1、数学的基本思想与方法数学的基本思想与方法 Relation 例例1 1 哥哥和弟弟各摘了一批柿哥哥和弟弟各摘了一批柿子，如果哥哥给弟弟子，如果哥哥给弟弟8 8只，他们就只，他们就一样多。如果弟弟给哥哥一样多。如果弟弟给哥哥8 8只，哥只，哥哥的柿子就是弟弟的两倍。哥哥和哥的柿子就是弟弟的两倍。哥哥和弟弟原来各摘了多少个柿子？弟弟原来各摘了多少个柿子？ 例例2 2 已知已知A,B,C,D,E,F,G,H,I,KA,B,C,D,E,F,G,H,I,K代表十个互不相同的大于代表十个互不相同的大于0 0的自的自然数。要使下列等式成立，然数。要使下列等式成立，A A最最小是什么数？小是什么数？ B+C=
2、A D+E=B E+F=C B+C=A D+E=B E+F=C G+H=D H+I=E I+K=F G+H=D H+I=E I+K=F 例例3 3 某市举行家庭某市举行家庭“普法普法”学习竞赛学习竞赛，有五个家庭进入决赛，规定每家有，有五个家庭进入决赛，规定每家有2 2名名成员参加。决赛时进行了四次比赛，每次成员参加。决赛时进行了四次比赛，每次比赛各家出一名成员参赛。第一次参赛的比赛各家出一名成员参赛。第一次参赛的是是A,B,C,D,EA,B,C,D,E；第二次参赛的是；第二次参赛的是F,B,A,D,GF,B,A,D,G；第三次参赛的是；第三次参赛的是C,H,A,I,FC,H,A,I,F；第四
3、次参；第四次参赛的赛的G,A,B,H,EG,A,B,H,E。此外有一人。此外有一人k k因故四次均因故四次均未参加。问谁和谁是一家人？未参加。问谁和谁是一家人？ 例例4 4 一条毛毛虫由幼虫长到成一条毛毛虫由幼虫长到成虫，每天身长增加虫，每天身长增加1 1倍，倍，3030天能长天能长到到2020厘米。问长到厘米。问长到5 5厘米的时要用厘米的时要用多少天？多少天？ 例例5 5 有甲、乙、丙三个油桶，各盛有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克，先将甲桶的油倒入乙、油若干千克，先将甲桶的油倒入乙、丙两个桶，使它们各增加原有油的一丙两个桶，使它们各增加原有油的一倍，再将乙桶的油倒入丙、甲两桶，倍，再将
4、乙桶的油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍，最后按同样使它们的油各增加一倍，最后按同样的规律将丙桶的油倒入甲、乙两桶，的规律将丙桶的油倒入甲、乙两桶，这时各桶里的油都是这时各桶里的油都是1616千克，问各桶千克，问各桶原有油多少千克？原有油多少千克？ 例例6 6 在在7 76 6的棋盘的右上格内有的棋盘的右上格内有一颗棋子，甲乙两人做游戏，规则如一颗棋子，甲乙两人做游戏，规则如下：甲先走，二人交替将棋子向左、下：甲先走，二人交替将棋子向左、向下或向左下移一格，谁把棋子移到向下或向左下移一格，谁把棋子移到左下角的格子里谁胜。问：甲如何走左下角的格子里谁胜。问：甲如何走才能确保取胜？才能确保取胜
5、？ 例例7 7 平面上的平面上的1010条直线最多条直线最多有几个交点？有几个交点？ 例例8 8 一段楼梯有一段楼梯有1010级台阶，规级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，问要定每一步只能跨一级或两级，问要登上第登上第1010级台阶有多少种不同的走级台阶有多少种不同的走法？法？ 例例9 9 有雌雄各一的一对兔子有雌雄各一的一对兔子，一个月后生了雌雄各一的一对小，一个月后生了雌雄各一的一对小兔子，这对小兔子经过一个月就长兔子，这对小兔子经过一个月就长成大兔子。此后，每对大兔每月生成大兔子。此后，每对大兔每月生一对雌雄各一的小兔子，而每对小一对雌雄各一的小兔子，而每对小兔经过一个月又长成大兔。问一
