1、神经网络、模糊控制及专家系统神经网络、模糊控制及专家系统 张严心张严心2015研究生课程研究生课程第二章 模糊控制的数学基础第三章 模糊控制的基础理论第四章 模糊控制系统与模糊控制器第二部分第二部分 模糊控制（模糊控制（1212）第二部分第二部分 模糊控制模糊控制第二章 模糊控制的数学基础（3学时）模糊数学：集合论 模糊子集 模糊集合的特征与运算 关系和关系图 函数与映射2.1 普通集合现代数学的基础2.2 模糊集合模糊数学的基础德Contor康拓提出2.1 普通集合现代数学的基础概念：具有同一本质属性的全体事物的总和，汇成一个确定的整体，叫集合。例：某校全体学生 可以用大写字母表示，如：X,
2、Y 也可以用小写字母表示，如：x,y 集合表示法：列举法规则叙述法定义法：用一条规则来决定某一事物是否属于该集合特征函数法：Zadeh表示法：文氏图法：x绝对隶属于A 集合的术语 元素 属于 论域 全集 空集 2.1 普通集合现代数学的基础集合中的各个事物a是集合A中的一个元素，则所有元素的全体的集合所有集合均为某一集合的子集不包含任何元素A 的一部分元素组成B元素个数是有限或无限的包含 子集 相等 有限集与无限集AB 2.1 普通集合现代数学的基础 集合的运算EAAEABEABEABEBAEABEABEABEBA2.1 普通集合现代数学的基础 集合运算的性质2.1 普通集合现代数学的基础 集
3、合的直积（笛卡儿积）二维空间2.1 普通集合现代数学的基础 集合的映射映射：设有两个非空集合 A和B，若有一个法则 f，使得对于集合A中的每个元素x，按照法则 f 在 B 中有一个确定的元素与之对应，则称此定义在 A 上的法则 f 为集合 A 在 B 中取值的映射，表示为几类映射：满射 单射 双射（一一映射）逆映射称A为映射 f 的定义域，为 f 的值域，BAf)()()(,212121xfxfxxAxx时当既是单射又是满射双射，且由 确定B到A的映射)(xfy 1f2.1 普通集合现代数学的基础 关系 概念：表示集合中元素间的联系特性：自反性对称性传递性例子：三角形的相似关系是对称的2.1
4、普通集合现代数学的基础 关系 表示方法：关系矩阵和关系图关系矩阵关系图010101000111MR1a2a3a4a1b2b3b2.2 模糊集合模糊数学的基础 概念例：“老年人”40岁60岁80岁2.2 模糊集合模糊数学的基础 概念引入模糊集的定义 清晰集合清晰集合 模糊集合模糊集合 1,01,0特征函数特征函数 隶属函数隶属函数 特例特例推广扩展2.2 模糊集合模糊数学的基础 表示方式1.Zadeh表示法EnneeAeeAeeAA)()()(2211EeAeA)(连续有限域:论域2.序偶表示法3.矢量表示法2.2 模糊集合模糊数学的基础 表示方式4.函数描述法0）（x1.0三角形分布x0 x）
5、（x0 x正态分布0.51.0103050100年龄e)(eO思考：用连续有限域的方法表示上述概念0.51.0103050100年龄e)(eY2.2 模糊集合模糊数学的基础术语运算全集空集包含相等),()(eeBABAe，则BA,0)(eAAe，则A记作性质：自反性 对称性 传递性交：并：补：)()(min)()(eeeeBABABABA)()(max)()(eeeeBABABABA)(1)(eeAACAC同理推广到连续有限域2.2 模糊集合模糊数学的基础运算例：设论域,4321xxxxU,BA,是论域 U 上的两个模糊子集43214.07.05.03.0 xxxxA,3218.015.0 x
6、xxB 43216.03.05.07.0 xxxxAC43214.08.015.0 xxxxBA,432107.05.03.0 xxxxBA代数算法1)()()(eeeBABA10EAACC2.2 模糊集合模糊数学的基础运算的性质幂等律：AAAAAA,两极律：EEAA,同一律：AAAEA,交换律：ABBA，ABBA结合律：CBACBA)()(，CBACBA)()(分配律：)()()(CABACBA，)()()(CABACBA吸收律：AABA)(，AABA)(复原律（还原律）：AAAACC)(,)(对偶律：,)(BABA即CCCBABA)(（德摩根律）,)(BABA即CCCBABA)(设ECBA
7、,计算题：32118.02.01.0 xxxA,321208.02.0 xxxA32136.04.00 xxxA试求：321AAAS 和321AAAT 2.2 模糊集合模糊数学的基础截集与基本定理1.00年龄e)(ee)(eAA性质：)()()(BABA，)()()(BABA2.2 模糊集合模糊数学的基础截集与基本定理几个重要定理：1.00年龄e)(ee)(eA)(eA1.00年龄e)(ee)(eA分解定理说明：一个模糊集合A可由一个清晰集族10|A来等价2.2 模糊集合模糊数学的基础截集与基本定理2.2 模糊集合模糊数学的基础截集与基本定理3.扩展定理（扩张原则）yxgAAgxyg)()()
