1、第第1010章章 传递函数矩阵的状态空间实现传递函数矩阵的状态空间实现状态空间实现简称为实现（状态空间实现简称为实现（Realization）对于线性时不变系统，实现是传递函数矩阵（外部描述）的外对于线性时不变系统，实现是传递函数矩阵（外部描述）的外部等价的状态空间描述（内部描述）部等价的状态空间描述（内部描述）实现的定义实现的定义对于真或严格真连续线性时不变系统，称一个状态空间描述对于真或严格真连续线性时不变系统，称一个状态空间描述DuCxyBuAxx 或简写为或简写为(A, B, C, D)是其传递函数矩阵是其传递函数矩阵G(s)的一个实现，如的一个实现，如果两者为外部等价，即成立关系式：
2、果两者为外部等价，即成立关系式： C(sI - A)-1B+D = G(s) 实现的基本属性实现的基本属性 (1) 实现的维数实现的维数 传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)的实现的实现(A,B,C,D)的结构复杂程度可由其维数的结构复杂程度可由其维数表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维数，即的维数，即 实现的维数实现的维数 = dim A (2) 实现的不惟一性实现的不惟一性 传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)的实现的实现(A,B,C,D)满足强不惟一性，即不仅实满足强不惟一性，即不仅实现结果不惟一，而且其实现维数也不惟一现结果不惟一，而且其实现维数也不惟
3、一(3)最小实现最小实现 传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)的所有实现的所有实现(A,B,C,D)中维数最小的一类实现中维数最小的一类实现(4) 实现间的关系实现间的关系 对传递函数矩阵对传递函数矩阵G(s)，其不同实现间一般不存在代数等价关系，其不同实现间一般不存在代数等价关系，但其最小实现间必具有代数等价关系但其最小实现间必具有代数等价关系(5) 实现的物理本质实现的物理本质 直观上，传递函数矩阵直观上，传递函数矩阵G(s)的实现就是对具有的实现就是对具有“黑箱黑箱”形式形式的真实系统在状态空间领域寻找一个外部等价的内部假想结的真实系统在状态空间领域寻找一个外部等价的内部假想结构，内部假想结
4、构对真实系统的可否完全表征性依赖于系统构，内部假想结构对真实系统的可否完全表征性依赖于系统是否可控可观测。是否可控可观测。 (6) 实现的形式实现的形式 G(s)实现的形式取决于其真性和严格真性。实现的形式取决于其真性和严格真性。n当当G(s)为严格真，其实现对应地具有形式为严格真，其实现对应地具有形式(A,B,C)，即，即D = 0n当当G(s)为真，其实现对应地具有形式为真，其实现对应地具有形式(A, B, C ,D)，即，即D 0，且有且有)(limsGDs (7) 扩展构造其它实现的途径扩展构造其它实现的途径 设状态空间描述设状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵为传递函数矩阵G
5、(s)的一个实现，的一个实现，dim A = n，则对任一，则对任一nn非奇异阵非奇异阵T，状态空间描述，状态空间描述(T -1AT, T -1B, CT, D)必也为必也为G(s)的一个同维实现的一个同维实现能控类和能观测类实现能控类和能观测类实现能控类实现能控类实现称状态空间描述称状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵为传递函数矩阵G(s)的一个可控类实的一个可控类实现，当且仅当现，当且仅当 C(sI - A)-1B+D = G(s) (A, B)可控且具有指定形式可控且具有指定形式 能观测类实现能观测类实现称状态空间描述称状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵为传递函数矩阵G
6、(s)的一个可观测类实的一个可观测类实现，当且仅当现，当且仅当 C(sI - A)-1B+D = G(s) (A, C)可观测且具有指定形式可观测且具有指定形式 当当G(s)以以有理分式矩阵有理分式矩阵或或矩阵分式描述矩阵分式描述形式表达时，可以构成形式表达时，可以构成形式很不相同的能控类、能观测类实现形式很不相同的能控类、能观测类实现最小实现最小实现n所有实现中结构最为简单的实现所有实现中结构最为简单的实现n即从外部等价的角度看，实现中不包含任何多余的部分即从外部等价的角度看，实现中不包含任何多余的部分n最小实现为不可简约实现最小实现为不可简约实现最小实现的判据最小实现的判据 设设(A, B
7、,C)为严格真传递函数矩阵为严格真传递函数矩阵G(s)的一个实现，则其为最小实的一个实现，则其为最小实现的充要条件是现的充要条件是 (A,B)完全可控，完全可控，(A,C)完全可观测完全可观测 严格真传递函数矩阵严格真传递函数矩阵G(s)的最小实现不惟一，但满足广义惟一的最小实现不惟一，但满足广义惟一性。也就是说，若性。也就是说，若(A,B,C) 和和 为为G(s)的任意两个最小实的任意两个最小实现，则必可由此构造出一个现，则必可由此构造出一个nn非奇异常阵非奇异常阵T使下式成立使下式成立),(CBACTCBTBATTA,11最小实现的广义惟一性最小实现的广义惟一性实现的最小维数实现的最小维数
