1、 第二章第二章 数控编程中的数值计算数控编程中的数值计算 2.1 平面轮廓切削点的计算平面轮廓切削点的计算2.2 平面轮廓刀具中心位置的计算平面轮廓刀具中心位置的计算2.3 空间曲线曲面加工的数值计算空间曲线曲面加工的数值计算 数控加工编程中的数值计算主要包括：数控加工编程中的数值计算主要包括：零件轮廓中几何元素的基点零件轮廓中几何元素的基点插补线段的节点插补线段的节点刀具中心位置刀具中心位置辅助计算等内容辅助计算等内容 基基 点点 构成零件轮廓的各相邻几何元素之间的交构成零件轮廓的各相邻几何元素之间的交点或切点。点或切点。 节节 点点 在满足容差要求条件下用若干插补线段（如在满足容差要求条件
2、下用若干插补线段（如微小直线段或微小圆弧段等）去逼近实际轮微小直线段或微小圆弧段等）去逼近实际轮廓曲线时，相邻两插补线段的交点。廓曲线时，相邻两插补线段的交点。基点和节点统称为基点和节点统称为切削点切削点，即刀具切削部位，即刀具切削部位必须切到的点。必须切到的点。 刀具中心位置刀具中心位置 是刀具相对于每个切削点刀具是刀具相对于每个切削点刀具端部中心端部中心所处的位置。所处的位置。辅助计算辅助计算 1）增量计算）增量计算2）脉冲数计算）脉冲数计算3）辅助程序段的数值计算）辅助程序段的数值计算 1）增量计算）增量计算 对于要求增量输入的控制系统，每一切削点的对于要求增量输入的控制系统，每一切削点
3、的坐标都是相应于前一切削点位置的改变量，在坐标都是相应于前一切削点位置的改变量，在编写加工程序时，要计算出后一切削点相对于编写加工程序时，要计算出后一切削点相对于当前切削点位置坐标的增量值。当前切削点位置坐标的增量值。2）脉冲数计算）脉冲数计算数值计算是以毫米为量纲的公制计算，数据以数值计算是以毫米为量纲的公制计算，数据以浮点数的形式给出。浮点数的形式给出。数值计算以脉冲数为量纲的脉冲数计算，应将数值计算以脉冲数为量纲的脉冲数计算，应将数值计算得到的切削点的数据，按数控机床固数值计算得到的切削点的数据，按数控机床固有的有的脉冲当量脉冲当量（每输出一个脉冲后滑板的移动量称每输出一个脉冲后滑板的移
4、动量称为脉冲当量为脉冲当量）换算成脉冲数。换算成脉冲数。 3）辅助程序段的数值计算）辅助程序段的数值计算 加工程序中刀具的加工程序中刀具的起始位置起始位置、下刀位置下刀位置、上刀上刀位置位置以及轮廓切削完毕后的以及轮廓切削完毕后的退刀位置退刀位置等程序段，等程序段，均属辅助程序段，在编写程序单之前，辅助程均属辅助程序段，在编写程序单之前，辅助程序段的刀具位置也应预先确定。序段的刀具位置也应预先确定。2.1 平面轮廓切削点的计算平面轮廓切削点的计算 基点的计算基点的计算节点节点的计算的计算一零件轮廓如图一零件轮廓如图2-1所示，其中所示，其中A、B、C、D、E、F为基点，为基点， A、B、C、D
5、可直接由图中所设工件坐标系中得知，而可直接由图中所设工件坐标系中得知，而E点是直线点是直线DE与与EF的交点，的交点，F是直线是直线EF与圆弧与圆弧AF的切点。分析可知，的切点。分析可知，OF与与X轴的夹角为轴的夹角为30，EF与与X轴夹角为轴夹角为120，则，则 F FX X = 20 cos30 = 20 cos30=17.321 F=17.321 FY Y = 20 sin30 = 20 sin30= 10= 1060tgExFxFyEy774560tgFyEyFxEx二、二、 节点的计算节点的计算若零件轮廓不是直线和圆弧组合而成，则要用直线若零件轮廓不是直线和圆弧组合而成，则要用直线段
