1、思考思考： AB杆、杆、AB杆材料相同，杆材料相同，AB杆截面面积大于杆截面面积大于AB杆，挂相同重物，哪根杆危险？杆，挂相同重物，哪根杆危险？若若 , , 哪根杆危险？哪根杆危险？CCWWABCABC1 1 应力的概念应力的概念.应力的概念： 受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积A上分布内力的平均集度即平均应力， ，其方向和大小一般而言，随所取A的大小而不同。mFpA F2 FF1FS F2F1p 该截面上M点处分布内力的集度为 ，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。0ddlimAFFpAA F2 FF1FS F2F1p总应力p法向分量正应力背离截面的正应力为正，指向截
2、面的正应力为负。切向分量切应力对截面内的一点产生顺时针方向力矩的切应力为正，反之为负。 正应力：正应力：切应力：切应力：22 p F2AMPF1应力特点：应力特点：1.1. 应力是矢量；应力是矢量；2. 2. 同一横截面上，不同点处的应力一般不同；同一横截面上，不同点处的应力一般不同；3. 3. 过同一点，不同方位截面上的应力一般不同。过同一点，不同方位截面上的应力一般不同。 应力量纲：应力量纲： 力力 长度长度 -2-2 应力单位：应力单位： 国际单位：国际单位：21 Pa1 N/m621 MPa10 Pa1 N/mm（帕）（帕）（兆帕）（兆帕）921 GPa10 Pa1 kN/mm（吉帕）
3、（吉帕）一、横截面上的正应力一、横截面上的正应力FFabcdFFabcda b c d 2 2 轴向拉伸与压缩时杆的应力轴向拉伸与压缩时杆的应力强度条件强度条件 1. 变形现象变形现象(1) (1) 横向线横向线ab和和cd仍为直线，且仍然垂直于轴线仍为直线，且仍然垂直于轴线; ;(2) (2) ab和和cd分别平行移至分别平行移至ab 和和cd , , 且伸长量相等且伸长量相等. .结论：各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同结论：各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同. .FFabcda b c d 2. 平面假设：平面假设： 变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面，且变形前原为
4、平面的横截面，在变形后仍保持为平面，且仍垂直于轴线仍垂直于轴线. . 3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力 都相等。4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 。AFNFNFmmFFNmm注意： 1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。 2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 3. 圣
5、维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。Fkk F coscos AFAFp二、二、 斜截面上的应力斜截面上的应力1 1、 斜截面上的应力斜截面上的应力FkkFp以以 表示斜截面表示斜截面 k - k上的应上的应力，于是有力，于是有 AFp cosAA FF p 2coscospsinsin22p Fkk FFkkxn p（1）角角2.2.符号的规定符号的规定（2 2）正应力）正应力拉伸为正拉伸为正压缩为负压缩为负（3 3）切应力）切应力 对研究对象任一点取矩对研究对象任一点取矩. . Fkk FFkkxn p顺时针
6、为正顺时针为正逆时针为负逆时针为负逆时针时逆时针时 为正号为正号顺时针时顺时针时 为负号为负号自自 x 转向转向 n(1)当当 = 00(2) = 450 时，时，(3) = -450 时时，(4) = 900 时，时， max2 2 max2 2 min0 00 0 ,2coscospsinsin22p xnFkk 02 讨论： 例例1 1 已知一等截面直杆，横截面已知一等截面直杆，横截面A=500mm2，所受轴向力所受轴向力作用如图所示，作用如图所示，F1=10 KN， F2=20 KN ， F3=20 KN 。试求直杆试求直杆各段的正应力。各段的正应力。 解解：作轴力图：作轴力图 应力计
