1、2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要.定理定理13.8 ( 极限交换定理极限交换定理 ) 设函数列设函数列nf在在 00( ,)(, )a xx b ( )f x上一致收敛于上一致收敛于 , 且对每个且对每个 n, 0lim( ),nnxxfxalimnna则则和和0lim( ).xxf x均存在且相等均存在且相等即即 00lim lim( )lim lim( ).(1)nnxxnnxxfxfxna0 nf证证 先证先证是收敛数列是收敛数列. 对任意对任意 , 由于由于 一一 致收敛
2、致收敛, 故存在正整数故存在正整数 N, 当当 nN 及任意正整数及任意正整数 p, 对一切对一切00( ,)(, )xa xx b 有有 |( )( )|.nn pfxfx 从而从而0|lim |( )( )|.nn pnn pxxaafxfx nalim,nnaA设设于是由柯西准则可知于是由柯西准则可知是收敛数列是收敛数列,即即0limlim( ),nnxxfxA下面证明下面证明00lim( )lim lim( ).nxxxx nf xfxA注意到注意到|( )|f xA1111|( )( )|( )|NNNNf xfxfxaaA只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定只需证明不等式右
3、边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可的任意正数即可. ，, 因此对任因此对任( )nfx( )f xnaA由于由于一致收敛于一致收敛于收敛于收敛于|( )( )|33nnfxf xaA和和同时成立同时成立. 特别当特别当1nN 时时, 有有, 有有 0(, )x b 0 意意 nN , 存在正数存在正数, 当当 时时, 对任意对任意 0( ,)xa x N11|( )( )|33NNfxf xaA 和和011lim( ),NNxxfxa0 又因为又因为 故存在故存在, 当当00 |xx 时时,也有也有11|( )|.3NNfxa 0,0,xxx 这这样样 当当满满足足时时111|( )
4、| |( )( )|( )|NNNf xAf xfxfxa1|,333NaA 这就证明了这就证明了0lim( ).xxf xA定理指出定理指出: 在一致收敛的条件下在一致收敛的条件下, ( )nfx中关于独中关于独 立变量立变量 x 与与 n 的极限可以交换次序的极限可以交换次序, 即即(1)式成立式成立. ,( )( , )nfxa b类类似似地地 若若在在lim( )nxafx 上一致收敛上一致收敛, 且且存在存在, 则有则有lim lim( )lim lim( );nnnnxaxafxfx( )( , )lim( ),nnxbfxa bfx若若在在上上一一致致收收敛敛, ,且且存存在在
5、则则有有lim lim( )lim lim( ).nnnnxbxbfxfx定理定理13.9 (连续性连续性) 若函数列若函数列 nf在区间在区间 I上一致收上一致收 敛敛, 且每一项都连续且每一项都连续, 则其极限函数则其极限函数 f在在 I 上也连续上也连续. 证证 000.lim( )(),nnxxxIfxfx设为上任一点 由于设为上任一点 由于于于 是由定理是由定理 13.8 知知 0lim( )xxf x也存在也存在, 且且 000lim( )lim()(),nxxnf xfxf x0( ).f xx因因此此在在上上连连续续定理定理13.9可以逆过来用可以逆过来用: 若各项为连续函数的
6、函数若各项为连续函数的函数 列在区间列在区间 I 上其极限函数不连续上其极限函数不连续, 则此函数列在区则此函数列在区 间间 I 上一定不一致收敛上一定不一致收敛. nx( 1,1 例如例如: 函数列函数列 的各项在的各项在 上都是连续的上都是连续的, 但但 其极限函数其极限函数 0,11,( )1,1xf xx 1x 在在时时不不连连nx( 1,1 续续, 所以所以在在 上不一致收敛上不一致收敛.nf , a b定理定理13.10 (可积性可积性) 若函数列若函数列在在上一致收上一致收 敛敛, 且每一项都连续且每一项都连续, 则则 lim( )dlim( )d .(3)bbnnaannfxx
