1、等周问题等周问题圆是最完美的图形。圆是最完美的图形。但丁但丁引题：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰）引题：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰） 有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格1 1千卢布，但千卢布，但太阳落山时须回到出发地，否则太阳落山时须回到出发地，否则1 1千卢布白花。千卢布白花。 巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。 巴霍姆先向前跑了巴霍姆先向前跑了1010里才开始向左直拐，里才开始向左直拐， 又跑了许多路再向左拐第二
2、个直弯，又跑了许多路再向左拐第二个直弯， 此时正值中午，巴霍姆又跑了此时正值中午，巴霍姆又跑了2 2里，里， 还有还有1515里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。 但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值1 1千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。 托尔斯泰通过小说告诫世人：托尔斯泰通过小说告诫世人： 人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。本课题学习的意义本课题学习的意义 苏步青认为：等周问题是人类理性文明中，苏步青
3、认为：等周问题是人类理性文明中，既精要又美妙的一个古典几何问题，是数既精要又美妙的一个古典几何问题，是数学教师理想的进修课题。学教师理想的进修课题。” 等周问题是等周问题是1717世纪数学家感兴趣的问题之世纪数学家感兴趣的问题之一。它在数学发展史上占有重要地位，对一。它在数学发展史上占有重要地位，对变分法的产生和发展起了重要作用。变分法的产生和发展起了重要作用。等周问题的发现等周问题的发现自然界的现象自然界的现象 大自然偏爱圆形，向日葵的子盘，千万种美大自然偏爱圆形，向日葵的子盘，千万种美丽的花朵，都是圆形的。丽的花朵，都是圆形的。 水管等管道水管等管道 大自然也偏爱球形大自然也偏爱球形 树叶
4、上的露珠，太阳、地球、月亮、行星，树叶上的露珠，太阳、地球、月亮、行星，头盖骨等都自然地形成球形或近似于球形。头盖骨等都自然地形成球形或近似于球形。 寒夜，一只猫钻进干草垛，把自己的身体尽寒夜，一只猫钻进干草垛，把自己的身体尽可能蜷伏成球形。可能蜷伏成球形。 很多水果是球形的，等等。很多水果是球形的，等等。 这是为什么？这是为什么？等周问题的发现等周问题的发现泡沫实验泡沫实验把一根柔软的细线两端连接起来，围成一个任意形把一根柔软的细线两端连接起来，围成一个任意形状的封闭曲线，把它轻轻放在充满泡沫的肥皂液上，状的封闭曲线，把它轻轻放在充满泡沫的肥皂液上，用烧热的针刺破曲线内的薄膜，此时这条封闭曲
5、线用烧热的针刺破曲线内的薄膜，此时这条封闭曲线立即变成一个圆立即变成一个圆. .17 17世纪各种泡沫实验在数世纪各种泡沫实验在数学家中风靡一时，实验的学家中风靡一时，实验的目的是从中获取数学猜想。目的是从中获取数学猜想。周长为周长为1 1的图形的面积的图形的面积图形图形面积面积圆圆0.0793正方形正方形0.0625象限角形象限角形9000.0616矩形（矩形（3：2）0.0601半圆半圆0.0595等边扇形等边扇形6000.0564矩形（矩形（2：1）0.0556等边三角形等边三角形0.0481矩形（矩形（3：1）0.0464等腰直角三角形等腰直角三角形0.0427泡沫实验获得的猜泡沫实验