6、年兔经过一个月又长成大兔。问一年后共繁殖成多少对兔子？后共繁殖成多少对兔子？ 例例10 10 一个居民小区纵横各有一个居民小区纵横各有5 5条街道，某人要从路口条街道，某人要从路口A A前往路前往路口口B B，走的方向只能向东或向南。，走的方向只能向东或向南。问：一共有多少种不同的走法？问：一共有多少种不同的走法？ 例例11 11 有有2020支乒乓球队参加比支乒乓球队参加比赛，比赛采用淘汰制，最后产生冠赛，比赛采用淘汰制，最后产生冠军队。共需要安排多少场比赛？军队。共需要安排多少场比赛？ 例例12 12 从从19851985到到48914891的整数的整数中，十位数字与个位数字相同的中，十位
7、数字与个位数字相同的数有多少个？数有多少个？ 例例13 1013 10个苹果，每天至少吃个苹果，每天至少吃1 1个，直至吃完，问共有多少种不个，直至吃完，问共有多少种不同的吃苹果方案？同的吃苹果方案？ 抽屉原理抽屉原理1 1 如果将如果将n+1n+1件物体件物体放到放到n n个抽屉里去，那么至少有一个抽屉里去，那么至少有一个抽屉里的物体不少于两件。个抽屉里的物体不少于两件。 抽屉原理抽屉原理2 2 如果将多于如果将多于m mn n件物体放到件物体放到n n个抽屉里去，那么至个抽屉里去，那么至少有一个抽屉里的物体不少于少有一个抽屉里的物体不少于m+1m+1件。件。 例例14 14 一些孩子在沙滩
8、上玩一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆，其耍，他们把石子堆成许多堆，其中有一个孩子发现，从石子堆中中有一个孩子发现，从石子堆中任意选出五堆，其中至少有两堆任意选出五堆，其中至少有两堆石子数之差是石子数之差是4 4的倍数，你说他的的倍数，你说他的结论对吗？为什么？结论对吗？为什么？ 我们把五堆石子数看作任意五我们把五堆石子数看作任意五个自然数，它们被个自然数，它们被4 4除，其余数不除，其余数不外乎是外乎是0 0，1 1，2 2，3 3四种可能。如果四种可能。如果把每一种余数看作一个抽屉，那么把每一种余数看作一个抽屉，那么余数相同的两数就在同一抽屉里。余数相同的两数就在同一抽屉里。根据抽
9、屉原理，五个自然数被根据抽屉原理，五个自然数被4 4除除后得到的余数中必有两个余数是相后得到的余数中必有两个余数是相同，这样的两个数之差必是同，这样的两个数之差必是4 4的倍的倍数。因此，本题的结论是正确的。数。因此，本题的结论是正确的。 例例15 15 求证：从求证：从1,2,31,2,3，,10,10这十个数中任意选出六个，这六个这十个数中任意选出六个，这六个数中必有一个数是另一个数的倍数数中必有一个数是另一个数的倍数。 例例16 图论起源于著名的柯尼图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。公元斯堡七桥问题。公元18世纪的柯尼世纪的柯尼斯堡的普莱格尔河上有七座桥，当斯堡的普莱格尔河上有七座桥，当
10、地的居民热衷于这样一个问题：一地的居民热衷于这样一个问题：一个散步者能否一次走遍七座桥，而个散步者能否一次走遍七座桥，而且每座桥不许重复？且每座桥不许重复？ 在连通的网络中：在连通的网络中： 1 1、如果图形只有偶点，那么可以、如果图形只有偶点，那么可以一笔画出，并且可以任何点为起点和终一笔画出，并且可以任何点为起点和终点。点。 2 2、如果图形有且只有两个奇点，、如果图形有且只有两个奇点，那么可以一笔画出，但必须以这两个奇那么可以一笔画出，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。点分别作为起点和终点。 3 3、如果图形中奇点的个数超过，、如果图形中奇点的个数超过，则不能一笔画出。则不能一笔画出
11、。 例例17 17 如图是校史室的平面图如图是校史室的平面图，参观者能否从室外开始，在一次，参观者能否从室外开始，在一次参观中不重复地走遍所有七个门？参观中不重复地走遍所有七个门？ 在连通的网络中：在连通的网络中：1 1、如果图形只有偶点，那么可以一笔画、如果图形只有偶点，那么可以一笔画出，并且可以任何点为起点和终点。出，并且可以任何点为起点和终点。2 2、如果图形有且只有两个奇点，那么可、如果图形有且只有两个奇点，那么可以一笔画出，但必须以这两个奇点分以一笔画出，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。别作为起点和终点。3 3、如果图形中奇点的个数超过，则不、如果图形中奇点的个数超过，则不能一
