1、.1.2 中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，现行数学教材的编排是沿知识的纵方法组成的有机整体，现行数学教材的编排是沿知识的纵向展开的，数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，向展开的，数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，没有明确的揭示和总结。没有明确的揭示和总结。 如何处理数学思想方法教学的问题？如何处理数学思想方法教学的问题？ 数学思想方法的构建有三个阶段：潜意识阶段、明朗数学思想方法的构建有三个阶段：潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段。和形成阶段、深化阶段。 数学思想方法的教学应以贯彻渗透性原则为主线，
2、结数学思想方法的教学应以贯彻渗透性原则为主线，结合落实反复性、系统性和明确性的原则它们相互联系，合落实反复性、系统性和明确性的原则它们相互联系，相辅相成，共同构成数学思想方法教学的指导思想。相辅相成，共同构成数学思想方法教学的指导思想。.31 数学思想方法教学与能力的关系数学思想方法教学与能力的关系 就是客观存在反映在人的意识中经就是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果，它是从大量的思过思维活动而产生的结果，它是从大量的思维活动中获得的产物，经过反复提炼和实践，维活动中获得的产物，经过反复提炼和实践，一再被证明为正确、可以反复被应用到新的一再被证明为正确、可以反复被应用到新的思维活
3、动中，并产生出新的结果。思维活动中，并产生出新的结果。就是指现实世界的空间形式和就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论而产生的结果，它是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则等）的本质认识（概念、定理、公式、法则等）的本质认识。.4.5 1.1 数学思想方法的界定数学思想方法的界定 数学思想方法是形成学生的良好的认知数学思想方法是形成学生的良好的认知结构的纽带，是将知识转化为能力的桥梁。结构的纽带，是将知识转化为能力的桥梁。 中学数学教学大纲中明确指出：数学基础知中学数学教学大纲中明确指
4、出：数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想方法。思想方法。 .6 .7 进行数学思想方法教进行数学思想方法教学，不仅有助于学生从形式思维向辩证思维学，不仅有助于学生从形式思维向辩证思维过渡，而且是形成和发展学生辩证思维的重过渡，而且是形成和发展学生辩证思维的重要途径。要途径。数学学习过程是一数学学习过程是一个数学认知结构的发展变化过程，个数学认知结构的发展变化过程，数学思想方法有利于学生数学思想方法有利于学生学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而学习迁移，特别是原理和
5、态度的迁移，从而可以极大地提高学习质量和数学能力。可以极大地提高学习质量和数学能力。.8.92 数学思想方法的教学原理数学思想方法的教学原理 中学数学的课程内容是由具体的数学知识与中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体。数学思想方法组成的有机整体。 现行数学教材的编排一般是沿知识的纵方向现行数学教材的编排一般是沿知识的纵方向展开的，这是一条明线。展开的，这是一条明线。 大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识的大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，并没有明确的揭示和总结，而这体系之中，并没有明确的揭示和总结，而这又是教学的主线。又是教学的主线。 .10 明朗和形
