1、机械制图与计算机绘图20122012年年2 2月月第二章第二章 正投影法与三视图正投影法与三视图学习目的学习目的 1 1、学习用、学习用正投影法正投影法表达空间几何形体和图解简单空间几表达空间几何形体和图解简单空间几何问题的基本原理和方法。何问题的基本原理和方法。 2 2、掌握点、直线、平面在第一角中各种位置的投影特性、掌握点、直线、平面在第一角中各种位置的投影特性和作图方法。和作图方法。知识要点知识要点 1 1、了解投影的一般知识，掌握、了解投影的一般知识，掌握正投影正投影的基本概念。的基本概念。 2 2、掌握点、直线、平面在第一角中各种位置的投影特性、掌握点、直线、平面在第一角中各种位置的
2、投影特性和作图方法。和作图方法。 3 3、掌握用换面法求作线段的真长、平面图形的真形，以、掌握用换面法求作线段的真长、平面图形的真形，以及它们对投影面的倾角。（及它们对投影面的倾角。（不做要求不做要求）2.1 2.1 投影法的基本知识投影法的基本知识1 1、投影法投影法：投射线通过物体向选定的面投射，并在该面投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。上得到图形的方法。空间点空间点表表示：用示：用大大写字母写字母，如如 A A、B B、C C，投影点投影点表表示：用示：用小小写字母写字母，如如 a a、b b、c c2 2、投影法分类投影法分类 （1 1）中心投影法：投射线相交。（
3、）中心投影法：投射线相交。（图图2-12-1）（2 2）平行投影法：投射线平行。）平行投影法：投射线平行。 正投影法正投影法：投射线垂直于投影面投射线垂直于投影面（图图2-2a2-2a） 斜投影法：投射线倾斜于投影面（斜投影法：投射线倾斜于投影面（图图2-2b2-2b）。）。22正投影的基本投影特性正投影的基本投影特性 2.2 三视图的基本原理三视图的基本原理视图视图：据制图标准规定，用：据制图标准规定，用正投影法正投影法所绘制的物体图形。所绘制的物体图形。1 1、三投影面体系三投影面体系一般只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须将形体一般只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须
4、将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。设立三个互相垂直的平设立三个互相垂直的平面，叫做面，叫做三投影面三投影面。这。这三个平面将空间分为八三个平面将空间分为八个部分，每一部分叫做个部分，每一部分叫做一个分角，分别称为一个分角，分别称为分角、分角、分角分角 分分角，角，如图所示如图所示。我们把。我们把这个体系叫这个体系叫三投影面体三投影面体系系，国家标准，国家标准机械制机械制图图(GB4458.184)(GB4458.184)规规定定“采用采用第一角投影法第一角投影法”如下图是如下图是第一分角第一分角的的三投影面体系三投
5、影面体系。正对着我们的正立投影面正对着我们的正立投影面称为称为正面正面，用，用 V V 标记标记 ( ( 也称也称 V V 面面 ) ) ；水平位；水平位置的投影面称为置的投影面称为水平面水平面，用用 H H 标记标记 ( ( 也称也称 H H 面面 ) ) ；右边的侧立投影面；右边的侧立投影面称为称为侧面侧面，用，用 W W 标记标记 ( ( 也称也称 W W 面面 ) ) 。投影面。投影面与投影面的交线称为与投影面的交线称为投影投影轴轴，分别以，分别以OX OX 、OY OY 、OZOZ 标记。三根投影轴的交点标记。三根投影轴的交点 O O 叫叫原点原点。 2 2、三视图的形成三视图的形成
6、将物体放在三面投影体系内，分别向三个投影面投射，将物体放在三面投影体系内，分别向三个投影面投射，V V面保持不动面保持不动，H H面面向下向下绕绕OXOX轴旋转轴旋转9090，W W面面向右向右绕绕OZOZ轴旋轴旋转转9090。得到物体的三视图：得到物体的三视图：主视图主视图（V V面上）、面上）、俯视图俯视图（H H面上）、面上）、左视图左视图（W W面上），面上），如图所示。如图所示。图图2-3 2-3 三视图的形成三视图的形成三视图画图要求三视图画图要求：1 1、投影面边框及投影轴不画。、投影面边框及投影轴不画。2 2、三个视图相对位置不能变动。、三个视图相对位置不能变动。3 3、三个视
