1、2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学一、选择题1.已知全集，集合，则（ ）A.B.C.D.2.若复数满足，则（ ）A.B.C.D.3.若直线是圆的一条对称轴，则（ ）A.B.C.D.4.已知函数，则对任意实数，有（ ）A.B.C.D.5.已知函数，则（ ）A.在上单调递减B.在C.在上单调递减 D.在上单调递增6.设是公差不为的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）A.充分而不必有条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奧作出了贡献.如图
2、描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系， 其中表示温度， 单位是；表示压强，单位是.下列结论中正确的是（ ）A.当，时，二氧化碳处于液态B.当，时，二氧化碳处于气态C.当，时，二氧化碳处于超临界状态D.当，时，二氧化碳处于超临界状态8.若，则（ ）A.B.C.D.9.已知正三棱锥的六条棱长为，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积为（ ）A.B.C.D.10.在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题11.函数的定义域是 .12.已知双曲线的渐近线方程为，则 .13.若函数的一个零点为，则_.14.设函数，若存在最小值，则的一个取值为 ,
3、的最大值为 .15.已知数列的各项均为正数，其前项和满足.给出下列四个结论：的第项小于；为等比数列；为递减数列；中存在小于的项.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题16.在中，.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.17.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件：；条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往
4、的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19.已知椭圆：的一个顶点为，焦距为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线，分别与轴交于点，.当时，求的值.20.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，讨论函数在上的单调性；（3）证明：对任意的，有.21.已知：，为有穷整数数列.给定正整数，若对任意
5、的，在中存在，（），使得，则称为连续可表数列.（1）判断：，是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（2）若：，为连续可表数列，求证：的最小值为；（3）若：，为连续可表数列，且，求证：.2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学一、选择题1.已知全集，集合，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】易得.2.若复数满足，则（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】条件可知，所以.3.若直线是圆的一条对称轴，则（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标，所以由解得.4.已知函数，则对任意实数，有（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，
6、可得，所以得.5.已知函数，则（ ）A.在上单调递减B.在C.在上单调递减 D.在上单调递增【答案】C【解析】，选项A中：，此时单调递增，选项B中：，此时先递增后递减，选项C中：，此时单调递减，选项D中：，此时先递减后递增；所以选C.6.设是公差不为的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）A.充分而不必有条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性证明：若为递增数列，则有对，公差，取正整数（其中为不大于的最大正整数），则当时，只要，都有，必要性证明：若存在正整数，当时，对，都成立，且，对，都有，即：为递增数列；所以“为递增数列
7、”是“存在正整数，当时，”的充要条件，选C.7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奧作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系， 其中表示温度， 单位是；表示压强，单位是.下列结论中正确的是（ ）A.当，时，二氧化碳处于液态B.当，时，二氧化碳处于气态C.当，时，二氧化碳处于超临界状态D.当，时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】A选项：，由图易知处于固态；B选项：，由图易知处于液态；C选项：，由图易知处于固态；D选项：，由图易知处于超临界状态；所以选D.8.若，则（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】当时，；当
8、时时，；得原式=.9.已知正三棱锥的六条棱长为，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】过点作底面射影点，则由题意，当上存在一点使得，此时，则动点为半径，为圆心的圆里，所以面积为.10.在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】建立如图所示坐标系，由题易知，设，设，所以选D.方法二：，且其中，选D.二、填空题11.函数的定义域是 .【答案】【解析】依题意，解得.12.已知双曲线的渐近线方程为，则 .【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，故.13.若函数的一个零点为，则_.【答案】【解析】，解得.，
9、故.14.设函数，若存在最小值，则的一个取值为 ,的最大值为 .【答案】（答案不唯一），【解析】由题意知，函数最值于函数单调性相关，故可考虑以，为分界点研究函数的性质，当时，该段的值域为，故整个函数没有最小值；当时，该段值域为，而的值域为，故此时的值域为，即存在最小值为，故第一个空可填写；当时，该段值域为，而的值域为，若存在最小值，则需满足，于是可得；当时，该段的值域为，而的值域为，若存在最小值，则需满足，此不等式无解。综上，的取值范围是，故的最大值为.15.已知数列的各项均为正数，其前项和满足.给出下列四个结论：的第项小于；为等比数列；为递减数列；中存在小于的项.其中所有正确结论的序号是 .
