1、第二章习题 1、证明下列表达式是一维波动方程的正确解 证明：一维波动方程为( , )sincosj tj tp x tAekxBekx( , )jkxjkxj tp x tCeDee2222210PPCtx （1）将代入波动方程第一式可得： 代入第二式得： 即满足方程所以为一维波动方程的正确解。222222001sincos( , )j tPAkxBkx ek P x tCtC 22222sincos( , )j tPk Akxk Bkx ek P x tx （2）同理将代入波动方程第一式可得： 代入第二式得： 即也满足方程所以也为一维波动方程的正确解。 22222( , )jkxjkxj t
2、Pk Cek Deek P x tx 222222001( , )jkxjkxj tPCeDeek P x tCtC 2、（、（1）、理想气体的声速）、理想气体的声速c是否随静压强变是否随静压强变化？在波动方程中化？在波动方程中c是否随瞬时声压变化？是否随瞬时声压变化？（2）、如果理想气体遵循等温状态方程，声）、如果理想气体遵循等温状态方程，声速速c的表达式将是怎样的？空气在的表达式将是怎样的？空气在20C时等温时等温波速是多少？此值与空气在波速是多少？此值与空气在20C时的等熵波时的等熵波速相差多少？速相差多少？ 解：理想气体中近似为等熵绝热解：理想气体中近似为等熵绝热 过程过程,因此因此
3、其中泊松比其中泊松比 所以所以00PVPV/pvCC0000VPPPV 根据根据 可知理想气体声速随静压强变化，不随瞬时可知理想气体声速随静压强变化，不随瞬时声压变化。声压变化。 （2） 等温情况下：等温情况下：000002000,SSPPcP00000000MPVVPVPVPPPMVV 又因为均匀、静止理想流体中小振幅波的状又因为均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为态方程为 所以，遵从等温状态方程的声速为：所以，遵从等温状态方程的声速为： 而理想气体，遵从绝热状态方程的声速而理想气体，遵从绝热状态方程的声速为：为： ；其中；其中 、 分别为静态压分别为静态压强和密度。强和密度。 0000
4、00000()lPPpPPPP20lpc20000PPcc00Pc00/cP0P0因此因此二者差值：二者差值： 5001.41 1.013 10343.575(/ )1.21Pcm s绝热5001.013 10289.3424(/ )1.21Pcm s等温54.23m/scc绝热等温 3、计算有效声压为、计算有效声压为3.5N/m2的平面声波的声的平面声波的声压级。设所用的参考声压为（压级。设所用的参考声压为（1） Pa（2） Pa （3） bar（4） bar 解：解：1bar=1dyn/cm2=10-5N/cm2=0.1Pa52 1061042 1051053.520log20log2 1
5、020log1.75 100 104.86refPSPLPdB63.520log20log1020log3.5 120 130.88refPSPLPdB53.520log20log100.120log3.5 120 130.88refPSPLPdB43.520log20log2 100.120log1.75 100104.86refPSPLPdB4、已知：声波的声压函数为：、已知：声波的声压函数为：3( , )4 10 cos2 (1500)Pap x ttx式中：式中：x的单位为的单位为m，t的单位为的单位为s，求该声场，求该声场的波数、波长、角频率、声压幅值、声压有的波数、波长、角频率、声
6、压幅值、声压有效值、介质中波速。效值、介质中波速。若介质的密度为若介质的密度为1000kg/m3,求介质的特性阻求介质的特性阻抗、振速的波函数、波阻抗、声能流密度函抗、振速的波函数、波阻抗、声能流密度函数、声强和声能密度。数、声强和声能密度。解：波数解：波数2rad/mk/(2)/(2 )1mcTf cck3000波长波长角频率角频率声压幅值声压幅值声压有效值声压有效值介质波速介质波速304 10PaP 3022 2 10PaeffPP0/1500m/sck特性阻抗：特性阻抗：振速波函数：振速波函数：60 01.5 10Raylc30 0( , )( , )2.67 10cos(2 (1500
7、)m/sp x tu x ttxc60 0( , )1.5 10Rayl( , )ap x tZcu x t波阻抗：波阻抗：声能流密度函数：声能流密度函数：声强：声强：声能密度：声能密度：2200 0( , )( , ) ( , )1cos4 (1500)W/m2pW x tp x t u x ttxc2200 001( )( , )W/m2TpI xW x t dtTc222002200002302011( , )221cos4 (1500)J/m2kpEEppEx tuVccptxc5、特性阻抗为、特性阻抗为 的介质中有两列同幅同的介质中有两列同幅同频相向传播的平面波，其速度势函数为：频相