7、图名称不必标。、三个视图名称不必标。三视图配置三视图配置3 3、三视图的投影关系三视图的投影关系（1 1）每个视图所反映的形体尺寸情况每个视图所反映的形体尺寸情况主视图主视图 反映了形体的反映了形体的高度高度尺寸和的尺寸和的长度长度尺寸。尺寸。俯视图俯视图 反映了形体的反映了形体的长度长度尺寸和的尺寸和的宽度宽度尺寸。尺寸。左视图左视图 反映了形体的反映了形体的高度高度尺寸和的尺寸和的宽度宽度尺寸。尺寸。（2 2）投影规律（尺寸关系）投影规律（尺寸关系）投影规律投影规律：主、俯视图：主、俯视图长对正长对正，主、左视图，主、左视图高平齐高平齐，俯、，俯、左视图左视图宽相等宽相等，即，即“长对正，
8、高平齐，宽相等长对正，高平齐，宽相等”。特别提示特别提示：画图、读图时都应严格遵循和应用。画图、读图时都应严格遵循和应用。（3 3）位置关系：）位置关系：如图如图（4 4）方位关系方位关系任何形体在空间都具有任何形体在空间都具有上、下、左、右、前、后上、下、左、右、前、后六个方位，六个方位，形体在空间的六个方位和三视图所反映形体的形体在空间的六个方位和三视图所反映形体的方位方位主视图主视图反映了形体的上、下和左、右方位关系；反映了形体的上、下和左、右方位关系；俯视图俯视图反映了形体的左、右和前、后方位关系；反映了形体的左、右和前、后方位关系；左视图左视图反映了形体的上、下和前、后位置关系。反映
9、了形体的上、下和前、后位置关系。正面放着主视图，正面放着主视图，俯视画在它下面，俯视画在它下面，右边画着左视图，右边画着左视图，三图位置不改变三图位置不改变 特别提示特别提示：物体上下主、左见；物体左右主、俯现；物体上下主、左见；物体左右主、俯现；物体前后看左、俯，里是后边外是前。物体前后看左、俯，里是后边外是前。4 4、视图中的图线及线框的含义视图中的图线及线框的含义（1 1）视图）视图中的中的图线图线（直线和曲线直线和曲线）表示含义：表示含义：积聚性表面的投影积聚性表面的投影。平面的积聚投影为直线，柱面的积。平面的积聚投影为直线，柱面的积聚投影为曲线。聚投影为曲线。表面和表面的交线投影表面
10、和表面的交线投影。曲面转向轮廓线的投影曲面转向轮廓线的投影。（2 2）视）视图中的图中的线框线框表示的含义：表示的含义：表示平面、曲面、孔的投影表示平面、曲面、孔的投影。空间封闭曲线（如相贯线）的投影空间封闭曲线（如相贯线）的投影。特别提示：特别提示：任何相邻的两个封闭线框任何相邻的两个封闭线框，应是物体上，应是物体上相交相交的的两个面的投影，或是同向两个面的投影，或是同向错位错位的两个面的投影。的两个面的投影。返回返回返回孔的投影孔的投影返回正交两圆柱的相贯线相贯线投影相贯线投影返回相交面投影相交面投影相错面投影相错面投影图线与图框含义练习关于转向轮廓线和物体三视图的一般画法在组合体的视图部
11、分讲解关于转向轮廓线和物体三视图的一般画法在组合体的视图部分讲解6 6、画物体三视图的步骤、画物体三视图的步骤形体分析物体确定主视图的投射方向，根据三视图的投影形体分析物体确定主视图的投射方向，根据三视图的投影规律绘制物体的三视图。规律绘制物体的三视图。如图所示如图所示物体的画图步骤如下：物体的画图步骤如下：（1 1）分析确定）分析确定A A向为主视的投射方向，向为主视的投射方向，如图（如图（a a）（2 2）画基准线，）画基准线，如图（如图（b b）（3 3）画底板三视图，）画底板三视图，如图（如图（c c）（4 4）画竖板三视图，）画竖板三视图，如图（如图（d d）（5 5）画竖板上孔的三
12、视图，）画竖板上孔的三视图，如图（如图（e e）（6 6）整理完成全图，）整理完成全图，如图（如图（f f）物体三视图的画图步骤物体三视图的画图步骤返回返回2.3 物体上点、直线、平面的投影任何立体都是由点、直线、面等几何元素所组成。任何立体都是由点、直线、面等几何元素所组成。显然画显然画三棱锥的三视图，实质上是画这些点、线、面的投影。三棱锥的三视图，实质上是画这些点、线、面的投影。三棱锥表面上点、线、面的投影三棱锥表面上点、线、面的投影2.3.1 2.3.1 点的三面投影点的三面投影 如图所示，由空如图所示，由空间点间点A A分别引垂直分别引垂直于三个投影面于三个投影面H H、V V、W W
13、 的投射线，的投射线，与投影面相交，与投影面相交，得到得到A A点的三个投点的三个投影影a a、a a 、aa。空间点的每一个空间点的每一个坐标值，反映了坐标值，反映了该点到某投影面该点到某投影面的距离。的距离。 点的投影（点的投影（a a）Y YA AX XA AZ ZA A为了将空间三个投影面为了将空间三个投影面上的投影画在同一平面上的投影画在同一平面上，上，规定规定：V V面不动面不动，H H面绕面绕OXOX轴向下旋转轴向下旋转9090，与与V V面重合面重合；W W面绕面绕OZOZ轴轴向后旋转向后旋转9090，与，与V V面重面重合合，去掉投影面的边框去掉投影面的边框，得到展开后点得到
