1、第一章第一章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动1研究的起点研究的起点-单自由度系统的确定振动单自由度系统的确定振动 是以后研究复杂系统的基础。是以后研究复杂系统的基础。 有助于理解实际工程振动问题。有助于理解实际工程振动问题。 很多实际问题可简化为单自由度问题。很多实际问题可简化为单自由度问题。振动工程研究所1.0 1.0 振动的描述振动的描述 1.0.1 简谐振动的表示简谐振动的表示 三要素：振幅、频率、相位三要素：振幅、频率、相位（概念复习概念复习） 简谐振动的三种表示法简谐振动的三种表示法 三角函数法三角函数法振动工程研究所u tat( )sin()0)()sin()(20020tu
2、tatu )2sin()(00tatu 注意位移、速度、注意位移、速度、加速度之间得相位关加速度之间得相位关系系 复数法复数法 振动工程研究所ImImImQuatPReReReaaaaabc000002OOO0)j(jj00ttaeeaez旋转向量法（几何法）旋转向量法（几何法）纵轴投影纵轴投影复数法的位移、速度、加速度关系振动工程研究所)j(jj00ttaeeaez2/)2/(0)(000jtjtjejaeaejzjtjtjeaeaez1)(20)(2000 振动工程研究所三种表示法的差异三种表示法的差异三角函数最直接、最常用。三角函数最直接、最常用。旋转向量法是三角函数几何表示，用得不多，
3、直观。旋转向量法是三角函数几何表示，用得不多，直观。复数法与三角函数是一致的。复数法与三角函数是一致的。向向Y轴投影轴投影取虚部取虚部 简谐振动的合成简谐振动的合成 频率相同的两简谐振动合成后仍为简谐振动，频率相同的两简谐振动合成后仍为简谐振动，且频率不变。且频率不变。 振动工程研究所)sin()Im()sinsin( j)coscosIm(Im)()()(0jjj22112211)( j2)( j121002010taeaeeaaaaeaeatutututttt)sin()()sin()(20221011tatutatu用复数法用复数法不同频率的简谐振动的合成不再是简谐振动1.周期振动(频率
4、可频率可通约)振动工程研究所)sin()()sin()(22221111tatutatunm21nTmTTnmTT21012,)()()()()()(2122110tututunTtumTtuTtu证证 明明关键关键整数倍数整数倍数)(2sin)( )22sin()22cos(2)(1212121212tttattatu振动工程研究所 2. 调制信号用高频传递低频信号024681012-4-2024 utu1+u2a(t) F1 F2 F3两个振幅相同，而相位不两个振幅相同，而相位不同、频率接近且可通约的同、频率接近且可通约的谐振动合成谐振动合成几个概念 拍:周期振动的一种 拍频:注意是拍的节
5、律,不是包络线频率 (差一倍) 包络线:有两条振动工程研究所振动工程研究所024681012-4-2024 utu1+u2a(t) F1 F2 F3a taaa attataat( )cos()()( )tansin()()cos()()122212212111221211221212a tatdef( )cos()22221212)(21t两个振幅、相位、频率都两个振幅、相位、频率都不同的谐振动合成不同的谐振动合成同振幅谐振动的包络线通过零点。由两个频率接近的简谐振动合成的拍是一种普遍的物理现象。 李沙育（Lissajous）图 振动方向相互垂直的简谐振动合成 Bowditch（鲍迪奇）（鲍
6、迪奇）在1815年首先研究这一族曲线，Lissajous在1857年作更详细研究。振动工程研究所李沙育图性质 如果两个振动的频率成简单的整数比，这样就能合成一个稳定、封闭的曲线图形。 如果这两个相互垂直的振动的频率为任意值，那么它们的合成运动就会比较复杂，而且轨迹是不稳定的。振动工程研究所李沙育图用途 示波器观测频率与象位的传统工具 用于相位差寻找与判定（教学）振动工程研究所1.1 1.1 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 振动系统的组成三要素：质量，刚度，阻尼 必须要素 振动系统的数学模型:运动方程（力平衡给出方程）振动工程研究所kmcu(t)f(t)()()()(tftuktuct