6、或圆弧段去逼近轮廓曲线，故要进行相应的节点段或圆弧段去逼近轮廓曲线，故要进行相应的节点计算。计算。节点计算的方法很多，一般可根据轮廓曲线的特性、节点计算的方法很多，一般可根据轮廓曲线的特性、数控系统的插补功能及加工要求的精度而定。一般数控系统的插补功能及加工要求的精度而定。一般有三种方法，即有三种方法，即切线逼近法、弦线逼近法和割线逼切线逼近法、弦线逼近法和割线逼近法等。近法等。几种常用插补方法中节点坐标的计算：几种常用插补方法中节点坐标的计算： 直线插补圆弧直线插补圆弧等步长插补法等步长插补法等误差插补法等误差插补法圆弧插补法圆弧插补法 1. 直线插补圆弧直线插补圆弧在只有直线控制功能的数控
7、系统中，加工圆弧要靠在只有直线控制功能的数控系统中，加工圆弧要靠微小直线段插补来实现。直线插补圆弧是用微小直微小直线段插补来实现。直线插补圆弧是用微小直线段作弦或切线去逼近圆弧。线段作弦或切线去逼近圆弧。如一圆弧如一圆弧AB的半径为的半径为R，起始角为，起始角为，终止角为，终止角为，圆心位于（圆心位于（x0，y0），若插补容差为），若插补容差为，则插补节，则插补节点的计算步骤如下：点的计算步骤如下： 1）求插补线段所对应的圆心角）求插补线段所对应的圆心角 2）求插补节点数）求插补节点数 n取取 截去小数部分的整数值。截去小数部分的整数值。RRarccos2n3）求插补节点坐标）求插补节点坐标
8、xi = x0 + R cos（ i） yi = y0 + R sin（ i） 式中，式中，i = 1，2，n ；沿逆时针方向插补圆弧；沿逆时针方向插补圆弧时取时取“+”号、沿顺时针方向插补圆弧时取号、沿顺时针方向插补圆弧时取“-”号。号。 等步长是指等步长是指插补的微小直线段长度相等插补的微小直线段长度相等，而插补，而插补误差则不一定相同。计算插补节点时，必须使产误差则不一定相同。计算插补节点时，必须使产生的最大插补误差生的最大插补误差max小于或等于容许的插补误差小于或等于容许的插补误差，以满足加工精度的要求。图示为一段轮廓曲线。，以满足加工精度的要求。图示为一段轮廓曲线。设曲线方程为设曲
9、线方程为 y = f（x），则等步长插补节点的计），则等步长插补节点的计算步骤为：算步骤为： 2等步长插补法等步长插补法1）求曲线段的最小曲率半径）求曲线段的最小曲率半径Rmin 最大插补误差最大插补误差max必在最小曲率半径必在最小曲率半径Rmin处产生，已知曲线曲率半径为：处产生，已知曲线曲率半径为： （2-1）欲求最小曲率半径，应将式（欲求最小曲率半径，应将式（2-1）对）对x求一阶导数，即求一阶导数，即 令令dR / dx = 0，得，得 （2-2） 由此可求出最小曲率半径处的由此可求出最小曲率半径处的x值。将此值代入式值。将此值代入式(2-1)，可得，可得Rmin 。yyR 2321
10、222223113yyyyyydxdR 01322 yyyy 2）求插补步长求插补步长 在三角形在三角形ofg中，有中，有取取max =（一般取零件公差的（一般取零件公差的1/51/10），）， R = Rmin ，则插补步长，则插补步长为为 h 8Rmin222max)(2 RRh 3）求插补节点插补节点 步长步长确定之后，以曲线的起点确定之后，以曲线的起点a（x0，y0）为圆心，步长）为圆心，步长为半径作圆，该圆与曲线的交点为半径作圆，该圆与曲线的交点b，即为第一个插补节点。，即为第一个插补节点。即联立方程即联立方程 y = f（x） （x x0）2 + （y y0）2 = 8 Rmin
11、的解（的解（x1，y1），即为），即为b的坐标。再以的坐标。再以b点为圆心，重复点为圆心，重复3），），即可求得下一插补节点。依此类推，可求得即可求得下一插补节点。依此类推，可求得y = f（x）的全）的全部插补节点。部插补节点。例例 一轮廓曲线方程为一轮廓曲线方程为x2 = 4ay起点为（起点为（0，0）。则）。则 y= x / 2a y= 1 / 2a = 0 代入式（代入式（2-2）: 3 ( y）2y- 1+（y）2 = 0 ，再将所的结果再将所的结果x = 0 代入式（代入式（2-1） R = 1+（y）2 3/2 / y 可得可得 Rmin = 2a ，将将Rmin代入式（代入式（