10、【答案】【解析】，可得，又各项均为正，可得，令可得，可解得，故正确；当时，由得，于是可得，即，若为等比数列，则时，即从第二项起为常数，可检验则不成立，故错误；，可得，于是，所以，于是正确；对于，若所有项均大于等于，取，则，于是与已知矛盾，所以正确.三、解答题16.在中，.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】见解析【解析】（1），.（2），由余弦定理得，所以的周长为.17.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件：；条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解
11、答计分.【答案】见解析【解析】（1）取中点，连接，在三棱柱中，.因为，分别为，的中点，所以，即且，所以四边形为平行四边形，因此.又平面，平面，所以平面.（2）选条件：因为侧面为正方形，所以，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，而平面，所以.由（1）得，又因为，所以，而，所以平面，在三棱柱中，两两垂直，故分别以，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，因为，则，所以，设平面的法向量，由，得，令，得.设直线与平面所成角为，设，所以直线与平面所成角的正弦值为.选条件（2）：取中点，连接，.因为，分别为，的中点，所以，而，故.又因为，所以.在和中，公共边，那么，因此，即，故.在三棱柱中，两两垂直，故分
12、别以，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，因为，则，所以，设平面的法向量，由，得，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求
13、证明）【答案】见解析【解析】由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件，比赛成绩达到以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到以上的有：，四个，所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为.（2）设是甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望：所有可能取值为，.甲在校运云铅球比赛中获优秀奖的概率为.乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件，则.丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件，则.，.（3）甲的平均数：，乙的平均数：，丙的平均数：，甲的方差：，乙的方差：，丙的方差：.19.已知椭圆：的一个顶点为，焦距为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线，
14、分别与轴交于点，.当时，求的值.【答案】见解析【解析】（1）依题意可知：，解得，故椭圆的方程为：；（2）由题可设直线方程为：，联立直线和椭圆方程：，可得，由可得，解得，根据韦达定理可得：，直线的斜率为，的直线方程为，令，可得点的横坐标，同理可得点的横坐标.则有.代入韦达定理式子可得，化简可得：，即，可得，两边平方则有，解得.故的值为.20.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，讨论函数在上的单调性；（3）证明：对任意的，有.【答案】见解析【解析】（1）由题，故，因此，曲线在处的切线方程为.（2）由（1），则，设，则，故在上递增，故，因此对任意恒成立，故在上单调递增：另解：，故，因此
15、，对任意恒成立，故在上单调递增；（3）设，则，因此在上单调递增，因此，在上递增，故，因此，对任意的，有.21.已知：，为有穷整数数列.给定正整数，若对任意的，在中存在，（），使得，则称为连续可表数列.（1）判断：，是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（2）若：，为连续可表数列，求证：的最小值为；（3）若：，为连续可表数列，且，求证：.【答案】见解析【解析】（1）若，则对于任意，所以是连续可表数列：由不存在任意连续若干项之和相加为，所以不是连续可表数列；（2）反证法：设的值为，则，最多能表示，共个数字，与为连续可表数列矛盾，故；现构造：，可以表达出，这个数字，即存在满足题意，故的最小值为；（3）以下先证明：从个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示个数字，取连续两个数字最多能表示个数字，取连续三个数字最多能表示数字，取连续四个数字最多能表示数字，取连续五个数字最多能表示数字，所以对任意给定的个整数，最多可以表示个正整数，不能表示个正整数，即.若，最多可以表示个正整数，由于为可表数列，且，所以有一项必为负数，既然个正整数都不能连续可表个正整数，那么中间若插入一个负数项，更不能连续表示的正整数.所以至少要有个正整数连续可表个正整数.所以至少个正整数和一个负数才能满足题意，故.