7、um 弹性恢复力与弹簧两端的相对相对位移（变形）成正比，方向相反。弹簧受力有势能；松弛完全放势能（无阻尼）。 振动工程研究所ffuuk21 f sftktk u tutsdef( )( )( )( ) 12方程中的弹性项方程中的弹性项粘性阻尼力与物体在介质中的相对相对运动速度成正比，方向相反。（最简阻尼形式）振动工程研究所ftutuctfd)()()(212u 1u dff方程中的阻尼项方程中的阻尼项根据根据DAlembert原理（原理（动静转换动静转换），质量块（），质量块（无无变形变形）提供与外力大小相同、方向相反的惯性）提供与外力大小相同、方向相反的惯性力力振动工程研究所umfmuftf
8、 tmu tm( )( )( ) 方程中的惯性项方程中的惯性项建模步骤建立坐标系建立坐标系 原点为静止点(静平衡点) 坐标正向为标示外力方向分离体法（材力，结力）分离体法（材力，结力） 对质点标明惯性力、弹性力、阻尼力力平衡力平衡 达朗贝尔原理振动工程研究所方程分类单自由度系统振动方程自由振动自由振动方程无外激励无外激励 偏离静平衡偏离静平衡 初始条件初始条件无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的特点略去阻尼突出自由振动的特点)()()()(tftuktuctum 振动工程研究所由由繁繁入入简简0)()()(tuktuctum 0)()(tuktum 1.21.2无阻尼单自由度系统的自由振动
9、无阻尼单自由度系统的自由振动振动工程研究所mu tku t( )( ) 000)0(,)0(uuuu方程方程初始条件初始条件(定解条件定解条件)注意注意 特点特点 二阶常系数齐次方程二阶常系数齐次方程解的形式与试探解微分方程解微分方程解=通解（通解（+特解）特解）振动工程研究所u tuest( ) 0)(2ukms（1）试探解的提出与代入）试探解的提出与代入 单频、等幅、初始点单频、等幅、初始点（2）用初始条件定系数）用初始条件定系数数学理论数学理论实际经验实际经验因为 ,故得到有特征方程（以s为变量的代数方程）特征解（根）为其中 为固有圆频率或 固有频率（固有周期？） 振动工程研究所m sk
10、200usn jndefkm Hz21mkfdefn自由振动微分方程的特征解tseu11tseu22自由运动方程的通解可取为:或其中其中 或或 为积分常数。由初为积分常数。由初始条件定。始条件定。无阻尼系统的自由振动是无阻尼系统的自由振动是简谐振动简谐振动 振动工程研究所u tatn( )sin()u tatatnn( )cossin1221,aa,aauuuunn0202100() ,tanauaun1020,无阻尼自由振动的时间域响应(时间历程)可表达为或振动工程研究所u tututnnn( )cossin00)tansin()()(0012020uutuutunnn（易记忆）（易记忆）f
11、fkufku2211uf1u23u2kk1振动工程研究所两个并联弹簧刚度增加, 两个串联弹簧刚度削弱,kfkk12kk kkk1212刚度元件的串并联刚度元件的串并联振动工程研究所例例: 升降机钢丝绳中最大张力升降机钢丝绳中最大张力 0vmk0v振动工程研究所uuv0000,nkm解：解：初始条件初始条件 方程方程 固有频率固有频率振幅振幅 auuvvmknn020200()Tkavmk20由振动而引起的钢丝绳中最大动张力为由振动而引起的钢丝绳中最大动张力为 钢丝绳中总张力的最大值是钢丝绳中总张力的最大值是 TTTmgvmk1200 kuum 1.3 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统
12、物理系统多样 数学模型唯一(等效性) 工程实际简化例子 汽车乘员抗颠簸性研究 翼尖挂弹环境研究 摩天轮刹车性能研究 振动工程研究所摆振动系统中不存在弹性元件，恢复力由摆锤重力提供。 (势能提供者为重力，地球是储能元件)0)(sin)(tlgt 振动工程研究所lmO0)(sin)(2tmgltml 动力矩方程或力矩平衡方程动力矩方程或力矩平衡方程sin振动的幅度很小时振动的幅度很小时 小角度简化方程为小角度简化方程为振动工程研究所0)()(tlgt 系统振动的固有频率系统振动的固有频率 lgn周期与摆线长关系周期与摆线长关系 224ngTl ! 7! 5! 3sin75318. 107. 102