6、获得的猜想：在周长为定值想：在周长为定值的一切封闭曲线中的一切封闭曲线中, ,以圆所围成的面积以圆所围成的面积为最大。为最大。笛卡尔的验证笛卡尔的验证这个简短的表强烈地这个简短的表强烈地暗示出等周定理，因暗示出等周定理，因为再在表中增加几个为再在表中增加几个图形，也增加不了多图形，也增加不了多少启发性。少启发性。等周定理：周长定值的一切封闭等周定理：周长定值的一切封闭曲线中曲线中, ,圆围成的面积最大圆围成的面积最大 。 假设假设是周长为定值是周长为定值面积最大的封闭曲线。面积最大的封闭曲线。 首先证明首先证明是凸图形是凸图形, 然后证明平分然后证明平分周长的周长的弦必平分面积；弦必平分面积；
7、 最后证平分周长与面积最后证平分周长与面积的弦的弦AB必是直径；必是直径； 综上所述综上所述为圆为圆.等周定理的等周定理的2 2种形式及其等价种形式及其等价形式形式1：在所有等周的平面封闭图形中，在所有等周的平面封闭图形中，以圆面积最大。以圆面积最大。形式形式2：在所有等面积的平面封闭图形中，在所有等面积的平面封闭图形中，以圆周长最小。以圆周长最小。 是面积为是面积为A的圆，其周长为的圆，其周长为p，P是面积为是面积为A的的非圆闭曲线，其周长为非圆闭曲线，其周长为q，则必有，则必有pq。设设qp /qp /AA /AA /设设是面积为是面积为A的圆，其周长为的圆，其周长为p，P是面积为是面积为
8、A的的非圆闭曲线，其周长为非圆闭曲线，其周长为q，则必有，则必有pq。作。作的同心圆的同心圆，使其有周长，使其有周长q，于是由，于是由知，圆知，圆必在圆必在圆的内部，圆的内部，圆的面积的面积.但另一方面，由于但另一方面，由于和和P有相同的周长，依据等周定理有相同的周长，依据等周定理1，应有，应有这就产生了矛盾。这就产生了矛盾。故必有故必有pq证明：假设证明：假设等周定理应用等周定理应用纪塔娜问题纪塔娜问题传说古代非洲沿海某部落传说古代非洲沿海某部落酋长答应给纪塔娜一块酋长答应给纪塔娜一块“由灰鼠皮能包住由灰鼠皮能包住”的土的土地。纪塔娜想出了巧妙的地。纪塔娜想出了巧妙的办法，在办法，在海岸边海
9、岸边划出了一划出了一块意想不到大的土地。问：块意想不到大的土地。问：纪塔娜如何围呢？纪塔娜如何围呢？将灰鼠皮尽量剪细，结将灰鼠皮尽量剪细，结成尽可能长的一条线。成尽可能长的一条线。沿海岸线对称，则构成一沿海岸线对称，则构成一周长为定值的封闭图形。周长为定值的封闭图形。结论：沿海岸线结论：沿海岸线用这条长线围成用这条长线围成一半圆时，一半圆时，“土土地地”面积最大。面积最大。多边形等周定理多边形等周定理在周长为定值在周长为定值l l的的n(n3)n(n3)边形中，怎样的边形中，怎样的n n边形面积最大？边形面积最大？ 注意：注意：ABC的边的边ABAB固定，其它两边之和一定的固定，其它两边之和一
10、定的所有三角形中，以等腰三角形的面积为最大。所有三角形中，以等腰三角形的面积为最大。法法1 1 利用三角形面积的海伦公式利用三角形面积的海伦公式 法法2 2 顶点顶点C C的轨迹是椭圆，故当点的轨迹是椭圆，故当点C C在短在短轴的顶点时面积最大。轴的顶点时面积最大。引理引理1 1： 在周长为定值在周长为定值l l的的n(n3)n(n3)边形中，边形中，要使其面积最大，各边必须相等。要使其面积最大，各边必须相等。 多边形等周定理多边形等周定理 引理引理2 2：在各边之长固定的所有：在各边之长固定的所有n n边形边形中，能内接于圆的中，能内接于圆的n n边形面积最大。边形面积最大。A1A2AnAn
11、+1 确认一个事实：确认一个事实： 在边长给定的在边长给定的n n边形中，一定边形中，一定存在一个内接于圆的存在一个内接于圆的n n边形。边形。 多边形等周定理多边形等周定理的证明的证明 多边形等周定理：多边形等周定理： 在周长为定值在周长为定值l的一切的一切n(n3)边形中，正边形中，正n边形的边形的面积最大。面积最大。证明：设证明：设是那个面积最大的是那个面积最大的n n边形，边形，则则的各边相等（等于的各边相等（等于l/nl/n），），否则，据引理否则，据引理1 1可找到比可找到比的面积更大的的面积更大的n n边形。边形。既然是边长为既然是边长为l/nl/n的的n n边形，边形，由引理由
