1、单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-41第三章第三章 能带论基础能带论基础能带的重要意义：能带的重要意义： 能带理论是研究固体电子运动的重要理论基础，是凝聚态物理 中最重要的部分。 固体的导电性质，主要是能带结构决定的，而不是由电子的多 少决定。 能带的概念被推广到固体中光、声的传播。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-42能带理论的发展：能带理论的发展： 1900，Drude建立金属自由电子气体模型，解释金属的电导、 热导；1928，Scommerfeld引入Fermi-Dirac 统计，解释电子 的热容量等。 固体能带理论的建立：19
2、28，F. Bloch应用量子理论研究固体 的电子运动，提出Bloch定理，奠定了现代量子固体物理的基 础。1931，A.H.Wilson依据能带理论，成功地解释了金属、 绝缘体和半导体的差别（定性）。 1964，W.Kohn等建立密度泛函理论，借助计算机，能够定量 计算高分子、纳米材料、介观器件等（精确计算）。 -1998年诺贝尔化学奖单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-43能带理论的出发点：能带理论的出发点：能带理论是一种近似理论，主要有三个假设：1.Born-Oppenheimer绝热近似2.单电子近似3.周期势场近似能带问题简化为“单电子在周期势场”的运动。
3、 能带理论虽然是一个近似的理论，但实际的发展证明，在某些领域（重要的半导体）中是比较好的近似，可以作为精确概括电子运动规律的基础。在另外一些领域（许多金属）中，可以作为半定量的系统理论。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-443.1 3.1 晶体中电子状态的近似处理方法晶体中电子状态的近似处理方法 3.1.1 3.1.1 单电子近似单电子近似 19001900年，特鲁特提出：年，特鲁特提出：金属中的价电子同气体分子类似，形成自由金属中的价电子同气体分子类似，形成自由电子气体，称为金属电子气电子气体，称为金属电子气。 按照特鲁特模型，金属电子气可以用具有确定平均速度和
4、平均自按照特鲁特模型，金属电子气可以用具有确定平均速度和平均自由时间的电子运动来描述。由时间的电子运动来描述。 例如，例如，在外电场作用下，电子气产生漂移运动形成了电流在外电场作用下，电子气产生漂移运动形成了电流；在温度在温度场中，电子气的流动总是伴随着能量场中，电子气的流动总是伴随着能量（热量热量）的传递，从而形成了金的传递，从而形成了金属的热传导现象属的热传导现象。 晶体中电子的能级和波函数是分析电子在晶体中的运动和晶体的许多物理性质的理论基础：单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-45 索末菲（索末菲（A.Sommerfeld）用）用量子理论量子理论对经典的自由
5、电子模型加以改对经典的自由电子模型加以改进，进，定量地解释定量地解释金属金属的许多重要性质，如热容量，热导率，电导率，的许多重要性质，如热容量，热导率，电导率，磁化率等。磁化率等。 没有考虑没有考虑晶体势场的作用晶体势场的作用，不能解释晶体，不能解释晶体为什么区分为导体，半为什么区分为导体，半导体和绝缘体导体和绝缘体。 实际上，实际上，每个电子的运动受其他粒子的影响，而每个粒子的运每个电子的运动受其他粒子的影响，而每个粒子的运动也不是独立的。动也不是独立的。原则上，原则上，应把整个晶体作为研究体系，同时列应把整个晶体作为研究体系，同时列出所有粒子和电子的薛定谔方程，求解。出所有粒子和电子的薛定
6、谔方程，求解。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-46 通常采用单电子近似的方法把多体问题简化为单电子问题，这种近似方法包括两个步骤：（1）绝热近似：（把多体问题转化为一个多电子问题） 原子质量大的多，运动速度小得多，相对电子好像静止不动。 把电子的运动和粒子的运动分开考虑，两者不交换能量。 进一步的研究中，把晶格振动对电子运动的影响作为微扰处理，会 引起电子的跃迁和散射单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-47（2）自洽场的利用：（把多电子问题转化为单电子问题）电子受到的作用随着电子的运动而改变。根据其他电子所处的位置的几率分布，将离子势
