1、 作为作为圆圆这章的第一个重要性质，它研这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这条弦的关系。究的是垂直于弦的直径和这条弦的关系。 该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。中处于非常重要的作用。 教学重点：教学重点：垂直于弦的直径的性质及其应垂直于弦的直径的性质及其应用。用。 教学难点：教学难点：其一是垂径定理的证明，那
2、是其一是垂径定理的证明，那是因为叠合法证题对于学生比较陌生；其二因为叠合法证题对于学生比较陌生；其二是垂径定理的题设与结论的区分，那是由是垂径定理的题设与结论的区分，那是由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏。易混淆遗漏。 教学关键：教学关键：是圆的轴对称性的理解。是圆的轴对称性的理解。1、知识与能力：、知识与能力： (1)掌握垂直于弦的直径的性质；掌握垂直于弦的直径的性质； (2) 初步应用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。初步应用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。2、过程与方法：、过程与方法：让学生经历让学生经历“实验实验观察观察猜
3、想猜想验证验证归纳归纳”的的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。能力。3、情感态度与价值观：、情感态度与价值观：经历将已学知识应用到未学知识的探索过程，经历将已学知识应用到未学知识的探索过程，发展学生的数学思维；通过圆的对称性，渗透对学生的美育教育，发展学生的数学思维；通过圆的对称性，渗透对学生的美育教育，并激发学生对数学的热爱；通过对定理的推导，培养学生团结合作并激发学生对数学的热爱；通过对定理的推导，培养学生团结合作和敢于猜想勇于探索的科研精神；通过对赵州桥历史的了解，感受和敢于猜想勇于探索的科研精神；通
4、过对赵州桥历史的了解，感受数学在生活中的运用。数学在生活中的运用。 本节课采用的教学方法是本节课采用的教学方法是“主体探主体探究式究式”。整堂课充分发挥教师的主。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。学生观察、大胆猜想、小心求证。学生不再是知识的接受者，而是知识的不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。在课堂教发现者，是学习的主人。在课堂教学中由于较多的采用了多媒体教学学中由于较多的采用了多媒体教学手段，数学课堂变美了；幻灯投影手段，数学课堂变美了；幻灯
5、投影又较大地扩大了传统的黑板，加快又较大地扩大了传统的黑板，加快了教学环节的转换速度，这就可以了教学环节的转换速度，这就可以提高教学时量的利用率，更多的放提高教学时量的利用率，更多的放手让学生做研究。手让学生做研究。 考虑到九年级学生的心理特点（追求考虑到九年级学生的心理特点（追求效率、喜欢精简、喜欢快节奏）和已效率、喜欢精简、喜欢快节奏）和已有的知识基础（已学过轴对称、中心有的知识基础（已学过轴对称、中心对称、圆的基本概念），在课堂中我对称、圆的基本概念），在课堂中我采取的是从折纸开始，开门见山式的采取的是从折纸开始，开门见山式的引导学生从已知的、熟悉的知识入手，引导学生从已知的、熟悉的知识
6、入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，通过探索发度去分析、解决新问题，通过探索发现、夯实基础、更上层楼和解决问题现、夯实基础、更上层楼和解决问题等环节发掘不同层次学生的不同能力，等环节发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力的目的。从而达到发展学生思维能力的目的。 问题问题: :你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗? ? 它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长)
7、 )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧弧的中点到弦的距离的中点到弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵州桥主你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ 由此你能得到圆的什么特性？由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：可以发现：圆是轴对称图形。任何圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴一条直径所在直线都是它的对称轴 不借助任何工具，你能找到圆形不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗纸片的圆心吗? ?如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）圆是
8、轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OBCDE活活 动动 二二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半两侧的两个半圆重合，点圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，A弧弧： AC=BC,AD=BDAC，AD分别与分别与BC,BD重合重合垂径定理垂径定理垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,并
9、且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧CDABCDAB CD CD是直径，是直径， AE=BE,AE=BE, AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE 老师提示老师提示: : 垂径定理是圆中一个重要的定理垂径定理是圆中一个重要的定理, ,三种语言要相互转化三种语言要相互转化, ,形成整体形成整体, ,才能运用自如才能运用自如. .EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心
10、过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD1 1、如图，、如图，ABAB是是OO的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CDCDABAB于于E E，则下列结论中则下列结论中不成立不成立的是（的是（ ）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、BD=BCBD=BC OABECD2 2、如图，、如图，OEOEABAB于于E E，若若OO的半径为的半径为10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则AB=AB= cmcm。OABE解：解：连接连接OAOA， OEOEABABcmOEOAAE86102222 AB=2AE=16cmAB=2A
11、E=16cm3 3、如图，在、如图，在O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8 8cmcm，圆，圆心心O到到AB的距离为的距离为3 3cmcm，求，求O的半径。的半径。OABE解：解：过点过点O O作作OEOEABAB于于E E，连接连接OAOAcmOEcmABAE3421cmOEAEAE5342222即即O的半径为的半径为5 5cm.cm.4 4、如图，、如图，CDCD是是O的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD的长。的长。OABECD解：解：连接连接OAOA， CD CD是直径，是直径，OEOEABAB AE=1/2 AB
12、=5AE=1/2 AB=5设设OA=xOA=x，则，则OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13 OA=13OA=13 CD=2OA=26CD=2OA=26即直径即直径CDCD的长为的长为26.26.思考，总结思考，总结OEBA3.若若圆心到弦的距离圆心到弦的距离用用d表示，半径用表示，半径用r表表示，弦长用示，弦长用a表示，这表示，这三者之间有怎样的关三者之间有怎样的关系？系？2222adr即右图中的OE叫弦心距.1.关于弦的问题，常常需要关于弦的问题，常常需要过圆过圆心作弦的垂线段心作弦的垂线段，
13、这是一条非常，这是一条非常重要的重要的辅助线辅助线。2.圆心到弦的距离、半径、弦圆心到弦的距离、半径、弦构构成成直角三角形直角三角形，便将问题转化为，便将问题转化为直角三角形的问题。直角三角形的问题。 你能利用垂径定理解决求你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗赵州桥拱半径的问题吗? ?37.4m7.2mABOCDABOCD解：解：如图，用如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为，半径为r.r.经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC垂足为垂足为D D，与，与ABAB交于点交于点C C，则，则D D是是ABAB的中
14、的中点，点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高. . AB=37.4m AB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m AD=1/2 AB=18.7m AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2OD=OC-CD=r-7.2 222ADODOA2222 . 77 .18rr解得解得r=27.9r=27.9（m m）即即主桥拱半径约为主桥拱半径约为27.9m.27.9m. 1.必做题必做题:习题习题24.11,7,8 2.选做题选做题:习题习题24.113 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.OEDCBA 24.1.2垂直于弦的直径 在在 O中中，CD是直径是直径，AB是弦是弦，CDAB，垂足为垂足为E。 AEBE，ACBC，ADBD。 垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。OEDCBA