12、引理2 2，一定内接于圆。一定内接于圆。综上所述，综上所述，是正是正n n边形。边形。 总结：等周定理系列总结：等周定理系列 在所有等周的平面封闭图形中，圆面积最在所有等周的平面封闭图形中，圆面积最大。大。 在所有等面积的平面封闭图形中，圆周长在所有等面积的平面封闭图形中，圆周长最小。最小。 在所有等周的在所有等周的n(n3)n(n3)边形中，正边形中，正n n边形面边形面积最大。积最大。 在所有等面积的在所有等面积的n(n3)n(n3)边形中，正边形中，正n n边形边形的周长最小的周长最小。 空间中有类似的定理。空间中有类似的定理。应用应用2 2：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰）：人需要很
13、多土地吗？（俄国托尔斯泰） 有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格1 1千卢布，但千卢布，但太阳落山时须回到出发地，否则太阳落山时须回到出发地，否则1 1千卢布白花。千卢布白花。 巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。 巴霍姆先向前跑了巴霍姆先向前跑了1010里才开始向左直拐，里才开始向左直拐， 又跑了许多路再向左拐第二个直弯，又跑了许多路再向左拐第二个直弯， 此时正值中午，巴霍姆又跑了此时正值中午，巴霍姆又跑了2 2里，里， 还有
14、还有1515里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。 但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值1 1千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。 托尔斯泰通过小说告诫世人：托尔斯泰通过小说告诫世人： 人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。已知一根杆和一条绳，把杆的各已知一根杆和一条绳，把杆的各端端与绳的与绳的相应各相应各端端系在一起（当然绳比杆长），怎系在一起（当然绳比杆长），怎样才能围出最大的面积样才能围出最大的面积? ?等
15、周问题的应用等周问题的应用3 3杆和绳杆和绳弓形弓形弓形弓形结论：当绳构成一段圆弧时，由杆结论：当绳构成一段圆弧时，由杆和绳所围成的面积最大。和绳所围成的面积最大。 两根杆两根杆AB和和CD，两条定长的绳两条定长的绳BC和和AD，如何如何结成一曲边四边形结成一曲边四边形ABCD，才能围出最大面积？才能围出最大面积？ 杆和绳杆和绳问题推广问题推广答：当绳答：当绳BCBC和和ADAD是以杆是以杆ABAB和和CDCD为弦的同一圆的为弦的同一圆的圆弧时有最大值。圆弧时有最大值。 类似的，类似的，n根杆与根杆与n条绳交条绳交替相连，当所有杆均为同替相连，当所有杆均为同一圆的弦，所有绳均为该一圆的弦，所有
16、绳均为该圆的圆弧时，由这圆的圆弧时，由这2n段组段组成的封闭曲线有最大面积。成的封闭曲线有最大面积。 等周定理等周定理应用应用4 4海角问题海角问题已知一张开小于已知一张开小于1801800 0的角。用一定长的线截此的角。用一定长的线截此角，怎样才可使截下的曲边三角形面积最大？角，怎样才可使截下的曲边三角形面积最大？考虑特殊角，如考虑特殊角，如120120度，度，9090度，度，4545度等情形，你能获得什么结论？度等情形，你能获得什么结论？结论：若已知角的结论：若已知角的n n倍恰为倍恰为360360度，则以角的顶点为圆度，则以角的顶点为圆心且圆弧为定长所围成的曲心且圆弧为定长所围成的曲边三