7、或其他电子 作用的周期势场对其他电子的位置求平均。可以把电子的运动分开单独处理，认为每个电子是在固定的 粒子势场和其他电子平均势场中运动。该势场具有晶体结构的周期性和晶体结构的微观对称性。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-48 3.1.2 3.1.2 周期势场的形成周期势场的形成单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-493.2 3.2 金属中的自由电子模型金属中的自由电子模型“单电子单电子在在周期势场周期势场”中的运动。中的运动。3.2.1 3.2.1 无限深势阱近似无限深势阱近似-驻波解驻波解 金属内部的自由电子不会逸出体外，因此金属内
8、部的电子能量比金属外部的电子能量低，也即金属中的电子处于有限深势阱中。 假设金属内的势阱是无限深的方势阱，金属是边长为L的立方体。 考虑一维情况：在金属外部在金属外部在金属内部在金属内部，)(0)(r rr rVV势能：0 r Lr0 或x L单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-410金属中的电子可以看作是被关闭在一个箱体中的自由电子金属中的电子可以看作是被关闭在一个箱体中的自由电子金属内部的自由电子不会逸出体外，晶体外和晶体边界处的电子波函数为0.)()()(222r rr rr rEVm0)()(0Lrrr rr r该方程式的一般解为：22,cossin)(mE
9、kkxBkxAx x单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-411. 0sin0)(L0B0)(0kLAxx，得处，；，得处，x xx x.)3 , 2 , 1( ,2,2222nmLnEEnkLn因为A不等于0，所以，相应的波函数为)sin()(xLnAx x式中A为归一化常数。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-412在三维情况下：L Lz zy,y,x,x,0 0z zy,y,x,x, 在金属外部在金属外部L Lz zy,y,x,x,0 0 在金属内部在金属内部或，),(0),(zyxVzyxV),()()(22222222zyxEzy
10、xmr r)()()(),(321zuyuxuzyx势阱内，电子能量和波函数应满足的薛定谔方程为：上式用分离变量法求解，令)(22222222zyxkkkmmkE参数k是自由电子波矢的模，kx,ky,kz是波矢的三个分量。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-413代入，分离变量可得：0)()(0)()(0)()(322322222212212zukdzzudyukdyyudxukdxxudzyx满足三维无限深势阱边界条件可得：)sin()(),sin()(),sin()(332211zkAzuykAyuxkAxuzyx式中，A1,A2,A3是归一化常数。单击此处编辑
11、母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-414电子的波矢分量满足：LnkLnkLnkzzyyxx,)sin()sin()sin(),(zkykxkAzyxzyxnx，ny，nz可取任意的正整数。最终结果为：)(2222222zyxnnnmLE其中A是归一化常数。 晶体中自由电子的本征态波函数和能量均由一组量子数来确定。能量的取值可以是分立的，形成能级。当晶体的线度L很大时，能级成为准连续的。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4153.2.2 3.2.2 周期性边界条件周期性边界条件-行波解行波解 晶体内部的周期性势场不能忽略，假想所研究的晶体是许许多多
12、首尾相连的完全相同的晶体中的一个，每块晶体对应出的运动状态相同。只强调晶体的有限性对内部粒子运动状态的影响。 在周期性边界条件下，不限定波函数在边界上的值，而是要求波函数的性质延续到下一块晶体。),(),(),(),(),(),(zyxLzyxzyxzLyxzyxzyLx单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-416 上面的方程解为行波解：)exp()()exp()()exp()(321zikAxyikAxxikAxzyx1LikLikLikzyxeeezzyyxxnLknLknLk222 利用边界条件和波函数，可以得利用边界条件和波函数，可以得 进而得到波矢的取值，即
13、进而得到波矢的取值，即 能量：能量： mkEmkEmkEzyxzyx2,2,2222222n n为任意整数。为任意整数。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-417 采用周期性边界条件，采用周期性边界条件，（1）L作为晶体的长度远大于晶格常数，kx可看作准连续的。（2）能量是波矢的偶函数。 E（kx）=E（-kx）（3） kx的取值是等间隔的，量子态在kx轴上均匀分布。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4183.2.3 3.2.3 能态密度能态密度 半导体中载流子浓度的计算、固体比热容、电导率、磁导率半导体中载流子浓度的计算、固体比热容、