7、fxxnf , a b证证 设设 为函数列为函数列在在上的极限函数上的极限函数. 由定理由定理 f , a b(1,2,)nfn f13.9知知在在上连续上连续, 从而从而与与在在 f , a b上都可积上都可积. 于是于是(3)变为变为lim( )d( )d .(3 )bbnaanfxxf xx , ,na bff因因为为在在上上一一致致收收敛敛于于0 故对于任意故对于任意, 存在存在, , ,NnNxa b当当时时 对对一一切切都都有有|( )( )|.nfxf x 再根据定积分的性质再根据定积分的性质, 当当 时有时有nN( )( )d( )( )dbbbnnaaafxf xxfxf x
8、x( )( ) d(),bnafxf xxba 这就证明了等式这就证明了等式 (3 ). 这个定理指出这个定理指出: 在一致收敛的条件下在一致收敛的条件下, 极限运算与极限运算与积分运算的顺序可以交换积分运算的顺序可以交换. 12,0,211( )22,1,2,.210,1,nnnnnxxnfxnxxnnnxn (其图象如图其图象如图136所示所示).( )nfx0,1显然显然 是是上的上的连续函数列连续函数列, 且对任意且对任意0,1x lim( )0.nnfx, 例例1 设函数设函数136 图图y1nf12n1nn xO0,1sup |( )0|nnxfx 又又( )0,1nfx在在, 因
9、此因此上一致上一致 收敛于收敛于 0 的充要条件是的充要条件是 . 0()nn 10( )d,2nnfxxn 1100( )d( )d0nfxxf xx又因又因故故lim02nnn 1,n 这这样样, ,当当时时的充要条件是的充要条件是. 虽然虽然 ( )nfx( )f x不一致收敛于不一致收敛于, 但定理但定理 13.10 的结论仍的结论仍 ( )nfx( ).f x成立成立. 但当但当 时时, 不一致收敛于不一致收敛于nn 101( )d2nfxx同时同时10( )d0.f xx也也不不收收敛敛于于ddlim( )lim( ).(4)ddnnnnfxfxxx( )nfx( )f x例例1说
10、明当说明当收敛于收敛于时时, 一致收敛性是极一致收敛性是极 限运算与积分运算交换的充分条件限运算与积分运算交换的充分条件, 不是必要条件不是必要条件. nf , a b定理定理13.11(可微性可微性)设设为定义在为定义在上的函数列上的函数列, 0 , xa b nfnf , a b若若为为的收敛点的收敛点, 的每一项在的每一项在nf , a b上有连续的导数上有连续的导数, 且且在在上一致收敛上一致收敛, 则则 0lim(),nnfxA设设gnf , a b证证 为为 在在上极限函数上极限函数, nf , a b下面证明函数列下面证明函数列在区间在区间上收敛上收敛, 且其极限且其极限 函数的
11、导数存在且等于函数的导数存在且等于g. 00( )()( )d .xnnnxfxfxftt,nA 当当时时 右右边边第第一一项项极极限限为为第第二二项项极极限限为为,于是于是 0( )d .xxg ttf 所以上式左边极限存在所以上式左边极限存在, 记为记为0( )lim( )( )d .xnxnf xfxAg tt由由 g 的连续性及微积分学基本定理得的连续性及微积分学基本定理得.fg 这就证明了等式这就证明了等式(4). 由定理条件由定理条件, 对任一对任一 总有总有 , ,xa b0 xnf注注 请注意定理中的条件请注意定理中的条件为为的收敛点的作用的收敛点的作用. , a bnf在定理
12、的条件下在定理的条件下, 还可推出在还可推出在上函数列上函数列一一 致收敛于致收敛于f, 请读者自己证明请读者自己证明. 与前面两个定理一样与前面两个定理一样, 一致收敛是极限运算与求导一致收敛是极限运算与求导 运算交换的充分条件运算交换的充分条件, 而不是必要条件而不是必要条件, 请看下例请看下例. 例例2 函数列函数列 221( )ln(1),1,2,2nfxn xnn与与22( ),1,2,1nnxfxnn x在在0,1上都收敛于上都收敛于0, 由于由于0,11limmax |( )( )|,2nnxfxfx ( )0,1,nfx所所以以导导函函数数列列在在上上不不一一致致收收敛敛 但但