7、算：应力计算： 3N16210 10 N20 MPa500 10 mABFA 3N26210 10 N20 MPa500 10 mBCFA3N36230 10 N60 MPa500 10 mCDFA式中，负号表示为压应力；正号表示为为拉应力。式中，负号表示为压应力；正号表示为为拉应力。 三、强度条件：三、强度条件： 杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力N AFmaxmax强度条件的应用强度条件的应用maxN FA (2)(2)设计截面设计截面(1) (1) 强度校核强度校核NAFmax AFmaxN (3)(3)确定许可荷载确定许可荷载20 mmD 15
8、 mmd 20 kNF 156 MPa例例2 2 一空心圆截面杆一空心圆截面杆, ,外径外径,内径内径,承受承受作用作用，材料的许用应力材料的许用应力，试校试校轴向载荷轴向载荷核杆的强度。核杆的强度。解解：杆件横截面上的正应力为：杆件横截面上的正应力为: :32222244 20 10 N145.5 MPa()(0.020.015 ) mFDd因为因为 156 MPa所以满足强度校核。所以满足强度校核。20 mmd 1160 MPa 27 MPa例例3 3 结构中结构中 BC 和和 AC 都是圆截面直杆，直径均为都是圆截面直杆，直径均为BC为为 Q235钢杆钢杆，其许用应力其许用应力；AC为木
9、杆为木杆，其许，其许。求：该结构的许可载荷求：该结构的许可载荷。用应力用应力450300FABC解：解： （1 1）分析受力，受力图如图所示。）分析受力，受力图如图所示。xy450300FNBCFNACCFxy450300FNBCFNACCF0,yF 030cos45cosNNFFFBCAC030sin45sinNNBCACFF0,xF 解得：FFBC732. 0NFFAC5175. 0N（2）计算各杆的许可载荷。对BC杆，根据强度条件 1NAFBCBC 66221(160 10 Pa)400 10 m 68.67 kN4 0.7324 0.732dF 2NAFACAC 662227 10 P
10、a400 10 m4.25 kN4 0.51754 0.5175dF解得：4.25 kNF 所以，该结构的两杆都要满足强度条件的许可载荷应取：对AC杆，根据强度条件：解得：一、实验方法一、实验方法(1) 常温常温: 室内温度室内温度(2) 静载静载: 以缓慢平稳的方式加载以缓慢平稳的方式加载(3)标准试件：采用国家标准统一规定的试件标准试件：采用国家标准统一规定的试件3 材料的力学性能材料的力学性能 材料的力学性能材料的力学性能是指材是指材料在外力作用下表现出的变料在外力作用下表现出的变形和破坏方面的特性，需要形和破坏方面的特性，需要由实验来测定。由实验来测定。 2. 试验设备试验设备 (1)
11、 万能材料试验机万能材料试验机 (2) 游标卡尺游标卡尺先在试样中间等直部分上划两先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为标距条横线这一段杆称为标距 ll = 10 d 或或 l =5 d 1 1、 低碳钢拉伸时的力学性质低碳钢拉伸时的力学性质(1)(1)拉伸试件拉伸试件标距标距 ld标距标距 ld10 5ldld或或11.3 5.65lAlA 或或(2) 拉伸图拉伸图 ( (F- l 曲线曲线 ) )拉伸图与试样的尺寸有关。拉伸图与试样的尺寸有关。为了消除试样尺寸的影响，为了消除试样尺寸的影响，把拉力把拉力F F除以试样的原始面积除以试样的原始面积A A，得正应力；同时把得正应力；同时把
12、 l 除以标距除以标距的原始长度的原始长度l , ,得到应变。得到应变。表示表示F和和 l关系的曲线，关系的曲线，称为拉伸图称为拉伸图FOlefhabcddgfl0 p(3) 应力应变图应力应变图 表示应力和表示应力和应变关系的应变关系的曲线，称为曲线，称为应力应力- -应变图应变图(a) 弹性阶段弹性阶段试样的变形完全弹性的试样的变形完全弹性的. . 此阶段内的直线段材料满足此阶段内的直线段材料满足胡克定律。胡克定律。 E 比例极限比例极限p fOfhab点是弹性阶段的最点是弹性阶段的最高点高点. .弹性弹性极限极限e ( (b) ) 屈服阶段屈服阶段当应力超过当应力超过b点后，试点后，试样