14、电导率、磁导率的计算都要用到能态密度公式。的计算都要用到能态密度公式。按照周期性边界条件的结果来讨论能态密度。 晶体长度L远大于其晶格常数a，能级间隔和波矢间隔很小，能量和波矢几乎是准连续的值，波矢的取值为等间隔的，先讨论一维情况先讨论一维情况。密度：L/2能量在E-E+dE范围内的量子态数为：222 22222( )xLmLdEdkLmEN EdEdEhE222xkEm22xmdkdEE0( )limEZdZN EEdE 能态密度：单位能量间隔内的量子态数目。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-419三维情况：三维情况：32=()L222222()22xyzkkk
15、kEmm()( )exp()xyzi k x k y k zrAik rAe自由电子波函数能量一个点子占有的“体积”密度33() =28LV能量在E-E+dE范围内的量子态数为：32323/21/23221242()4822( )4(2 )/VmEmLdEk dkEN EdEdEVmEh单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-420 N个电子的基态，是从能量最低的个电子的基态，是从能量最低的 k 态开始，由低到高依次填态开始，由低到高依次填充而得到。充而得到。 在绝对零度时，在绝对零度时，N 个电子对允许态的占据遵从泡利不相容原理，个电子对允许态的占据遵从泡利不相容原理
16、，即每个允许的态上可以容纳两个自旋方向相反的电子。即每个允许的态上可以容纳两个自旋方向相反的电子。 在在 k k 空间中电子占据区域最后形成一个球，空间中电子占据区域最后形成一个球，称为称为费米球。费费米球。费米球的半径米球的半径称为称为费米波矢，费米波矢，用来用来 kF 表示。表示。3.2.4 3.2.4 费米球费米球单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4213.2.4 3.2.4 费米球费米球 k k空间从原点到半径为空间从原点到半径为k kF F的球面之间的量子态数正好等于电子数的球面之间的量子态数正好等于电子数目，则此球称为费米球。目，则此球称为费米球。费米
17、球体积343Fk量子态数3342 ()32()FkNL费米球半径21/33()FNkV费米球表面处的能量称为费米能量22222/33()22FFkNEmmV单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4223.3 3.3 布洛赫定理布洛赫定理 晶体中的电子是在固定粒子的势场和其他电子的平均势场中运动晶体中的电子是在固定粒子的势场和其他电子的平均势场中运动的，电子的势能具有晶体结构的周期性。的，电子的势能具有晶体结构的周期性。一个在周期势场中运动的一个在周期势场中运动的电子应该具有哪些基本特征？电子应该具有哪些基本特征？3.3.1 3.3.1 布洛赫定理的表述布洛赫定理的表述
18、电子的能量E（k）和波函数（x）必须满足薛定谔方程：222( )( )( )( )2kkdV xxE kxm dxK为波矢，表征量子状态的量子数，V(x)是周期函数，( )()V xV xna单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-423满足上两式的薛定谔方程解具有如下特殊形式：( )( )ikxkkxe ux式中uk(x)也是以a为周期的周期函数：( )()kkuxuxna布洛赫函数布洛赫函数 在周期势场中运动的电子，其本征态波函数的形式为一个自由电在周期势场中运动的电子，其本征态波函数的形式为一个自由电子的波函数子的波函数eikx乘上一个具有晶体结构的周期性函数乘上
19、一个具有晶体结构的周期性函数uk(x)。这这反应了反应了晶体中的晶体中的电子既具有公有化的倾向，又受到周期排列的粒子的束缚的电子既具有公有化的倾向，又受到周期排列的粒子的束缚的特点特点。只有在。只有在uk(x)等于常数时，在周期场中运动的电子的波函数才完等于常数时，在周期场中运动的电子的波函数才完全变成自由电子的波函数。全变成自由电子的波函数。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-424布洛赫函数不是周期函数：()()()( )( )ik x aikaikxikakkkkxaeuxae e uxex 对于一个实际晶体，其体积总是有限的，必须考虑边界条件，仍然采用周期性
