1、复习相似三角形岑溪市第一中学 严海葵一、平行线分线段成比例一、平行线分线段成比例定理定理两条直线被一组平行线所截两条直线被一组平行线所截, ,所得的对应线段所得的对应线段的长度的长度_推论推论平行于三角形一边的直线平行于三角形一边的直线, ,截其他两边截其他两边( (或两或两边延长线边延长线) )所得的对应线段所得的对应线段_成比例成比例成比例成比例二、相似三角形二、相似三角形定义定义对应角对应角_,_,对应边的比都对应边的比都_的两个三角的两个三角形叫做相似三角形形叫做相似三角形;_;_的比叫做相似比的比叫做相似比性质性质(1)(1)相似三角形的对应角相等相似三角形的对应角相等, ,对应边的
2、比相对应边的比相等等(2)(2)相似三角形的对应高的比、对应中线的相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比及三角形的周长比比、对应角平分线的比及三角形的周长比都等于都等于_(3)(3)相似三角形的面积比等于相似三角形的面积比等于_相等相等相等相等对应边对应边相似比相似比相似比的平方相似比的平方判定判定(1)(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相平行于三角形一边的直线和其他两边相交交, ,所构成的三角形与所构成的三角形与_相似相似(2)(2)两组角对应两组角对应_的两个三角形相似的两个三角形相似(3)(3)两组对应边的比两组对应边的比_,_,并且相应夹角并且相应夹角_的两个三角形
3、相似的两个三角形相似(4)(4)三组对应边的比三组对应边的比_的两个三角形相似的两个三角形相似(5)(5)如果两个直角三角形的斜边和直角边对应如果两个直角三角形的斜边和直角边对应_，那么这两个直角，那么这两个直角三角形相似。三角形相似。原三角形原三角形相等相等相等相等相等相等相等相等成比例成比例【自我诊断】【自我诊断】( (打打“”或或“”)”)1.1.已知如图已知如图, ,ADEADEABC,ABC,则有则有 ( )( )ADAEDE.BDECBC2.2.相似和位似是两个不同的概念相似和位似是两个不同的概念, ,两者之间不存在任两者之间不存在任何联系何联系. .( )( )3.3.如果两个相
4、似三角形的相似比是如果两个相似三角形的相似比是14,14,那么它们的那么它们的周长比是周长比是14.14.( )( )4.4.如果两个相似三角形的面积比是如果两个相似三角形的面积比是14,14,那么它们的那么它们的周长比是周长比是14.14.( )( )5.5.所有的正方形都相似所有的正方形都相似, ,所有的等边三角形也相似所有的等边三角形也相似. . ( )( )6.6.相似三角形的对应高线、中线、角平分线的比都相似三角形的对应高线、中线、角平分线的比都是相似比是相似比. .( )( )考点一考点一 平行线分线段成比例定理及推论的应用平行线分线段成比例定理及推论的应用【例【例1 1】(201
5、6(2016杭州中考杭州中考) )如图如图, ,已知直线已知直线abc,abc,直直线线m m交直线交直线a,b,ca,b,c于点于点A,B,C,A,B,C,直线直线n n交直线交直线a,b,ca,b,c于点于点D,E,F,D,E,F,若若 则则 = =( () )AB1BC2，DEEF112A . B. C. D.1323B B【母题变式】【母题变式】( (改变问法改变问法) )根据平行线分线段成比例定理根据平行线分线段成比例定理, ,可以得出多组成比例可以得出多组成比例线段线段, ,不改变该例题图形的条件不改变该例题图形的条件, ,你还可以得到哪些对你还可以得到哪些对应的成比例线段应的成比
6、例线段? ?ABDEACDFACDFABDE上上全全：；全全上上BCEFABDEABDEBCEF下下上上：；上上下下BCEFACDFACDFBCEF下下全全：；全全下下ABBC.DEEF上下：上下【题组过关】【题组过关】1.(20171.(2017淮安质检淮安质检) )如图如图, ,l1 1l2 2l3 3, ,直线直线a,ba,b与与l1 1, ,l2 2, ,l3 3分别交于点分别交于点A,B,CA,B,C和点和点D,E,F.D,E,F.若若 ,DE=4,DE=4,则则EFEF的的长是长是( () )AB2BC383203A. B. C.6 D.10A. B. C.6 D.10C C2.(
