1、ThemeGallery PowerTemplate国家国家“十二五十二五”规划教材规划教材信号与系统信号与系统 重点重点难点难点差分方程系统的响应差分方程系统的响应零输入和零状态响应的求解零输入和零状态响应的求解一种能够给出差分方程系统更多信息的方法是将差分方一种能够给出差分方程系统更多信息的方法是将差分方程描述的系统的输出序列（或响应序列）分解成程描述的系统的输出序列（或响应序列）分解成两个输出分两个输出分量量的的叠加叠加。其中一个响应分量由系统的初始条件产生；另一。其中一个响应分量由系统的初始条件产生；另一个响应分量则由系统的输入信号序列产生。由系统初始条件个响应分量则由系统的输入信号序
2、列产生。由系统初始条件产生的响应分量一般称之为系统的自然响应，用产生的响应分量一般称之为系统的自然响应，用 表示，表示，而仅由系统输入信号序列产生的响应分量称为系统的强迫响而仅由系统输入信号序列产生的响应分量称为系统的强迫响应，用应，用 表示。如此，差分方程系统的表示。如此，差分方程系统的完全响应或全解完全响应或全解就就为为 （3-8-1）( )ny n( )fyn( )( )( )nfy nynyn3-8-13-8-1自然响应自然响应差分方程系统的自然响应（差分方程系统的自然响应（Natural Response）是系统）是系统输入序列输入序列 时的时的响应响应或者或者输出序列输出序列，它直
3、接给出了，它直接给出了系统中由系统中由非零初始条件非零初始条件（例如系统储能或过去的存储值）（例如系统储能或过去的存储值）所产生的一种耗散过程。由于所产生的一种耗散过程。由于自然响应自然响应假设了零输入的约假设了零输入的约束条件，故其解在形式上与束条件，故其解在形式上与差分方程的齐次解差分方程的齐次解相同相同，而解，而解中包含的待定系数仍然由初始条件确定。显然，自然响应中包含的待定系数仍然由初始条件确定。显然，自然响应与与方程的特解方程的特解无关无关。( )0 x n 3-8-13-8-1自然响应自然响应的自然响应。已知初始条件的自然响应。已知初始条件 例例3-8-1 求一阶递归系统求一阶递归
4、系统1( )(1)( )4y ny nx n( 1)8y 3-8-13-8-1自然响应自然响应 解：解：系统差分方程的系统差分方程的齐次方程齐次方程是是 它的它的特征方程特征方程为为 ，特征根特征根 。 显然，系统的显然，系统的齐次解齐次解 如果方程满足如果方程满足 初始条件初始条件，则必有，则必有 即即 。因此，系统。因此，系统 的的自然响应自然响应为为 1( )(1)04y ny n 1104r 114r 1 111( )4nncy nc rc 111( 1)84cyc 12c 11( )2,14nnny ncn 3-8-2强迫响应强迫响应差分方程系统的差分方程系统的强迫响应（强迫响应（F
5、orced Response）是系统是系统初初始条件为零始条件为零，完全由输入序列，完全由输入序列 产生的响应或者输出序产生的响应或者输出序列。由于强迫响应假设了零初始条件的约束，故其解在形式列。由于强迫响应假设了零初始条件的约束，故其解在形式上就与差分方程的完全解相同。注意，上就与差分方程的完全解相同。注意，初始条件为零初始条件为零是指系是指系统处于统处于零状态零状态，这也就意味着系统中，这也就意味着系统中没有储能或过去的存储没有储能或过去的存储值值。强迫响应直接给出了当系统处于零状态时系统输入序列。强迫响应直接给出了当系统处于零状态时系统输入序列施加的影响。施加的影响。强迫响应与方程的特解
6、紧密相关，它强迫响应与方程的特解紧密相关，它只在只在 时成立时成立。因此，求解处于零状态的离散时间系统的强迫响应就与确定因此，求解处于零状态的离散时间系统的强迫响应就与确定系统的系统的特解或完全解特解或完全解时一样，必须在求待定系数前将系统的时一样，必须在求待定系数前将系统的初始条件初始条件 变换成新的初始条件变换成新的初始条件 。( )x n0n (), ( 1)yNy(0), (1)yy N 3-8-2强迫响应强迫响应例例3-8-2求一阶递归系统求一阶递归系统的强迫响应。已知输入序列的强迫响应。已知输入序列 。1( )(1)( )4y ny nx n( )(1 2)( )nx nu n3-