12、2-3），得），得 16a 最后由式（最后由式（2-4）解联立方程：）解联立方程： y y x2 = 4 a 4 a y x 2 + y 2 = 16 a16 a 即可得第一个插补节点。重复步骤即可得第一个插补节点。重复步骤3 3），可求得其余插），可求得其余插补节点。补节点。等步长插补法，计算过程比较简单，但因步长取决于最等步长插补法，计算过程比较简单，但因步长取决于最小曲率半径，致使曲率半径较大处的节点过多过密，所小曲率半径，致使曲率半径较大处的节点过多过密，所以等步长插补法只对于曲率半径变化不是太大的的曲线以等步长插补法只对于曲率半径变化不是太大的的曲线加工较为有利。加工较为有利。 等误
13、差法可使各插补直线段的插补误差小于或等误差法可使各插补直线段的插补误差小于或等于容许的插补误差，其插补线段或长或短。等于容许的插补误差，其插补线段或长或短。该插补法适用于轮廓曲率变化比较大、形状比该插补法适用于轮廓曲率变化比较大、形状比较复杂的工件，是插补节点最少的方法。如图较复杂的工件，是插补节点最少的方法。如图2-42-4所示，设轮廓曲线方程为所示，设轮廓曲线方程为y = f（x），插补），插补容差为容差为，则等误差法插补节点的计算步骤为：，则等误差法插补节点的计算步骤为： 3. 等误差插补法等误差插补法1）以曲线起点（以曲线起点（x0 ，y0）为圆心，）为圆心，为半径作圆，圆方程为为半径
14、作圆，圆方程为 （x x0）2 + （y y0）2 = 2 2）作该圆与轮廓曲线作该圆与轮廓曲线y = f（x）的公切线，得到两切点（）的公切线，得到两切点（0 ，0），（），（1 ，1），满足下列联立方程：），满足下列联立方程： 对曲线对圆：对曲线对圆： 对圆：对圆：式中，式中，y = F（x）表示圆方程。由此可求得公切线得斜率）表示圆方程。由此可求得公切线得斜率k00010101101011)()()()( FFff0101 k3）过（）过（x0 ，y0）点作公切线的平行线）点作公切线的平行线y y0 = k（x x0）4）将平行线方程与轮廓曲线方程联立，可求得第一）将平行线方程与轮廓曲线
15、方程联立，可求得第一个节点坐标（个节点坐标（x1 ，y1）。）。 y = f（x） y y0 = k（x x0） 依此类推，再以（依此类推，再以（x1 ，y1）点为圆心重复上述步骤，）点为圆心重复上述步骤，可求其余插补节点。可求其余插补节点。用圆弧段逼近轮廓曲线用圆弧段逼近轮廓曲线设轮廓曲线方程为设轮廓曲线方程为y y = = f f（x x），插补容差为），插补容差为，圆弧插补节，圆弧插补节点的计算步骤如下：点的计算步骤如下： 4圆弧插补法圆弧插补法1）求曲线起点（）求曲线起点（x1 ，y1）处的曲率半径）处的曲率半径R1 2）求（）求（x1 ，y1）处的曲率圆的圆心坐标（）处的曲率圆的圆心
16、坐标（1 ，1） yyR 23211yyyx 2111 yyy 2111 3）以（以（1 ，1）为圆心，）为圆心，R1为半径的圆弧与曲线为半径的圆弧与曲线y = f（x）交点（）交点（x2 ，y2），即插补节点。解联立方程），即插补节点。解联立方程 y = f（x） （x 1）2 + （y 1）2 = （R1）2 式中，式中，当轮廓曲线的曲率半径递增时，取当轮廓曲线的曲率半径递增时，取R1+为半径；为半径；当当轮廓曲线的轮廓曲线的曲率半径曲率半径递减时，取递减时，取R R1 1 - -半径。半径。解上述联立解上述联立方程得到的（方程得到的（x x ，y y），即为圆弧与曲线的交点（），即为圆弧
