1、 数学建模简介数学建模简介 原型原型（PrototypePrototype） 人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、管人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、管理的理的实际对象。实际对象。 原型有：现时对象、研究对象、实际问题等原型有：现时对象、研究对象、实际问题等。 模型模型（Model) 为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、提为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、提炼而构成的原型炼而构成的原型替代物替代物。 模型有：直观模型、物理模型、思维模型、计算模型等模型有：直观模型、物理模型、思维模型、计算模型等 数学模型数学模型 由数字、字母、或其他数学符号组成、描述实由数字、字母、或其他
2、数学符号组成、描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法际对象数量规律的数学公式、图形或算法现实对象与数学模型的关系现实对象与数学模型的关系现实对象信息现实对象信息数学模型数学模型数模的解答数模的解答现实对象的解答现实对象的解答用数学语言表述归纳求解演绎解释验证 数学建模并不深奥数学建模并不深奥 初中课本中的代数应用题初中课本中的代数应用题任意曲边图形田地面积的计算任意曲边图形田地面积的计算（航行问题） 甲乙两地相距750公里，船甲到乙顺水航行要30 小时，从乙到甲逆水航行要50 小时，问船速、水速是多少？解：设x为船速，y为水速，有 (x+y)30=750 (x-y)50=750解之 x=2
3、0 、y=5检验： (20+5)30=750； (20-5)50=750数学模型求解求曲边图形的面积求曲边图形的面积将其变为数学问题： 引入坐标系;设曲边为函数yf(x);则曲边梯形由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成表示abxyy=f(x)求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, Dxixixi1; 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1xi0、 g()=0故此本问题归为证明如下数学命题数学命题： ABCDABCD数学命题数学命题:（本问题的数学模型）（本问题的数学模型） 已知f()、 g()都是的非负连续函数，对任意的，有f() g()=0
4、，且f(0) 0、 g(0)=0 ，则有存在0，使f(0)= g(0)=0模型求解模型求解 证明：证明：将椅子旋转90，对角线AC与BD互换，由f(0)0、 g(0)=0 变为f(/2) =0、 g(/2) 0 令h()=f() - g(), 则有h(0) 0和h(/2) p2/ n2 ，则单位A 吃亏(对单位A不公平 ) p1 / n1 p2/ n2 ，即对单位A不公平，再分配一个席位时，关于pi/ ni 的不等式可能有 AAAnpnp还不公平，应给，对说明此一席给、2211111)1(), 1(122121212211nppnnnrBAnpnpB不公平值为不公平，对说明此一席给、1)1()
5、1,(131212212211nppnnnrABnpnpA不公平值为不公平，还对说明此一席给、不可能、142211npnp用不公平值的公式来决定席位的分配，此时应该有若rB(n1+1,n2)rA (n1,n2+1),增加的一席应给A，反之应给B，它们对应的不等式为)1()1(11212222P*时，人口曲线（虚线）单调时，人口曲线（虚线）单调递减递减; ;当人口数的初始值当人口数的初始值P0P*时，人口曲线（实线）单调时，人口曲线（实线）单调递增；无论人口初值如何，当递增；无论人口初值如何，当t t，它们皆趋于极，它们皆趋于极限值。限值。 模型讨论模型讨论 阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增
6、长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测，而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用。不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点，即均为单调曲线。但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到2030年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2030年前后我国人口将达到最大峰值16亿，之后，将进入缓慢减少的过程这是一条非单调的曲线，即说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种。还有比指数增长模型、阻滞增长模型更好的人口预测方法吗？ 事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有关，特别在做中短期预测时，我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要必须予以考虑。谢谢！谢谢！参考书参考书数学建模简明教程，王兵团编著，清华大学数学建模简明教程，王兵团编著，清华大学出版社，出版社，2011，12数学建模基础 王兵团主编，清华大学出版社数学建模方法及其应用，韩中庚 ，高等教育出版社数学模型，姜启源，高等教育出版社