13、的荷载基本不变而变样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现形却急剧增加，这种现象称为屈服。象称为屈服。 p fOfhab e s bc点为屈服低点为屈服低限限s 屈服屈服极限极限(c) 强化阶段强化阶段过屈服阶段后，材料又恢复过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，了抵抗变形的能力， 要使它继要使它继续变形必须增加拉力。这种现续变形必须增加拉力。这种现象称为材料的象称为材料的强化强化。e e点是强化阶段的最高点点是强化阶段的最高点 强度强度极限极限b e p fOfhabce(d) (d) 局部变形阶段局部变形阶段过过e e点后，试样在某一段内的点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出
14、横截面面积显箸地收缩，出现现 颈缩颈缩 现象现象. . 一直到试样一直到试样被拉断被拉断. . s b e p fOfhabce注意： 1. 低碳钢的s，b都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是名义应力。 2. 超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得， 因而是名义应变(工程应变)。 试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由长度由 l 变为变为 l1横截面积原为横截面积原为 A断口处的最小横截面断口处的最小横截面积为积为 A1 截面收缩率截面收缩率 延伸率延伸率 5%
15、的材料，称作的材料，称作塑性材料塑性材料 1,max，又有又有2,max = 80MPa，故该轴满足强度条件。故该轴满足强度条件。 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef (如图)上的应力。斜截面上的应力斜截面上的应力xydydzabdzdxc an bcdef分离体上作用力的平衡方程为0sinsindcoscosdd, 00cossindsincosdd, 0AAAFAAAF利用 ，经整理得2cos,2sinbef由此可知： (1) 单元体的四个侧面( = 0和 = 90)上切应力的绝对值最大； (2) =-45和 =+45截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；min45max
16、45，如图所示。2cos,2sin低碳钢扭转试验开始低碳钢扭转试验结束低碳钢扭转破坏断口 铸铁扭转破坏断口 思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？ 对于剪切强度低于拉伸强度的材料（例如低碳钢），破坏是从杆的最外层沿横截面发生剪断剪断产生的，而对于拉伸强度低于剪切强度的材料（如铸铁），其破坏是由杆的最外层沿与轴线约成45o倾角的螺旋形曲面发生拉断拉断而产生的。（a）（b）弯曲正应力弯曲正应力弯曲切应力弯曲切应力MSF分析方法分析方法几何：试验（外部变形观测）几何：试验（外部变形观测）假设（内部变形假设）假设（内部变形假设）应变分布规律与
17、公式应变分布规律与公式物理：应力分布规律与公式物理：应力分布规律与公式静力学：确定应力大小静力学：确定应力大小梁横截面弯曲应力梁横截面弯曲应力dAdAFSM6 6 梁的弯曲应力梁的弯曲应力强度条件强度条件 一、纯弯曲一、纯弯曲 梁的横截面上既有弯矩，梁的横截面上既有弯矩，又有剪力，称为又有剪力，称为横力弯曲横力弯曲（剪切弯曲）（剪切弯曲）。 梁的横截面上剪力为零，梁的横截面上剪力为零，而弯矩为常量，这种情况称而弯矩为常量，这种情况称为为纯弯曲纯弯曲。 1 1、实验观测（纯弯曲）、实验观测（纯弯曲）纵向线：成圆弧线纵向线：成圆弧线, ,上方纵向线上方纵向线 缩短，下方伸长缩短，下方伸长横向线：保
18、持直线，与横线正交横向线：保持直线，与横线正交单向受力假设单向受力假设平面假设：变形后横截面保持平面，仍与纵线正交平面假设：变形后横截面保持平面，仍与纵线正交二、梁在纯弯曲时的正应力二、梁在纯弯曲时的正应力 横截面间绕中性轴相对转动横截面间绕中性轴相对转动 中性轴中性轴截面纵向对称轴截面纵向对称轴中性轴中性轴中性层中性层 中性层中性层 中性层中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。中性轴中性轴：横截面与中性层的交线。横截面与中性层的交线。u 纵向线纵向线bbbb变形后的长度为变形后的长度为: :()db by u bb 变形前的长度等于中性层变形前的长度等于