17、与曲线的交点（x x2 ，y y2）。曲线）。曲线y y = = f f（x x）在（）在（x x1 ，y y1）和（）和（x x2 ，y y2）两节点）两节点间的线段是以此为起、终点的圆弧替代的。间的线段是以此为起、终点的圆弧替代的。4）插补圆弧的圆心（）插补圆弧的圆心（1 ，1） 插补圆弧的圆心是这样求得的：分别以（插补圆弧的圆心是这样求得的：分别以（x1 ，y1）和（）和（x2 ，y2）为圆心，以）为圆心，以R1为半径作两段相交的圆弧，两圆弧的交为半径作两段相交的圆弧，两圆弧的交点即为所求的圆心。故须解下列联立方程：点即为所求的圆心。故须解下列联立方程： （x x1）2 + (y y1）
18、2 = R12 （x x2）2 + (y y2）2 = R12 求得的求得的(x,y)(x,y)即为插补圆弧段的圆心（即为插补圆弧段的圆心（1 ，1） 。重复上述过程，再从（重复上述过程，再从（x x2 ，y y2）处开始，可求得曲线）处开始，可求得曲线y y = = f f（x x）在（）在（x x2 ，y y2）处的曲率半径）处的曲率半径R R2 和曲率圆圆心（和曲率圆圆心（2 ，2）及插补圆弧段的圆心（）及插补圆弧段的圆心（2 ，2）。依此类推，可完）。依此类推，可完成全部插补节点、插补圆弧半径及插补圆弧圆心的计算。成全部插补节点、插补圆弧半径及插补圆弧圆心的计算。 2.22.2平面轮廓
19、刀具中心位置的计算平面轮廓刀具中心位置的计算 机床数控系统在控制刀具进行切削加工时，是按刀具端部机床数控系统在控制刀具进行切削加工时，是按刀具端部中心在坐标系中的位置进行控制的。显然刀具中心不能落中心在坐标系中的位置进行控制的。显然刀具中心不能落在切削点上，因为刀具都有一定的尺寸，要使刀具的切削在切削点上，因为刀具都有一定的尺寸，要使刀具的切削表面始终相切地削过工件轮廓的切削点，表面始终相切地削过工件轮廓的切削点，要使刀刃始终相要使刀刃始终相切地削过轮廓的切削点，必须对刀具中心进行相应的偏置，切地削过轮廓的切削点，必须对刀具中心进行相应的偏置，即要使刀心沿轮廓切削点处的法线方向，偏置一个刀具半
20、即要使刀心沿轮廓切削点处的法线方向，偏置一个刀具半径的位置。这种相应于切削点的径的位置。这种相应于切削点的刀具中心位置刀具中心位置的偏置的偏置又称又称刀刀具半径具半径补补偿或偿或刀刀具半径具半径偏偏移。移。在平面轮廓加工中，常用立铣刀，设刀具半径为在平面轮廓加工中，常用立铣刀，设刀具半径为R R，若切削，若切削点点P P 的坐标为（的坐标为（x xp p ，y yp p），轮廓切削点），轮廓切削点 P P 处的单位法矢为处的单位法矢为 n n（n n x x ，n n y y ），则相应与切削点的刀具中心位置为：），则相应与切削点的刀具中心位置为：x刀刀 = xp + R n xy刀刀 = y
21、p + R n y 由此可见，刀具一经选定，只要求出各轮廓切削点处的单位由此可见，刀具一经选定，只要求出各轮廓切削点处的单位法矢，就可算出相应于该切削点的刀具中心的偏置位置，从法矢，就可算出相应于该切削点的刀具中心的偏置位置，从而求得刀具中心规迹。这里主要给出三种轮廓切削点单位法而求得刀具中心规迹。这里主要给出三种轮廓切削点单位法矢的计算方法：矢的计算方法：直线段直线段的的单位法矢单位法矢圆弧段圆弧段上上某切削点的单位法矢某切削点的单位法矢平平面面曲线上某切削点的单位法矢曲线上某切削点的单位法矢 直线段的单位法矢直线段的单位法矢 设设ab 为平面轮廓上一直线段，起点为为平面轮廓上一直线段，起点
22、为a（ x a , y a ），），终点为终点为b （ x b , y b ），该定向直线段的单位矢量为：），该定向直线段的单位矢量为： xb xa yb - ya = x , y = L ， L 式中式中 L = （ x b x a ）2 +（ y b y a）2 为直线段的长度。为直线段的长度。 xyyxnnn，显然，直线上任一点处的单位矢量都是相同的。所以，显然，直线上任一点处的单位矢量都是相同的。所以，直线直线 ab 上各点的单位法矢上各点的单位法矢 n 也都是相同的。即也都是相同的。即 圆弧段上切削点的单位法矢圆弧段上切削点的单位法矢 设设P为半径为为半径为R、圆心为、圆心为C的圆弧