13、. 110TT振动工程研究所0)(6)()(3tlgtlgt 系统振动的系统振动的Duffin方程方程 周期误差与角度关系周期误差与角度关系 2360大角度简化方法大角度简化方法刚体摆质量为m，质心C距铰中心O距离为l 振动工程研究所OlCmg绕固定铰使用动量矩定理绕固定铰使用动量矩定理 00Jmgl考虑小角度条件考虑小角度条件sin固有频率及固有周期固有频率及固有周期 00,2nnJmglTJmgl与材料力学联系单自由度扭振振动工程研究所GIlkT假定盘和轴都为均质体，不考假定盘和轴都为均质体，不考虑轴的质量。设扭矩作用在盘虑轴的质量。设扭矩作用在盘面，此时圆盘产生一角位移，面，此时圆盘产生
14、一角位移， TlGI432dI 其中其中定义轴的扭转刚度为定义轴的扭转刚度为 TTGIkl扭转振动方程 扭转振动固有频率 振动工程研究所0TJkTnkJ系统对初始扰动的自由振动响应tttnnnsin)0(cos)0()(梁横向振动 例：简支梁的横向振动，假设系统的质量全部集中在梁的中部，取梁的中部挠度作为系统的位移，静态挠度 ：振动工程研究所EIPl48等效刚度 348lEIPkePEIl22l系统自由振动方程为 振动工程研究所0)()(tuktume 振动固有频率 348mlEImken悬臂梁、固支梁情况类似，关键在于确定自由度与给出等效刚度* *用能量法确定固有频率用能量法确定固有频率 振
15、动工程研究所)cos()(),sin()(00tutututunnn根据机械能守恒条件可得根据机械能守恒条件可得 TVmaxmax固有振动是简谐固有振动是简谐振动，其位移和振动，其位移和速度分别为速度分别为 （一种简单方法，也可发展用于近似求多自由（一种简单方法，也可发展用于近似求多自由度系统固有特性）度系统固有特性）振动工程研究所20ref21muTdefnVT2maxrefmax20202max212VkumuTn右端称作右端称作Rayleigh商，商，计算系统固有频率的方法其中参考动能：参考动能求法：将最大动能中的速度参考动能求法：将最大动能中的速度项换成位移项既成参考动能。项换成位移项
16、既成参考动能。振动工程研究所半径为半径为r、质量为质量为m的圆柱体在半径为的圆柱体在半径为R的内圆柱面上绕的内圆柱面上绕最低点作纯滚动，试求其微振动的固有频率。最低点作纯滚动，试求其微振动的固有频率。ROACBrvc例例 圆柱体的微振动圆柱体的微振动解：解：设圆柱体作纯滚动，设圆柱体作纯滚动，圆柱体的动能是圆柱体的动能是 TmvJm Rrcc1212342222()重力势能为重力势能为 Vmghmg Rr122()Vmg RrTm Rrmmmax(),()1234222ref由由Rayleigh商得系统固有频率为系统固有频率为 nVTgRrmax()ref23关键是确定便于建模的独立自由度，简
17、化三角函数关键是确定便于建模的独立自由度，简化三角函数* 弹性元件的分布质量及其简化（1）假设速度分布（2）计算分布质量动能（3）根据动能相等计算等效集中质量振动工程研究所例：例：一端固定弹簧，以自由端为分析自由度一端固定弹簧，以自由端为分析自由度弹簧上距固定端弹簧上距固定端x处点的位移：处点的位移：ulxxv)(微段弹簧质量：微段弹簧质量：222021321)(21uMumdxxvlmTssslsdxlms动能：动能：振动工程研究所等效质量：等效质量：3ssmM 无阻尼单自由度系统求解目的 求固有特性（固有频率，周期）求固有特性（固有频率，周期） （主要目的）（主要目的） 研究极小阻尼下响应
18、研究极小阻尼下响应 （自由振动响应最值）（自由振动响应最值）振动工程研究所1.4 粘性阻尼单自由度系统的自由振动粘性阻尼单自由度系统的自由振动 振动工程研究所求解初值问题：求解初值问题： mu tcu tku tuuuu( )( )( )( ),( )00000u tuest( ) mscsk20它的解具有如下形式它的解具有如下形式非平凡解特征方程非平凡解特征方程含阻尼元件：线性阻尼含阻尼元件：线性阻尼无外激励无外激励平凡解平凡解0u振动工程研究所defncmkcm22snn1 221, scmcmkm1 2222,() 解出一对特征根解出一对特征根阻尼比阻尼比定义定义固有频率固有频率mkde
19、fn阻尼比不同，解形式不同。阻尼比不同，解形式不同。振动工程研究所（1）过阻尼情况）过阻尼情况，特征根是一对互异实根，特征根是一对互异实根 1u ta ea enntt( )()() 112122引入初始条件引入初始条件01212021)1()1()0()0(uaauuaaunn积分常数积分常数12)1(20201nnuua12)1(20202nnuua振动工程研究所)1()1()(2221tshatchaetunntn指数衰减指数衰减振动工程研究所（2）临界阻尼情况）临界阻尼情况，特征根是一对相等的实根，特征根是一对相等的实根 1sn1 2 , u taa t ent( )()12引入初始条