19、中性层bb 12O O12O O d u 纵向线纵向线bb的应变为的应变为()dddy y 即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面高度呈线性分布。高度呈线性分布。 中性层长度不变中性层长度不变, , 所以所以: :2 2、物理关系、物理关系 因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有由胡克定律有: :E yE 即：纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴即：纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴的距离的距离y y成正比。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。成正比。也即，正应力沿截面高
20、度呈线性分布。y 偏离中性轴的坐标值，偏离中性轴的坐标值， 中性层的曲率半径。中性层的曲率半径。y dNAFA dyAMzA dzAMyA y 对横截面上的内力系，有对横截面上的内力系，有: : 根据静力平衡条件，根据静力平衡条件，Nd0,AFA d0,yAMzA dzAMyAM z 轴通过形心轴通过形心即：即：中性中性轴通过形心轴通过形心。dd0AAEAy A Nd0AFA d0zAy AS dd0AAEzAyz A d0yAMzA 0dyzAyz AI 0yzI 因为因为y轴是对称轴，上式自然满足。轴是对称轴，上式自然满足。EIz梁的梁的抗弯刚度抗弯刚度MMzdAyA dAyMEy A 2
21、dAEyA zEI 1zMEI 将上式代入将上式代入yE zMyI 正负号正负号M和和y可以直接代入可以直接代入绝对值。绝对值。在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。 maxmaxzMyI maxzzIWy 令令: :maxzMW 式中式中Wz称为称为扭弯截面系数扭弯截面系数，其单位为，其单位为m3。高为高为h宽为宽为b的矩形截面，则：的矩形截面，则：3212622zzbhIbhWhh直径为直径为d的实心圆截面的实心圆截面，则：则： 43643222zzdIdWdd 外径为外径为D,内径是内径是d的空心圆截面的空心圆截面，则：则： 443416
22、413222zzDIDWDD 横力弯曲时横力弯曲时, ,梁的横截面上既有正应力又有切应力梁的横截面上既有正应力又有切应力. .切应切应力使横截面发生翘曲力使横截面发生翘曲, ,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力压应力, ,纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。 虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异, ,但进一步的分析表但进一步的分析表明明, ,工程中常用的梁工程中常用的梁, ,纯弯曲时的正应力计算公式纯弯曲时的正应力计算公式, ,可以精确的可以精确的计算横力弯曲时横截面上的
23、正应力。计算横力弯曲时横截面上的正应力。等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为WxMz)( 三、梁在横力弯曲时的正应力三、梁在横力弯曲时的正应力 max maxzMW 对于脆性材料，它们的许用拉应力低于许用压应力对于脆性材料，它们的许用拉应力低于许用压应力 ，则应，则应按许用拉应力与许用压应力分别进行强度计算。按许用拉应力与许用压应力分别进行强度计算。 例例7 7 钢制等截面简支梁受均布载荷钢制等截面简支梁受均布载荷q 作用，梁的横截面作用，梁的横截面为为 h=2b 的矩形的矩形, ,求梁的截面尺寸。求梁的截面尺寸。 已知材料的许用应力已知材料的许用应力
24、120 MPa m2l 50 kN/mq 解：解：作弯矩图作弯矩图 危险截面在梁的中点，其值为危险截面在梁的中点，其值为 2max8qlM 强度计算：强度计算： 22max2338166zqlM xqlbhWb 23233633 (50 10 N/m) (2 m)67.9 mm1616 (120 10 Pa)qlb 2136mmhb 80y1y22020120z例例8 8 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. .铸铁的抗铸铁的抗拉许用应力为拉许用应力为 t = 30MPa , ,抗压许用应力为抗压许用应力为 c =160MPa 。已知截面对形心轴已知截面
