1、 10-2 10-2 阻尼振动阻尼振动 10-3 10-3 受迫振动受迫振动 共振共振 10-4 10-4 电磁振荡电磁振荡 10-5 10-5 一维谐振动的合成一维谐振动的合成* *10-6 10-6 二维谐振动的合成二维谐振动的合成* *10-7 10-7 振动的分解振动的分解 频谱频谱* *10-8 10-8 非线性振动与混沌非线性振动与混沌物体运动时，离开平衡位置的位移物体运动时，离开平衡位置的位移( (或角位移或角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )规律随时间变化。规律随时间变化。忽略了质量的弹簧忽略了质量的弹簧 + + 不发生形变的物体。不发生形变的物体。弹簧振子：弹簧振
2、子：xOFFxOxO回复力：回复力： 据牛顿第二定律，得据牛顿第二定律，得动力学特征动力学特征kxF,Fkaxmm令令2kmxtxa222dd作简谐运动的质点所受的合外力与位移成正比作简谐运动的质点所受的合外力与位移成正比且反向。且反向。222d0dxxt或或 速度：速度：加速度：加速度：)sin(dd0tAtxv22220dcos()=dxaAttx位移：位移： 0cos()xAt物体的加速度与位移成正比而方向相反，物物体的加速度与位移成正比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。体的位移按余弦规律变化。 简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系
3、: :42xtvtta 1.1.振幅振幅(A):(A): 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。由初始条件确定由初始条件确定 2.2.周期和频率周期和频率 周期：周期：物体作一次完全振动所经历的时间。物体作一次完全振动所经历的时间。频率：频率：单位时间内物体所作完全振动的次数。单位时间内物体所作完全振动的次数。00cos()cos ()xAtATt2T12T角频率角频率: : 物体在物体在 秒内所作的完全振动的次数。秒内所作的完全振动的次数。2利用上述关系式，得谐振动表达式：利用上述关系式，得谐振动表达式：22T对于弹簧振子，因有对于弹簧振子，因有mk，得，得
4、12,2mkTkm02cosxAtT0cos(2)xAt3.3.相位和初相相位和初相相位相位 ：决定简谐运动状态的物理量。决定简谐运动状态的物理量。)(0t初相位初相位 ：t =0 时的相位。时的相位。0相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。步调上的差异。设有两个同频率的谐振动，表达式分别为设有两个同频率的谐振动，表达式分别为)cos(1011tAx)cos(2022tAx二者的二者的相位差相位差为为20102010()()ttxto2010t 2010t 20cosA10cosAxto a.a.当当 时时, ,称两个振动为称两个振动为同相同
5、相；2 k讨论：讨论：xto b.b.当当 时时, ,称两个振动为称两个振动为反相反相；(21)kxto c.c.当当 时时, ,称第二个振动称第二个振动超前超前第一个振动第一个振动 ；0 d.d.当当 时时, ,称第二个振动称第二个振动落后落后第一个振动第一个振动 。0 xto相位可以用来比较不同物理量变化的步调。相位可以用来比较不同物理量变化的步调。如：简谐振动的位移、速度和加速度如：简谐振动的位移、速度和加速度)cos(0tAxm0m0sin()cos( 2)vvtvt m0m0cos()cos()aatat 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相
6、位比位移的相位超前位比位移的相位超前 。 2存在两个值，可根据存在两个值，可根据0在在到到之间，之间，通常通常00sinvA进行取舍。进行取舍。000arctanvx4.4.常量常量 和和 的确定的确定A0根据初始条件：根据初始条件： 时，时， , , ，得得0 x=x0v v0t0000sin,cosAvAx2020)(vxA一长度等于振幅一长度等于振幅A的矢量的矢量 在纸平面在纸平面A可直观地描述表达可直观地描述表达式中各个物理量。式中各个物理量。 内绕内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。角频率相等，这个矢量称
7、为旋转矢量。振动相位振动相位逆时针方向逆时针方向 M 点在点在 x 轴上投影轴上投影( (P点点) )的坐标：的坐标： 的长度的长度Ar 旋转的角速度旋转的角速度Ar旋转的方向旋转的方向Ar与参考方向与参考方向x的夹角的夹角ArxOM P xA0t振幅振幅A振动圆频率振动圆频率0cos()xAt谐振动位移谐振动位移 M 点在点在 x 轴上投影轴上投影( (P点点) )的运动速度：的运动速度： 0sin()vAt 谐振动速度谐振动速度 两个同频率的简谐运动：两个同频率的简谐运动：相位之差为相位之差为采用旋转矢量直观表示为采用旋转矢量直观表示为xO1A1Df22A)cos(111tAx)cos(2