20、件引入初始条件0021201)()0()0(utaaeeauuauttntnn积分常数积分常数01ua 002uuan 振动工程研究所-1.0-0.50.00.51.0 a420-nt-te-nte=1.0unt F1 F2 F3振动工程研究所（3）欠阻尼情况（）欠阻尼情况（ ）, , 01snn1 221, ju teatatntdd( )(cossin)12这时特征根是一对共轭复根这时特征根是一对共轭复根通解是通解是: : -1.0-0.50.00.51.0 a1086420e-nt-nt-easin=0.1unt F1 F2 F3（最主要）（最主要）振动工程研究所自然频率（阻尼振动频率）
21、自然频率（阻尼振动频率）nndefd21引入初始条件引入初始条件02101)0()0(uaauuaudn积分常数积分常数01ua 20021nnuua参数与量纲参数与量纲振动工程研究所通解形式通解形式00000)()()sincos()(utVutUtuutuetuddndtn初始位移引起的振动初始位移引起的振动初始速度引起的振动初始速度引起的振动)sin1(cos)(2ttetUddtdefntetVddtdefnsin)(解的迭加性解的迭加性振动工程研究所粘性阻尼振动系统的自由振动解的另一形式u taetntd( )sin() , a由初始条件决定20020)(dndefuuua0001t
22、anuuunddef包络线包络线振动工程研究所欠阻尼系统振动特性欠阻尼系统振动特性（1）自由振动振幅按指数规律衰减）自由振动振幅按指数规律衰减tnae（2）非周期非周期振动：振幅不同但有振动：振幅不同但有等时性等时性。周期概念周期概念自然周期（阻尼固有周期）概念自然周期（阻尼固有周期）概念221122nnddefdTT振动工程研究所（3）阻尼比的影响）阻尼比的影响关系：关系：ndndTT（4）振幅对数衰减率振幅对数衰减率：经过一个自然周期的振：经过一个自然周期的振幅之比的自然对数。幅之比的自然对数。212ln2)(dnTttdefTeednn（5）由振幅对数衰减率求阻尼比（逆问题）由振幅对数衰
23、减率求阻尼比（逆问题）工程性工程性振动工程研究所ImRe1( )nOS( )SS1S2S2Sdnnnnd阻尼比与解的关系阻尼比与解的关系简谐振动简谐振动过阻尼衰减过阻尼衰减小结数学模型建立特征解（动特性）固有自然初始条件下响应00000)()()sincos()(utVutUtuutuetuddndtn振动工程研究所)sin1(cos)(2ttetUddtdefn)sin1()(tetVddtdefn（冲击响应）（冲击响应）（初始变形）（初始变形）1.5 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 无阻尼系统的简谐激励受迫振动无阻尼系统的简谐激励受迫振动 或振动工程研究所mu tku tft
24、( )( )sin0( )( )sinu tu tfmtn20力激励力激励 位移激励位移激励1.5.1 简谐力激励下受迫振动的解简谐力激励下受迫振动的解振动工程研究所)()()(*tututu( )cossinu tatatnn12tBtudsin)(*Bfmdn022()(1) 当当 时特解形式为时特解形式为n解的特性讨论（试探解）解的特性讨论（试探解）)(*tu强迫振动的响应（非齐次方程解）强迫振动的响应（非齐次方程解）由两部分组成由两部分组成通解（自由振动）通解（自由振动）特解（强迫振动）特解（强迫振动）振动工程研究所auaufmnnn1020022,()积分常数由初始条件决定积分常数由
25、初始条件决定。tmftatatututunnnsin)(sincos)()()(22021*(2)(2)当当 时时, ,方程方程(1.5.1)的特解具有如下形式的特解具有如下形式nutt btbtnn*( )(cossin)12bfmbn10220 ,代入方程代入方程振动工程研究所u tu tutatatfmttnnnn( )( )( )cossincos*1202运动方程的解变为auaufmnn1020022,积分常数变为系统位移响应中最后一部分随时间增加趋于无穷，这是激励频率与系统固有频率相等时的共振共振现象。 （超谐共振，亚谐共振）超谐共振，亚谐共振）振动工程研究所线性阻尼系统的简谐激励