20、边界条件周期性边界条件。 设一维晶体一维晶体的原胞数为N，线度L=Na,则布洛赫函数满足：()()()( )( )ik x NaikNaikxikNakkkkxNaeuxNaee uxex=1ikNae所以：2,0, 1, 2,.kNall 22=kllNaL边界的影响使波边界的影响使波矢矢k取分立的值。取分立的值。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-425三维情况三维情况( )()V rV rnR势场具有周期性，薛定谔方程，22( )( )( ) ( )2V rrE krm 解，( )( )ik rkreu r其中，u为晶格周期性函数，满足：()( )knku r
21、Ru rRn为晶格平移矢量。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4263.3.2 3.3.2 布洛赫定理的证明布洛赫定理的证明单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-427单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-428单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4293.3.4 3.3.4 布洛赫函数的意义布洛赫函数的意义 电子不再是局域化的，而是扩展于整个晶体之中。 自由电子在空间各点出现的概率相同，但晶体中的电子在原胞不同位置上出现的概率不同。uk(x)eikx 反应电子在每个原子附近的运动情况
22、。 布洛赫函数为一被周期函数uk(x)所调制的平面波， uk(x) 反应了晶格周期势场对电子运动的影响。 晶体中不同原胞各等价位置上电子出现的几率相同。22( )()xxna 反映了晶体中电子的共有化，与自由电子的运动有相似之处。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-430 对于自由电子，波矢为k的状态具有确定的动量k； 对于晶体中的电子，波矢为k的状态并不具有确定的动量，但仍具有类似于动量的性质，通常把k 称为晶体动量或准动量。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4313.4 3.4 克龙尼克克龙尼克- -潘纳模型潘纳模型 周期势场中运动
23、的电子，其波函数一定是布洛赫函数。周期势场中运动的电子，其波函数一定是布洛赫函数。那么它的那么它的许可能级有什么特点呢？许可能级有什么特点呢？ 求解最简单的一维周期势场。求解最简单的一维周期势场。3.4.1 3.4.1 求解求解在-bxc区域内，粒子势能为：00,0( ),0 xcV xVbx 在其他区域，粒子势能为：( )()V xV xna其中n为任意整数。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-432依照布洛赫定理，波函数可以写成，( )( )ikxkkxe ux代入薛定谔方程，即，2222dVEm dx2222()0dmEVdxu(x)满足的方程为，222222
24、()0d udumikEVkudxdx波函数的倒数，=( )ikxikxddueike u xdxdx单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-433在势场突变点，要求波函数及它的导数必须连续，也就是函数u(x)和它的导数必须连续。下面分别不同区域求出u(x)的表达式。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-434单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-435XU(x)的取值与0 x00；当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，动量时，m* *000。 空穴多位于带顶空穴多
25、位于带顶，因为满带顶的电子比较容易受热而激发到导带因为满带顶的电子比较容易受热而激发到导带。( )11()()xxhhdv keEeEdtmm 带顶附近电子的加速度犹如一个具有正电荷带顶附近电子的加速度犹如一个具有正电荷e e、正质量、正质量m mh h的的粒子的的粒子所产生的加速度。所产生的加速度。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-484 当满带顶附近有空穴状态当满带顶附近有空穴状态k k时，整个能带中的电流以及电流在外磁时，整个能带中的电流以及电流在外磁场作用下的变化完全如同一个带正电荷场作用下的变化完全如同一个带正电荷e e，具有正有效质量，具有正有效质量m
26、 mh h和速度和速度v(k)v(k)的粒子，的粒子，我们将这种假想的粒子称为空穴。我们将这种假想的粒子称为空穴。 空穴：空穴：带有正电荷带有正电荷e e，正有效质量，准粒子，代表近满带中所有电，正有效质量，准粒子，代表近满带中所有电子的集体行为。子的集体行为。 空穴不能脱离晶体而单独存在，对于讨论半导体的许多物理性质空穴不能脱离晶体而单独存在，对于讨论半导体的许多物理性质起到很大的作用。起到很大的作用。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4853.6.3 3.6.3 导体、半导体和绝缘体的区别导体、半导体和绝缘体的区别单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题