14、展开后点A A的三面投的三面投影图，如图。影图，如图。 图图2-4 2-4 点的投影（点的投影（b b）特别提示特别提示：Y Y轴随轴随H H面旋转时，以面旋转时，以Y YH H表示；随表示；随W W面旋转时，以面旋转时，以Y YW W表示。表示。规定：规定：空间点用大写字母空间点用大写字母，B B ，C C 标记标记H H面上的投影用同名小写面上的投影用同名小写字母字母 a a ，b b ，c c 标记标记V V面上的投影用同名小写面上的投影用同名小写字母加一撇字母加一撇 aa，bb，cc标记标记W W面上的投影用同名小写面上的投影用同名小写字母加二撇字母加二撇aa，bb， c c 标记标记
15、在图中用细实线将点的两面投影连接起来，称为在图中用细实线将点的两面投影连接起来，称为投影连线投影连线，如如a aa a，aaaa。a a与与aa不能直接相连不能直接相连，需借助于需借助于 4545斜斜线线来实现这个联系。来实现这个联系。 一、点的三面投影与直角坐标的关系一、点的三面投影与直角坐标的关系 （1 1）空间点）空间点A A的任一投影，的任一投影，均反应了该点的某两个坐均反应了该点的某两个坐标值，即标值，即a a（X XA A，Y YA A） a a （X XA A，Z ZA A），），aa（Y YA A， Z ZA A）（2 2）空间）空间A A点的直角坐点的直角坐标标 X XA A
16、 、Y YA A 、Z ZA A 与点与点的三面投影的三面投影 a a 、aa、aa之间的关系如下：之间的关系如下：点的三面投影点的三面投影X XA A=aa=aay y = aa = aaz z = = a ax x0 0 = A = A点到点到W W面的距离；面的距离；Y YA A=aa=aax x = aa = aaz z = = a ay y0 0 = A = A点到点到V V面的距离；面的距离；Z ZA A= aa= aax x = aa = aay y = =a az zO O = A= A点到点到H H面的距离。面的距离。空间点的每一个空间点的每一个坐标值坐标值，反映了该点到某投
17、影面的，反映了该点到某投影面的距离距离。结论结论：（：（1 1）点的）点的任意任意两个投影反映了点的两个投影反映了点的三个三个坐标值。坐标值。（2 2）有了点的）有了点的三个三个坐标值，就能坐标值，就能唯一唯一确定点的确定点的三面投影三面投影。二、点的三面投影规律二、点的三面投影规律1 1、点的正面投影与水平投影的连线垂直于、点的正面投影与水平投影的连线垂直于OXOX轴，即轴，即aaOXaaOX；2 2、点的正面投影与侧面投影的连线垂直于、点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZOZ轴，即轴，即aaOZaaOZ；3 3、点的水平投影与侧面投影具有、点的水平投影与侧面投影具有相同相同的的y y坐标
18、坐标。如图如图三、两点间的相对位置三、两点间的相对位置两点间的两点间的相对位置相对位置：空间两点之间空间两点之间上下上下、左右左右、前后前后的的位置关系。位置关系。据两点的坐标，可判定空间两点间的相对位置。两点中，据两点的坐标，可判定空间两点间的相对位置。两点中，x x坐标值大的在坐标值大的在左左；y y坐标值大的在坐标值大的在前前；z z坐标值大的在坐标值大的在上上。如图如图2-52-5，点，点A A在点在点B B之左、前、下方。之左、前、下方。点在三面投影体系中得到投影图的过程及投影规律点在三面投影体系中得到投影图的过程及投影规律辅导与讨论辅导与讨论: :已知点已知点A A的正面投影的正面
19、投影aa和水平投影和水平投影a a，求作点，求作点A A的侧面投影的侧面投影a a 返回 两点间的相对位置两点间的相对位置 四、重影点及其可见性四、重影点及其可见性1 1、重影点重影点：属于属于同一条投射线同一条投射线上的点上的点，在该投射线所垂，在该投射线所垂直的投影面上的投影重合为一点。空间的这些点，称为直的投影面上的投影重合为一点。空间的这些点，称为该投影面的该投影面的重影点重影点。如图如图特别提示特别提示：重影点有两对同名坐标值对应相等重影点有两对同名坐标值对应相等。2 2、可见性可见性：如图如图2-62-6所示所示，a a 与与b b 在在V V面上重影且空间面上重影且空间A A点在