6、成阶段明朗和形成阶段深化阶段深化阶段潜意识阶段潜意识阶段.11 .12.13 .14.15 数学思想方法只有形成具有一定结构的系数学思想方法只有形成具有一定结构的系统，才能更好地发挥其整体功能。统，才能更好地发挥其整体功能。 数学思想方法有高低层次之别，对于某一数学思想方法有高低层次之别，对于某一种数学思想而言，它所概括的一类数学方种数学思想而言，它所概括的一类数学方法，所串联的具体数学知识，也必须形成法，所串联的具体数学知识，也必须形成自身的体系，才能为学生理解和掌握，这自身的体系，才能为学生理解和掌握，这就是数学思想方法教学的系统性原理。就是数学思想方法教学的系统性原理。.16 对于数学思
7、想方法的系统性的研究，一般对于数学思想方法的系统性的研究，一般需要从两个方面进行：需要从两个方面进行：研究在每一种具体数学知识的教学中研究在每一种具体数学知识的教学中可以进行哪些数学思想方法的教学。可以进行哪些数学思想方法的教学。研究一些重要的数学思想方法可以在研究一些重要的数学思想方法可以在那些知识点的教学中进行渗透。那些知识点的教学中进行渗透。 从而在纵横两个维度上整理出数学思想方从而在纵横两个维度上整理出数学思想方法的系统。法的系统。 .17 渗透性和明确性是数学思想方法教学辩证的两个方面。渗透性和明确性是数学思想方法教学辩证的两个方面。 在反复渗透的教学过程中，利用适当时机，对某些数在
8、反复渗透的教学过程中，利用适当时机，对某些数学思想方法进行概括、强化和提高，对它的内容、名学思想方法进行概括、强化和提高，对它的内容、名称、规律、使用方法适度明确化，是掌握、运用数学称、规律、使用方法适度明确化，是掌握、运用数学思想方法并转化为能力的前提。思想方法并转化为能力的前提。 贯彻数学思想明确化原则，是让学生理解数学思想的贯彻数学思想明确化原则，是让学生理解数学思想的关键，是熟练掌握、灵活运用、转化为能力的前提，关键，是熟练掌握、灵活运用、转化为能力的前提，有利于学生掌握其中规律，使学生的认识能力产生飞有利于学生掌握其中规律，使学生的认识能力产生飞跃。跃。.18 函数、方程的思想函数、
9、方程的思想.19函数、方程的思想函数、方程的思想 就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决。得以解决。 通常是这样进行的：通常是这样进行的：问题问题.20.21 就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。 分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。.22 数学中的分类有现象分类和本质数学中的分类有现象分类和本质分类两种：分类两种：（1）以分类对象的外延（外部特征、）以
10、分类对象的外延（外部特征、外部关系）为根据的；外部关系）为根据的；（2）按对象的内涵（本质特征、内部）按对象的内涵（本质特征、内部联系）进行分类的。联系）进行分类的。 .23： 由数学概念引起的分类讨论；由数学概念引起的分类讨论； 由数学定理、性质、公式的限制条件引起的分类由数学定理、性质、公式的限制条件引起的分类讨论；讨论； 由数学式子的变形所需要的限制条件引起的分类由数学式子的变形所需要的限制条件引起的分类讨论；讨论； 由图形的位置和大小的不确定性而引起的分类讨由图形的位置和大小的不确定性而引起的分类讨论；论； 对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面对于含有参数的问题要对参数的允许值进
11、行全面的分类讨论。的分类讨论。.24在教学研究中，使一种对象在一定在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。思想。 化归目标简单化原则；化归目标简单化原则； 和谐统一性原则和谐统一性原则 具体化原则；具体化原则； 标准形式化原则；标准形式化原则； 低层次化原则低层次化原则.25： 已知与未知的转化已知与未知的转化 正面与反面的转化正面与反面的转化 数与形的转化数与形的转化 一般与特殊的转化一般与特殊的转化 复杂与简单元的转化复杂与简单元的转化 .26.27：配方法、：配方法、消去法、换元法、待定系数法、数学归纳法