26、受迫振动线性阻尼系统的简谐激励受迫振动mu tcu tku tft( )( )( )sin0运动方程运动方程( )( )( )sinu tu tu tBtnnn2220( )(cossin)u teatatntdd12utbtbtBtdefdd*( )cossinsin()12阻尼自由振动通解阻尼自由振动通解强迫振动特解（注意相位变化）强迫振动特解（注意相位变化）振动工程研究所BBdnnndnn 20222212222()()tan)sin()sincos()()()(21*ddddttBtataetututun阻尼系统强迫振动方程的解为阻尼系统强迫振动方程的解为 （1）三角方）三角方程常利用
27、待程常利用待定系数法求定系数法求解解（2）运用技）运用技巧较多巧较多振动工程研究所auBauuBnnnndnnndnn1030222220020222222222222 ()()()()() 其中积分常数可由初始条件确定，它们是其中积分常数可由初始条件确定，它们是 积分常数与系统的物理参数有关；积分常数与系统的物理参数有关；也与激振频率有关。也与激振频率有关。振动工程研究所0246810-2-1012 B0自由振动自由振动完整受迫振动完整受迫振动稳态振动稳态振动ut F1 F2 F3响应由两部分组成：响应由两部分组成：a. 第一部分类似于粘性阻尼系统的自由振动，其幅值随时第一部分类似于粘性阻尼
28、系统的自由振动，其幅值随时间增长而衰减。间增长而衰减。初始条件响应初始条件响应部分。部分。 振动工程研究所b. 第二部分响应如图第二部分响应如图1.5.1中细实线所示。它是简谐力引起的中细实线所示。它是简谐力引起的简谐振动，其幅值是常数，不因阻尼而衰减，故称为简谐振动，其幅值是常数，不因阻尼而衰减，故称为稳态响稳态响应应部分部分。 系统的完整受迫振动由上述两部分叠加而成。 在时间历程上，系统的受迫振动响应分为两个阶段：在时间历程上，系统的受迫振动响应分为两个阶段： 由给定的初始条件出发，系统振动由自由衰减振动响由给定的初始条件出发，系统振动由自由衰减振动响应和强迫振动响应相叠加，呈现较为复杂的
29、波形。随着时应和强迫振动响应相叠加，呈现较为复杂的波形。随着时间增长，自由衰减振动响应趋于零，而强迫振动响应成为间增长，自由衰减振动响应趋于零，而强迫振动响应成为主要成分。这个阶段称为主要成分。这个阶段称为过渡过程过渡过程。过渡过程只经历一个过渡过程只经历一个不长的时间，阻尼越大，过渡过程持续的时间越短。不长的时间，阻尼越大，过渡过程持续的时间越短。 经过一段时间后，系统的振动响应将以强迫振动响应为经过一段时间后，系统的振动响应将以强迫振动响应为主，这一阶段称作主，这一阶段称作稳态过程稳态过程。只要有激振力作用，稳态振只要有激振力作用，稳态振动将一直持续下去。动将一直持续下去。振动工程研究所1
30、.5.1.5.2 2阻尼系统的稳态振动响应阻尼系统的稳态振动响应 ndefddefddBB02221211221()()tan无量纲化激励频率无量纲化激励频率, （便于（便于观察观察 比较和使用）比较和使用）过渡过程很短暂，在实践中主要关心系统稳过渡过程很短暂，在实践中主要关心系统稳态振动。态振动。 振幅放大系数（振幅放大系数（相对振幅）相对振幅）振动工程研究所0123 -/20=0.2=0.1=0.707=0.01d0123012345 =0.707=0.2=0.01d=0.1 F1 F2 F3 F4位移幅频特性曲线位移幅频特性曲线位移相频特性曲线位移相频特性曲线振动工程研究所稳态响应速度函
31、数描述稳态响应速度函数描述)sin()cos()(*vvdefddtBtBtu2)2()(v222202ddefnnnddefvBBB速度振幅速度振幅 速度相位差速度相位差速度振幅放大系数速度振幅放大系数2220)2()1 (dnvdefvBB人为定义概人为定义概念并选择念并选择n振动工程研究所稳态响应加速度函数描述稳态响应加速度函数描述)sin()sin()(2*aadefddtBtBtu ddefannnddefaBBB22220222)2()(加速度振幅加速度振幅 加速度相位差加速度相位差加速度振幅放大系数加速度振幅放大系数2222202)2()1 (dnadefaBB人为定义概人为定义