8、22tAx.)()(1212tt例题例题10-110-1 一物体沿一物体沿x轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12 m, ,周期周期T=2 s。当。当t=0时时, ,物体的位移物体的位移x=0.06 m, ,且向且向x轴正轴正向运动。求向运动。求:(1):(1)简谐振动表达式简谐振动表达式;(2);(2)t =T/4时物体的时物体的位置、速度和加速度位置、速度和加速度;(3);(3)物体从物体从x =- -0.06 m向向x轴负方轴负方向运动，到第一次回到平衡位置所需时间。向运动，到第一次回到平衡位置所需时间。解解: : (1)(1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点, ,谐振
9、动方程写为谐振动方程写为初始条件初始条件：t = 0 s, , x0=0.06 m,可得可得)cos(0tAx其中其中A=0.12 m, ,T=2 s, , 12 sT00.12cos0.0603 0 12cos(t 3) mx.-=据初始条件据初始条件 xO0f若用旋转矢量法求解若用旋转矢量法求解0，根据初始条件可画出，根据初始条件可画出振幅的初始位置，如下图所示。振幅的初始位置，如下图所示。A00sin0vA 得0 3从而可得从而可得0 3 (2) (2) 由由(1)(1)求得的简谐振动表达式得求得的简谐振动表达式得在在t=T/4=0.5 s时，从前面所列的表达式可得时，从前面所列的表达式
10、可得1d0.12sin( 3) m sdxvtt 22d0.12 cos( 3) m sdvatt 110.12 sin( 0.5)m s0.18m s3v0.12cos( 0.5)m0.104m3x 2220.12 cos( 0.5)m s1.03m s3a( (3) 3) 当当x=- -0.06 m时，该时刻设为时，该时刻设为t1 1, ,得得因该时刻速度为负，应舍去因该时刻速度为负，应舍去 ，43s11t设物体在设物体在t2 2时刻第一次回到平衡位置，相位是时刻第一次回到平衡位置，相位是32s83. 12t11cos()32t 124,333t 2332t 因此从因此从x=- -0.06
11、 m处第一次回到平衡位置的时间：处第一次回到平衡位置的时间：解法二：解法二：从从t1 1 时刻到时刻到 t2 2 时刻所对应的相差为时刻所对应的相差为210.83sttt 3252360.83st 1. 1. 单摆单摆mgFColsin根据牛顿第二运动定律可得根据牛顿第二运动定律可得5oq很小时（小于很小时（小于），可取），可取22dsindmgmlt222ddgtl 其中其中2gl动能：动能：势能：势能：以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。系统系统总的机械能：总的机械能：2222011sin ()22KEmvmAt222011cos ()22P
12、EkxkAtKPEEE222220011sin ()cos ()22KPEEEmAtkAt0cos()xAt0sin()vAt 上述结果对任一谐振系统均成立。上述结果对任一谐振系统均成立。考虑到考虑到，系统总能量为，系统总能量为2km212EkA，222200111sin ()d24KTEmAttkAT22200111cos ()d24PTEkAttkAT2KPEEE竖直放置的弹簧振子其势能竖直放置的弹簧振子其势能 中中 已经包含重力势能。已经包含重力势能。 212Ek xP(2)(2)振幅计算振幅计算 体现了能量守恒。体现了能量守恒。2200()Axv212EEEkAKPpEkEEOtOtx
13、221kAE tAxcos 10-0 10-0 教学基本要求教学基本要求 10-1 10-1 谐振动谐振动 10-2 10-2 阻尼振动阻尼振动 10-3 10-3 受迫振动受迫振动 共振共振 10-4 10-4 电磁振荡电磁振荡 10-5 10-5 一维谐振动的合成一维谐振动的合成* *10-6 10-6 二维谐振动的合成二维谐振动的合成* *10-7 10-7 振动的分解振动的分解 频谱频谱* *10-8 10-8 非线性振动与混沌非线性振动与混沌 电路中电压和电流的周期性变化称为电路中电压和电流的周期性变化称为电磁振荡电磁振荡。LCSLC振荡电路振荡电路(1)(1) LC 回路与弹簧振子
14、振动的类比回路与弹簧振子振动的类比(a)0t kmLCQQA(b)4tT(c)2tTAQQI(d)34tT(e) tTAQQ设某一时刻电容器极板上电量为设某一时刻电容器极板上电量为q, ,电路中电流为电路中电流为i，得到得到: :d,diqLtCddqitqLCtq1dd222)cos(00tQqLC 回路自由振荡角频率回路自由振荡角频率LC122TLC12 LC Q0是是电荷振幅电荷振幅，0是是振荡初相振荡初相， 均由初始条件确定。均由初始条件确定。将电量表达式对时间求导，得到电流表达式：将电量表达式对时间求导，得到电流表达式：00QI其中其中 为为电流振幅电流振幅。上述分析结果可知，电量和
15、电流都作简谐振动。上述分析结果可知，电量和电流都作简谐振动。0000dsin()cos()d2qiQtItt 而且电荷和电流的振荡频率相同，而且电荷和电流的振荡频率相同，电流的相位比电荷电流的相位比电荷的相位超前的相位超前2，如下图所示：，如下图所示：to0I0Q将电场和磁场能量相加，并利用将电场和磁场能量相加，并利用 ，得，得LC12设设t 时刻电容器极板上电量为时刻电容器极板上电量为q，相应相应的的电场能量电场能量为为此刻电流为此刻电流为i，则线圈中的则线圈中的磁场能量磁场能量为为2220e0cos ()22QqWtCC22220m01sin ()22LQWLit20em2QWWWC位移位