17、角形最大面积。边三角形最大面积。进一步猜想：进一步猜想：用一定长的线截一小于用一定长的线截一小于1801800 0的的角，则以角的顶点为圆心、定角，则以角的顶点为圆心、定长为圆弧所围成的曲边三角形长为圆弧所围成的曲边三角形面积最大。面积最大。对吗？对吗？1.1.给定一个角和分别在两边给定一个角和分别在两边上的定点上的定点A,BA,B，问如何由此问如何由此角和连接角和连接A,BA,B的定长曲线围的定长曲线围出最大面积的曲边三角形？出最大面积的曲边三角形？问题的解决问题的解决猜想的证明猜想的证明连结连结A,B两点，转化为两点，转化为“一根杆和一条绳一根杆和一条绳”问问题题AB2.2.给定一角和其中
18、一边上的定给定一角和其中一边上的定点点A A，求由此角和过点求由此角和过点A A的定长的定长曲线围出的最大面积。曲线围出的最大面积。 将角将角AOC关于关于OC反射，问题归结为反射，问题归结为11 1的结论：当具有已知长度的结论：当具有已知长度的曲线为圆弧时面积最大的曲线为圆弧时面积最大2 2的结论：当具有已知长度的曲的结论：当具有已知长度的曲线为垂直线为垂直OCOC的圆弧时有最大值的圆弧时有最大值COA1AOCA但尚不知给定的一角为但尚不知给定的一角为钝角的情形。？钝角的情形。？3.3.给定一锐角，如何由此角给定一锐角，如何由此角和定长曲线围出最大面积的和定长曲线围出最大面积的曲边三角形曲边
19、三角形AOBAOB？ ABO利用局部变动法。把利用局部变动法。把A当成当成固定的，由固定的，由2知其解为垂直知其解为垂直于于OB的圆弧；把的圆弧；把B当成固当成固定的，由定的，由2知其解为垂直于知其解为垂直于OA的圆弧。最后，解是既的圆弧。最后，解是既垂直于垂直于OA又垂直于又垂直于OB的圆的圆弧，因此其圆心为弧，因此其圆心为O。所以，以所以，以O为圆心，圆弧长为圆心，圆弧长为定长的为定长的曲边三角形曲边三角形AOBAOB面面积最大。积最大。COA1AB征解：给定一钝角，如何由征解：给定一钝角，如何由此角和定长曲线围出最大面此角和定长曲线围出最大面积的曲边三角形积的曲边三角形？ A练习 5、水
20、槽问题、水槽问题 已知马口铁的宽度为已知马口铁的宽度为b，用它来制作水槽。由于水槽，用它来制作水槽。由于水槽的截面愈大，水的流量就愈多，因此希望截面尽可的截面愈大，水的流量就愈多，因此希望截面尽可能地大。能地大。 若要求水槽的截面为等腰梯形，那么如何设计水若要求水槽的截面为等腰梯形，那么如何设计水槽的底与腰长以及底角，才能使水槽中水的流量最槽的底与腰长以及底角，才能使水槽中水的流量最大？若水槽的截面为五边形，又该如何设计？说明大？若水槽的截面为五边形，又该如何设计？说明理由。理由。 问怎样利用马口铁的现有宽度，来满足水槽具有问怎样利用马口铁的现有宽度，来满足水槽具有最大截面的要求？说明理由。最
21、大截面的要求？说明理由。 6、（、（1978年北京市数学竞赛题）设有一直角年北京市数学竞赛题）设有一直角O，试，试在直角的一边上求一点在直角的一边上求一点A，在另一边上求一点，在另一边上求一点B，在，在直角内求一点直角内求一点C，使，使BC+CA等于定长等于定长l，且使四边形，且使四边形ACBO的面积最大。的面积最大。问题探讨问题探讨 1.表面积为定值，体积最大的表面积为定值，体积最大的n棱柱棱柱的形状如何？说明理由。的形状如何？说明理由。 2.表面积为定值，体积最大的柱体形表面积为定值，体积最大的柱体形状如何？说明理由。状如何？说明理由。结语结语 等周定理能启迪我们不断提出问题；等周定理能启迪我们不断提出问题； 波利亚说，等周的根深札于我们的波利亚说，等周的根深札于我们的经验直觉之中，它是灵感的不竭源经验直觉之中，它是灵感的不竭源泉。泉。
