1、第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动1一、力矩一、力矩力力:改变质点的运动状态改变质点的运动状态,质点获得加速度。质点获得加速度。 力矩：力矩：改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度。刚体获得角加速度。 ( )zM FF hrnFFhFAzsinFrrF( (力力F F 在垂直于轴的平面内在垂直于轴的平面内) )1. 力力 对对z 轴的力矩轴的力矩 F第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动2FrMsinrFM大小大小由右螺旋法则确定。由右螺旋法则确定。rnFFhFAz矢量形式矢量形式思考：一对作用力与反作用力的力
2、矩和等于对少？思考：一对作用力与反作用力的力矩和等于对少？方向方向第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动42 2 不在转动平面内的力对定轴力矩的矢量形式不在转动平面内的力对定轴力矩的矢量形式FrMZrF/FAzF方向由右螺旋法则确定。方向由右螺旋法则确定。1)合外力矩合外力矩 11nniiiiiMrFM2)使刚体顺时针转动的力矩使刚体顺时针转动的力矩 ; 反之反之0M0
3、M注意：注意：第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5二、刚体绕定轴转动微分方程二、刚体绕定轴转动微分方程作用在作用在 上的外力上的外力 ，内力，内力 kmkFkfkkkkfFtmddvzkvokm在圆轨迹切线方向在圆轨迹切线方向 kkkkkkfFrmam两边乘以两边乘以rk，并对整个刚体求和，并对整个刚体求和 kkkkkkkkkrfrFrm)(2第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动6kkkkkkkkkrfrFrm)(2其中其中 称为合外力矩称为合外力矩 ；zkkkMrF0kkkrf kkkzrmJ2令令 , 称为刚体对称为刚体
4、对z轴的轴的转动惯量转动惯量。内力矩之和为零；内力矩之和为零；则则zzMtJddzzMJ或或 第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动7zzJM 刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用在刚体上所有外力对该轴力矩的代数和。的乘积等于作用在刚体上所有外力对该轴力矩的代数和。 刚体绕定轴转动微分方程，或刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。转动定律。 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比比,与刚体的转动惯量成反比。与刚体的转动惯量成反比。第二章第二
5、章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动8maFJM、 两个定律在形式上对应两个定律在形式上对应, 都是反映瞬时效应的。都是反映瞬时效应的。tmmaFddvtJJMdd (2)转动定理矢量式的理解转动定理矢量式的理解 amJFM,(1) 转动定律转动定律与牛顿第二定律比较：与牛顿第二定律比较：讨论讨论 (3) m反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，J 则反映刚体的转动惯性。则反映刚体的转动惯性。MJ第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动9三、转动惯量三、转动惯量2iirmJimrJd2刚体质量不连续分布刚体质量不连续分布刚体质量连续分布刚
6、体质量连续分布确定转动惯量的三个要素确定转动惯量的三个要素:(1) 总质量；总质量； (2) 质量分布；质量分布； (3) 转轴的位置。转轴的位置。第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度lmdd2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度Smdd2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度Vmdd：质量元：质量元md 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22四四. J 的计算的计算第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5
7、 刚体的定轴转动刚体的定轴转动11 例例1求长为求长为L质量为质量为m 的均匀细棒对端点轴的转动惯量。的均匀细棒对端点轴的转动惯量。ABLxdm解解: 取如图坐标，取如图坐标，dm = dx3/d202mLxxJLAJ 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关 （1）用定义式计算）用定义式计算注意注意 第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动1222/2/2121dMLxxJLLJ 与转轴的位置有关与转轴的位置有关 LOxdxMz 例例2 求长为求长为L质量为质量为m 的均匀细棒对中心垂线转轴的转的均匀细棒对中心垂线转轴的转动惯量。动惯量。2020231ddMLxLM