23、上任一切削点，圆弧在的圆弧上任一切削点，圆弧在P点点处的单位法矢即为圆心处的单位法矢即为圆心C到到P有向联线的单位矢量。即有向联线的单位矢量。即 当刀具外偏置（刀具始终在圆弧的外侧）时，两分量均取当刀具外偏置（刀具始终在圆弧的外侧）时，两分量均取上面正号；当刀具内偏置（刀具始终在圆弧内侧）时，两上面正号；当刀具内偏置（刀具始终在圆弧内侧）时，两分量均取下面负号。分量均取下面负号。RyyRxxnnncpcpyx， 平面曲线上某切削点的单位法矢平面曲线上某切削点的单位法矢 设设P为曲线为曲线f（x）上的任一切削点，则在该点的斜率为）上的任一切削点，则在该点的斜率为 tg = f （x p）其单位切
24、矢为其单位切矢为 = x , y = cos，sin 相应的单位法矢为相应的单位法矢为 式中正负号选取规则同前：顺时针方向走刀时，刀具始终位于工件式中正负号选取规则同前：顺时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的左侧或逆时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的右侧取轮廓的左侧或逆时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的右侧取上方符号；顺时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的右侧或逆上方符号；顺时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的右侧或逆时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的左侧取上方符号取下方时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的左侧取上方符号取下方符号。符号。xyyxnnn ，拐角过渡的数值计算
25、拐角过渡的数值计算2.3 2.3 空间曲线曲面加工的数值计算空间曲线曲面加工的数值计算 规则立体型面加工的数值计算规则立体型面加工的数值计算自由空间曲线曲面加工的数值计算自由空间曲线曲面加工的数值计算三维加工中刀具中心位置的计算三维加工中刀具中心位置的计算一、规则立体型面加工的数值计算一、规则立体型面加工的数值计算以某一直线为母线，沿一轨迹运动而形成的简单立体型面叫以某一直线为母线，沿一轨迹运动而形成的简单立体型面叫作规则立体型面。规则的三坐标立体型面是机械加工中经常作规则立体型面。规则的三坐标立体型面是机械加工中经常遇到的零件型面。如在具有相互垂直移动的三坐标数控铣床遇到的零件型面。如在具有
26、相互垂直移动的三坐标数控铣床或加工中心上加工此类零件，可用或加工中心上加工此类零件，可用“层切法层切法”加工。此时，加工。此时，把立体型面看作由无数条平面曲线所叠成。根据表面粗糙度把立体型面看作由无数条平面曲线所叠成。根据表面粗糙度允许的范围，将立体型面分割成若干允许的范围，将立体型面分割成若干“层层”，每层都是一条，每层都是一条平面曲线，可采用平面曲线零件的轮廓切削点的计算方法计平面曲线，可采用平面曲线零件的轮廓切削点的计算方法计算每层的切削点的刀具轨迹。算每层的切削点的刀具轨迹。如图如图2-72-7所示即位一规则立体型面，其母线是一条所示即位一规则立体型面，其母线是一条与与 Z Z 轴夹角
27、为轴夹角为的直线，轨迹是一个椭圆。的直线，轨迹是一个椭圆。立体型面可看作有无数条平面曲线相叠形成，在立体型面可看作有无数条平面曲线相叠形成，在XOYXOY 平面内平面内的椭圆曲线方程为的椭圆曲线方程为 以一系列平形于以一系列平形于XOYXOY、相互距离为适当行距、相互距离为适当行距dz dz 的平面，将上的平面，将上述型面分割为若干层，每层都是一个椭圆。一层加工完毕，述型面分割为若干层，每层都是一个椭圆。一层加工完毕，铣刀在铣刀在Z Z 轴方向移动一个轴方向移动一个dzdz的行距，再加工下一层。这样，的行距，再加工下一层。这样，立体型面加工就成了平面曲线轮廓的连续加工问题。立体型面加工就成了平