13、有有lim( )0lim( ) .nnnnfxfx 在上述三个定理中在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收我们都可举出函数列不一致收 敛但定理结论成立的例子敛但定理结论成立的例子. 在今后的进一步学习中在今后的进一步学习中 (如实变函数论如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件只有满足一致收敛的条件, 才能才能 保证定理结论的成立保证定理结论的成立. 下面讨论定义在区间下面讨论定义在区间 , a b上函数项级数上函数项级数12( )( )( )(5)nu xuxux的连续性、逐项求积与逐项求导的
14、性质的连续性、逐项求积与逐项求导的性质, 这些性质这些性质可根据函数列的相应性质推出可根据函数列的相应性质推出. 定理定理13.12(极限交换定理、连续性定理极限交换定理、连续性定理) ( )nux 0()Ux 1. 若函数项级数若函数项级数在在一致收敛一致收敛, 且对且对 , 0lim( )nnxxuxa 每个每个, 则有则有 n00lim( )lim( ).nnnxxxxuxuxa (6)( )nux , a b2. 若若区间区间上一致收敛上一致收敛, 且每一项都连且每一项都连 续续, 则其和函数在则其和函数在 , a b上也连续上也连续. , a b0 , xa b 在在上每一项都有连续
15、的导函数上每一项都有连续的导函数, 为为 定理定理13.13 (逐项求积定理逐项求积定理) 若函数项级数若函数项级数( )nux ( )d( )d .(7)bbnnaauxxuxx定理定理13.14 (逐项求导定理逐项求导定理) 若函数项级数若函数项级数( )nux ( )nux ( ) , nu xa b 在在的收敛点的收敛点, 且且上一致收敛上一致收敛, 则则 dd( )( ) .(8)ddnnuxuxxx , a b( )nux上一致收敛上一致收敛, 且每一项且每一项都连续都连续, 则则 在在 定理定理 13.13 和和 13.14 指出指出, 在一致收敛条件下在一致收敛条件下, 逐项逐
16、项 求积或求导后求和等于求和后再求积或求导求积或求导后求和等于求和后再求积或求导. 注注 本节六个定理的意义不只是检验函数列或函数本节六个定理的意义不只是检验函数列或函数 项级数是否满足关系式项级数是否满足关系式(2)(4), (6)(8), 更重要的是更重要的是 根据定理的条件根据定理的条件, 即使没有求出极限函数或和函数即使没有求出极限函数或和函数, 也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和 函数的解析性质函数的解析性质.例例3 设设 2231( )ln(1).1,2,nuxn xnn( )nux 0,1证明函数项级数证明函数项级数在在上一致
17、收敛上一致收敛, 并讨并讨 论和函数在论和函数在0,1上的连续性、可积性与可微性上的连续性、可积性与可微性. ( )nux0,1证证 对每一个对每一个 n, 易见易见为为上的增函数上的增函数, 故故 有有 231( )(1)ln(1),1,2,.nnuxunnn21,ln(1),ttt又又当当时时 有有不不等等式式所所以以2332111( )ln(1),1,2,.nuxnnnnnn21( )nuxn收收敛敛级级数数是是的的优优级级数数, ,因此级数因此级数 ( )nux 0,1在在上一致收敛上一致收敛. ( )nux0,1由于每一个由于每一个在在上连续上连续, 根据定理根据定理13.12与与