8、 对对qp传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)，r = Rank G(s)， Smith-McMillan型为型为000)()()()()()()()()()(2211sssssssVsGsUsMrrG(s)的状态空间实现的最小维数为的状态空间实现的最小维数为riisn1min)(deg考虑考虑SISO线性时不变系统的传递函数为真标量传递函数线性时不变系统的传递函数为真标量传递函数g(s)esdsnessssssgnnnnn)()()(01110111为实常数esssnssssdnnnnnnn,)()(11011001110111其中其中能控标准型实现能控标准型实现g(s)的严格真部分的严格真部分
9、n(s)/d(s)的可控标准型实现具有形式的可控标准型实现具有形式,1000,1000010000101101210nccnccbA系统特征多项式系统特征多项式0111aaaAInnnCBBaABCBaBAaBACnnnnnn11212110)()(可观测标准型实现可观测标准型实现g(s)的严真部分的严真部分n(s)/d(s)的可观测标准型实现具有形式的可观测标准型实现具有形式100,10001000100012101210ononocbA例：例：，试求其能观测标准型。，试求其能观测标准型。 100,112,020113021CBA29) 1(26) 1(2011302132AI1231000
10、1090111BCCACABPBn0, 9, 2210aaa010901200100100210aaaA100C并联型实现并联型实现g(s)的严格真部分的严格真部分n(s)/d(s)的极点为的极点为 1(1重重)、2(2重重)、m(m重重)， i (i=1m)之和为维数之和为维数 n mikkiikisfsdsn11)()(/)(则则n(s)/d(s)的并联型实现为的并联型实现为(Ap, bp, cp)， g(s)的并联型实现为的并联型实现为(Ap, bp, cp, e)100100,111112111211111mmmppmmmpffffffcbAm真真qp传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)如
11、下如下 G(s) = ( gij(s) ) , i = 1,2, q ; j = 1,2, p )()()()()(sGEsgesgsGspspijijijE = G()。再设。再设Gsp(s)诸元的最小公分母诸元的最小公分母d(s)为为0111)(ssssdlll严格真传递函数严格真传递函数Gsp(s)可进一步表示为可进一步表示为)(1)()(1)(0111PsPsPsdsPsdsGllsp其中，其中，Pk( k = 1,2, l-1 )为为qp常阵常阵可控型实现可控型实现11011000,00llpqcpplpcplpppplplpcPPPCIBIIIIIAGsp(s)的可控型实现具有形式
12、的可控型实现具有形式)(1)()(1)(0111PsPsPsdsPsdsGllsp0111)(ssssdlll例：求出下面例：求出下面G(s)的可控型实现的可控型实现31)3)(1(1)2)(1(111)(sssssssG解：解：G(s)为严格真传递函数矩阵，其中各元的最小公分母为为严格真传递函数矩阵，其中各元的最小公分母为 d(s) = (s+1)(s+2)(s+3) = s3+6s2+11s+6则则G(s)可表示成可表示成)223631151001(61161232365)(1)(22322ssssssssssssdsGG(s)的可控型实现为的可控型实现为103122011536,00,6
13、1160000222222222222cccCIBIIIIIA注：注：Gsp(s)的可控型实现与可观测型实现满足的可控型实现与可观测型实现满足对偶关系对偶关系qoloqlqqqqoICPPPBIIIIIA00,00110110可观测型实现可观测型实现)(1)()(1)(0111PsPsPsdsPsdsGllsp0111)(ssssdlll所示所示Gsp(s)的可观测型实现具有形式的可观测型实现具有形式对于传递函数矩阵对于传递函数矩阵G(s)，按，按MFD为为“右或左右或左MFD”以及以及“分母分母矩阵列既约或行既约矩阵列既约或行既约”可分为可分为4种可能的组合：种可能的组合：n右右MFD Nr
14、(s)Dr-1(s)，Dr(s)列列既约既约 构造控制器型实现构造控制器型实现*n左左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)行行既约既约 构造观测器型实现构造观测器型实现*n右右MFD Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)行行既约既约 构造可控性型实现构造可控性型实现n左左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)列列既约既约 构造可观测性型实现构造可观测性型实现真真qp右右MFD)()()(1sDsNsGrr)()()()()()()(11sDsNEsDsNsNsEDsNrrrrrrr1. 右右MFD的控制器型实现的控制器型实现严格真右严格真右MFDG(s) = Nr(s)Dr-1(