7、8-2强迫响应强迫响应解：在例解：在例3-20-6中已经求出该系统的中已经求出该系统的全解全解为为 但该例与例但该例与例3-20-6的不同之处在于的不同之处在于初始条件初始条件，这里求，这里求 是通过是通过 将将零状态条件零状态条件 施加于系统，也就是将施加于系统，也就是将 由由 变换到变换到 时刻，即时刻，即 现将现将 代入全解，得到代入全解，得到解出解出 ，因此，系统的强迫响应为，因此，系统的强迫响应为 111( )( )( )2,024nncpy ny nyncn1c1(0)(0)( 1)4yxy( 1)0y ( 1)0y 1n 0n 1(0)(0)014yx(0)1y00111(0)2
8、124yc11c 11( )2,024nnfynn3-8-3线性和时不变性线性和时不变性1、强迫响应对输入呈线性、强迫响应对输入呈线性由差分方程描述的由差分方程描述的LTI离散系统的强迫响应对系统的输离散系统的强迫响应对系统的输入序列呈现线性性质。也就是说，假如入序列呈现线性性质。也就是说，假如 是系统针对是系统针对输入序列输入序列 产生的强迫响应，产生的强迫响应， 是系统针对输入序是系统针对输入序列列 产生的强迫响应，则线性加权组合输入序列产生的强迫响应，则线性加权组合输入序列 作用于系统时将产生线性加权组合的强迫响作用于系统时将产生线性加权组合的强迫响应应 。(1)( )fyn1( )x
9、n(2)( )fyn2( )x n12( )( )x nx n(1)(2)( )( )ffynyn3-8-3线性和时不变性线性和时不变性2、自然响应对初始条件呈线性、自然响应对初始条件呈线性由差分方程描述的由差分方程描述的LTI离散系统的自然响应对系统的初离散系统的自然响应对系统的初始条件呈现线性性质。也就是说，假如始条件呈现线性性质。也就是说，假如 是系统针对是系统针对初始条件初始条件 产生的自然响应，产生的自然响应， 是系统针对输入序列是系统针对输入序列 产生的自然响应，则线性加权组合初始条件产生的自然响应，则线性加权组合初始条件 作用作用于系统时将产生线性加权组合的自然响应于系统时将产生
10、线性加权组合的自然响应 。(1)( )nyn1I(2)( )nyn2I12II(1)(2)( )( )nnynyn3-8-3线性和时不变性线性和时不变性3、强迫响应的时不变性和因果性、强迫响应的时不变性和因果性强迫响应具有时不变特性。这是因为强迫响应要求强迫响应具有时不变特性。这是因为强迫响应要求系统是零状态（初始条件）的，当系统输入序列移位或系统是零状态（初始条件）的，当系统输入序列移位或延迟一个时间，则强迫响应相应地也将移位或延迟同样延迟一个时间，则强迫响应相应地也将移位或延迟同样的时间。可以证明，强迫响应还满足因果性，因为系统的时间。可以证明，强迫响应还满足因果性，因为系统处于零状态时，
11、系统的输出不可能超前于系统的输入序处于零状态时，系统的输出不可能超前于系统的输入序列。列。另一方面，由差分方程描述的另一方面，由差分方程描述的LTI离散系统的完全响离散系统的完全响应却不是时不变的，因为系统的初始条件将产生一个不应却不是时不变的，因为系统的初始条件将产生一个不随输入移位而移位的输出项。随输入移位而移位的输出项。3-8-3线性和时不变性线性和时不变性4、特征根、特征根强迫响应即取决于系统的输入序列，也取决于系统强迫响应即取决于系统的输入序列，也取决于系统特征方程的特征根，因为它既包含差分方程的特解，亦特征方程的特征根，因为它既包含差分方程的特解，亦包含方程的齐次解。而自然响应则完