20、前，点在前，B B点在后，点在后，a a 可见可见 ；cc与与aa在在W W面上重影且空面上重影且空间间C C点在左，点在左，A A点在右，点在右，cc可见可见。因此，判断重影点的可见性，是根据它们因此，判断重影点的可见性，是根据它们不等不等的那个坐的那个坐标值标值来确定，即来确定，即坐标值坐标值大大的的可见可见，坐标值，坐标值小小的的不可见不可见。特别提示特别提示： 点的不可见投影点的不可见投影加括号加括号表示表示。返回返回重重 影影 点点（b)b)(b)(b)图图2-6 2-6 重影点和可见性重影点和可见性返回返回辅导与讨论：重影点及其可见性判别辅导与讨论：重影点及其可见性判别例例1 1：
21、已知：已知A A点的坐标值点的坐标值 A(12 A(12 ，10 10 ，15) 15) ，求作，求作A A点的三点的三面投影图。面投影图。作图作图：先在三个轴上量取相应的坐标值，得：先在三个轴上量取相应的坐标值，得 a aX X、a aYHYH、a a YWYW 、 a aZ Z 等点，然后过这些点作所在轴的垂线，其交点便是等点，然后过这些点作所在轴的垂线，其交点便是 a a 、 aa和和 aa，如图所示。，如图所示。 例例2 2：已知点的两面投影，求作第三面投影。：已知点的两面投影，求作第三面投影。作图作图：如图所示，过已知两面投影分别作相应轴的垂线，两：如图所示，过已知两面投影分别作相应
22、轴的垂线，两垂线的交点即为所求。垂线的交点即为所求。特别提示：特别提示：为保证水平投影与侧面投影有相同为保证水平投影与侧面投影有相同y y坐标，可过坐标，可过o o点作点作4545辅助线。辅助线。(a)(a)知知 a a 、a a 求求 aa(b)(b)已知已知 a a 、a a 求求 a a (c)(c)已知已知 a a 、a a 求求 aa 2.3.2 2.3.2 直线的投影直线的投影一、直线的投影一、直线的投影 直线的投影，由直线上两点的直线的投影，由直线上两点的同面投影同面投影连线连线来决定。来决定。如图如图二、各种位置直线的投影二、各种位置直线的投影根据直线在投影面体系中对三个投影面
23、所处的位置不同，根据直线在投影面体系中对三个投影面所处的位置不同，可将直线分为可将直线分为一般位置直线一般位置直线、投影面平行线投影面平行线和和投影面垂直投影面垂直线线三类。其中，后两类统称为特殊位置直线。三类。其中，后两类统称为特殊位置直线。如表如表1 1、一般位置直线、一般位置直线 一般位置直线一般位置直线：与三个投影面都成倾斜状态的直线。该直与三个投影面都成倾斜状态的直线。该直线与其投影之间的夹角为直线对该投影面的线与其投影之间的夹角为直线对该投影面的倾角倾角。直线对。直线对 H H 、V V 、W W 面的倾角分别用面的倾角分别用 a a、 表示。表示。如图如图直线投影直线投影返回返回
24、返回返回图图2-7 2-7 一般位置直线的投影一般位置直线的投影投影特点：投影特点：（1 1）直线的三面投影都是）直线的三面投影都是直线直线且且倾斜于投影轴倾斜于投影轴，与投影，与投影轴的夹角，均不反映直线对投影面的倾角；轴的夹角，均不反映直线对投影面的倾角；（2 2）直线的三面投影的）直线的三面投影的长度都短于实长长度都短于实长，其投影长度：，其投影长度：ab=ABcosab=ABcos，ab= ABcosab= ABcos，ab= ABcosab= ABcos。特别提示：特别提示：在投影图上，如果直线的在投影图上，如果直线的两个投影两个投影均均与与投影轴投影轴倾斜倾斜，则可判定该直线为，则
25、可判定该直线为一般位置直线一般位置直线。2 2、投影面平行线、投影面平行线投影面平行线投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的直线。斜的直线。投影面平行线有投影面平行线有三种情况三种情况：平行于平行于H H面而与面而与V V、W W面倾斜的直线称为面倾斜的直线称为水平线水平线。平行于平行于V V面而与面而与H H、W W面倾斜的直线称为面倾斜的直线称为正平线正平线。平行于平行于W W面而与面而与H H、V V面倾斜的直线称为面倾斜的直线称为侧平线侧平线。以正平线为例以正平线为例：分析其投影特点，分析其投影特点，如图所示如图所示1)1)因为因为A