28、面曲线轮廓的连续加工问题。12222byax二、空间自由曲线曲面插补节点的数值计算二、空间自由曲线曲面插补节点的数值计算 对于自由曲面零件，如涡轮及螺旋浆叶片、飞机机翼、汽车对于自由曲面零件，如涡轮及螺旋浆叶片、飞机机翼、汽车覆盖件的模具等，不管是通过计算机辅助设计或是通过实验覆盖件的模具等，不管是通过计算机辅助设计或是通过实验手段测定，这种型面反应在图样上的数据是列表数据，因此，手段测定，这种型面反应在图样上的数据是列表数据，因此，对这类零件进行数控加工编程时，常常都是以三维坐标点（对这类零件进行数控加工编程时，常常都是以三维坐标点（x x i i ，y y i i ，z z i i）的形式
29、给出刀具的切削位置。若列表的数据的形式给出刀具的切削位置。若列表的数据点已密到简单连接相邻点，又不影响加工精度时，可直接在点已密到简单连接相邻点，又不影响加工精度时，可直接在相邻列表点间，用直线段或圆弧段编程。但实际中给出的列相邻列表点间，用直线段或圆弧段编程。但实际中给出的列表点往往比较稀疏，为达到设计要求，就要插补切削点。为表点往往比较稀疏，为达到设计要求，就要插补切削点。为此，处理列表曲线或曲面的一般方法是根据已知列表点导出此，处理列表曲线或曲面的一般方法是根据已知列表点导出曲线或曲面的拟合方程，再根据拟合方程，曲线或曲面的拟合方程，再根据拟合方程，通过细化参数的通过细化参数的方法，求得
30、新的插补节点。方法，求得新的插补节点。 空间自由曲线、曲面的拟合方法很多，有空间自由曲线、曲面的拟合方法很多，有Bezier方法，方法，B样条方法，样条方法，Coons法法,Fergusoon法等。目前最常用的是非法等。目前最常用的是非均匀有理均匀有理B样条拟合法。如非均匀有理样条拟合法。如非均匀有理B样条曲线段的描述样条曲线段的描述形式为：形式为： 0 u 1 式中，式中，u u 为拟合参数；为拟合参数；P P（u u）为空间曲线上任一位置矢量；）为空间曲线上任一位置矢量；P P i i 为拟合曲线的控制点（为拟合曲线的控制点（i i = 0 = 0， ，m m ）；）；N N k k ,
31、i i（u u）为拟合为拟合B样条曲线的样条曲线的k次基函数，次基函数，W i 是相应控制点是相应控制点P i 的权的权因子。其插补节点的算法思想为：因子。其插补节点的算法思想为： mikiikiimiiuNWuNPWuP0,0)()()(插补节点算法策略：插补节点算法策略： 通过细化参数通过细化参数 u u ，把由，把由 m+1 m+1 个控制点确定的空间个控制点确定的空间曲线段分割成若干子曲线段，当各子曲线段与所对曲线段分割成若干子曲线段，当各子曲线段与所对应的弦的最大距离满足容差应的弦的最大距离满足容差 要求时，即可用直要求时，即可用直线段线段弦弦，代替子曲线段，细化的参数值，代替子曲线
32、段，细化的参数值u u 所对所对应的分割点即为所求的插补节点。应的分割点即为所求的插补节点。例如，构成空间曲线的例如，构成空间曲线的 m+1 m+1 个控制点若是均匀分部的，个控制点若是均匀分部的，根据容差要求，根据容差要求，u u 可取值为可取值为 （0 0，0.2, 0.4, 0.6, 0.8,10.2, 0.4, 0.6, 0.8,1）或或（0 0，0.10.1，0.20.2，0.30.3，0.40.4，0.50.5，0.60.6，0.70.7，0.80.8，0.90.9，1 1）分别代入上式，即可求出空间曲线上的切削点。分别代入上式，即可求出空间曲线上的切削点。 同样，若非均匀有理同样