8、向传播的平面波，其速度势函数为：()()00( , )jt kxjt kxx tee 试求：该波场的声压函数、振速函数、波阻试求：该波场的声压函数、振速函数、波阻抗、声能流密度、声强和声能密度。抗、声能流密度、声强和声能密度。0 0c解：振速函数解：振速函数00( , )Re ( , )Re( , )Re cos()cos()sin()sin()sin()sin()u x tu x tx tk jtkxjtkxtkxtkxktkxtkx声压函数声压函数00000( , )( , )Re ( , )ReRe cos()cos()sin()sin()sin()sin()r tp x tp x tt
9、jtkxjtkxtkxtkxtkxtkx波阻抗波阻抗声能流密度声能流密度()()00()()020 00 02( , )( )( , )11jt kxjt kxajt kxjt kxjkxjkxj kxjkxjkxj kxp x tjeeZxu x tjkeeeeecceee00202220( , )( , ) ( , )sin()sin()sin()sin()sin ()sin ()W x tp x t u x tktkxtkxtkxtkxktkxtkx 声强声强声能密度声能密度02201( )( , )1sin ()sin ()0TTI xW x t dtTtkxtkx dtT220020
10、0 022220011( , )22sin ()sin ()kpEEpE x tuVcktkxtkx6、理想介质、理想介质 中，已知声波的速度势函数为中，已知声波的速度势函数为0 0c( , )sin()cos()x tAkxt试求：质点振速函数、声压函数、波阻抗、试求：质点振速函数、声压函数、波阻抗、声能流密度和声波强度。声能流密度和声波强度。解解:复数形式的速度势函数为复数形式的速度势函数为( , )sinj tx tAekx7、有效声压、有效声压50Pa、频率、频率1000Hz的平面波由水的平面波由水中垂直入射到水与空气的平面界面上。试求：中垂直入射到水与空气的平面界面上。试求：（1）透
11、射到空气中的平面波的有效声压是多）透射到空气中的平面波的有效声压是多少？（少？（2）水中入射波和空气中的透射波声强）水中入射波和空气中的透射波声强各是多少？（各是多少？（3）如果该平面波由水入射到）如果该平面波由水入射到水水冰界面上，重新计算上述（冰界面上，重新计算上述（1）、（）、（2）中各量；（中各量；（4）冰层的声功率反射系数是多少？）冰层的声功率反射系数是多少？（若冰的（若冰的 值为值为 ）解解:(1)透射系数透射系数 c62.94 10 Rayl1500103432 . 13432 . 12223212水水空气空气空气空气cccZZZD362 1.2 343100 411.6500.
12、0271.2 343 101500411.6 1.5 10TeiePD pPa2-32350 501.67 10/101500ieiPIWmc水 水22-620.0271.8 10/1.2 343TeRpIW mc气 气（）66622 2.94 10D1.321.5 102.94 10ccc 冰冰水 水冰冰2 2.945066.21.52.94TeieapDpP321.67 10/iIW m22-32666.21.49 10/2.94 10TTpIWmc 冰 冰（）22222)2.94 1.5()()0.1052.94 1.5riiwiIR ppRRccIcccc水 水水 水冰冰水 水冰冰水
13、水（ ）8、平面声波垂直入射到海底，如果反射波比、平面声波垂直入射到海底，如果反射波比入射波低入射波低20dB，问液态海底物质的声阻抗率，问液态海底物质的声阻抗率可能取什么数值？可能取什么数值？解：解：rirefrrefippppppdBlg20lg20lg202022100.1ZririZcpppRpc海水海水海水海水2Z9、由平面声波垂直入射到空气和位置特性阻、由平面声波垂直入射到空气和位置特性阻抗的无限流体的分界面平面上。若已知有一抗的无限流体的分界面平面上。若已知有一半声能被反射，则求未知的特性阻抗。如果半声能被反射，则求未知的特性阻抗。如果有有1/4的能量被反射，未知特性阻抗又是多少
14、？的能量被反射，未知特性阻抗又是多少？解：解：20.50.5RR 111171.20.52419ZRaylcZRZRaylcZ 由前题由前题知：知：同理：同理：20.250.5RR 11110.5138.31245cZRcZZRaylZRayl 10、在空气中平面谐和波垂直入射到特性、在空气中平面谐和波垂直入射到特性阻抗阻抗785Rayl的平表面上，求驻波比等于的平表面上，求驻波比等于多少？（驻波比定义为驻波场中声压级大多少？（驻波比定义为驻波场中声压级大值与极小值的比值）值与极小值的比值）解：界面垂直反射系数为解：界面垂直反射系数为11 0.3121.911 0.312RGR312. 06
