4.5 根轨迹分析系统的性
26、能根轨迹分析系统的性能 根轨迹分析系统首先由系统的开环传递函数绘制出系统的根轨迹分析系统首先由系统的开环传递函数绘制出系统的根轨迹，然后再由根轨迹分析系统的稳定性、动态特性和稳根轨迹，然后再由根轨迹分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性。态特性。4.5.1 根轨迹确定系统的闭环极点根轨迹确定系统的闭环极点 根轨迹绘出的是系统根轨迹增益变化特征根的轨迹，对于根轨迹绘出的是系统根轨迹增益变化特征根的轨迹，对于某一增益下的闭环极点可由幅值条件试探来确定。某一增益下的闭环极点可由幅值条件试探来确定。例例4-10 设单位负反馈系统的开环传递函数为设单位负反馈系统的开环传递函数为)2)(1(1.05)()(
27、ssssHsG1.试采用根轨迹法分析系统的稳定性；试采用根轨迹法分析系统的稳定性；2.求系统的闭环极点；求系统的闭环极点；3.求取系统的单位阶跃响应及超调量和过渡过程时间。求取系统的单位阶跃响应及超调量和过渡过程时间。解：根轨迹分析系统，为此，解：根轨迹分析系统，为此，构造增益可变的系统为构造增益可变的系统为)2)(1()()(sssKsHsG绘制绘制 0:K的根轨迹，如图的根轨迹，如图4-13所示所示 图4-13 系统的根轨迹图从根轨迹图可知，系统的增益从根轨迹图可知，系统的增益 60 K时，系统是稳定的。时，系统是稳定的。 0.3850 K时，特征值为负实根，系统的响应为单调衰减；时，特征
28、值为负实根，系统的响应为单调衰减； 60.385 K时，系统的主导极点为共轭复根，系统的响应为衰减振荡。时，系统的主导极点为共轭复根，系统的响应为衰减振荡。本例中本例中 05. 1K因此，系统是稳定的，系统的主导极点为共轭复根，因此，系统是稳定的，系统的主导极点为共轭复根， 试探求得系统的主导极点为试探求得系统的主导极点为 58. 033. 021js，根据根之和的关系得系统的另外一个闭环极点为根据根之和的关系得系统的另外一个闭环极点为 2.343s)58. 00.33)(58. 00.33)(2.34(1.05)(jsjsss可近似为如下的二阶系统可近似为如下的二阶系统)44870.66(0
29、.4487)58. 00.33)(58. 00.33(0.4487)(2ssjsjss)3 .4458. 0sin(297. 11)(033. 0tetct系统的超调量和过渡过程时间为系统的超调量和过渡过程时间为)( 1 .1208. 9434 .16%10021/steMnsp4.5.2 根轨迹分析系统的动态特性根轨迹分析系统的动态特性 闭环系统的动态特性由闭环传递函数的零、极点来决定，闭环系统的动态特性由闭环传递函数的零、极点来决定，系统闭环极点可由根轨迹图求得，而闭环零点为前向通道传系统闭环极点可由根轨迹图求得，而闭环零点为前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点共同确定。递函数的
30、零点和反馈通道传递函数的极点共同确定。1.稳定性稳定性 若闭环极点均在根平面的左半平面，则系统一定是若闭环极点均在根平面的左半平面，则系统一定是稳定的，即参数变化时的根轨迹均在稳定的，即参数变化时的根轨迹均在s的左半平面。的左半平面。2.运动形式运动形式 若闭环极点均为左半平面的实数极点，则系统的若闭环极点均为左半平面的实数极点，则系统的动态响应为单调变化，系统可近似为一阶系统；若离虚轴最动态响应为单调变化，系统可近似为一阶系统；若离虚轴最近的极点为复数极点，则系统的动态特性为衰减振荡，系统近的极点为复数极点，则系统的动态特性为衰减振荡，系统可近似为二阶系统。可近似为二阶系统。3.动态性能指标