12、笔画出。能一笔画出。4 4、画出含有、画出含有n(nn(n是自然数是自然数) )个奇点的网个奇点的网络至少要络至少要n n笔画。笔画。 例例18 18 如图是由若干个小方如图是由若干个小方格拼成的图形。从这个图中，最多格拼成的图形。从这个图中，最多能分割出多少个由两个小方格拼成能分割出多少个由两个小方格拼成的长方形？的长方形？ 例例19 19 试证：世界上任意个试证：世界上任意个人中人中, ,总有个人总有个人, ,或彼此都认识或彼此都认识, ,或彼此都不认识。或彼此都不认识。 例例20 20 有红、黄、蓝三个盒子，两有红、黄、蓝三个盒子，两个盒子是空的，一个盒子里放了一个乒个盒子是空的，一个盒
13、子里放了一个乒乓球，每个盒子上都写了一句话。乓球，每个盒子上都写了一句话。 红盒子上写着红盒子上写着“乒乓球不在这里乒乓球不在这里”， 黄盒子上写着黄盒子上写着“乒乓球不在这里乒乓球不在这里”， 蓝盒子写着蓝盒子写着“乒乓球在红盒子里乒乓球在红盒子里”。 不过，这三句话只有一句是真的，不过，这三句话只有一句是真的，那么乒乓球一定放在什么盒子里？那么乒乓球一定放在什么盒子里？ 例例21 21 ，B B，四人对，四人对某两位数的性质各作出了两个判断某两位数的性质各作出了两个判断： 除余除余除余除余 除余除余除余除余 除余除余除余除余 除余除余除余除余 已知这个人中，每人都只说已知这个人中，每人都只
14、说对了一句话，另一句话是错误的，对了一句话，另一句话是错误的，求这个两位数。求这个两位数。 例例22 22 在在4 46 6的方格中，放的方格中，放1818个奶瓶，每格放一个，要求每行每个奶瓶，每格放一个，要求每行每列的个数都是偶数。这件事能办到列的个数都是偶数。这件事能办到吗？吗？ 例例23 23 搬运站运送搬运站运送500500只玻璃瓶，只玻璃瓶，商定每只运费是商定每只运费是0.240.24元，如打破一只元，如打破一只，不但不给运费，而且要赔偿，不但不给运费，而且要赔偿1.261.26元元。结果，搬运站共得搬运费。结果，搬运站共得搬运费115.5115.5元元。问搬运中打破了几只玻璃瓶？。
15、问搬运中打破了几只玻璃瓶？ 例例24 24 （我国古代问题）今有鸡（我国古代问题）今有鸡兔同笼，上有兔同笼，上有3535头，下有头，下有9494足。问鸡足。问鸡兔各有几何？兔各有几何？ 例例25 25 蜘蛛有蜘蛛有8 8只脚，蜻蜓有只脚，蜻蜓有6 6只脚和只脚和2 2对翅膀，蝉有对翅膀，蝉有6 6只脚和只脚和1 1对翅对翅膀。现有这三种昆虫膀。现有这三种昆虫1818只，共有脚只，共有脚118118只，翅膀只，翅膀2020对。问每种昆虫各有对。问每种昆虫各有几只？几只？ 例例26 26 有黑白棋子一堆，黑子个有黑白棋子一堆，黑子个数是白子个数的数是白子个数的2 2倍，现在从堆内每倍，现在从堆内每
16、次取出黑子次取出黑子4 4个，白子个，白子3 3个，取若干次个，取若干次后，白子取尽，而黑子还剩后，白子取尽，而黑子还剩1616个，求个，求黑、白棋子原来各有多少个？黑、白棋子原来各有多少个？ 例例27 27 将数将数1 1，2 2，3 3，2121分成七分成七组，每组组，每组3 3个数。试证：无论怎样分个数。试证：无论怎样分组，都不能保证每组中都有一个数等组，都不能保证每组中都有一个数等于其余两数的和。于其余两数的和。 例例28 28 求证：任意剪六个大小相求证：任意剪六个大小相同的圆形纸片放在桌上，使得没有一同的圆形纸片放在桌上，使得没有一个纸片的中心落在另一个纸片上或被个纸片的中心落在另一个纸片上或被另一个纸片盖住。然后用一枚针去扎另一个纸片盖住。然后用一枚针去扎这堆纸片，不论针尖落在哪个点上，这堆纸片，不论针尖落在哪个点上，都不能把六个圆纸片一次全部扎中。都不能把六个圆纸片一次全部扎中。
