1、 第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理大数定律从理论上解决：大数定律从理论上解决：nnAPA )(xE 中心极限定理阐述：独立随机变量之和以正态分中心极限定理阐述：独立随机变量之和以正态分布为极限分布，布为极限分布， 即即 用正态分布作近似计算。用正态分布作近似计算。用样本均值近似代替理论均值问题：用样本均值近似代替理论均值问题：用频率近似代替概率问题：用频率近似代替概率问题：定义定义4.1 若存在常数若存在常数a，使对任给常数使对任给常数 ,有有0 1|lim aPnnn 则称则称随机变量序列随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于a 。)( a n 切比雪切比雪夫夫(C
2、hebyshev) 不等式不等式 设设 的期望的期望E 和和方方差差D 存在，则对任给常数存在，则对任给常数 ，有，有 0 2| DEP 或或2|1DPE 当当n充分大时，充分大时，几乎几乎所有的所有的 都落在都落在a的的 邻域内。邻域内。n )( E只要期望和方差存在，可用上式估计上述事件的概率。只要期望和方差存在，可用上式估计上述事件的概率。证证 （对连续型）（对连续型） 设设),(xf 则则 |)(|ExdxxfEP)1|( Ex21 |22)()(ExdxxfEx dxxfEx)()(122 D 21补例补例（P.113A.2) 有有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的盏电灯，夜晚每盏灯
3、开灯的概率均为概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。估计：同时开。各电灯开、关相互独立。估计：同时开着的灯的数量在着的灯的数量在6800至至7200之间的概率。之间的概率。解解 设设 表示同时开着的灯的数量，表示同时开着的灯的数量，则则)7 . 0,10000(B )3 . 07 . 072006800(100007199680110000kkkkCP ,70007 . 010000 npE 21003 . 07 . 010000 D200|7000|72006800 PP221001200 95. 0 例 设是掷一颗骰子出现的点数，若给定=1，计算 并验证切比雪夫不等式|PE1234561
4、61 61 61 61 61 6P3.52.9ED214.52.522.93PEPPD补例补例:设设 e( ),用用切比雪夫不等式估计切比雪夫不等式估计1241(). 1 4PABCD2,2,1,4,0.5,6 ()XYEXEYDXDYP XY例：由切比雪夫不等式，1/12C定理定理4.1（切比雪夫大数定律）设（切比雪夫大数定律）设 相互独立，相互独立，,21 ，为常数为常数);, 2 , 1(,2cicDEiiii 有有则对任何则对任何, 0 111lim11 niiniinnnP证证 niiniiDnnD12111 ncncn 2112111111ninniiiiiDnPnn 前前n个随机
5、变量的算术平均个随机变量的算术平均由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式21 nc 1 1 11推论推论（伯努利大数定律）设（伯努利大数定律）设 为为n重伯努利试验中重伯努利试验中A发生的次数，发生的次数，An),(APp 则对任给则对任给常数常数 有有, 0 1lim pnnPAn即即 事件事件A的频率的频率依概率依概率收敛于收敛于A的概率。这是用频率的概率。这是用频率近似代替概率的理论依据。近似代替概率的理论依据。证证 设设,0, 1 发生发生次试验中次试验中，第，第发生发生次试验中次试验中第第AiAii 则则, 1)1(, ppDpEiii ,11nnnAnii ,11pnnpnnii 由由定
6、理定理4.1得证。得证。定理定理4.2（辛钦（辛钦Khinchine大数定律）设大数定律）设,21 相互独立且同分布，相互独立且同分布，), 2 , 1( iEi 有有则对任何则对任何, 0 11lim1 niinnP即即 独立同分布随机变量的算术平均依概率收敛于独立同分布随机变量的算术平均依概率收敛于理论均值。理论均值。111lim11 niiniinnnP由由定理定理4.14.2 中心极限定理中心极限定理定理定理4.3（林德伯格列维（林德伯格列维Lindberg-Levy定理）定理）设设随机变量随机变量 相互相互独立独立且且同分布同分布，,21 ), 2 , 1,0(,22 iDEii 则
7、对则对任何实数任何实数 x，有有 xtniindtexnnP21221lim )(x 当当n充分大时，充分大时，,1 nii 令令211, nDDnEEniinii 有有(0,1)nNn（近似）（近似）)(),(21近似近似 nnNnii 注意：注意：不必知道不必知道 的确切分布，只要求独立、同分布。的确切分布，只要求独立、同分布。i 条件还隐含了每个条件还隐含了每个 对总和对总和 的影响不大。的影响不大。i nii1定理的实际意义：定理的实际意义：补例补例（P.113A.3）设一袋味精的重量是随机变量，平设一袋味精的重量是随机变量，平均值均值100克，标准差克，标准差2克。求克。求100袋味
8、精的重量超过袋味精的重量超过10.05公斤的概率。公斤的概率。解解 设设 表示第表示第 袋味精的重量，袋味精的重量，i i可以认为可以认为 是独立同分布的，是独立同分布的，10021, )100, 2 , 1(4,100 iDEii 且且又又设设 表示表示100袋味精的重量，袋味精的重量，1001,ii则10000,E400D，所求概率为：所求概率为：10050 P100501 P10050100001(10050)120F )5 . 2(1 00621. 0 分布分布未知未知(10000,400)()N近似由中心极限定理由中心极限定理,若将若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过个数相加