32、概念并选择念并选择n振动工程研究所0123012345 =0.707=0.2=0.01v=0.1 F1 F2 F3 F40123012345 =0.707=0.2=0.01a=0.1 F1 F2 F3 F4速度幅频特性速度幅频特性曲线曲线 加速度幅频特性加速度幅频特性曲线曲线 222)2()1 (ddefv22222)2()1 (ddefa振动工程研究所稳态响应频率特性稳态响应频率特性低频段低频段) 10(001avd（1）（2）kfBBd00（3）avd20弹性占优弹性占优振动工程研究所稳态响应频率特性（续）稳态响应频率特性（续）高频段高频段) 1(100avd（1）（2）mfkfBBBnn
33、naa0020202（3）02avd惯性占优惯性占优振动工程研究所稳态响应频率特性（共振）稳态响应频率特性（共振）d122v1a1122位移共振位移共振速度共振速度共振加速度共振加速度共振共振频率共振频率21avd202avd阻尼特性占优阻尼特性占优阻尼力等于激励阻尼力等于激励相位共振相位共振cfmkfBBBnnvv0000221v振动工程研究所系统品质因数系统品质因数（共振放大系数共振放大系数表示阻尼的又一参量）表示阻尼的又一参量）Qdefdva12111定义：共振区定义：共振区放大系数大于峰值放大系数大于峰值 处处21半功率点半功率点222111BA半功率带宽半功率带宽defBAQ21振动
34、工程研究所012024681012 =0.05BABA1Q=0.707Q2v2 F2 #-101 6120=0.1cnu包络线包络线f0nt F1 F2 F3共振的过渡过程共振的过渡过程 共振区及其半功率带共振区及其半功率带 STOP例：旋转部件偏心质量引起的振动例：旋转部件偏心质量引起的振动 振动工程研究所emtkcuab2sink2tmeukc2MM()( )( )( ) ( )sinMmu ttcu tku tmtu tet dddd2222振动工程研究所Mu tcu tku tmet( )( )( )sin2化为简谐强迫振动形式化为简谐强迫振动形式BmekMccMkcc222212()
35、()tan稳态位移的幅值和相位分别为稳态位移的幅值和相位分别为 cdefcaB Mem222212()()稳态位移幅值稳态位移幅值化为无量纲形式化为无量纲形式 其位移幅频特性曲线与常幅值简谐力激励系统的加速其位移幅频特性曲线与常幅值简谐力激励系统的加速度幅频特性曲线相同度幅频特性曲线相同 对应的转速称为对应的转速称为临界转速临界转速 分母不分母不是静变是静变形形例：单盘转子的弓形回旋例：单盘转子的弓形回旋振动工程研究所ODCeurtvODeCvu图图1.5.8 作同步弓形回旋的单盘转子作同步弓形回旋的单盘转子 mtu tetku tcu tmtv tetkv tcv tdddd2222 ( )
36、cos( )( ) ( )sin( )( ) 选择自由度：选择自由度：C点在点在ODC平面内正交运动的自由度平面内正交运动的自由度振动工程研究所mu tcu tku tmetmv tcv tkv tmet( )( )( )cos( )( )( )sin22两个互相独立的运动方程两个互相独立的运动方程utmetkmcvtmetkmc*( )cos()()(),( )sin()()()22222222系统的稳态响应为系统的稳态响应为 rutvtmekmcdef*2*2( )( )()()2222轴的轴的动挠度动挠度（即形心（即形心D的运动）轨迹是的运动）轨迹是一个与时间无关的圆一个与时间无关的圆
37、注意注意振动工程研究所rdefare222212()() 动挠度与偏心距的比值可表示为如下无量纲形式动挠度与偏心距的比值可表示为如下无量纲形式 它也等于常幅值简谐力激励系统的加速度放大系数它也等于常幅值简谐力激励系统的加速度放大系数 reer2转子的共振动挠度为转子的共振动挠度为：crdefnkm若阻尼比较小，即使转子平衡得很好（若阻尼比较小，即使转子平衡得很好（e 很小），动挠很小），动挠度度r也会相当大。这个转速称为也会相当大。这个转速称为单盘转子的临界转速单盘转子的临界转速刚性转子刚性转子 柔性转子柔性转子振动工程研究所1.6基础简谐激励下的受迫振动基础简谐激励下的受迫振动 1.6.1