12、、消去法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、参数法、构造法、数学模型法等；坐标法、参数法、构造法、数学模型法等；：综合法：综合法与分析法、完全归纳法与数学归纳法、演绎与分析法、完全归纳法与数学归纳法、演绎法、反证法与同一法；法、反证法与同一法；：观：观察与尝试、概括与抽象、分析与综合、特殊察与尝试、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、比较与分类、归纳与类比、直觉与与一般、比较与分类、归纳与类比、直觉与顿悟等。顿悟等。.28 在基础知识的教学过程中，适时渗透数学思想在基础知识的教学过程中，适时渗透数学思想方法，就是要注意知识的形成过程，特别是定方法，就是要注意知识的形成过程，特别是定理、性
13、质、公式的推导过程和例题的求解的过理、性质、公式的推导过程和例题的求解的过程。程。.29.30.31.32 （1）请回顾一下角的概念。）请回顾一下角的概念。 （2）对顶角、邻补角是怎样形成的？我们）对顶角、邻补角是怎样形成的？我们是怎样研究它们的性质的？是怎样研究它们的性质的？：强调从结构特征、讨论问题的：强调从结构特征、讨论问题的思想方法等角度，对已有知识进行复习回思想方法等角度，对已有知识进行复习回顾，为新知识的学习提供借鉴。顾，为新知识的学习提供借鉴。.33：两条直线相交形成四个角，它两条直线相交形成四个角，它们的关系（性质）已经清楚（特例是垂直）。们的关系（性质）已经清楚（特例是垂直）
14、。接下来可以研究一条直线与两条直线分别相接下来可以研究一条直线与两条直线分别相交，可以得到哪些角，它们又有什么关系交，可以得到哪些角，它们又有什么关系（性质）。（性质）。：提出问题的方法、研究思路的引导。提出问题的方法、研究思路的引导。.34：画出一条直线与两条直线分别相交的图形。：画出一条直线与两条直线分别相交的图形。共得到几个角？你知道其中哪些角的关系？共得到几个角？你知道其中哪些角的关系？：培养学生画图的习惯；分析出需要研究：培养学生画图的习惯；分析出需要研究的新问题（思维的逻辑性）。的新问题（思维的逻辑性）。：我们没有研究过的是哪些角的关系？如何把：我们没有研究过的是哪些角的关系？如何
15、把这些角分类？这些角分类？：引导学生学习根据一定标准分类的研究：引导学生学习根据一定标准分类的研究方法。方法。.35：如图，直线：如图，直线AB，CD被直线被直线EF所截。所截。1与与没有公共定点的没有公共定点的 5，6， 7，8的关系可以的关系可以怎样描述？可分为几类？怎样描述？可分为几类？ 设计意图：让学生自己描述这些角的结构特征，并设计意图：让学生自己描述这些角的结构特征，并分类。分类。：本问题是本课的关键，可多给时间，教师可：本问题是本课的关键，可多给时间，教师可在确定分类标准上给予引导。在确定分类标准上给予引导。.36：图中，图中， （1）与）与1、8类似具有相同位置关系的角还有类似
16、具有相同位置关系的角还有哪几对？哪几对？ （2）还有哪几对角的位置关系是问题）还有哪几对角的位置关系是问题4中没有包括中没有包括的？的？：从图中识别同位角，及时巩固概念；引从图中识别同位角，及时巩固概念；引导学生观察图形，从分类角度认识内错角、同旁内导学生观察图形，从分类角度认识内错角、同旁内角概念。角概念。 可以安排让学生找出所有内错角、同旁内角的活动。可以安排让学生找出所有内错角、同旁内角的活动。 教科书只叙述了事实，给了名字。数学思想方法没教科书只叙述了事实，给了名字。数学思想方法没有明确有明确要学生自己悟。要学生自己悟。.37 例题例题： 主要是通过图形变式，让学生在逐渐复主要是通过图
17、形变式，让学生在逐渐复杂的图形中识别有关角。要帮助学生总杂的图形中识别有关角。要帮助学生总结操作要点：两个角由哪条直线截另两结操作要点：两个角由哪条直线截另两条直线形成的条直线形成的关键是确定关键是确定“所在公所在公共直线共直线”。 要注意使用反例。要注意使用反例。.38（1）问题的提出）问题的提出自然、水到渠成；自然、水到渠成；（2）研究的思想方法）研究的思想方法位置关系的分类，位置关系的分类， 分类标准分类标准角与三条直线的相对位置；角与三条直线的相对位置；（3）归纳概括概念的内涵，注意使用）归纳概括概念的内涵，注意使用“等值等值语言语言”，如，如“同位同位”即即“同一个方位同一个方位”等；等；（4）用概念进行判断的步骤、注意事项等。）用概念进行判断的步骤、注意事项等。.39