8、xxxJLL 对端点对端点222211121243OLJmmLmLmLJ端点二者关系：二者关系：注意注意 第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动13平行轴定理平行轴定理zLCMz2MLJJz z zJzJL刚体绕任意轴的转动惯量；刚体绕任意轴的转动惯量；刚体绕通过质心的轴的转动惯量；刚体绕通过质心的轴的转动惯量；两轴间垂直距离。两轴间垂直距离。第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动14 例例3 求图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何求图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？计算？(棒长为棒长为L、圆盘半径
9、为、圆盘半径为R）2131LmJLL221RmJoo.2002dmJJL222)(2131RLmRmLmJooL(棒对边缘轴棒对边缘轴) (圆盘对中心轴圆盘对中心轴)(圆盘对棒边缘轴圆盘对棒边缘轴)第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动15例例4 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。圆环绕中心轴旋转的转动惯量。RLlRmRJ20202dd2320222dmRRmRlRRdlOmR第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动16例例5 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量。圆盘绕中心轴旋转的转动惯量。 smddRmRmrrRmmrJ0232022d2drR
10、mrrrRmd2d222ROmrdrJ 与质量分布有关与质量分布有关 注意注意 第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动17（2）用平行轴定理、迭加法）用平行轴定理、迭加法(3) 实验法实验法如三线扭摆法。如三线扭摆法。J = J 大大 J 小小J = J 大大 + J 小小OoMR.第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动18FOr(1) 飞轮的角加速度。飞轮的角加速度。四、转动定律的应用举例四、转动定律的应用举例p求求:例例1 一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，的飞轮边缘，在绳端施以在绳端施以F=98 N
11、 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2,飞轮与转轴间的摩擦不计飞轮与转轴间的摩擦不计 。(2) 如以重量如以重量P =98 N的物体挂在的物体挂在绳端绳端,试计算飞轮的角加速度。试计算飞轮的角加速度。 第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动19解解 (1)JFr 2rad/s 2 .395 . 02 . 098JFrmaTmg(2)JTr ra 两者区别两者区别?2mrJmgr22rad/s 8212010502098.FOrmgTT第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动20例例2 一定滑轮质量为一定
12、滑轮质量为 m，半径为，半径为 r , 不能伸长的轻绳两边不能伸长的轻绳两边分别系分别系 m1 和和 m2 的物体挂于滑轮上的物体挂于滑轮上, m1 m2, 绳与滑轮间绳与滑轮间无相对滑动。设轮轴光滑无摩擦无相对滑动。设轮轴光滑无摩擦, 滑轮的初角速度为零。滑轮的初角速度为零。求求:滑轮转动角速度随时间变化的规滑轮转动角速度随时间变化的规律。律。1m2mmr第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动21解解:以以m1 ,m2 ,m 为研究对象为研究对象,受力分析受力分析1111amTgm2222amgmT22121mrJrTrTraaa21rmmmgmm212121
13、rmmmgtmmt2121210滑轮滑轮 m：m1：m2：1m2mmrgm11Tgm22T1T2T第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动22 Pl /2Ol例例3一根长为一根长为l、质量为、质量为 m 的均匀细直棒的均匀细直棒, 其一端有一固定的光滑其一端有一固定的光滑水平轴水平轴, 因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在竖直位置因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在竖直位置, 由于微小扰动由于微小扰动, 在重力作用下由静止开始转动。在重力作用下由静止开始转动。 求求:它由此下摆角它由此下摆角 时的角加速度和角速度。时的角加速度和角速度。第二章第二章 动力学基础
14、动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动23解解: 棒下摆为加速过程棒下摆为加速过程, 外力矩为重力对外力矩为重力对O的力矩。重力作用在棒重心的力矩。重力作用在棒重心, 当棒处在下当棒处在下摆摆 角时角时, 重力矩大小为：重力矩大小为： 重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。生的力矩一样。 因此棒绕轴因此棒绕轴O的转动惯量为：的转动惯量为：231mlJ Jsin21mglM Pl /2Ol第二章第二章 动力学基础动力学基础2 5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动24lgmlmglJM2sin331sin212棒处于棒处于角时：角时：而而t dd dd dd ddddttdsin23d dlg作变换：作变换：003dsind2gl 两边积分：两边积分：31 cosgl角速度：角速度：