38、1.6.1 振动方程振动方程 mu tc u tv tk u tv t( )( )( ) ( )( ) mkcuvmukcu-vmu( )u-v( )振动工程研究所utu tv trdef( )( )( )tvmtvmtkutuctumrrrsin )()()()(2 变量替换变量替换相对运动方程相对运动方程（以质量块与基础距离改变为自由度）（以质量块与基础距离改变为自由度）tvktvctkvtvctkutuctumsincos )()()()()( 绝对运动方程绝对运动方程（以质量块位移为自由度）（以质量块位移为自由度）振动工程研究所)sin()()()()(22tckvtkutuctum
39、采用正弦函数描述基础简谐运动，绝对运动方程可写为采用正弦函数描述基础简谐运动，绝对运动方程可写为稳态响应稳态响应（特解）（特解）具有以下形式具有以下形式1.6.2 1.6.2 稳态振动分析稳态振动分析绝对运动绝对运动kc1tan为激励初相位（与响应幅值无关）为激励初相位（与响应幅值无关）)sin()(*ddtBtu振动工程研究所绝对运动传递率定义为：vBTddefd223122222)()(tan)()()(cmkkmccmkckvBdd解参数为：解参数为：另一种形式：另一种形式：22312222)2(12tan)2()1 ()2(1ddvB振动工程研究所0123012345 2=0.707=
40、0.2=0.01Td=0.1 F1 F2 F3 F40123 -/20=0.01=0.1=0.2=0.707绝对运动传递率的频率特性绝对运动传递率的频率特性 幅频幅频相频相频2222)2()1 ()2(1dT2112tand振动工程研究所（1）在低频段（）在低频段（ ）系统的绝对运动）系统的绝对运动接近于基础运动，它们之间基本上没有相对运动。接近于基础运动，它们之间基本上没有相对运动。01（2）在共振频段（）在共振频段（ ）附近，有峰值；说明）附近，有峰值；说明基础运动经过弹簧和阻尼器后被放大传递到质量基础运动经过弹簧和阻尼器后被放大传递到质量块。块。绝对运动传递特性绝对运动传递特性Td10,
41、1（3）幅频特性曲线都在）幅频特性曲线都在 时通过。时通过。21dT（4 4）在高频段（）在高频段（ ），）， ；说；说明基础运动被弹簧和阻尼器隔离明基础运动被弹簧和阻尼器隔离Td 02振动工程研究所相对运动相对运动utBtrrr( )sin()Bmvkmccmkrr222212()()tan解参数解参数12tan)2()1 (212222rrdefrvBT无量纲化相对运动传递率无量纲化相对运动传递率0123012345 =0.707=0.2=0.01a=0.1 F1 F2 F3 F4振动工程研究所1.7 振动的隔离振动的隔离 隔离振动（简称隔离振动（简称隔振隔振）就是研究物体之间振动的传递）
42、就是研究物体之间振动的传递关系，关系，减小相互间所传递的振动量减小相互间所传递的振动量。 第一类第一类: :隔力隔力：通过弹性支撑来隔离振源传到基础通过弹性支撑来隔离振源传到基础的的力（发动机减振安装）力（发动机减振安装） 第二类第二类: :隔幅隔幅：通过弹性支撑减小基础传到设备的通过弹性支撑减小基础传到设备的振动幅值（仪表环境改善）振动幅值（仪表环境改善） fkcutmabsinv0ckmu振动工程研究所1.7.1第一类隔振第一类隔振ku tkBtcu tc Btdddd( )sin()( )cos()fBkcfkckmcfd22022222022221212()()()()()()()隔振
43、器传到刚性地基的弹性力和阻尼力隔振器传到刚性地基的弹性力和阻尼力 Tfffdef022 221212()()()将经过隔振器传到基础的力幅与激励幅值之比定义为将经过隔振器传到基础的力幅与激励幅值之比定义为力传递率力传递率 二者相位差二者相位差 ，其合力的幅值为，其合力的幅值为 当当 时，时， ，这时有隔力效果。，这时有隔力效果。2Tf12振动工程研究所1.7.2第二类隔振第二类隔振2222)2()1 ()2(1dT基础作简谐运动时，系统的绝对运动基础作简谐运动时，系统的绝对运动传递率已由下式给出。传递率已由下式给出。 显然，只有当显然，只有当 时，时， , ,隔振器才有效果。隔振器才有效果。
44、2Td1隔振器的刚度系数隔振器的刚度系数k应满足应满足 kmn12阻尼越小传递阻尼越小传递率越低，隔振率越低，隔振效果越好。但效果越好。但为了减少系统为了减少系统通过共振区时通过共振区时的振幅，必须的振幅，必须为隔振器配置为隔振器配置适当的阻尼。适当的阻尼。 TTdf1122,由于阻尼一般很小，由于阻尼一般很小， 或或 在高频段可近似为在高频段可近似为 TfTd0123012345 2=0.707=0.2=0.01Td=0.1 F1 F2 F3 F4振动工程研究所例例1.7.1 某直升机在旋翼额定转速360rpm时机身强烈振动，为使直升机上某电子设备的隔振效果达到 ，试求隔振器弹簧的在设备自重