15、.4117856 .4117853432 . 17853432 . 17851212ZZZZR驻波比为：驻波比为：11、试以一维平面波为例，导出理想流体媒、试以一维平面波为例，导出理想流体媒质中存在反射波时声场某点处的声阻抗率的质中存在反射波时声场某点处的声阻抗率的一般表示式。一般表示式。 推导如下：推导如下：当存在反射波时，声场的声压为当存在反射波时，声场的声压为 )()(kxjkxtjBeAep11)()(000kxjkxtjBeAecdtxpujkxjkxjkxjkxkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjneRee
16、ReceReeReceABeeABecBeAeBeAecBeAecBeAeupz00)()()()(00)()()()(00)()()()(00)()(00)()(112、测得海底全内反射临界角为、测得海底全内反射临界角为58，设，设取海底土质与水的密度比为取海底土质与水的密度比为2.7。若平面波。若平面波以以30角入射到海底平面上，求反射波强角入射到海底平面上，求反射波强度与入射波强度之比？度与入射波强度之比？ 解：声压反射系数为：解：声压反射系数为： ititititnnnnpccccccccZZZZRcoscos1coscos1coscoscoscos1212土水土水土水土水水水土土水水
17、土土根据题意知：根据题意知：7 . 21土水8480. 090sin58sin土水cc2330coscosi2sinsin58sin90sinsin30sin90cos1 ()0.8077sin58ittn反射波强度与入射波强度之比反射波强度与入射波强度之比2991. 0coscos1coscos122ititpIccccRR土水土水土水土水13、频率为、频率为20kHz的平面波从水中无反射的平面波从水中无反射地进入钢中，试求中间所夹塑料层（其密地进入钢中，试求中间所夹塑料层（其密度为度为1500 kg/m3）的厚度和声速。）的厚度和声速。解：解： 且要无反射的进入钢中，则需满足且要无反射的进
18、入钢中，则需满足 ZZ钢水(21)4ZZ Zln钢塑料水且cccccc5650/ZZ Zm s钢钢钢塑料水塑料塑料水水钢钢水水塑料塑料(21)(21)0.07 (21)m44clnnnf塑料塑料14、水介质中有一块大钢板，厚度为、水介质中有一块大钢板，厚度为1.5cm，现有现有2000Hz的平面声波正入射其上。试求：的平面声波正入射其上。试求：（1）声波通过钢板时所引起的透射损失；）声波通过钢板时所引起的透射损失；（2）钢板的声功率反射系数；（）钢板的声功率反射系数；（3）如用）如用1.5cm厚的海绵橡皮（密度为厚的海绵橡皮（密度为500kg/m3）代）代替钢板，重复计算（替钢板，重复计算（1
19、）（）（2）中的各量。）中的各量。（海绵橡皮中纵波声速为（海绵橡皮中纵波声速为1000m/s） 解解： （1）透射损失为：透射损失为： 102222110221210 log ()110 log (cos() sin)0.914itITLIZZk lk ldBZZ2222312213222312213222221222122122() cos()sin() cos()sin()sin2cos()sin0.19WZZZk lj ZZ Zk lRRZZZk lj ZZ Zk lj ZZk lZ Zk lj ZZk l同理可得（同理可得（3）问的答案）问的答案（2）钢板的声功率反射系数）钢板的声功率
20、反射系数15、水介质中有一块厚度为、水介质中有一块厚度为0.04 m的大钢板，的大钢板，如果频率为如果频率为1000 Hz的平面波垂直入射到钢板的平面波垂直入射到钢板上，问入射波和透射波间的相位差是多少？上，问入射波和透射波间的相位差是多少？ 1()11jt k xipAe3331()()331()231223122132()121221221222()cos()sin22cos()sinjt kx ljt kx ltjt kx ljt k x lpAeD A eZ ZAeZ ZZk lj ZZ Zk lZ ZAeZ Zk lj ZZk l解：解：22101221223230.042cos()