7、20172.(2017恩施中考恩施中考) )如图如图, ,在在ABCABC中中,DEBC,ADE= ,DEBC,ADE= EFC,ADBD=53,CF=6,EFC,ADBD=53,CF=6,则则DEDE的长为的长为( () ) A.6A.6 B.8B.8 C.10C.10 D.12D.12C C3.(20163.(2016济宁中考济宁中考) )如图如图,ABCDEF,AF,ABCDEF,AF与与BEBE相交于相交于点点G,G,且且AG=2,GD=1,DF=5,AG=2,GD=1,DF=5,那么那么 的值等于的值等于_._.BCCE35考点二考点二 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质命
8、题角度命题角度1:1:相似三角形的判定相似三角形的判定【例【例2 2】(2017(2017枣庄中考枣庄中考) )如图如图, ,ABCABC中中,A=78,A=78, , AB=4,AC=6.AB=4,AC=6.将将ABCABC沿图示中的虚线剪开沿图示中的虚线剪开, ,剪下的阴影剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是三角形与原三角形不相似的是( () )剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( () )C C命题角度命题角度2:2:利用相似三角形性质求周长、面积利用相似三角形性质求周长、面积【例【例3 3】(2017(2017湘潭中考湘潭中考) )如图如图, ,在
9、在ABCABC中中,D,E,D,E分别分别是边是边AB,ACAB,AC的中点的中点, ,则则ADEADE与与ABCABC的面积比的面积比S SADEADESSABCABC=_.=_.1:41:4命题角度命题角度3:3:利用相似三角形性质推理证明利用相似三角形性质推理证明【例【例4 4】(2017(2017株洲中考株洲中考) )如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD的顶点的顶点A A在等腰直角三角形在等腰直角三角形DEFDEF的斜边的斜边EFEF上上,EF,EF与与BCBC交于点交于点G,G,连连接接CF.CF.求证求证:(1):(1)DAEDAEDCF.DCF.(2)(2)ABGABGCF
10、G.CFG.(1)(1)等腰直角三角形等腰直角三角形DEF,DEF,正方形正方形ABCD,ABCD,DE=DF,DC=DA,DE=DF,DC=DA,B=EDF=ADC=90B=EDF=ADC=90,EFD=DEF=45,EFD=DEF=45, ,CDF+ADF=ADE+ADF=90CDF+ADF=ADE+ADF=90, ,CDF=ADE,CDF=ADE,在在DAEDAE与与DCFDCF中中, , DAEDAEDCF.DCF.DADCADECDFDEDF ，(2)(2)由由(1)(1)知知,DFC=DEF=45,DFC=DEF=45, ,EFD=45EFD=45,DFC=45,DFC=45, ,
11、CFG=DFC+DFE=90CFG=DFC+DFE=90, ,CFG=B,CFG=B,又又CGF=AGB,CGF=AGB,ABGABGCFG.CFG.命题角度命题角度4:4:相似三角形的性质与判定的综合应用相似三角形的性质与判定的综合应用【例【例5 5】(2016(2016咸宁中考咸宁中考) )如图如图, ,在在ABCABC中中, ,中线中线BE,CDBE,CD相交于点相交于点O,O,连接连接DE,DE,下列结论下列结论: : ; ; ; ; ; ; . .其中正确的其中正确的个数有个数有( () ) DE1BC2DOECOBS1S2ADOEABOBDOEADES1S3A.1A.1个个 B.2
12、B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个C C【名师点津】【名师点津】1.1.相似三角形常见的相似三角形常见的6 6种基本图形种基本图形2.2.借助相似三角形的性质和判定解决有关边、面积借助相似三角形的性质和判定解决有关边、面积( (周长周长) )问题的方法问题的方法(1)(1)已知三角形相关线段的关系求面积的比已知三角形相关线段的关系求面积的比: :作高是常见的添加辅助线方法作高是常见的添加辅助线方法, ,借助借助“相似三角形对相似三角形对应高的比等于相似比应高的比等于相似比”, ,利用面积关系式列方程求解利用面积关系式列方程求解. .(2)(2)求两边的比值求两边的比值: :通常方法