12、全取决于系统特征包含方程的齐次解。而自然响应则完全取决于系统特征方程的特征根。除此之外，系统的单位样值响应也取决方程的特征根。除此之外，系统的单位样值响应也取决于系统特征方程的特征根，因为它也包含有与自然响应于系统特征方程的特征根，因为它也包含有与自然响应的函数形式相同的项。因此，系统特征方程的特征根能的函数形式相同的项。因此，系统特征方程的特征根能够提供许多关于够提供许多关于LTI系统特性的信息。系统特性的信息。3-8-3线性和时不变性线性和时不变性系统特征方程的特征根对系统的稳定性有重要的影响。系统特征方程的特征根对系统的稳定性有重要的影响。因为系统的因为系统的BIBO稳定性定义要求一个稳
13、定系统对零输入的响稳定性定义要求一个稳定系统对零输入的响应必须在任意初始条件下都是应必须在任意初始条件下都是有界的有界的，这就意味着系统的自，这就意味着系统的自然响应也然响应也必须有界必须有界。而要求自然响应有界，对于离散时间系。而要求自然响应有界，对于离散时间系统，其系统特征方程的特征根必须统，其系统特征方程的特征根必须满足下述条件满足下述条件： （3-8-2）或或 （3-8-3）1,1,2,krkN,1,2,knrkN 3-8-3线性和时不变性线性和时不变性差分方程系统的响应时间也取决于系统的特征根。一差分方程系统的响应时间也取决于系统的特征根。一旦旦自然响应自然响应衰减到零衰减到零，系统
14、的动态特性将仅仅由（与系统，系统的动态特性将仅仅由（与系统输入序列有相同函数形式的）特解所决定。因此，自然响输入序列有相同函数形式的）特解所决定。因此，自然响应描述系统的应描述系统的暂态特性暂态特性，即描述系统由初始状态过渡到只，即描述系统由初始状态过渡到只由输入序列决定的平衡态的由输入序列决定的平衡态的暂态过程暂态过程。由此可见，。由此可见，LTI离散离散时间系统时间系统对对突变的响应突变的响应时间就由系统时间就由系统自然响应自然响应衰减到零时衰减到零时所需要的时间所需要的时间决定，由于离散时间系统的自然响应包含有决定，由于离散时间系统的自然响应包含有形如形如 的项，则，的项，则，LTI离散
15、时间系统对突变的响应时间正比离散时间系统对突变的响应时间正比于于 。knrmaxknr3-8-4 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应信号处理中所涉及的信号处理中所涉及的差分方程差分方程一般是从一般是从 处开始处开始按按离散时刻向前递推离散时刻向前递推求解的，因此需要已知系统输入序列求解的，因此需要已知系统输入序列和输出序列的和输出序列的初始条件初始条件才能求出才能求出 时刻的系统输出响时刻的系统输出响应应 。由式（由式（3-20-4）可知）可知LTI离散系统的离散系统的差分方程差分方程为：为：（3-8-4）方程的初始条件为：方程的初始条件为： 和和 0n 0n( )y n01( )(
16、)()MNkkkky nb x nka y nk ( ),1y nNn 1),(nMnx3-8-4 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应除前面讨论过的系统解的几种分解形式外，式（除前面讨论过的系统解的几种分解形式外，式（3-8-4）的解还可以进一步表示成所谓的的解还可以进一步表示成所谓的零输入响应零输入响应 和和零状态响零状态响应应 的和的形式，即：的和的形式，即：（3-8-5）其中其中零输入零输入响应项响应项 由初始条件（假设存在）单独由初始条件（假设存在）单独作作用用产生；产生；零状态响应零状态响应项项 则是由则是由输入序列输入序列 （假设初始假设初始条件为零条件为零）单独作用所产生。多数情况下）单独作用所产生。多数情况下零输入响应零输入响应项项 可以由系统的齐次方程求出，一般不存在问题；但是可以由系统的齐次方程求出，一般不存在问题；但是零状态零状态响应项响应项 的确定则要复杂的多，本书后续章节还会讨论的确定则要复杂的多，本书后续章节还会讨论。( )ziyn( )zsyn( )( )( )zizsy nynyn( )ziyn( )zsyn( )x n( )ziyn( )zsyn