33、，若非均匀有理B样条曲面片是由（样条曲面片是由（m + 1）（n + 1）个空间点阵拟合而成的。其描述形式为：个空间点阵拟合而成的。其描述形式为： 0 u ，v 1 式中，式中，u u ，v v 为拟合曲面参数，为拟合曲面参数，P P ij 是特征网格控制点阵，是特征网格控制点阵，W W ij ij 是相应控制点是相应控制点P P ij 的权因子，的权因子，N N i i,k k（u u）和）和N N j j,k k（v v）是拟合）是拟合 k k 阶的阶的B B 样条曲面的基函数，样条曲面的基函数，S S（u u ，v v）是曲面片上任一点的）是曲面片上任一点的位置矢量。位置矢量。)()()
34、()(),(,00,00vNuNWvNuNPWvuSkjkimiijnjkjkiijmiijnj其插补节点的计算方法与自由曲线的处理方法类似：其插补节点的计算方法与自由曲线的处理方法类似：细化两个方向参数细化两个方向参数 u u 和和 v v，把曲面片分割成子曲，把曲面片分割成子曲面片集，细化的程度由用子平面片代替曲面片能满面片集，细化的程度由用子平面片代替曲面片能满足容差要求而定，然后再把细化好的子曲面片分割足容差要求而定，然后再把细化好的子曲面片分割成两个三角形，各三角形的形心即为所求的插补节成两个三角形，各三角形的形心即为所求的插补节点。自由曲面加工的刀位规迹就是将这些小三角形点。自由曲
35、面加工的刀位规迹就是将这些小三角形的形心顺序连起来形成的。的形心顺序连起来形成的。优点是不管曲面多么复杂，都可以用单一的算法生成刀具规迹。优点是不管曲面多么复杂，都可以用单一的算法生成刀具规迹。从图中可以看出，（从图中可以看出，（a a） 、 （b b）中的刀具规迹均不理想，前）中的刀具规迹均不理想，前者走刀行距不均匀，切削量忽大忽小，加工质量不高；后者在者走刀行距不均匀，切削量忽大忽小，加工质量不高；后者在切削过程中不断改变切削方向，这将对机床不利。切削过程中不断改变切削方向，这将对机床不利。如图（如图（c）所示，只取同一四边形内两个三角形之一的形心作为插补节点，所示，只取同一四边形内两个三
36、角形之一的形心作为插补节点，就可以解决切削行距不均和沿折线走刀的问题。就可以解决切削行距不均和沿折线走刀的问题。 三、三维加工中刀具中心位置的计算三、三维加工中刀具中心位置的计算 不论是规则立体型面的加工或是空间自由曲线或曲面的加工，都存在着不论是规则立体型面的加工或是空间自由曲线或曲面的加工，都存在着刀具中心的偏置问题。三维型面加工常用的刀具有球头刀、平头圆角刀刀具中心的偏置问题。三维型面加工常用的刀具有球头刀、平头圆角刀或平头刀。平头圆角刀的刀具半径为或平头刀。平头圆角刀的刀具半径为R R，圆角半径为，圆角半径为r r，则球头刀的圆角，则球头刀的圆角半径半径r r = = R R ，立铣刀
37、的圆角半径为，立铣刀的圆角半径为r r = = 0 0。若刀具中心均指的是刀具端若刀具中心均指的是刀具端部的中心，对于切削加工时刀具主轴始终平行于部的中心，对于切削加工时刀具主轴始终平行于Z Z轴的数控机床，其刀具轴的数控机床，其刀具中心的偏置方法可遵循下列规则：中心的偏置方法可遵循下列规则： 1.先使刀具中心沿切削点处法线方向偏移先使刀具中心沿切削点处法线方向偏移 r r 距离；距离；2.再沿与刀轴垂直的方向平移再沿与刀轴垂直的方向平移R r 距离；距离；3.最后使刀具中心沿刀轴方向下移最后使刀具中心沿刀轴方向下移 r 距离。距离。若点若点P P是某一空间曲线或曲面上的切削点，其坐标为（是某