25、对形心轴z的惯性矩为的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度校核梁的强度。F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mF2=4kNRARBF1=9kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kNmkN5 . 2 MCmkN4 MB B截面截面MPa2 .271max tzBtIyM MPa2 .462max czBcIyM C截面截面MPa8 .282max tzCtIyM 80y1y22020120z解解: :kN52.RA kN510.RB 此梁满足强度条件。此梁满足强度条件。例例9 9 图示为一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为图示为一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为形，材
26、料的拉形，材料的拉伸和压缩许用应力之比伸和压缩许用应力之比 。求水平翼板的合理宽度。求水平翼板的合理宽度b b。 tc14 解解: :1c,max,zMyI ct,maxzMyI t,maxtc,maxc14 c114yy c mm80y 1320 mmy ct +400 mmyy 又又 33c22(6030 mm )(30 34017060 mm )80 mm(60 mm )(30 340 mm )byb510 mmb 7 7 提高构件强度的措施提高构件强度的措施 弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。 弯曲正应力强度为：弯曲正应力强度为： 要提高梁的弯曲强
27、度，应减小要提高梁的弯曲强度，应减小最大弯矩最大弯矩Mmax和提高抗弯截面和提高抗弯截面系数系数Wz。 maxmaxzMW Cyz 一、合理配置梁的支座和载荷一、合理配置梁的支座和载荷若将支座向中间移动若将支座向中间移动0.2l, 最大的弯矩为原来的最大的弯矩为原来的1/51/5 lqMx28ql 3 5lqMx240ql5l5l250ql250qlCA B l/6F5l/6ABMx5Fl/36 当集中载荷位置不受限制时，可尽量地靠近支座，当集中载荷位置不受限制时，可尽量地靠近支座，这时梁的最大弯矩将比载荷作用在梁中间位置小得多。这时梁的最大弯矩将比载荷作用在梁中间位置小得多。 2lFMx4F
28、l 2llqF l Mx8Fl 2lFMx4Fl 2l3lFMx6Fl 3l6l6l尽量分散载荷尽量分散载荷: :将载荷分解将载荷分解成几个大小相等，方向相同成几个大小相等，方向相同的集中载荷或均布载荷，梁的集中载荷或均布载荷，梁内的弯矩也将显著减小。内的弯矩也将显著减小。 laaFlaaFPPMFl/4MFl/4-PaPaPa+- 根据强度条件可知，要想提高梁的强度根据强度条件可知，要想提高梁的强度, , Wz越大越大越好，但是，另一方面，截面面积越好，但是，另一方面，截面面积A越小，越经济，越越小，越经济，越轻巧，因而合理的截面形状应该是用轻巧，因而合理的截面形状应该是用Wz/A的比值来衡
29、的比值来衡量截面形状的合理性和经济性量截面形状的合理性和经济性。比值比值Wz/A越大，则截越大，则截面的形状比较经济合理。面的形状比较经济合理。截面形状截面形状圆圆 形形矩矩 形形槽槽 钢钢工字钢工字钢 Wz/A0.125h0.167h(0.270.31)h(0.270.31)h几种截面的几种截面的Wz /A比值比值 梁各横截面上的最大正应力都相等梁各横截面上的最大正应力都相等, ,并均达到材料的并均达到材料的许用应力许用应力, ,则称为等强度梁则称为等强度梁。 按照等强度梁的强度条件可以确定抗弯截面系数按照等强度梁的强度条件可以确定抗弯截面系数Wz沿梁的变化规律。沿梁的变化规律。 maxzM xxWx zM xWx 由此可得：由此可得： 工程中，把梁做成这种形式，就成为在厂房建筑中工程中，把梁做成这种形式，就成为在厂房建筑中广泛使用的广泛使用的“鱼腹梁鱼腹梁”了。了。 对于圆形截面的等强度梁，为了满足结构和加工的要对于圆形截面的等强度梁，为了满足结构和加工的要求，通常做成阶梯形状的变截面梁来近似代替等强度梁。求，通常做成阶梯形状的变截面梁来近似代替等强度梁。