27、样式2022-6-486 直到能带理论建立以后，直到能带理论建立以后，才对为什么有导体，半导体和绝缘体的才对为什么有导体，半导体和绝缘体的区分提出了理论上的说明。区分提出了理论上的说明。未被电子占据的能带未被电子占据的能带一个能带最多能一个能带最多能容纳容纳2N2N个电子。个电子。能带被电子充满能带被电子充满满带满带空带空带满带中的电子不能起导电作用；导带中的电子能够产生一定的电流。满带中的电子不能起导电作用；导带中的电子能够产生一定的电流。部分被填充的能带部分被填充的能带导带导带单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-487在极低温度下，半导体和绝缘体都属于非导体类型
28、。在极低温度下，半导体和绝缘体都属于非导体类型。 温度升高，温度升高，少数电子被热激发，从满带跳到邻近的空带中，少数电子被热激发，从满带跳到邻近的空带中，形成导带形成导带和近满带，从而具有导电性。这种现象被称为本征导电。和近满带，从而具有导电性。这种现象被称为本征导电。半导体的禁带宽度小，半导体的禁带宽度小，绝缘体的禁带宽度大。绝缘体的禁带宽度大。半导体容易形成本征导电性，半导体容易形成本征导电性，绝缘体很难形成本征导电性。绝缘体很难形成本征导电性。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-488能量较高的满带称作能量较高的满带称作价带价带。它由形成化学键的价电子所占据。
29、它由形成化学键的价电子所占据。满带中缺少电子则形成空穴。满带中缺少电子则形成空穴。满带顶附近的空穴参与的导电满带顶附近的空穴参与的导电-空穴导电空穴导电。导导带带底附近的电子参与的导电底附近的电子参与的导电-电子电子导电导电。相同数目的空穴和电子构成的混合导电相同数目的空穴和电子构成的混合导电-本征导电本征导电。导带中的电子和满带中的空穴导带中的电子和满带中的空穴-载流子载流子。 半导体除了具有本征导电性外还由于存在一定的杂质，而具有半导体除了具有本征导电性外还由于存在一定的杂质，而具有“杂质杂质”导电性能。导电性能。电子填充能带的情况与价电子的多少和实际的能带结构都有关系。电子填充能带的情况
30、与价电子的多少和实际的能带结构都有关系。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4893.7 3.7 实际晶体的能带实际晶体的能带 极值点附近能量的一阶导数为零，能量极值点附近能量的一阶导数为零，能量E E在在k k0 0附近泰勒级数展开可得：附近泰勒级数展开可得： 一般只有一般只有能带顶附近或能带底附近的电子能带顶附近或能带底附近的电子对材料电特性的影响较大，对材料电特性的影响较大，因此，通常情况下，只要讨论能带极值附近因此，通常情况下，只要讨论能带极值附近E E(k)与k的关系就可以了。02000,1( )()() ()()2iijji jijkEE kE kkkk
31、kk k 极值点附近的等能面为椭球面，椭球面的形状决定了有效质量。极值点附近的等能面为椭球面，椭球面的形状决定了有效质量。 实际晶体的能带结构取决于其晶体结构和组成元素，而载流子的有效实际晶体的能带结构取决于其晶体结构和组成元素，而载流子的有效质量则是反映能带结构的重要参量。质量则是反映能带结构的重要参量。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4903.7.1 3.7.1 回旋共振和有效质量回旋共振和有效质量 对于许多半导体已经能够利用回旋共振方法测定导带和价带边附近的对于许多半导体已经能够利用回旋共振方法测定导带和价带边附近的载流子的有效质量。载流子的有效质量。 载
32、流子被加速，并在绕经磁场轴的载流子被加速，并在绕经磁场轴的螺旋轨道上运行，其旋转角频率为：螺旋轨道上运行，其旋转角频率为：*ceBwm 当射频频率等于回旋频率时，垂直当射频频率等于回旋频率时，垂直于经磁场的射频电场的能量被共振吸收。于经磁场的射频电场的能量被共振吸收。 通过测量吸收峰的位置而直接计算有效质量，这就是回旋共振实验。通过测量吸收峰的位置而直接计算有效质量，这就是回旋共振实验。 （等能面为球面）（等能面为球面）单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-491 等能面不为球面时：等能面不为球面时：*2*2*21/2*xyzcxyzmmmweBm m m （） 吸收