13、一是分别求出这两边的值通常方法一是分别求出这两边的值, ,二是证明这两边二是证明这两边所在的三角形相似所在的三角形相似, ,运用相似三角形的性质实现线段运用相似三角形的性质实现线段之比的转换之比的转换, ,达到求解的目的达到求解的目的. .在没有已知线段长度的在没有已知线段长度的情况下情况下, ,通常要考虑与特殊角建立联系通常要考虑与特殊角建立联系. . 【题组过关】【题组过关】1.(20171.(2017重庆中考重庆中考A A卷卷) )若若ABCABCDEF,DEF,相似比为相似比为32,32,则对应高的比为则对应高的比为( () )A.32A.32B.35B.35C.94C.94D.49D
14、.49A A2.(20172.(2017杭州中考杭州中考) )如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,BAC=90,BAC=90, , AB=15,AC=20,AB=15,AC=20,点点D D在边在边ACAC上上,AD=5,DEBC,AD=5,DEBC于点于点E,E,连接连接AE,AE,则则ABEABE的面积等于的面积等于_._.【解析】【解析】在在RtRtABCABC中中, ,根据勾股定理得根据勾股定理得BC=25,BC=25,又因为又因为DEBC,C=C,DEBC,C=C,所以所以BACBACDEC,DEC,所以所以 , ,所以所以EC=12,EC=12,所以所以BE=25-12=1
15、3,BE=25-12=13,因为因为ABEABE与与ABCABC同高同高, ,所以所以 S SABCABC= AB= ABAC=150,AC=150,所以所以S SABEABE=150=150 =78. =78.答案答案: :7878ECDCACBCABEABCSBE13SBC25，1213253.(20173.(2017镇江中考镇江中考) )如图如图, ,在在ABCABC中中,AB=6,DEAC,AB=6,DEAC,将将BDEBDE绕点绕点B B顺时针旋转得到顺时针旋转得到BDE,BDE,点点D D的对应的对应点落在边点落在边BCBC上上, ,已知已知BE=5,DC=4,BE=5,DC=4,
16、则则BCBC的长为的长为_._.【解析】【解析】由条件由条件“DEACDEAC”可得可得BDEBDEBAC,BAC,即即有有 由题意可得由题意可得BE=BE=5,BD=BD=BC-DC=BC-BE=BE=5,BD=BD=BC-DC=BC-4,AB=6.4,AB=6.设设BC=x,BC=x,由由, ,可列方程可列方程: : BDBEBABC；x456x，解得解得x=2+ (2- x=2+ (2- 已舍已舍),),故故BCBC的长为的长为2+ .2+ .答案答案: :2+ 2+ 343434344.(20164.(2016福州中考福州中考) )如图如图, ,在在ABCABC中中,AB=AC=1,
17、,AB=AC=1, BC= ,BC= ,在在ACAC边上截取边上截取AD=BC,AD=BC,连接连接BD.BD.(1)(1)通过计算通过计算, ,判断判断ADAD2 2与与ACCDACCD的大小关系的大小关系. .(2)(2)求求ABDABD的度数的度数. .512【解析】【解析】(1)AB=AC=1,BC= ,(1)AB=AC=1,BC= ,AD= ,DC= AD= ,DC= ADAD2 2= ,AC= ,ACCDCD=1=1 ADAD2 2=AC=ACCD.CD.51251251351.225 1 2 53542 3535.22(2)AD=BC,AD(2)AD=BC,AD2 2=AC=ACCD,CD,BCBC2 2=AC=ACCD,CD,即即 又又C=C,C=C,BCDBCDACB.ACB. =1,DBC=A. =1,DBC=A.DB=CB=AD.DB=CB=AD.A=ABD,C=BDC. A=ABD,C=BDC. BCCD.ACBCABBDACCB设设A=x,A=x,则则ABD=x,DBC=x,C=2x.ABD=x,DBC=x,C=2x.A+ABC+C=180A+ABC+C=180, ,x+2x+2x=180 x+2x+2x=180. .解得解得:x=36:x=36.ABD=36.ABD=36. .
