1、常系数线性方程组常系数线性方程组( ),dxAxf tdt,( )An nf tatb 这里系数矩阵 为常数矩阵在上连续的向量函数;一阶常系数线性微分方程组:( )0,f t 若则对应齐线性微分方程组为,(5.33)dxAxdt本节主要讨论(5.33的基解矩阵的求法.常系数线性方程组定义定义,An n设 为常数矩阵 则定义矩阵指数expA为下列矩阵级数的和21exp(5.34)!2!kmkAAAAEAkm0,0! 1.mEAAmAE其中 为单位矩阵为 的 次幂注注1: 矩阵级数(5.34)是收敛的.由于,!kkAAkk而数项级数1!kkAk收敛 .常系数线性方程组注注2: 级数221exp!2
2、!kmkmkAAAAttEAtttkm在t的任何有限区间上是一致收敛的.由于,!kkk kAcA ttckk而数项级数1!kkkAck收敛 .常系数线性方程组(1),.A BABABBAee e若则1(2),(exp)AA对任何矩阵存在,且1(exp)A=exp(-A).(3),T若 是非奇异的 则)(exp) .ATA T-1-1exp(TT常系数线性方程组(1)定理定理9矩阵( )exptAt是(5.33)的基解矩阵,且(0).E证明证明:0,exptAt当时由定义知(0);E又因为( )(exp)tAt23211!2!(1)!mmAAAAtttm22()2!mmAAA EAtttmexp
3、( ),AAtAt( )exptAt故是基解矩阵常系数线性方程组例例1如果A是一个对角矩阵12naaAa.xAx试求出的基解矩阵解解由(5.34)得exp AtE121!naata2122222!naata常系数线性方程组12!mmmmnaatma12na ta ta teee例例221.02xx试求出的基解矩阵解解因为2102A20010200而后面两个矩阵是可交换的常系数线性方程组202 ,02E20100,0000故exp At20exp()02t01exp()00t2200ttee22010100002!tEt2200ttee101t21.01tte常系数线性方程组对n阶矩阵A设1AT
4、JT,.TJJordan其中 为奇异矩阵为矩阵则1.AtJteT e T其中12,nJJJJ12,nJ tJ tJtJ teeee注注1:111.AtJtJte TT eT e由知,也是基解矩阵常系数线性方程组类似第四章4.2.2,寻求,(5.33)xAx形如( ),0,(5.43)tte c c,.c的解 其中常数 和向量 是待定的将(5.43)代入(5.33)得,tte cAe c0,te因上式变为()0,(5.44)EA c常系数线性方程组方程(5.44)有非零解的充要条件是det()0,EA结论结论(5.33)( )tte c微分方程组有非零解的充要条件是,.Ac是矩阵 的特征根 是与
5、 对应的特征向量( )(5.33)tte为解()0,EA c有非零解即例例335.53试求矩阵A=特征值和特征向量解解A的特征值就是特征方程35det()53EA26340的根,1235 ,35 .ii常系数线性方程组11235( ,)Tiuu u对特征根的特征向量满足()EA u1255055uiui解得1,0.ui 21235( ,)Tiv v对特征根的特征向量v满足()EA u1255055vivi解得,0.1iv 常系数线性方程组例例421.14试求矩阵A=特征值和特征向量解解特征方程为21det()14EA26903,因此为两重特征根为求其对应的特征向量考虑方程组()EA c1211
6、011cc解得1,0,1c 3是对应于特征根的特征向量常系数线性方程组(1) 矩阵A具有n个线性无关的特征向量时定理定理101212,;,(),nnv vv 如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量它们相应的特征值为不必互不相同 那么矩阵1212( ),ntttnte v e vevt 是常系数线性微分方程组,(5.33)xAx的一个基解矩阵.常系数线性方程组证明证明: 由上面讨论知,每一个向量函数,1,2,jtje vjn都是(5.33)的解,因此矩阵1212( ),ntttnte v e vev是(5.33)的解矩阵,12,nv vv由于线性无关所以1212det( )det(,)ntttnt
7、e v e vev0( )(5.33).t故是的基解矩阵常系数线性方程组例例535.53xx试求微分方程组的基解矩阵解解由例3知1235 ,35iiA是 的特征值,12121,1ivvi 是对应于的特征向量;由定理10,矩阵1212( ),ttte v e v(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )i ti ti ti teieiee就是一个基解矩阵.常系数线性方程组注注:,( )exp.tAt一般来说不一定是exp( ) ,Att C 但由于有1(0),C 从而1exp( )(0).Att 例6 试求例5的实基解矩阵.解解由于基解矩阵为(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )
8、( )i ti ti ti teietiee故实基解矩阵为exp At 111ii(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )i ti ti ti teieiee常系数线性方程组(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )1112i ti ti ti tieieiiee (3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )()12()i ti ti ti ti ti ti ti teei eei eeee3cos5sin5.sin5cos5tttett常系数线性方程组例7 求方程组5281815331610 xx 的通解.解解A系数矩阵 的特