18、( )nux ( )S x0,1定理定理13.13知知 的和函数的和函数在在上连上连 续且可积续且可积. 又由又由 222221( ),1,2,(1)2nxxuxnnn xn nxn21( )nuxn即即也也是是的的优优级级数数, ,( )nux 0,1故故 在在 上一致收敛上一致收敛. 由定理由定理13.14, 得知得知( )S x在在0, 1上可微上可微. *例例4 确定函数项级数确定函数项级数 11nnxn 的收敛域并讨论的收敛域并讨论 和函数的连续性和函数的连续性. 解解 首先利用连续性定理首先利用连续性定理(或极限交换定理或极限交换定理)建立一个建立一个 ( )nux , )a b判
19、别法判别法: 若函数项级数若函数项级数的每一项在的每一项在上上 有定义有定义, 且且 ,( )nn ux a(i) 在点在点右连续右连续;( , )xa b ( )nux (ii) 收敛收敛; , (iii) 级数级数( )nu a 发散发散, ( )nux ( , )a b则则在在上不一致收敛上不一致收敛.( )nux ( , )a b理由是理由是, 如果如果在在上一致收敛上一致收敛, 则由则由(i) lim( )( )nnxauxu a , 及极限交换定理得及极限交换定理得 lim( )lim( )( )nnnxaxauxuxu a 与与( )nu a 发散矛盾发散矛盾. 这就证明了上述判
20、别法这就证明了上述判别法. 对函数项级数对函数项级数11nnxn , 用根式判别法求出其收用根式判别法求出其收 11|nnxxxnn ()n 敛域敛域. 因为因为, 所所 | 1x | 1x 以当以当时级数收敛时级数收敛, 时级数发散时级数发散. 而当而当 1x 111nnn 11e0nn级数级数的一般项的一般项, 发发 1x 111nnn 11nn 散散; 当当 时时, 级数级数 的一般项的一般项1( 1)10nnn , 也发散也发散. 因此这个级数的收因此这个级数的收( 1,1). 敛域为敛域为( 1,1) 11( ),nnf xxn 设在设在上上1( )nnuxxn1x 1x 因为因为在
21、在和和处分别为左处分别为左111nnn111nnn 连续和右连续连续和右连续, 而级数而级数和和发发 散散,故根据本例第一段的判别法故根据本例第一段的判别法, 知道知道 11nnxn在在 ( 1,1) 上不一致收敛上不一致收敛. 这说明不能用连续性定理得这说明不能用连续性定理得 ( 1,1) ( 1,1) 出和函数在出和函数在上连续上连续. 是否和函数在是否和函数在上上就不连续了就不连续了? 下面继续讨论下面继续讨论. 0( 1,1)x 01c 0(, )xc c 对对, , 使得使得, 当当 |xc 时时, 有有 11nnxcnn11nncn , 而级数而级数 收敛收敛, 根据根据 11nn
22、xn , c c 优级数判别法优级数判别法, 知知在在上一致收敛上一致收敛, 根据函数项级数连续性定理根据函数项级数连续性定理, 得到和函数得到和函数( )f x在在 , c c ( )f x0(, )xc c 0 x上连续上连续, 于是于是在在连续连续. 由由( 1,1) 11nnxn 在在上的任意性上的任意性, 推得级数推得级数的和函的和函 ( )f x( 1,1) 数数在在上连续上连续. 注注 上述利用开区间的上述利用开区间的“内闭内闭”一致收敛来得出和一致收敛来得出和函数连续性方法是函数项级数中一个典型的解题方函数连续性方法是函数项级数中一个典型的解题方 法法, 请读者关注请读者关注.
23、 复习思考题1. 如何利用一致收敛的性质来判别函数列或函数如何利用一致收敛的性质来判别函数列或函数项级数不一致收敛项级数不一致收敛? (例例4已经给出了一个方法已经给出了一个方法, 其其 他请自行总结）他请自行总结） ,( )nn ux , a b2. 如果对每个如果对每个是区间是区间的单调函数的单调函数,是是 ( )nu a( )nu b否可以根据级数否可以根据级数和和的收敛性的收敛性, 得到得到( )nux , a b函数项级数函数项级数在在上的一致收敛性上的一致收敛性? 3. 请举出函数项级数的例子请举出函数项级数的例子, 说明一致收敛只是说明一致收敛只是可以进行逐项积分和逐项微分运算的充分条件而不可以进行逐项积分和逐项微分运算的充分条件而不是必要条件。是必要条件。