26、BbaABba是矩形，所以：是矩形，所以：abABabAB，ab= ABab= AB2)2)因为因为ABAB上各点到上各点到V V面等距，即面等距，即Y Y坐标相等，所以：坐标相等，所以：abOX abOX abOZabOZ ；3)3)因为因为abABabAB，abOXabOX，abOZabOZ。所以。所以abab与与OXOX轴、轴、OZOZ轴的夹角，即为轴的夹角，即为ABAB对对H H面、面、W W面的面的真实倾角真实倾角、。abab=ABcos=ABcosABAB， abab=ABcos=ABcosABAB 正平线投影特点正平线投影特点：1 1、abab反映实长和实际倾角反映实长和实际倾角
27、、；2 2、abOXabOX，abOZabOZ，长度缩短。，长度缩短。 立体图立体图投影图投影图投影面平行线的投影特性，如下表所示。投影面平行线的投影特性，如下表所示。名名 称称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性 正正 平平 线线1 1abab反映实长反映实长和实际倾角和实际倾角、；2 2abOXabOX，abOZabOZ，长度，长度缩短缩短 名名 称称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性 水水 平平 线线1 1cdcd反映实长和反映实长和实际倾角实际倾角、；2 2cdOXcdOX，cdOYcdOYW W，长，长度缩短度缩短 侧侧 平平 线线 1 1efef反映实反映实长和实际倾角长
28、和实际倾角、；2 2efOZefOZ，efOYefOYH H，长度缩，长度缩短短投影面的平行线的投影特点：投影面的平行线的投影特点：（1 1）在所平行的投影面上的投影反映）在所平行的投影面上的投影反映实长实长（实形性实形性），），与投影轴的夹角分别反映直线对另两投影面的与投影轴的夹角分别反映直线对另两投影面的真实倾角真实倾角。（2 2）在另两投影面上的投影，分别）在另两投影面上的投影，分别平行平行于相应的于相应的投影轴投影轴，且且长度缩短长度缩短。3 3、投影面垂直线、投影面垂直线投影面垂直线投影面垂直线：垂直于一个投影面，平行另外两个投影面：垂直于一个投影面，平行另外两个投影面的直线。的直线
29、。三种情况三种情况：垂直于：垂直于H H面的直线，称为面的直线，称为铅垂线铅垂线；垂直于；垂直于V V面的面的直线，称为直线，称为正垂线正垂线；垂直于；垂直于W W面的直线，称为面的直线，称为侧垂线侧垂线。以以正垂线正垂线为例为例：分析其投影特点，：分析其投影特点，如图所示如图所示（1 1）因为）因为ABVABV面，所面，所以以abab积聚成一点积聚成一点（2 2）因为）因为ABWABW面，面， ABHABH面，面，ABAB上各点的上各点的x x坐标、坐标、z z坐标分别相坐标分别相等，所以，等，所以，abOYabOYH H abOYabOYW W ，且，且ab= ab= ab=ABab=AB
30、立体图立体图投影图投影图正垂线的投影特点正垂线的投影特点：1 1、a(b)a(b)积聚积聚成一点；成一点；2 2、abOYabOYH H，abOYabOYW W，都反，都反映实长。映实长。 投影面垂直线的投影特性如下表所示。投影面垂直线的投影特性如下表所示。名名 称称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性 正正 垂垂 线线1 1a(b)a(b)积聚积聚成一点；成一点；2 2abOYabOYH H，abOYabOYW W，都，都反映实长反映实长 名名 称称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性 铅铅 垂垂 线线1 1、c(d)c(d)积聚成一点；积聚成一点； 2 2、cdOZcdOZ，cdO
31、ZcdOZ，都反，都反映实长映实长 侧侧 垂垂 线线1 1、e(f )e(f )积聚积聚成一点；成一点；2 2、efOXefOX，ef ef OXOX，都反映实，都反映实长长投影面的投影面的垂直线垂直线的投影特点：的投影特点：（1 1）在所垂直的投影面上的投影积聚成一点（）在所垂直的投影面上的投影积聚成一点（积聚性积聚性）（2 2）在另外两个投影面上投影平行于相应的投影轴，且）在另外两个投影面上投影平行于相应的投影轴，且均反映实长（均反映实长（实形性实形性）特别提示：特别提示：特殊位置直线特殊位置直线的的判断判断 （1 1）若直线的某一面投影积聚成一个点）若直线的某一面投影积聚成一个点, ,则