16、移 x速度速度 v质量质量 m劲度系数劲度系数 k阻力系数阻力系数 g驱动力驱动力 F弹性势能弹性势能 kx2/2动能动能 mv2/2电荷电荷 q电流电流 i电感电感 L电容的倒数电容的倒数 1/C电阻电阻 R电动势电动势 电场能量电场能量 q2/2C磁场能量磁场能量 Li2/2 10-2 10-2 阻尼振动阻尼振动 10-3 10-3 受迫振动受迫振动 共振共振 10-4 10-4 电磁振荡电磁振荡 10-5 10-5 一维谐振动的合成一维谐振动的合成* *10-6 10-6 二维谐振动的合成二维谐振动的合成* *10-7 10-7 振动的分解振动的分解 频谱频谱* *10-8 10-8 非
17、线性振动与混沌非线性振动与混沌设一质点同时参与沿同一方向设一质点同时参与沿同一方向(x 轴轴)的两个独立的的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为同频率的简谐振动，两个振动位移为合位移：合位移：22121220102cos()AAAA A合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。1102200110220sinsintancoscosAAAA1110cos()xAt2220cos()xAt120cos()xxxAt其中其中旋转矢量法旋转矢量法xO10201x2xx22121220102cos()AAAA A矢量沿矢量沿x 轴之投影表征了合运
18、动的规律。轴之投影表征了合运动的规律。A1A2A12AAA1.当两振动同相当两振动同相同相同相叠加，合振幅叠加，合振幅最大最大。21AAA20102 012kk， ， ，tx1x2x讨论：讨论：2. .两振动反相两振动反相反相反相叠加，合振幅叠加，合振幅最小最小。21AAA2010(21)012kk， ， ，O当当A1=A2 时，时，A=0。tx1x2x3.通常情况下，合振幅介于通常情况下，合振幅介于21AA 21AA 之间。之间。和和tx1x2xOO 对合振幅对合振幅A A有决定性影响有决定性影响 2010两个简谐振动合成得两个简谐振动合成得 当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢当两个
19、同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相量法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。变化。x = x1+ x21100cos(),cos()1222xAtxAt12两个简谐振动的频率两个简谐振动的频率12很接近，且很接近，且和和212102 cos() cos()22xAtt合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的动出现时强时弱的拍现象拍现象。单位时间内振幅强弱变化的次数。单位时间内振幅强弱变化
20、的次数。因因或或有有2,21112,21122212112212102 cos() cos()22xAtt01122 cos()o)2c s(tAt10-1 10-1 谐振动谐振动 10-2 10-2 阻尼振动阻尼振动 10-3 10-3 受迫振动受迫振动 共振共振 10-4 10-4 电磁振荡电磁振荡 10-5 10-5 一维谐振动的合成一维谐振动的合成 10-6 10-6 二维谐振动的合成二维谐振动的合成* *10-7 10-7 振动的分解振动的分解 频谱频谱* *10-8 10-8 非线性振动与混沌非线性振动与混沌两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式：两个同频率的相互垂直的分运动位移表
21、达式：消时间参数，得消时间参数，得合运动一般是在合运动一般是在 ( x 向向)、 ( y 向向)范围内的范围内的一个椭圆。一个椭圆。 12A22A110cos()xAt220cos()yAt222201020102212122cos()sin ()xyxyAAA A椭圆的性质椭圆的性质( (方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋 ) )在在 A1 、A2确定之后确定之后, ,主要决定于主要决定于 。2010（1 1） 或或201002ff-=xAAy12（2 2） 2010ff-=xAAy12yxO1A2A1A2AOxy讨论：讨论：222201020102212122cos()sin ()x
22、yx yAAA A1A2AOxy（3 3）2010 2ff-= 1222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy 用旋转矢量描绘振动合成图用旋转矢量描绘振动合成图P. 4 10200 2 3 4 475 4 3 2 l 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小 可看作两频率相等而可看作两频率相等而 随随t 缓慢变化，合运动缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。轨迹将按上页图依次缓慢变化。 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形- -A2yxA1A2O- -A1l 两振动的频率成整数比两振动的频率成整数比t )(122010:3:2 4,0 xy1:2 1:3 2:3几幅典型的李萨如图形几幅典型的李萨如图形02上页上页下页下页返回返回退出退出上页上页下页下页返回返回退出退出