31、动态性能指标 根轨迹分析系统的动态性能指标可采用主导根轨迹分析系统的动态性能指标可采用主导极点来估算。极点来估算。第1章 引 论 例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为)2s (s)4s (K)s (G1）试画出系统的根轨迹；）试画出系统的根轨迹；2）求系统具有最小阻尼比时的闭环极点，对应的）求系统具有最小阻尼比时的闭环极点，对应的K值及值及性能指标；性能指标；3）若要求系统的阻尼比为）若要求系统的阻尼比为0.866时，求闭环极点；时，求闭环极点；4）若求）若求K=1时的闭环极点。时的闭环极点。第1章 引 论 d1=-1.17K1=0.34d2=-6.28
32、K2=11.79第1章 引 论 过原点作圆的切线，得最小阻尼比线，等过原点作圆的切线，得最小阻尼比线，等腰直角三角形，腰直角三角形，25 .12434-3t%4 .4)1/(exp%24s)2s (sKj22707.0cos,45ns2j22s0对对应应的的闭闭环环极极点点第1章 引 论 根据阻尼比的要求，做出等阻尼比线交点对应根据阻尼比的要求，做出等阻尼比线交点对应的闭环极点的闭环极点5 .04s)2s (sK,j0.65832.1s1ss11求求K=1时的闭环极点，可采用试探法。时的闭环极点，可采用试探法。1.024s)2s (sK,j1.3452.1s0.8554s)2s (sK,j1.
33、1743.1s1.464s)2s (sK,j1.6974.1s111ss33ss22ss11第1章 引 论 4.5.3 开环零点对根轨迹的影响开环零点对根轨迹的影响 系统中增加开环零点，对系统的性能的影响，通过举例来说明。系统中增加开环零点，对系统的性能的影响，通过举例来说明。)22()()()(2sssasKsHsG解：（解：（1）当）当 a时，系统的开环传递函数为时，系统的开环传递函数为 )22()22() 1/()()(22sssKsssasKsHsG即表示零点不存在，系统的根轨迹如图即表示零点不存在，系统的根轨迹如图4-15(a)所示所示 （2）当）当 4a根轨迹如图根轨迹如图4-15
34、(b)所示；所示；（3）当）当 2a根轨迹如图根轨迹如图4-15(c)所示；所示；（4）当）当 1a根轨迹如图根轨迹如图4-15(d)所示；所示；（5）当）当 0a根轨迹如图根轨迹如图4-15(e)所示；所示；（6）当）当 1a根轨迹如图根轨迹如图4-15(f)所示。所示。图4-15不同a值下系统的根轨迹图图4-15不同不同 值下系统的根轨迹值下系统的根轨迹 4.6 MATLAB绘制系统的根轨迹绘制系统的根轨迹 对于比较复杂的系统，人工绘制根轨迹十分复杂和困难，对于比较复杂的系统，人工绘制根轨迹十分复杂和困难，MATLAB绘制系统根轨迹是十分方便的。绘制系统根轨迹是十分方便的。 通常将系统的开
35、环传递函数写成如下形式通常将系统的开环传递函数写成如下形式dennumKsHsG)()(分别为分子和分母多项式。分别为分子和分母多项式。 dennum，采用采用MATLAB命令：命令： pzmap(num,den)可以绘制系统的零、极点图；可以绘制系统的零、极点图； rlocus(num,den)可以绘制系统的根轨迹图；可以绘制系统的根轨迹图； rlocfind(num,den)可以确定系统根轨迹上某些点的增益。可以确定系统根轨迹上某些点的增益。例例4-14已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为834) 152()()(2342ssssssKsHsG确定系统开环零、极点的位置。确定系
36、统开环零、极点的位置。解：在解：在MATLAB命令窗口输入命令窗口输入 num=2 5 1;den=1 4 1 3 8;pzmap(num,den);title（Pole-zero Map）执行后得到如图执行后得到如图4-17所示的零、极点图。所示的零、极点图。在在MATLAB命令窗口输入命令窗口输入 num=2 5 1;den=1 4 1 3 8;rlocus(num,den)执行后得到如图所示系统的根轨迹图。执行后得到如图所示系统的根轨迹图。例例4-16已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为)() 1()()(2asssKsHsG1 5 8 9 10，aa试分别绘制解：在MATL