9、征方程为2det()3 (1)0EA因此特征根为1230,1,1; 它们相的特征向量为1232231 ,1 ,0 ;121vvv 常系数线性方程组故基解矩阵为223( )1012ttttteeteee 故通解为123223( )( )1012ttttteectt ceceec 1211c2212tce330;1tce 常系数线性方程组(2) 矩阵A的特征根有重根时121212,;,;.kkkn nnnnnn 假设n n矩阵A的特征值为相应重数为且由高代知,n维常数列向量所组成的n维空间U的子集|()0jnjjUuUAEu(1,2, ),jUnjk是 的 维不变子空间且12,(5.49)kUUU
10、U下面先寻求(5.33)满足初始条件 (0)= 的解,由(5.49)有12,(5.50)kvvv(1,2, ),jvjkj其中U常系数线性方程组j因子空间U 是方程组()0,(5.48)jnjAEu的解产生的,j从而v 一定是(5.48)的解,由此即得()0,1,2, ,(5.51)ljjjAE vlnjk由于jteexp()jtjeEtjjjttteeeE常系数线性方程组由(5.51)有(exp)(exp)jjAt vAtvexp()jtjeEtjteexp() jAE tjvjte1212()()()2!(1)!jjnnjjjjttEAE tAEAEnjv故(5.33)的解 (t)=(ex
11、pAt) 可表为,(t)=(expAt)=(expAt)1kjjv1(exp)kjjAt v12121()()()2!(1)!jjjnktnjjjjjjtteEAE tAEAEvn故(5.33)满足初始条件 (0)= 的解可写成110( )() ,(5.22)!jjniktijjjitteAEvi常系数线性方程组注注1:,Au当 只有一个特征值时 对任何即有()0,nAEu故expAt=exp()AE tte10(),(5.53)!intijiteAEi注注2:为了从(5.52)求expAt,注意到expAt=(expAt)E=1n(expAt)e ,(expAt)e 其中100010,001
12、 12neee,12n是单位向量,依次令 =e ee 求得n个线性无关的解,以这n个解为列可得到expAt.常系数线性方程组例8 试解初值问题21, (0),14xx并求expAt.解解从例4知,3A 是 的二重特征值,112,nU这时只有一个子空间122n1将及 =代入(5.52)即得3( )(3 )tteEt AE1321 11 1teEt 常系数线性方程组1123212()()ttet利用公式(5.53)即得3exp(3 )tAteEt AE3101 1011 1tet311tttett或者分别令1(1,0)TeT2,e=(0,1) ,然后代入(5.54)即得12expAt=(expAt
13、)e ,(expAt)e 31.1tttett常系数线性方程组例9 如果4100004100004100004100004A试求expAt.解解4A 这里n=5,是 的五重特征值,直接计算可得0,3(A+4E)因此由公式(5.53)可得expAt=-4te2(4 ) AE2tE+t(A+4E)+2!常系数线性方程组-4t=e0000000000000000000011111t010000010000000000000000022!t0010000000000000000000000-4t=e2002000000000000000ttt11111常系数线性方程组例10 求方程组112321331
14、2332,2xxxxxxxxxxx的解 (t),并求expAt.满足初始条件123(0)=解解这里系数矩阵3-11A= 2011-12A的特征方程为02det( E-A)=( -1)( -2)常系数线性方程组特征根为21,2;121,2;nn1分别为重特征值2,;U U1为了确定三维欧几里德空间的子空间由(5.48)我们需要考虑下面方程()0AE u和2(2 )0AEu首先讨论21 1()21 1011 1AE uu这个方程组的解为10,u 为任常数常系数线性方程组U11子空间是由向量u 张成的子空间.其次2000(2 )1100110AEuu 这个方程组的解为2,u 其中为任常数U22子空间
15、是由向量u 张成的子空间1222,vU vUvv11下面找使,即1230 常系数线性方程组解之得110,;vv121121321故方程满足 (0)= 的解为212( )(2 )ttte EveEt AEv20111221 110tteeEt 12112132120()ttteet132121132121321常系数线性方程组为计算expAt,直接令 等于,; 100010001 代入上式得到三个线性无关的解,利用这三个解为列,即得t2t2tt2tt2t2tt2tt2t2t(1+t)eteteexpAt= -e +(1+t)ee -tete-e +ee -ee常系数线性方程组(3) 非齐线性方程
16、的解下面研究非刘线性微分方程组( ),(5.60)xAxf t满足初始条件 (0)= 的解由于(5.60)对应齐次方程组xAx的基解矩阵为( )exp,tAt1( )exp(),tAt且故由常数变易公式,(5.60)满足 (0)= 的解为00( )exp ()exp () ( )tttA ttA tsf s ds常系数线性方程组例10 设35,( )530teAf t( )xAxf t试求方程组满足初始条件0(0)1 的解.解解由例6知3cos5sin5exp,sin5cos5tttAtett故初值问题的解为常系数线性方程组3cos5sin50( )sin5cos51ttttett 3()0c