38、一空间曲线或曲面上的切削点，其坐标为（x xp p ，y yp p，z zp p）曲线或曲面在该点处的单位法矢为）曲线或曲面在该点处的单位法矢为 n n = = n nx x，n ny y，n nz z 其中其中n nx x，n ny y，n nz z 为单位法矢在工件坐标系三坐标轴上的分为单位法矢在工件坐标系三坐标轴上的分量。根据上述三条规则，与切削点相对应的刀具中心位量。根据上述三条规则，与切削点相对应的刀具中心位置为：置为： x x刀刀 = = x xp p + + rnrnx x + + （R R r r）n nx x = = x xp p + + RnRnx x y y刀刀 = =
39、y yp p + + rnrny y + + （R R r r）n ny y = = y yp p + + RnRny y z z刀刀 = = z zp p + + rnrnz z - - r r 空间曲面上某切削点单位法矢的求法，视曲面描述方程的形空间曲面上某切削点单位法矢的求法，视曲面描述方程的形式而异。若式而异。若曲面的描述方程为曲面的描述方程为F F（x x，y y，z z）= 0 = 0 ，则曲面上，则曲面上切削点（切削点（x x0 0，y y0 0，z z0 0）处的法线方程为）处的法线方程为 式中，式中，F Fx x（x x0 0，y y0 0，z z0 0）、）、F Fy y（
40、x x0 0，y y0 0，z z0 0）、）、F Fz z（x x0 0，y y0 0，z z0 0）为）为F F（x x，y y，z z）在（）在（x x0 0，y y0 0，z z0 0）处的偏导数，即曲）处的偏导数，即曲面在该点法线的方向数。所以，曲面在该点的单位法矢为面在该点法线的方向数。所以，曲面在该点的单位法矢为 其中其中),(,),(),(000000000kzyxFkzyxFkzyxFnnnnzyxzyx，),(),(),(000200020002zyxFzyxFzyxFkzyx2 2）曲面为非均匀有理）曲面为非均匀有理B B 样条曲面，曲面样条曲面，曲面S S（u u，v
41、v）上任一点）上任一点（u u0 0，v v0 0）处的单位法矢可用下式求得：）处的单位法矢可用下式求得： S Su u S Sv v n n = = n n x x ，n n y y ，n n z z = | = |S Su u S Sv v| | 式中，式中，S Su u 为曲面相对于参数为曲面相对于参数u u的偏导矢，的偏导矢，S Sv v 为曲面相对为曲面相对于参数于参数v v的偏导矢，的偏导矢， | | S Su u S Sv v| |为矢量为矢量S Su u S Sv v 的的模，模，S Su u S Sv v为曲面在为曲面在S S （u u0 0，v v0 0）处的法矢，且）处的
42、法矢，且 i j k S Su u S Sv v= = Sux Suy S uz Svx Svy Svz 思考与练习思考与练习1. 数控编程的数值计算包括哪些内容？数控编程的数值计算包括哪些内容？2. 基点和节点有什么区别？何为切削点？基点和节点有什么区别？何为切削点？3. 等步长法插补轮廓曲线，其插补节点的计算步骤是什么？试述其特点和等步长法插补轮廓曲线，其插补节点的计算步骤是什么？试述其特点和适用范围。适用范围。4. 等误差法插补轮廓曲线，其插补节点的计算步骤是什么？试述其特点和等误差法插补轮廓曲线，其插补节点的计算步骤是什么？试述其特点和适用范围。适用范围。5. 试述弦线插补圆弧段时插补节点的计算方法。试述弦线插补圆弧段时插补节点的计算方法。6. 试述圆弧插补轮廓曲线时插补圆弧的计算方法。试述圆弧插补轮廓曲线时插补圆弧的计算方法。7. 数控系统为什么要计算刀具中心位置？数控系统为什么要计算刀具中心位置？8. 刀具在尖角过渡时应考虑什么问题？刀具在尖角过渡时应考虑什么问题？9. 平面轮廓加工时，立铣刀的偏置规则是什么？平面轮廓加工时，立铣刀的偏置规则是什么？10空间型体加工时，球头刀和平头圆角刀的偏置规则是什么？空间型体加工时，球头刀和平头圆角刀的偏置规则是什么？11加工空间自由曲线、曲面时，插补节点的计算方法是什么？加工空间自由曲线、曲面时，插补节点的计算方法是什么？