32、此直线为该投则此直线为该投影面的垂直线；影面的垂直线；（2 2）若直线有投影平行于投影轴且）若直线有投影平行于投影轴且三面投影无积聚点三面投影无积聚点, , 则该直线为投影面平行线则该直线为投影面平行线, , 且平行于投影成倾斜的那个投且平行于投影成倾斜的那个投影面，该倾斜的投影反映实长影面，该倾斜的投影反映实长 。投影面的投影面的一般位置直线一般位置直线投影特性小结投影特性小结投影面的投影面的平行线平行线投影特性小结投影特性小结投影面的投影面的垂直线垂直线投影特性小结投影特性小结【例例】 已知直线已知直线AB的的V、H两面投影，求其两面投影，求其W面投影。面投影。三、点与直线三、点与直线1
33、1、点从属于直线点从属于直线（1 1）若点在直线上）若点在直线上, , 则点的各面投影必在直线的同面投则点的各面投影必在直线的同面投影上。反之，在投影图中，若点的各面投影在直线的同面影上。反之，在投影图中，若点的各面投影在直线的同面投影上，则点必在直线上。投影上，则点必在直线上。如图如图（2 2）直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。这）直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。这一投影特性，称为一投影特性，称为定比性定比性。如图如图2 2、点不从属于直线点不从属于直线若点不在直线上，则点的投影若点不在直线上，则点的投影至少有一个至少有一个不在该直线的同不在该直线的同面投影上。反之，在投影
34、图中，若点的投影面投影上。反之，在投影图中，若点的投影有一个不在有一个不在直直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。线的同名投影上，则该点必不在此直线上。如图如图从属于直线的点从属于直线的点AC/CB=ac/cb=ac/cbAC/CB=ac/cb=ac/cb点不从属于直线点不从属于直线N N点不在直线点不在直线ABAB上上, ,在在ABAB的前方的前方特别提示：特别提示：1 1、例题、例题2 2，依据：属于线段的点，分线段之比等于其投影，依据：属于线段的点，分线段之比等于其投影之比，即定比性。之比，即定比性。2 2、例题、例题3 3，因直线，因直线ABAB为侧平线不能由两面投影来判定点是为侧平
35、线不能由两面投影来判定点是否属于直线，可由两种方法来解决。否属于直线，可由两种方法来解决。分析：虽然分析：虽然k k在在abab上，上，kk也在也在abab上，且上，且 kkOX kkOX 轴，轴，但因但因 ak : kb ak: kbak : kb ak: kb不符合不符合定比性定比性，故可直，故可直接判断接判断K K点不在直线点不在直线 ABAB上。上。也可作出也可作出ABAB和和K K的的W W面投影进行判断，面投影进行判断，结论是一致的结论是一致的。四、四、两直线的相对位置两直线的相对位置三种情况：三种情况：相交、平行、交叉相交、平行、交叉（即不相交，又不平行，亦（即不相交，又不平行，
36、亦称称异面异面）。）。 名称名称立体图立体图投影图投影图判断条件判断条件 相相 交交若空间两直线相交若空间两直线相交则其同名投影必相则其同名投影必相交，且交点的投影交，且交点的投影必符合空间点的投必符合空间点的投影规律，反之亦然影规律，反之亦然 名名 称称立体图立体图投影图投影图判断条件判断条件 平平 行行空间两直线平行，空间两直线平行，则其各同面投影必则其各同面投影必相互平行或重合，相互平行或重合，反之亦然。反之亦然。 交交 叉叉 两直线交叉，其投两直线交叉，其投影不具有两直线平影不具有两直线平行或相交的投影特行或相交的投影特性。性。（1 1）同面投影可能相）同面投影可能相交，但交，但 “交
37、点交点”不符不符合空间点的投影规律。合空间点的投影规律。（2 2）“交点交点”是两直是两直线上的一对重影点的线上的一对重影点的投影，用其可帮助判投影，用其可帮助判断两直线的空间位置断两直线的空间位置交叉直线的投影交叉直线的投影特别提示特别提示：交叉直线交叉直线方法二方法二：运用点在直线上的：运用点在直线上的定比性定比性来进行判断，则可不作出来进行判断，则可不作出W W面面投影：由于投影：由于 ak: kb ak : kb ak: kb ak : kb ，故，故K K点不是点不是 AB AB 直线直线上的点，所以直线上的点，所以直线 AB AB 与直线与直线 CD CD 不相交。不相交。方法一方
38、法一：由于直线：由于直线ABAB是是侧平线侧平线，故不能只看故不能只看H H、V V面投影，必须作面投影，必须作出出ABAB和和CDCD直线在直线在W W面上的投影进面上的投影进行检查。虽然它们的行检查。虽然它们的W W面投影也面投影也相交，但其交点的相交，但其交点的连线与投影轴连线与投影轴不垂直不垂直，故，故ABAB与与CDCD两直线不相交两直线不相交。【例例1 1】如图所示：判定直线如图所示：判定直线ABAB与与CDCD是否相交。是否相交。【例例2 2】 如图如图2-92-9所示，判断两直线所示，判断两直线ABAB、CDCD是否平行。是否平行。【解解】由由ABAB、CDCD的两面投影可知，