9、，求误差总和的绝对值超过15的概率的概率.:,(1,2.,1500),iii解 设 表示第 次取整误差( )0,iE2(0.50.5)1( )1212iD15001,:ii记记由由独独立立同同分分布布中中心心极极限限定定理理 近近似似的的有有11500(15000,1500)(0,),1212NN:(15)1(15)PP于是例例1：计算机在进行加法时，每个加数取整数。计算机在进行加法时，每个加数取整数。设所有的取整误差是相互独立的设所有的取整误差是相互独立的,且都在且都在 -0. 5,0.5上服从均匀分布上服从均匀分布.22(1.34)0.18024. 0.5,0.5,:iU则每个 于是015
10、1()1500 /121500 /12P相互独立相互独立,制造制造1200个零件个零件,问总重量大于问总重量大于1202kg的概率是多少？的概率是多少？:,(1,2.,1200),iXii 解 设表示第 个零件重量, 1205. 195. 0)(iXE1200112)95. 005. 1 ()(2iXD12001,:iiXX记记由由独独立立同同分分布布中中心心极极限限定定理理 近近似似的的有有),1 ,1200()120011200, 11200(NNX:(1202)1(1202)P XP X于是补例：补例： 用一机床制造大小相同的零件用一机床制造大小相同的零件,由于随机误差，由于随机误差，每
11、个零件的重量在每个零件的重量在(0.95，1.05)(kg)上均匀分布上均匀分布.设每个零件重量设每个零件重量120212001()1(2)10.97720.0228.1 (0.95,1.05),:iXU则每个于是定理定理4.4（棣莫弗拉普拉斯定理）设（棣莫弗拉普拉斯定理）设 ( , ),B n p则对则对任何实数任何实数 x，有有221lim2txnnpPxedtnpq( )x )(),(近似近似npqnpN 连续型连续型离散型离散型 npqnpanpqnpbbaP 当n充分大时, ( , ),Bnp下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.例（P.11
12、3A.2) 有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。求同时开着的灯的数量在6800至7200之间的概率。(10000,0.7),B： 表示同时开着的灯数，则解,(7000,2100),N由中心极限定理68007200720070006800700021002100P 例例2（P.111）某厂有同型号机器某厂有同型号机器100台，独立工作，台，独立工作，(1):在一段时间内正常工作的概率为在一段时间内正常工作的概率为0.8。求正常工作的机。求正常工作的机器超过器超过85台的概率。台的概率。解解 设设 为为100台中正常工作的台数，台中正常工作的台数，则则 B(1
13、00,0.8),.85 P求求,16,80 DnpqEnp因因由定理由定理4.4得得85185 PP)25. 1(1 1056. 0 )85(1F)48085(1)()16,80(近似N机器正常工作的概率应该提高到多少？(2) 若该厂至少要若该厂至少要85台机器正常工作才不台机器正常工作才不影响生产，欲使不影响生产的概率不低于影响生产，欲使不影响生产的概率不低于95%，问每台，问每台解解 设设 为正常工作的台数，为正常工作的台数，则则 B(100,p ).(100 ,100).Nppq由中心极限定理， 85185PP 1(85)F 85 10010.9510ppq 100850.9510ppq
14、即， 查表得，100851.650.9.10pppq身高在160cm180cm之间的概率是多少？补例补例 设某地成年男子身高设某地成年男子身高 XN (170，102)(单位：单位：cm)，随机抽取随机抽取100名该地男子测量身高。问其中至少有名该地男子测量身高。问其中至少有70人人解解: :设设身高在160cm180cm之间用事件A表示,则180 170160 170( )(160180)1010P APX 设Y 表示身高在160cm180cm之间的人数，则70 68.26(70)11(0.37)0.3557.21.67P Y np=68.26, npq =21.67. 因而近似有Y N(6
15、8.26,21.67),YB(100,0.6826), 2110.6826注：注：充分大时，充分大时，当当计算计算nbaPpnB),( 可用正态分布近似；可用正态分布近似； 当当p很小，很小，np不太大时，可用泊松分布近似。不太大时，可用泊松分布近似。 当当n充分大时，充分大时，,1 nii 令令211, nDDnEEniinii 有有)(),(21近似近似 nnNnii )(),(近近似似npqnpN ),(pnB P.111), 2 , 1(nii 解解 设每辆车装设每辆车装n箱，重量为箱，重量为 ，第，第 箱的重量为箱的重量为i,1 nii 则则.977. 050001nPnii成立的成
16、立的求使求使 独立同分布，且独立同分布，且可以认为可以认为n ,21), 2 , 1(25,50niDEii nDDnEEniinii25,5011 有有由中心极限定理，由中心极限定理， N(50n,25n)5000(5000)PF5000505nn 977. 0 查表得查表得2101000 nn02500005001252 nn解解得得 n98.0199，即最多装即最多装98箱。箱。设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,),(pnBX则则