45、下的静变形。Td 02 .解：记隔振器弹簧在设备自重作用下的静变形为 ，由虎克定律s2nsgkmgsdgT211()s982360 6011024141022.(/)(.).m2,112dT变化放大系数简化式为可见，低频隔振器的弹簧必须很柔软。柔软弹簧带来的问题一可见，低频隔振器的弹簧必须很柔软。柔软弹簧带来的问题一是隔振系统要有足够大的静变形空间，二是侧向稳定性差。因此是隔振系统要有足够大的静变形空间，二是侧向稳定性差。因此，隔离低频振动是工程实践中的难题。，隔离低频振动是工程实践中的难题。 )11 (22dnT综合上两式得到静力学方法测动特性，动力学方法测静力特性静力学方法测动特性，动力学
46、方法测静力特性几种常用减振方法 改变特性 变刚度，质量 隔振：降低刚度，增加质量 变阻尼 减振：加阻尼 改变系统构成 吸振器，阻尼器，附加结构振动工程研究所振动工程研究所1.8 等效线性粘性阻尼等效线性粘性阻尼 1.8.1 阻尼的等效阻尼的等效 一般阻尼动力学系统一般阻尼动力学系统0)(),()()(ftutuftkutumd 上式右端第一项为阻尼力。若系统作上式右端第一项为阻尼力。若系统作简谐振动简谐振动200dcos)cos,sin(d),(aafatuuufWdTdu tat( )sin()则阻尼力在一个振动周期内消耗的能量：则阻尼力在一个振动周期内消耗的能量：dtuuufdtdtduu
47、ufduuufdWddd),(),(),(阻尼力在微位移区间阻尼力在微位移区间dudu上所做的功为：上所做的功为：Tddt0201亦与位移有关亦与位移有关周期周期内阻内阻尼作尼作用等用等效效振动工程研究所TdetuuufaaWc022d),(1edefecmk2fu uc ude( , ) 将上述阻尼力等效为粘性阻尼将上述阻尼力等效为粘性阻尼等效粘性阻尼在一个周期内所做的负功等效粘性阻尼在一个周期内所做的负功202220222dcos)(cosacacdttacWeeTee令等效粘性阻尼在一个周期内所做的负功与真实令等效粘性阻尼在一个周期内所做的负功与真实阻尼的相等：阻尼的相等：WWe得得等效
48、等效粘性阻尼比粘性阻尼比若等效粘性阻尼比较大，应检查简化条件！若等效粘性阻尼比较大，应检查简化条件！振动工程研究所损耗因子损耗因子定义：系统阻尼在每个振动周期中所耗定义：系统阻尼在每个振动周期中所耗能量与系统最大弹性势能之比，再除以能量与系统最大弹性势能之比，再除以 。2202maxdcos)cos,sin(12aafkakaWVWddefcke等效粘性阻尼系数和损等效粘性阻尼系数和损耗因子之间的关系为耗因子之间的关系为 对比对比20202cos)cos,sin(1d),(1daafatuuufacdTde振动工程研究所1.8.2 1.8.2 几种阻尼的等效实例几种阻尼的等效实例 低粘度流体阻
49、尼低粘度流体阻尼 Coulomb干摩擦阻尼干摩擦阻尼 cae83cNae 4fuNud()sgn fuu t u td()( ) ( ) 203233240338dcos4d )(4aattuWT40404dcos4d )()(4NattaNttuNWT振动工程研究所ce 结构阻尼结构阻尼 （迟滞阻尼）（迟滞阻尼）OWa2 是一常数，称为是一常数，称为迟滞阻尼系数迟滞阻尼系数 k损耗因子为损耗因子为： 等效粘性阻尼系数等效粘性阻尼系数结构阻尼系统微分方程复描述结构阻尼系统微分方程复描述tjefkujum0)1( 损耗因子非损耗因子非频变频变振动工程研究所刚度表达式：刚度表达式：)1 (*jkK
50、粘性阻尼亦可等效为结构阻尼粘性阻尼亦可等效为结构阻尼kce损耗因子频损耗因子频变变复刚度的准确（频域）表达方式：复刚度的准确（频域）表达方式：)(1 *jkK)()()()(1)()()()(*GGjGjGGG粘弹性材料的复模量频域表达式：粘弹性材料的复模量频域表达式：振动工程研究所复刚度描述下的简谐振动稳态解复刚度描述下的简谐振动稳态解动力学方程动力学方程tjefkujum0)1( 代入试探解代入试探解tjeutu0)(得稳态解得稳态解tjekjmkftu20)(位移放大系数位移放大系数kfBkjmkkBud00200振动工程研究所方程：方程：无阻尼有阻尼无阻尼有阻尼激励：激励：单频单频多频