8、()(:)(0)()()(:11)()(yfyfxyfYXfAAf)()(:)(11xgxgBBg)()(:)(11xfxfBBf这个定理将清晰集合论中的数学方法扩展到模糊集合中清晰集合中有映射：)(:XfYXfXA 引导出),(|)(:AxxgyyAgAg 扩张为：)(:AfAfYB 引导出)(|)(:11BxgxBgBg 扩张为：)(:11BfBf2.2 模糊集合模糊数学的基础模糊关系与模糊关系图“妈妈和妹妹很相象”“西湖比太湖更美”模糊关系模糊关系定义：，前元比后元大7,95,91,95,71,71,5R 9,207,205,201,20，9,2085.07,209.05,2095.01
9、,2017,91.05,93.01,98.05,71.01,77.01,55.0R一种取法：2.1.2 模糊集合模糊数学的基础模糊关系与模糊关系图95.0)120(2011),(,1,202yxyxR，92.0),(,5,20yxyxR由此，模糊关系表示法如下：其中1,0),(jiRijyxr 矩阵表示法|,2,1miixX，|,2,1njjyY mnmjmminijiinjnjrrrrrrrrrrrrrrrrR2121222221111211xyxyyxyR0,)(2011)(2另一种取法：2.1.2 模糊集合模糊数学的基础模糊关系与模糊关系图例：设他们可任选外语课有四门，组成集合，并且他们
10、期末考试成绩如下表：张三 英语 80张三 法语 85李四 德语 95王五 日语 65王五 英语 78张三，李四，王五X0065.078.0095.00085.0008.0RM 00000100100085.0RM说明：若R是连续或无限的，则不能用 Fuzzy 关系矩阵和 Fuzzy 关系图表示，但有时可抽出几个离散点用 Fuzzy 矩阵近似处理。2.1.2 模糊集合模糊数学的基础模糊关系与模糊关系图Fuzzy关系矩阵的运算和应用 ijaA 和 ijbB Fuzzy Matrix1“并”2“交”3“补”4 模糊矩阵的 截矩阵5 合成1BAC),(),(min),(yxyxyxBAC ijijij
11、bac23 ijaA，则ijaA 1nmijrR)(，对 1,0，定义nmijrR)(，式中 ijijijrrr0145“”两个模糊矩阵的相乘)()(1,jkijjnlmkiqprRQPFuzzy Matrix nmijpP)(lnjkqQ)(性质I性质II2.1.2 模糊集合模糊数学的基础模糊关系与模糊关系图Fuzzy关系矩阵的运算和应用性质I运算性质：1）幂等律，2）两极律，3）同一律，4）交换律，5）结合律，6）分配律，7）吸收律，8）还原律，9）对偶律10）QR QQR，RQR11）2211,QRQR，则2121QQRR，2121QQRR12）若QR CCQR nmkijZkdefZk
12、krR)()(nmkijZkdefZkkrR)()(13）)()(kZkkZkRQRQ，ZkkZkkRQRQ)()(14）ZkCkCZkkRR)()(，ZkCkCZkkRR)()(2.1.2 模糊集合模糊数学的基础模糊关系与模糊关系图Fuzzy关系矩阵的运算和应用性质II1）QR，1,0，QR2）QRQR)(3）QRQR)(4）ZkkZkkRR)()(ZkRk,但ZkkZkkRR)()(截 矩 阵 性 质例：8.04.03.05.0A，7.03.05.08.0B求：BA BA A BA8.04.05.08.0BA取大 7.03.03.05.0BA取小2.06.07.05.0A 3.07.05.
13、02.0B7.04.05.05.0)7.08.0()5.04.0()3.08.0()8.04.0()7.03.0()5.05.0()3.03.0()8.05.0(BA7.04.05.05.0AB 一般情况下ABBA可以通过运算验证运算性质I的1）-4）截集的性质II的1）-3）2.1.2 模糊集合模糊数学的基础模糊关系与模糊关系图模糊关系图表示法设模糊关系R的矩阵表示为 321yyyR321xxx9.01.00.06.02.05.01.03.04.0用模糊关系图表示为0.40.50.30.20.60.10.90.11x2x3x1y2y3y模糊关系性质及运算、合成同模糊矩阵类似 最大值-最小值合成（max-min composition）2.1.2 模糊集合模糊数学的基础模糊关系与模糊关系图一个计算的例子R父母子0802女01066.01.02.08.0RS祖父祖母父0507母01001.07.05.0S那么孙子、孙女和祖父母的相似程度如何呢？1.01.07.05.0)06.0()7.01.0()1.06.0()5.01.0()02.0()7.08.0()1.02.0()5.08.0(01.07.05.06.01.02.08.0SR合成运算