15、s) , 设设Dr(s)列既约列既约控制器型实现控制器型实现 对对qp严格真右严格真右MFD Nr(s)Dr-1(s)， Dr(s)列既约，表示列次列既约，表示列次ciDr(s) = kci， i =1, 2, , p，则称一个状态空间描述，则称一个状态空间描述pircicnkA1dimxCyuBxAxccc形式为完全可控且具有特定),()()()(11ccrrcccBAsDsNBAsIC为其控制器型实现为其控制器型实现其中其中满足满足对真对真qp右右MFD ，其严格真右，其严格真右MFD为为 Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)列既约，列次列既约，列次ciDr(s) = kci， i =1,
16、 2, , p Dr(s) = DhcSc(s) + DLcc(s) Nr(s) = NLcc(s) )()(1sDsNrr控制器型实现的构造控制器型实现的构造其中，其中，Dhc为为Dr(s)的列次系数阵，且的的列次系数阵，且的det Dhc 0，DLc为为Dr(s)的的低次系数阵，低次系数阵， NLc为为Nr(s)的低次系数阵的低次系数阵cpcckkkcssssS21diag)(picirkn1100100100)(11121ssssssscpcckkkc则严格真则严格真Nr(s)Dr-1(s)的控制器型实现的控制器型实现(Ac, Bc, Cc)的系数矩阵为的系数矩阵为rnoccpcoccp
17、cocICkkBkkA,001001,010100101011cpckk1LcchcoccLchcococcNCDBBDDBAA,11而真而真 的控制器型实现为的控制器型实现为(Ac, Bc, Cc , E)。)()(1sDsNrr注注 控制器型实现为控制器型实现为完全可控完全可控，但一般为，但一般为不完全可观测不完全可观测。其中，其中，*表示可能的非零元素，与表示可能的非零元素，与Dr(s)的列次系数阵之间的直接关系为的列次系数阵之间的直接关系为piiDiBpiiDDiAhccLchcc,2, 1,*,2, 1,*11行的第行个的第行的第行个的第无特殊形式LcccpcccpccNCkkBkk
18、A110000*0000*0000*0101*000000*000000*0101*cpckk1 p 解解 容易判断，容易判断， Dr(s)为列既约，且为列既约，且Nr(s)Dr-1(s)为严格真。为严格真。 Dr(s)的列次数的列次数 kc1 = c1Dr(s) = 2 ， kc2 = c2Dr(s) = 3 2)2()254(0)(,10)(2232ssssssDsssNrr0011000001,2104425400,0110LcLchcNDD列次表达式的各个系数矩阵为列次表达式的各个系数矩阵为由此可得由此可得2540021044,011011LchchcDDD0011000001,000
19、0010010,0100000100254000000121044LccccNCBA2. 左左MFD的观测器型实现的观测器型实现考虑真考虑真qp左左MFD)()()(1sNsDsGll)()()()()()()(11sNsDEsNsDsNEsDsNlllllll严格真左严格真左MFD控制器型实现控制器型实现对对qp严格真左严格真左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)行既约，表示行次行既约，表示行次rjDl(s) = krj， j =1, 2, , q，称一个状态空间描述，称一个状态空间描述xCyuBxAxooo为其观测器型实现，为其观测器型实现，其中其中qjlrjonkA1dim如果满
20、足如果满足定形式为完全可观测且具有特),()()()(11oolloooBAsDsNBAsIC观测器型实现的构造观测器型实现的构造对真对真qp左左MFD ，其严格真左，其严格真左MFD为为 Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)行既约，行次行既约，行次rjDl(s) = krj， j =1, 2, , q ，利用行次表达式：，利用行次表达式： Dl(s) = Sr(s)Dhr + r(s)DLr NL(s) = r(s)NLr )()(1sNsDll其中，其中，Dhr为为Dl(s)的行次系数阵，且的的行次系数阵，且的det Dhr 0，DLr为为Dl(s)的低次系数阵，的低次系数阵， NLr为为