17、10000,0.017,np其中由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,补例补例(,) ()XN np npq近似某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每人每人每年交每年交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家属公司付给家属1万元万元.2001000010000 XP200 XP2001(200)1(1)npFnpp 1(2.32)0.01. 保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率12,niXXXX设随机变量相互独立 且证证), 2 , 1(,2niXYii 记记)()(2iiXEYE )(iXD ,31 22)()()(iiiYE
18、YEYD .)()(24iiYEXE 补例补例( 1,1)(1, 2, ),in在区间上服从均匀分布试211,inninZXn证当 充分大时 随机变量近似服从,.正态分布 并指出其分布参数14411 ()d2iE Xxx因为,51 23151)( iYD所以所以,454 , 21相互独立相互独立因为因为nXXX ., 21相互独立相互独立所以所以nYYY根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理， niniXZn12 niiY1,454,3 nnN近似服从正态分布近似服从正态分布.454,31 nNZ 近似地服从正态分布近似地服从正态分布故故例例2（综）设一大批产品中一级品率为
19、（综）设一大批产品中一级品率为10%.(1)解解 设设 为为500件中的一级品数，件中的一级品数， 则则 B(500,0.1),50,45,EnpDnpq因由中心极限定理得由中心极限定理得2(1.49)10.86378 (50,45)()N近似(1)现从中任取现从中任取500件件,分别用切比雪夫不等式估计和中心极限定理分别用切比雪夫不等式估计和中心极限定理计算计算:这这500件中一级品比例与件中一级品比例与10%之差的绝对值小于之差的绝对值小于2%的概率的概率;由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式0.10.025010500PP24510.5510 0.10.025010500PP50103 53
20、 5P(2)解解: 设至少应取设至少应取n件件, 为为n件中的一级品数件中的一级品数,则则 B(n,0.1 ).(0.1 ,0.09 ).Nnn由中心极限定理， 210.9515n 0.97515n即， 查表得，1.96864.36.15nn(2)至少应取多少件才能使一级品的比例与至少应取多少件才能使一级品的比例与10%之差的绝对值之差的绝对值小于小于2%的把握大于的把握大于95%？0.10.020.10.02 PPnnn0.10.020.30.3nnPnn(2) 求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解, )400 , 2 , 1( )1
21、(长数长数个学生来参加会议的家个学生来参加会议的家第第记记以以kkXk 练习练习 对于一个学生而言对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个来参加家长会的家长人数是一个随机变量随机变量. 设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名家长、名家长、 2名家长来参加名家长来参加会议的概率分别为会议的概率分别为0.05, 0.8, 0.15. 若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布且服从同一分布.(1) 求参加会议的家长数求参加会议的家长数 X 超过超过450的概率的概率; 的分布律为的分布律为则则kX15. 08
22、 . 005. 0210kkpX, 1 . 1)( kXE易知易知)400, 2 , 1(,19. 0)( kXDk , 4001 kkXX而而根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理， (400 1.1, 4000.19),NX近似服从正态分布450400 1.11(450)1400 0.19F 4501450P XP X 于是1(1.15)0.1357; , )2(议的学生数议的学生数记有一名家长来参加会记有一名家长来参加会以以Y (400,0.8), YB则由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,340P Y 3404000.8(340) 4000.80.2F .
23、9938. 0)5 . 2( (4000.8,4000.80.2)()YN近似李雅普诺夫资料李雅普诺夫资料Aleksandr Mikhailovich LyapunovBorn: 6 Jun. 1857 in Yaroslavl, RussiaDied: 3 Nov. 1918 in Odessa, Russia德莫佛资料德莫佛资料Abraham de Moivre Born: 26 May. 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov. 1754 in London, England拉普拉斯资料拉普拉斯资料Pierre-Simon Laplace Born: 23 Mar. 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, France Died: 5 Mar. 1827 in Paris, France作业作业 P113-1143, 4, 5, 6, 7, 8, 9