21、sin12ixtxpZ Zk lj ZZk lpDZ Z22122122()sinarctan()2cos33.4ZZk lZ Zk l16、理想介质中有简谐均匀扩张球面波声、理想介质中有简谐均匀扩张球面波声场，测得场，测得A点的声压函数和质点振速函数为：点的声压函数和质点振速函数为：3( )4 10 cos(200)PaAptt3( )3.77 10cos(2000.445)m/sAutt问：问：A点的波阻抗为何？点的波阻抗为何？A点的声能流密度点的声能流密度函数为何？函数为何？A点的声强为何？介质的特性阻点的声强为何？介质的特性阻抗为何？（式中抗为何？（式中t的单位的单位sec）解：解：A
22、点处的复声压和复质点振速为点处的复声压和复质点振速为因此，因此，A点的波阻抗为点的波阻抗为3200( )4 10PajtApxe3(2000.445)( )3.77 10m/sjtAute320060.4453(2000.445)4 101.06 10Rayl3.77 10jtjAjtpeZeue2Re( )Re( )15.08cos(200)cos(2000.445)7.540.9cos(4000.445)W/mAWputtt002117.540.9cos(4000.445)6.786W/mTTIWdtTtdtT声能流密度函数声能流密度函数声强声强0 00 066coscos1.06 10c
23、os(0.445)1.18 10RaylAAZcZc介质的特性阻抗介质的特性阻抗17、续上题，如沿声传播方向距、续上题，如沿声传播方向距A点点2.5m处处B 点测得的声压函数为：点测得的声压函数为：32 10 cos(200)Pa3Bpt问：介质的波速为何？密度为何？声波的问：介质的波速为何？密度为何？声波的频率、波数为何？该球面波的球心距频率、波数为何？该球面波的球心距A点点的距离为何？以距该球心的距离的距离为何？以距该球心的距离r为空间变为空间变量给出该声场的声压时空函数。量给出该声场的声压时空函数。解：声波频率解：声波频率2002100Hzff2()rad/m315BAk rrk 015
24、00m/sck由由B点和点和A点的相位差可知点的相位差可知介质波速介质波速6301.18 10787kg/m1500介质密度介质密度由由B点和点和A点的声压幅值可知点的声压幅值可知30304 10 Pa22.5m2 10 Pa5m2.5mABAABBBAprrrrprrrr距离为距离为r的的声压时空函数为声压时空函数为2( , )200rad153f r ttr18、已知简谐均匀扩张球面波声场中，沿、已知简谐均匀扩张球面波声场中，沿声波传播方向顺序且等间距排列三点声波传播方向顺序且等间距排列三点 A、B、C 。相邻两点间距。相邻两点间距4m，如果在，如果在A点测得声点测得声压幅值为压幅值为51
25、04Pa，B点测得声压幅值为点测得声压幅值为1104Pa，问，问C点的声压幅值为何？又若参点的声压幅值为何？又若参考声压为考声压为10-6Pa， C点的声压级为何？点的声压级为何？如果在如果在A点和点和B点测得质点振速幅值；能否点测得质点振速幅值；能否得到得到C点的质点振速幅值？为什么？点的质点振速幅值？为什么？ 求图示中的声场，上界面为软界面，下求图示中的声场，上界面为软界面，下界面为硬界面。界面为硬界面。解：声场计算模型：声波在解：声场计算模型：声波在 区域传播，并设声区域传播，并设声波为简谐波（振动为时间简谐函数）。波为简谐波（振动为时间简谐函数）。并假设声场的声学量与并假设声场的声学量
26、与y y 坐标无关。坐标无关。则波动方程为：则波动方程为： 0, xh，z0,),(,)y 012222222t)t , z , x(pcz)t , z , x(px)t , z , x(p则：令，,e )z , x(p)t , z , x(ptj22222( , )( , )( , )0;0, ,0,);p x zp x zk p x zxzxh zkc此方程的形式解为：此方程的形式解为： 222( , )()();xxzzjk xjk xjk zjk zkxxzp x zAeBeCeDekkk简化形式解简化形式解：（1）因为，波场沿）因为，波场沿z轴只有正方向传播的轴只有正方向传播的行波；
27、所以行波；所以D0。（2）因为，波场沿）因为，波场沿x轴是驻波（两个相反轴是驻波（两个相反方向的行波的迭加），方向的行波的迭加）， 所以：所以：zjkxkxxzexkBxkAzxp)sincos(),(带入边界条件：带入边界条件：00( , )( , )|0|0( , )0( , )0 xxxx hx hp x zux zxp x zp x z0( , )|00 xp x zBx1( , )|0cos0221;0,1,2,3.2x hxxxp x zk hk hnnknhzhnkjnntjexhnAetzxp22)21(02) 12(cos),(.3 , 2 , 1 , 0;41222122nchnchnfnn222)()(1)212(|Nzzktnpffchnkkdtdzcnnz常数222)(1)212(1nnznzngffchnkkcddkdkdc群速度群速度相速度相速度