33、峰的位置与外加磁场相对等能面椭球主轴的相对取向有关。吸收峰的位置与外加磁场相对等能面椭球主轴的相对取向有关。 如果能带极值不在如果能带极值不在k k空间的原点，并且晶体具有某种对称性，则空间的原点，并且晶体具有某种对称性，则k k空间空间的能量极值点将不止一个，相应的等能面椭球也就不止一个。的能量极值点将不止一个，相应的等能面椭球也就不止一个。 这样不仅交变场吸收峰的位置会随这样不仅交变场吸收峰的位置会随B B的取向而变化，吸收峰的数目也会的取向而变化，吸收峰的数目也会改变。改变。1xxdEvdk 由回旋共振吸收峰的位置与数目随由回旋共振吸收峰的位置与数目随B B变化的实验结果而导出锗的导带结
34、变化的实验结果而导出锗的导带结构。构。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4923.7.2 3.7.2 硅和锗的能带结构硅和锗的能带结构1 1 硅硅和锗和锗的导带结构的导带结构 对于对于N N型型SiSi，磁感应强度相对于晶轴有不同取向时，改变磁场强度可以，磁感应强度相对于晶轴有不同取向时，改变磁场强度可以得到数目不等的吸收峰。得到数目不等的吸收峰。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-493 如果认为如果认为SiSi导带底附近等能面是沿导带底附近等能面是沿100100方向的旋转椭球面，椭球长轴与该方向的旋转椭球面，椭球长轴与该方向重合，方
35、向重合，SiSi导带最小值不在导带最小值不在k k空间原点，空间原点，而在而在100100方向上。方向上。 根据根据SiSi晶体的对称性要求，在与晶体的对称性要求，在与100100等价的其他等价的其他方向上也必须有同样的方向上也必须有同样的能量极值。能量极值。 共有共有6 6个旋转椭球面。个旋转椭球面。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-494 分别取分别取100100,010010,001001为为x x，y y，z z方方向。则三个方向的有效质量有不同取值。向。则三个方向的有效质量有不同取值。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-495
36、 根据上式讨论根据上式讨论B B沿不同方向时上面三种情况对应的有效质量。沿不同方向时上面三种情况对应的有效质量。 （1 1）B B沿沿100100方向，则，方向，则，=1= =0 ，*yzmm m上面三种情况的有效质量分别为：上面三种情况的有效质量分别为：*tltltmmmm mmm m，。 有效质量有两种不同的取值，对应两种不同的回旋频率，有效质量有两种不同的取值，对应两种不同的回旋频率，可以观察到两个吸收峰。可以观察到两个吸收峰。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-496 （2 2）B B沿沿110110方向，则，方向，则，22=1/ 2=0，1*2*2xyzx
37、ym m mmmm 上面三种情况的有效质量分别为：上面三种情况的有效质量分别为：1122*22llttltltltmmmmmmmm mmmmm，。 有效质量有两种不同的取值，对应两种不同的回旋频率，有效质量有两种不同的取值，对应两种不同的回旋频率，可以观察到两个吸收峰。可以观察到两个吸收峰。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-497 （3 3）B B沿沿111111方向，则，方向，则，221= =312*32ltltmmmmm 有效质量有一种取值，对应一种回旋频率，可以观察到一有效质量有一种取值，对应一种回旋频率，可以观察到一个吸收峰。个吸收峰。 （4 4）B B沿
38、任一确定的方向，则沿任一确定的方向，则a a，b b，c c三种情况的有效质量各不三种情况的有效质量各不相同，因此可以观察到三个吸收峰。相同，因此可以观察到三个吸收峰。 SiSi纵向和横向有效质量的实验数据分别为，（纵向和横向有效质量的实验数据分别为，（m m0 0为惯性质量）：为惯性质量）：00=(0.980.04)(0.190.01)ltmmmm，单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-498 类似实验对类似实验对N N型锗进行，锗的导带极值位于型锗进行，锗的导带极值位于方向的边方向的边界上，共有界上，共有8 8个。个。 每个椭球面有半个在第一布里渊区，第一布里渊区
39、内共有每个椭球面有半个在第一布里渊区，第一布里渊区内共有4 4个椭球。个椭球。 GeGe纵向纵向和横向有效质量的实验数据分别为，（和横向有效质量的实验数据分别为，（m m0 0为惯性质量）：为惯性质量）：00=(1.640.03)(0.08190.0003)ltmmmm，单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-499 仅从电子回旋共振实验还不能确定导带极值的确切位置。仅从电子回旋共振实验还不能确定导带极值的确切位置。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-41002 2 硅硅和锗和锗的价带结构的价带结构 但等能面并非球面，而呈但等能面并非球面，而
