1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (五十）直接证明与间接证明 练基础小题 强化运算能力 1 (2017 南京金陵中学模拟 )用反证法证明命题： “ 若 a， b， c， d R， a b 1， c d 1，且 ac bd 1，则 a， b， c， d 中至少有一个负数 ” 的假设为 _ 解析：用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，则结论 “ a， b， c， d 中至少有一个负数 ” 的否定是 “ a， b， c， d 全都为非负数 ” 答案： a， b， c， d 全都为非负数 2 (2018 盐城中学模拟 )分析法又称执果索因法，若用分析法证明 “ 设 a b c，且
2、a b c 0，求证： b2 ac 3a” 索的因应是 _ 解析： b2 ac 3a?b2 ac 3a2?(a c)2 ac 3a2?a2 2ac c2 ac 3a2 0?2a2 ac c2 0?2a2 ac c2 0?(a c)(2a c) 0?(a c)(a b) 0. 答案： (a b)(a c) 0 3设 a， b， c 均为正实数，则对于三个数 a 1b， b 1c， c 1a， 下列叙述中正确的是_ (填序号 ) 都大于 2； 都小于 2； 至少有一个不大于 2； 至少有一个不小于 2. 解析： a 0， b 0， c 0， ? ?a 1b ? ?b 1c ? ?c 1a ? ?a
3、 1a ? ?b 1b ? ?c 1c 6 ，当且仅当 a b c 1 时，等号成立，故三者不能都小于 2，即至少有一个不小于 2. 答案： 4设 a 3 2， b 6 5， c 7 6，则 a， b， c 的大小关系是 _ 解析： a 3 2 13 2， b 6 5 16 5， c 7 6 17 6，且 7 6 6 5 3 2 0， a b c. 答案： a b c 练常考题点 检验高考能力 一、填空题 1 (2018 南通模拟 )已知函数 f(x) ? ?12 x， a， b 为正实数， A f? ?a b2 ， B f( ab)，C f? ?2aba b ，则 A， B， C 的大小关系
4、为 _ 解析：因为 a b2 ab 2aba b，又 f(x) ? ?12 x 在 R 上是单调减函数，故 f? ?a b2=【 ;精品教育资源文库 】 = f( ab) f? ?2aba b ，即 A B C. 答案： A B C 2设 a， b 是两个实数，给出下列条件： a b 1； a b 2； a b 2； a2 b2 2； ab 1. 其中能推出： “ a， b 中至少有一个大于 1” 的条件是 _ (填序号 ) 解析：若 a 12， b 23，则 a b 1，但 a 1， b 1，故 推不出；若 a b 1，则 ab 2，故 推不出；若 a 2， b 3，则 a2 b2 2，故
5、推不出；若 a 2， b 3，则 ab 1，故 推不出；对于 ，即 a b 2，则 a， b 中至少有一个大于 1，反证法：假设a1 且 b1 ，则 a b2 与 a b 2 矛盾，因此假设不成立， a， b 中至少有一个大于 1. 答案： 3已知数列 an满足： a1 N*， a136 ，且 an 1? 2an， an18 ，2an 36， an 18 (n 1,2， ?) 记集合 M an|n N*若 a1 6，则集合 M _. 解析：由题可知， a2 2a1 12， a3 2a2 24， a4 2a3 36 12， a5 2a4 24， a6 2a5 36 12， ? ，所以 M 6,1
6、2,24 答案： 6,12,24 4已知实数 a， b， c 满足 b c 6 4a 3a2， c b 4 4a a2，则 a， b， c 的大小关系是 _ 解析： c b 4 4a a2 (2 a)20 ， c b.已知两式作差得 2b 2 2a2，即 b 1 a2. 1 a2 a ? ?a 12 2 34 0， 1 a2 a. b 1 a2 a. c b a. 答案： c b a 5已知 a， b R， m 6a36a 1 1， n13b2 b 56，则 m 与 n 的大小关系是 _ 解析： m 6a36a 1 16a62a 2 11626a 6 a12 62112， n13b2 b 56
7、13?b 322 112112，所以 n m. 答案： n m 6 (2018 泰州中学模拟 )设函数 f(x) ex x a(a R， e 为自然对数的底数 )若存在 b 0,1使 f(f(b) b 成立，则 a 的取值范围是 _ 解析：易知 f(x) ex x a在定义域内是增函数，由 f(f(b) b，猜想 f(b) b. 反证法：若 f(b) b，则 f(f(b) f(b) b，与题意不符， 若 f(b) b，则 f(f(b) f(b) b，与题意也不符，故 f(b) b，即 f(x) x 在 0,1=【 ;精品教育资源文库 】 = 上有解 所以 ex x a x， a ex x2 x