37、AB命令窗口输入不同值，时系统的根轨迹。num=1 1;den=1 a 0 0;rlocus(num,den)执行后得到如图4-19所示不同 值下系统的根轨迹图。 a10a9a8a1a例例4-17已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为)164)(1() 1()()(2sssssKsHsG试绘制系统的根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。试绘制系统的根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。解：在解：在MATLAB命令窗口输入命令窗口输入 num=1 1;den=conv(conv(1 0,1 -1),1 4 16);rlocus(num,den)执行后得到如图所示系统的根轨迹图。
38、执行后得到如图所示系统的根轨迹图。图4-20 系统根轨迹图 图4-21求取系统稳定开环增益例例4-17中，在执行上例指令后增加中，在执行上例指令后增加 rlocfind(num,den)可采用光标（十字）点击根轨迹上的任意一点，会同时在每可采用光标（十字）点击根轨迹上的任意一点，会同时在每条根轨迹上出现红十字，对应条根轨迹上出现红十字，对应n个闭环极点的位置，同时命个闭环极点的位置，同时命令窗口出现所选择的闭环极点和对应的根轨迹增益值。如图令窗口出现所选择的闭环极点和对应的根轨迹增益值。如图所示。所示。Select a point in the graphics windowselected_
39、point = 0.0024 + 2.6087ians = 36.2998本章小结本章小结 系统闭环传递函数的极点、零点的分布位置对系统的性能有系统闭环传递函数的极点、零点的分布位置对系统的性能有直接的影响。根轨迹法是根据系统的开环零、极点分布绘制直接的影响。根轨迹法是根据系统的开环零、极点分布绘制系统某个参数变化时，闭环系统特征根的轨迹曲线。本章的系统某个参数变化时，闭环系统特征根的轨迹曲线。本章的主要内容有：主要内容有：（1）系统可变参数可以是任意变量，而以系统开环传递函数）系统可变参数可以是任意变量，而以系统开环传递函数的根轨迹增益为变量的根轨迹，称为常规根轨迹；以其它系的根轨迹增益为变
40、量的根轨迹，称为常规根轨迹；以其它系统参数为可变参量的根轨迹称为广义根轨迹。统参数为可变参量的根轨迹称为广义根轨迹。（2）根据系统闭环特征方程可得到系统根轨迹的基本方程）根据系统闭环特征方程可得到系统根轨迹的基本方程 1)()(sHsG，进而得到绘制根轨迹的幅值条件和相角条件进而得到绘制根轨迹的幅值条件和相角条件 ) 12()()( 1)()(ksHsGsHsG，（3）当系统的开环传递函数表示为零、极点形式，根据）当系统的开环传递函数表示为零、极点形式，根据根轨迹的基本方程得到常规根轨迹绘制的规则，依据规则根轨迹的基本方程得到常规根轨迹绘制的规则，依据规则可概略绘出系统的根轨迹图。对于非参变量
41、的根轨迹可基可概略绘出系统的根轨迹图。对于非参变量的根轨迹可基于特征方程不变原则，将其转换为与常规根轨迹等效的开于特征方程不变原则，将其转换为与常规根轨迹等效的开环传递函数形式，这时，常规根轨迹绘制的规则完全适用。环传递函数形式，这时，常规根轨迹绘制的规则完全适用。（4）当系统中存在局部正反馈回路，或负反馈系统的开）当系统中存在局部正反馈回路，或负反馈系统的开环传递函数整理成标准的零、极点形时出现负号，系统根环传递函数整理成标准的零、极点形时出现负号，系统根轨迹的基本轨迹的基本方程为方程为 1)()(sHsG，相应的相应的幅值条件和相角条件幅值条件和相角条件 ksHsGsHsG2)()( 1)()( ，（5）借助于计算机和）借助于计算机和MATLAB软件可以方便、快捷的绘软件可以方便、快捷的绘制系统的根轨迹。制系统的根轨迹。（6）由系统的根轨迹图可分析系统的稳定性、动态特性。）由系统的根轨迹图可分析系统的稳定性、动态特性。并可研究附加开环零点、极点对系统性能的影响。并可研究附加开环零点、极点对系统性能的影响。