39、的两面投影可知，ABAB、CDCD都是都是侧平侧平线线，要判断其是，要判断其是否平行，可否平行，可补画补画出两直线的出两直线的侧面侧面投影投影，如图，如图a ab b与与c cd d不平不平行，所以行，所以ABAB与与CDCD不平行。不平行。图图2-9 2-9 判断两直线是否平行判断两直线是否平行2.3.3 2.3.3 平面的投影平面的投影几何元素几何元素表示表示： 用平面上的点、直线或平面图形等几何用平面上的点、直线或平面图形等几何元素的投影来表示平面的投影，如图元素的投影来表示平面的投影，如图。平面的平面的五种形式五种形式都是从第一种演变而来，可以都是从第一种演变而来，可以互相转换互相转换
40、。一、一、各种位置平面的投影各种位置平面的投影三种位置：三种位置：一般位置平面一般位置平面、投影面垂直面投影面垂直面和和投影面平行面投影面平行面三类。三类。其中，后两类统称为其中，后两类统称为特殊位置平面特殊位置平面。1 1、一般位置平面一般位置平面一般位置平面一般位置平面：倾斜于三个投影面的平面。平面与投影面：倾斜于三个投影面的平面。平面与投影面的夹角称为平面对投影面的的夹角称为平面对投影面的倾角倾角，平面对，平面对H H、V V和和W W面的倾面的倾角分别用角分别用、和和表示。表示。如图如图2-122-12所示所示，三角形，三角形ABCABC倾斜于倾斜于V V、H H、W W面，是一般位置
41、面，是一般位置平面。它的三个投影都是平面。它的三个投影都是ABCABC的的类似形类似形，且均不能直接，且均不能直接反映该平面对投影面的真实倾角。反映该平面对投影面的真实倾角。投影特性投影特性：三个投影都是：三个投影都是小于实形小于实形的的类似形类似形，也不反映其，也不反映其倾角倾角、 。判别方法判别方法：在投影图中，如果平面的三面投影都是在投影图中，如果平面的三面投影都是封闭线封闭线框框或或三条迹线三条迹线均与均与投影轴投影轴倾斜倾斜，则该平面是一般位置平面，则该平面是一般位置平面 图图2-12 2-12 一般位置平面一般位置平面 投影面的一般位置面投影特性小结投影面的一般位置面投影特性小结2
42、 2、投影面垂直面投影面垂直面投影面垂直面：投影面垂直面：三投影面体系中，三投影面体系中，垂直垂直于于一个投影面一个投影面，而，而与另外与另外两个投影面倾斜两个投影面倾斜的平面。的平面。类型：类型：(1)(1)铅垂面铅垂面 (2)(2)正垂面正垂面 (3)(3)侧垂面侧垂面 如图如图，以，以正垂面正垂面为例，讨论投影面垂直面的投影特点。为例，讨论投影面垂直面的投影特点。 投影面垂直面的投影面垂直面的投影特征投影特征：（1 1）在它所垂直的投影面上的投影，）在它所垂直的投影面上的投影，积聚积聚成成直线直线，它与，它与投影轴的夹角投影轴的夹角, ,分别反映该平面与分别反映该平面与另另两投影面的真实
43、倾角两投影面的真实倾角（2 2）另外两面投影为面积缩小的）另外两面投影为面积缩小的类似形类似形。判别方法：判别方法：在投影图中，只要有在投影图中，只要有一面投影一面投影积聚积聚成一条成一条与与投影轴倾斜投影轴倾斜的的直线直线，则该平面一定为该投影面垂直面。，则该平面一定为该投影面垂直面。返回返回如表，三种投影面垂直面的立体图、投影图和投影特性。如表，三种投影面垂直面的立体图、投影图和投影特性。名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性 正正 垂垂 面面(1)(1)正面投影积聚正面投影积聚成直线，并反映真成直线，并反映真实倾角。实倾角。(2)(2)水平投影、侧水平投影、侧面投影仍为平面图面
44、投影仍为平面图形，面积缩小形，面积缩小名名 称称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性 铅铅 垂垂 面面(1)(1)水平投影积聚水平投影积聚成直线，并反映成直线，并反映真实倾角。真实倾角。(2)(2)正面投影、侧正面投影、侧面投影仍为平面面投影仍为平面图形，面积缩小图形，面积缩小 侧侧 垂垂 面面 (1)(1)侧面投影积聚侧面投影积聚成直线，并反映成直线，并反映真实倾角。真实倾角。(2)(2)正面投影、水正面投影、水平投影仍为平面平投影仍为平面图形，面积缩小图形，面积缩小返回返回投影面的垂直面投影特性小结投影面的垂直面投影特性小结3 3、投影面平行面投影面平行面投影面平行面投影面平行面：在三