8、， 令 g(x) ex x2 x， g( x) ex 2x 1 (ex 1) 2x， 当 x 0,1时 ， ex 12,2 x2 ， 所以 g( x)0 ，所以 g(x)在 0,1上是增函数， 所以 g(0) g(x) g(1)， 所以 1 g(x)e ，即 1 ae. 答案： 1， e 7 (2018 苏州模拟 )用反证法证明命题 “ a， b R， ab 可以被 5 整除，那么 a， b 中至少有一个能被 5 整除 ” ，那么假设的内容是 _ 解析： “ 至少有 n 个 ” 的否定是 “ 最多有 n 1 个 ” ，故应假设 a， b 中没有一个能被 5整除 答案： a， b 中没有一个能被
9、 5 整除 8已知点 An(n， an)为函数 y x2 1图象上 的点， Bn(n， bn)为函数 y x 图象上的点，其中 n N*，设 cn an bn，则 cn与 cn 1的大小关系为 _ 解析：由条件得 cn an bn n2 1 n 1n2 1 n， cn随 n 的增大而减小， cn 1 cn. 答案： cn 1 cn 9对于问题： “ 已知关于 x 的不等式 ax2 bx c 0 的解集为 ( 1,2)，解关于 x 的不等式 ax2 bx c 0” ，给出如下一种解法： 解：由 ax2 bx c 0 的解集为 ( 1,2)，得 a( x)2 b( x) c 0 的解集为 ( 2,
10、1)，即关于 x 的不等式 ax2 bx c 0 的解集为 ( 2,1) 参考上述解法，若关于 x 的不等式 kx a x bx c 0 的解集为 ? ? 1， 13 ? ?12， 1 ，则关于 x 的不等式 kxax 1 bx 1cx 1 0 的解集为 _ 解析：不等式 kxax 1 bx 1cx 1 0，可化为 ka 1xb 1xc 1x 0，故得 1 1x 13或 12 1x 1，解得 3 x 1 或 1 x 2，故 kxax 1 bx 1cx 1 0 的解集为 ( 3， 1) (1,2) 答案： ( 3， 1) (1,2) 10若二次函数 f(x) 4x2 2(p 2)x 2p2 p
11、1，在区间 1,1内至少存在一点 c，使 f(c) 0，则实数 p 的取值范围是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：依题意有 f( 1) 0 或 f(1) 0，所以 2p2 p 1 0 或 2p2 3p 9 0，即2p2 p 1 0 或 2p2 3p 9 0，得 12 p 1 或 3 p 32，故满足条件的 p 的取值范围是? 3， 32 . 答案： ? ? 3， 32 二、解答题 11已知函数 f(x) tan x， x ? ?0， 2 ，若 x1， x2 ? ?0， 2 ，且 x1 x2，求证： 12f(x1) f(x2) f? ?x1 x22 . 证明：要证 12f(x1) f
12、(x2) f? ?x1 x22 ， 即证明 12(tan x1 tan x2) tanx1 x22 ， 只需证明 12? ?sin x1cos x1 sin x2cos x2 tanx1 x22 ， 只需证明 sin?x1 x2?2cos x1cos x2 sin?x1 x2?1 cos?x1 x2?. 由于 x1， x2 ? ?0， 2 ，故 x1 x2 (0， ) cos x1cos x2 0， sin(x1 x2) 0,1 cos(x1 x2) 0， 故只需证明 1 cos(x1 x2) 2cos x1cos x2， 即证 1 cos x1cos x2 sin x1sin x2 2cos
13、 x1cos x2， 即证 cos(x1 x2) 1. 由 x1， x2 ? ?0， 2 ， x1 x2知上式显然成立， 因此 12f(x1) f(x2) f? ?x1 x22 . 12对于定义域为 0,1的函数 f(x)，如果同时满足： 对任意的 x 0,1，总有f(x)0 ； f(1) 1； 若 x10 ， x20 ， x1 x21 ，都有 f(x1 x2) f(x1) f(x2)成立，则称函数 f(x)为理想函数 (1)若函数 f(x)为理想函数，证明： f(0) 0； (2)试判断函数 f(x) 2x(x 0,1)， f(x) x2(x 0,1)， f(x) x(x 0,1)是否是理想
14、函数 解： (1)证明：取 x1 x2 0，则 x1 x2 01 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = f(0 0) f(0) f(0)， f(0)0. 又对任意的 x 0,1，总有 f(x)0 ， f(0)0. 于是 f(0) 0. (2)对于 f(x) 2x， x 0,1， f(1) 2 不满足新定义中的条件 ， f(x) 2x(x 0,1)不是理想函数 对于 f(x) x2， x 0,1，显然 f(x)0 ，且 f(1) 1. 对任意的 x1， x2 0,1， x1 x21 ，有 f(x1 x2) f(x1) f(x2) (x1 x2)2 x21 x22 2x1x20 ， 即 f(x1) f(x2) f(x1 x2) f(x) x2(x 0,1)是理想函数 对于 f(x) x， x 0,1，显然满足条件 ， 对任意的 x1， x2 0,1， x1 x21 ，有 f2(x1 x2) f(x1) f(x2)2 (x1 x2) (x1 2 x1x2 x2) 2 x1x20 ， 即 f2(x1 x2) f(x1) f(x2)2. f(x1 x2) f(x1) f(x2)，不满足条件 . f(x) x(x 0,1)不是理想函数 综上， f(x) x2(x 0,1)是理想函数， f(x) 2x(x 0,1)与 f(x) x(x 0,1)不是理想函数 *)