17、os5()sin5()sin5()cos5()0stt ststseedststs3sin5cos5ttet340cos5 cos5sin5 sin5sin5 cos5cos5 sin5ttststseedststs4344cos546sin541.4146cos54sin55ttttteette常系数线性方程组三三 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用(1)定义设f(t)为n维函数列向量,定义其拉普拉斯变换为0 ( )( ),stL f tef t dt( ),xAxf t,( )An nf tatb 这里 为矩阵在上连续.常系数线性微分方程组:1用拉普拉斯变换解微分方程常系数线性方程组(2
18、)定理12如果对向量函数f(t),存在常数M0及 0,使不等式( ), (5.62)tf tMe,t对所有充分大的 成立 则初值问题( ),(0);xAxf tx( )( ),( )(5.62)ttf t的解及其导数均像一样满足类似的不等式,从而它们的拉普拉斯变换都存在.常系数线性方程组(3) 推论如果对数值函数f(t),存在常数M0及 0,使不等式( ),tf tMe,t对所有充分大的 成立 则常系数线性微分方程的初值问题111( )nnnnnd xdxaa xf tdtdt)1(0)1()1(00)0(,)0(,)0(nnxxxxxx的解及其直到n阶导数均存在拉普拉斯变换.常系数线性方程组
19、例11 利用拉普拉斯变换求解例10.解解将方程写成分量形式,即11235txxxe21253xxx 12(0)0,(0)11122( )( ),( )( )X sLtXsLt令1122( ),( )xtxtLaplace以代入方程组后对方程施行变换得1121( )3( )5( )1sX sX sXss212( ) 15( )3( )sXsX sXs 常系数线性方程组121(3)( )5( )1sX sXss125( )(3)( )1X ssXs由此解得122221351( )446441(3)5(3)51sX ssss222221351( )464541(3)5(3)51sXssss故3411
20、( )(4cos546sin54)41tttette3421( )(46cos54sin55)41tttette即常系数线性方程组例12 试求方程组1122122,4xxxxxx 并求出它的基解矩阵.满足初始条件112(0)1( ),( ),tt2(0)=0,的解解解1122( )( ),( )( )X sLtXsLt令1122( ),( )xtxt假设满足微分方程组,对方程组取拉普拉斯变换得1112( )(0)2( )( )sX sX sXs2212( )(0)( )4( )sXsX sXs 常系数线性方程组即121(2)( )( )(0)0sX sXs122( )(4)( )(0)1X s
21、sXs解得121( ),(3)X ss2211( )(3)(3)Xsss故31( ),ttte332( )tttete3(1)tt e常系数线性方程组例12 试求方程组1122112220,22txxxxxxxe 满足初始条件1112(0)0( ),( ).tt2(0)=3, (0)=2,的解解解1122( )( ),( )( )X sLtXsLt令1122( ),( )xtxt以代入方程组后对方程施行拉普拉斯变换得21122( )322( )3( )2( )0s X sssX ssXsXs1122( )32( )( )1sX sX ssXss常系数线性方程组整理后得212(2 )( )(2)
22、( )34ss X ssXss1231(2)( )( )1ssX ssXss解得1111( )112X ssss211( )11Xsss再取反变换得21( ),tttteee2( ).tttee常系数线性方程组2 用拉普拉斯变换求基解矩阵,(5.33)xAx对常系数齐线性微分方程组设 (t)是(5.33)满足 (0)= 的解,( ) ( ),X sLt令则(sE-A)X(s)= , (5.63)当det(sE-A)0时,由Grammer法则(5.63)可唯一解出X(s),从而可解出 (t),( ),( ),( );( ).tttt12n12n依次令 =e ee 即可得基本解组它们可构成基解矩阵
23、常系数线性方程组例12 试构造方程组xAx的一个基解矩阵,其中311201 .112A解解对方程两边施行拉普拉斯变换得( ),AX ssX(s)即(sE-A)X(s)= ,也即112233( )( ),( )X sXsXss-31-1-2s-1-11s-2常系数线性方程组由克莱姆法则,有12312(1)( )(2)sX ss212222(21)(55)(1)( )(1)(2)ssssXsss12333( )(1)(2)(2)Xssss1,0,0,123令可得122(1)11( )(2)(2)(2)sX ssss22223111( )(1)(2)12(2)sXssssss3111( )(1)(2)12Xsssss常系数线性方程组222( )(1),( )(1),ttttttt ex tt ee xee123故x从而2212(1)( )(1),tttttt ett eeee0,1,0,123其次令得2222( ),tttttteteteee0,0,1,123最后令得2232( ),ttttettee常系数线性方程组故基解矩阵123( )( ),( ),( )tttt222222222(1)(1)tttttttttttttt etetet eeeteteeeeee且(0).E常系数线性方程组 P236 2,3(a),4(b),5(a),6(a),8,10(a)