45、投影面体系中，：在三投影面体系中，平行于平行于一个一个投影面，投影面，垂直于垂直于另外两个另外两个投影面的平面。投影面的平面。类型：（类型：（1 1）水平面水平面 （2 2）正平面正平面 （3 3）侧平面侧平面如图如图，以，以水平面水平面为例，讨论投影面平行面的投影特点。为例，讨论投影面平行面的投影特点。 投影面平行面的投影面平行面的投影特征投影特征： （1 1）在它所平行的投影面上的投影反映）在它所平行的投影面上的投影反映实形实形；（2 2）另外两面投影）另外两面投影积聚积聚为与相应投影轴平行的直线。为与相应投影轴平行的直线。判别方法：判别方法：在投影图中，只要有在投影图中，只要有一面一面投
46、影投影积聚积聚成成一条一条平平行于投影轴行于投影轴的直线，则此平面为投影面平行面。的直线，则此平面为投影面平行面。返回如表，三种投影面平行面的立体图、投影图和投影特性。如表，三种投影面平行面的立体图、投影图和投影特性。名名 称称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性 正正 平平 面面(1)(1)正面投影反映正面投影反映实形；实形；(2)(2)水平投影平行水平投影平行OXOX，侧面投影平，侧面投影平行行OZOZ，并分别积，并分别积聚成直线聚成直线名名 称称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性 水水 平平 面面(1)(1)水平投影反映水平投影反映实形；实形；(2)(2)正面投影平行正面投影平
47、行OXOX，侧面投影平，侧面投影平行行OYWOYW，并分别积，并分别积聚成直线。聚成直线。 侧侧 平平 面面(1)(1)侧面投影反映侧面投影反映实形；实形；(2)(2)正面投影平行正面投影平行OZOZ，水平投影平，水平投影平行行OYHOYH，并分别积，并分别积聚成直线。聚成直线。 返回投影面的平行面投影特性小结投影面的平行面投影特性小结返回返回二、平面内的点和直线二、平面内的点和直线1 1、判断条件判断条件（1 1）点从属于平面内的）点从属于平面内的任一直线任一直线，则，则点从属于该平面点从属于该平面。（2 2）若直线通过属于平面的）若直线通过属于平面的两个点两个点，或通过平面内的，或通过平面
48、内的一一个点个点，且平行且平行于属于该平面的于属于该平面的任一直线任一直线，则，则直线属于该平直线属于该平面面如图如图2-142-14所示所示。【例题例题1 1】 如图如图2-152-15所示所示，判断点，判断点M M是否在平面是否在平面ABCDABCD内。内。【解解】 若点若点M M在平面内，则一定在平面在平面内，则一定在平面ABCDABCD的的一条直线一条直线上；上；否则就不在平面否则就不在平面ABCDABCD内。内。 特别提示：特别提示：在平面内作点，一般情况在平面内作点，一般情况必须必须先在先在平面内平面内作一作一辅助直线辅助直线，然后再在然后再在此直线上作点此直线上作点。如图如图a)
49、a)点点D D在平面在平面ABCABC的直线的直线ABAB上上 b)b)直线直线DEDE通过平面通过平面ABCABC上的两个点上的两个点D D、E E c c）直线）直线DEDE通过平面通过平面ABCABC上的点上的点D D，且平行于平，且平行于平面面ABCABC上的直线上的直线BC BC 图图2-14 2-14 平面内的点和直线平面内的点和直线 返回返回（1 1）连）连bm,bm,并延长到与并延长到与cdcd相交于相交于nn（2 2）由）由nn作出作出n n，连连bnbn，m m不在不在bnbn上，上，显然显然M M不在直线不在直线BNBN上，所以点上，所以点M M不在不在平面平面ABCDA
50、BCD内。内。图图2-15 2-15 判断点判断点M M是否在平面是否在平面ABCDABCD内内返回特别提示：特别提示：平面内求作点的投影常用平面内求作点的投影常用两种方两种方法。如：已知法。如：已知点点D D在在ABCABC平面内，求作其水平投影平面内，求作其水平投影d d。 方法一方法一方法二方法二【例题例题2 2】 如图如图2-162-16所示所示，已知四边形，已知四边形ABCDABCD的两面投影，的两面投影，在在其上取一点其上取一点K K，使点，使点K K在在H H面之上面之上20mm20mm，在，在V V面之前面之前15mm15mm【解解】可在四边形可在四边形ABCDABCD内取位于