40、呈“扭曲扭曲”的形状。的形状。价带包含三支，能量关系表示为。价带包含三支，能量关系表示为。 等能面在等能面在k k空间原点附近为球面。空间原点附近为球面。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4101 另外两支在另外两支在k=0k=0处简并，能量表示式为：处简并，能量表示式为：这两支价带相应的有效质量并不一样。这两支价带相应的有效质量并不一样。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4102单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4103 理论和实践相结合得出的理论和实践相结合得出的SiSi，GeGe沿沿和和方向上的能带
41、结构图。方向上的能带结构图。 若半导体材料的导带底与价带顶能若半导体材料的导带底与价带顶能量对应的量对应的波矢相同波矢相同（例如均在布里渊区（例如均在布里渊区的中心），则这种半导体称为直接禁带的中心），则这种半导体称为直接禁带半导体，例如半导体，例如GaAsGaAs，ZnOZnO等。等。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4104下式规律减小单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4105单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-41063.7.3 3.7.3 GaAsGaAs的能带结构图的能带结构图 除了除了族元素半导
42、体族元素半导体GeGe、SiSi外，外，-族化族化合物也是重要的半导体材料，例如合物也是重要的半导体材料，例如GaAsGaAs。 所有所有-族族化合物半导体，都具有闪锌矿化合物半导体，都具有闪锌矿结构，布里渊区同面心立方的一样。结构，布里渊区同面心立方的一样。 导带极小值位于布里渊区中心导带极小值位于布里渊区中心k=0k=0处，等能处，等能面为球面，导带底电子的有效质量为面为球面，导带底电子的有效质量为0.067m0.067m0 0。 在布里渊区边界处各有一个极小值，电子的在布里渊区边界处各有一个极小值，电子的有效质量分别为有效质量分别为0.55m0.55m0 0和和0.85m0.85m0 0
43、。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4107 室温下，导带的三个极小值与价带顶能量差室温下，导带的三个极小值与价带顶能量差分别为分别为1.424eV1.424eV、1.708eV1.708eV和和1.900eV1.900eV。 AsGaAsGa价带具有一个重空穴带，一个轻空穴带价带具有一个重空穴带，一个轻空穴带和由于自旋轨道耦合分裂出来的第三个能带。和由于自旋轨道耦合分裂出来的第三个能带。重空穴的极大值稍微偏离布里渊区的中心。重空穴的极大值稍微偏离布里渊区的中心。 重空穴的有效质量为重空穴的有效质量为0.45m0.45m0 0，轻空穴的有效，轻空穴的有效质量为质量
44、为0.082m0.082m0 0，第三个能带的分裂距离为，第三个能带的分裂距离为0.34eV0.34eV。单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式2022-6-4108 作业：作业：2.2.简述你理解的，在晶体体系中，能级分裂进而出现能带的物理图像及决定性因素是什么。简述你理解的，在晶体体系中，能级分裂进而出现能带的物理图像及决定性因素是什么。 3.3.设一维晶体的电子能带可以写成设一维晶体的电子能带可以写成2271( )coscos288E kkakama其中其中a a为晶格常数，计算为晶格常数，计算（1 1）能带的宽度；（）能带的宽度；（2 2）电子在波矢）电子在波矢k k状态时
45、的速度；（状态时的速度；（3 3）能带底部和能带顶部电子的有效质量）能带底部和能带顶部电子的有效质量 4.4.晶格常数为晶格常数为2.52.5的一维晶格，当外加的一维晶格，当外加10102 2V/mV/m和和10107 7V/mV/m的电场时，试分别估算电子自能带底运动到能带的电场时，试分别估算电子自能带底运动到能带顶所需要的时间。顶所需要的时间。 1.1.已知一维金属晶体共含有已知一维金属晶体共含有N N个电子，晶体长度为个电子，晶体长度为L L。设。设T=0KT=0K，试求：，试求： （1 1）电子的能态密度；（）电子的能态密度；（2 2）证明晶体的费米能级为）证明晶体的费米能级为 。22()4FNEmL