21、Nl(s)的低次系数阵的低次系数阵11)(,diag)(111121sssssknssssSrqrrqrrkkrqjrjlkkkr其核心其核心MFD Sr-1(s)r(s)的实现为的实现为 ，这里，这里),(ooooooCBA001001,01010010101oonoorqrooCIBkkAlrqrkk1rqrkk1oohroLrooohrLroooCDCNBCDDAA11,而真而真 的控制器型实现为的控制器型实现为(Ao, Bo, Co , E)。)()(1sNsDll 注注 观测器型实现为观测器型实现为完全可观测完全可观测，但一般为，但一般为不完全可控不完全可控。其中，其中，*表示可能的
22、非零元素，与表示可能的非零元素，与Dl(s)的行次系数阵之间的直接关系为的行次系数阵之间的直接关系为qjjDjBqjjDDjAhrohrLro,2, 1,*,2, 1,*11列的第列个的第列的第列个的第qCNBkkAoLrorqrc00*00*00*00*,0*10*1*00*00*00*00*00*00*0*10*1*1 rqrkk1 rqrkk1最小实现是传递函数矩阵的维数最小即结构最简单的一类实现最小实现是传递函数矩阵的维数最小即结构最简单的一类实现1.不可简约右不可简约右MFD的最小实现的最小实现对对qp严格真右严格真右MFD Nr(s)Dr-1(s)，设，设 n = deg detD
23、r(s)，表，表(Ac, Bc, Cc)为为“Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)列既约列既约”的的n维控制器型实现，维控制器型实现，(Aco, Bco, Cco)为为“Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)行既约行既约”的的 n 维可控性型实维可控性型实现，则有现，则有 (Ac, Bc, Cc)为最小实现为最小实现 Nr(s)Dr-1(s)不可简约不可简约 (Aco, Bco, Cco)为最小实现为最小实现 Nr(s)Dr-1(s)不可简约不可简约 对对qp严格真右严格真右MFD Nr(s)Dr-1(s)， Dr(s)列既约或行既约，列既约或行既约，n = deg detDr(s)，表，表(A
24、, B, C)为其任意形式的为其任意形式的 n 维实现，则有维实现，则有 (A, B, C)为最小实现为最小实现 Nr(s)Dr-1(s)不可简约不可简约 注：上述描述为由右注：上述描述为由右MFD确定最小实现提供了一条易于获得确定最小实现提供了一条易于获得的途径，但这并不意味着右的途径，但这并不意味着右MFD的最小实现只可能有控制器的最小实现只可能有控制器型或可控性型。下面的结论对于给出型或可控性型。下面的结论对于给出MFD的最小实现更具普的最小实现更具普遍性遍性2 .不可简约左不可简约左MFD的最小实现的最小实现 对对qp严格真左严格真左MFD Dl-1(s)Nl(s)，设，设 n = d
25、eg detDl(s)，表，表(Ao, Bo, Co)为为“Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)行既约行既约”的的n维观测器型实维观测器型实现，现，(Aob, Bob, Cob)为为“Dl-1(s)Nl(s) ，Dl(s)列既约列既约”的的 n 维可维可观测性型实现，则有观测性型实现，则有 (Ao, Bo, Co) 为最小实现为最小实现 Dl-1(s)Nl(s)不可简约不可简约 (Aob, Bob, Cob)为最小实现为最小实现 Dl-1(s)Nl(s)不可简约不可简约 注：同样，上述结论并不意味着左注：同样，上述结论并不意味着左MFD的最小实现只可能有的最小实现只可能有观测器型或可观测性型。
26、下面给出左观测器型或可观测性型。下面给出左MFD的最小实现的一个的最小实现的一个更具普遍性的结论更具普遍性的结论对对qp严格真左严格真左MFD Dl-1(s)Nl(s) ，Dl(s)行既约或列既约，行既约或列既约，n = deg detDl(s)，表，表(A, B, C)为其任意形式的为其任意形式的 n 维实现，则有维实现，则有 (A, B, C)为最小实现为最小实现 Dl-1(s)Nl(s)不可简约不可简约3 .确定最小实现的途径确定最小实现的途径 对严格真可简约对严格真可简约MFD，确定最小实现的途径包括频域法和时，确定最小实现的途径包括频域法和时域法两种域法两种 频域法的途径频域法的途径
27、 严真可简约严真可简约MFD，分母矩阵为列既约或行既约，分母矩阵为列既约或行既约导出不可简约导出不可简约MFD，分母矩阵为列既约或行既约，分母矩阵为列既约或行既约导出导出“控制器型控制器型/可控性型实现可控性型实现”或或“观测器型观测器型/可观测性型实现可观测性型实现所得实现为最小实现，且维数等于分母矩阵行列式的次数所得实现为最小实现，且维数等于分母矩阵行列式的次数时域法的途径：时域法的途径： 严真可简约严真可简约MFD，分母矩阵为列既约或行既约，分母矩阵为列既约或行既约对于可控类实现对于可控类实现按可观测性分解按可观测性分解导出可控可观测部分导出可控可观测部分(Aco, Bco, Cco) 最小实现即为最小实现即为(Aco, Bco, Cco)；对于可观测类实现对于可观测类实现按可控性分解按可控性分解导出可观测可控部分导出可观测可控部分(Aoc, Boc, Coc) 最小实现即为最小实现即为(Aoc, Boc, Coc)
