1、第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程0000(,)MxyzR例1 建立球心在，半径为 的球面方程。( , , )M x y z解：设为球面上的任一点，则0|M MR2222000()()()xxyyzzR即 球面方程(0,0,0)O若球心在，则方程2222xyzR球面方程( , , )Mx y z显然，球面上任一点的坐标满足方程，不在球面上的点都不满足方程， 一一对应球面三元方程在空间解析几何中，任何曲面都看作点的几何轨迹。xzyM0MRo定义( , , )0,(1)( , , )0,(2)( , , )0,( , , )0( , , )0F x y zF x y zF x y zF x y
2、 zF x y z已知一曲面及三元方程若满足曲面上任一点的坐标都满足方程不在曲面上的点的坐标都不满足方程则称是的方程，而叫做的图形。关于曲面主要研究：（1）已知曲面，建立曲面方程（如例1）( , , )0F x y z （2）已知方程，研究方程所表示的曲面性状( , , )x y zxzyo(2,3,4)1:2OA例2 求与原点 及点的距离之比为的点的轨迹方程， 并判断其性状。( , , )M x y z解：设为曲面上任一点，则1|2OMAM2222221(2-3(4)2xyzxyz） （）22248229033xyzxyz所求方程为 2222242(1()(39)333xyz即 ） （）24
3、2(, 1,)333R 球心，半径的球面求面方程的一般形式2220(0)AxAyAzDxEyFzGA,xy yz zx 缺；平特点方项系数相等(1,2,3)(2, 1,4)ABAB例3 设有点和，求线段的垂直平分面的方程。( , , )M x y z解：设为平面上任一点，则| |AMBM222222(1-2(3)(21(4)xyzxyz即） （） （）26270 xyz整理化简 平面方程，三元一次方程0(1)0,(2)4,(3)0 xzzy例4 问：空间坐标系中，方程 各表示什么图形？(1)0zxoy解：坐标面(2)4zxoy平行于面且距离为4的平面0(3)0 xyozzoxzy与面的交线，即
4、 轴xzy4oxzyo定义 一条平面曲线绕着平面上一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面。CL曲线 母线定直线 轴( , , )M x y z0:( , )0Cf x y 01( , , )Mx y zxzyCyoz设 为平面上一条曲线，:( , )0Cf y z Cz建立曲线 绕 轴旋转的曲面的方程( , , )M x y z解：设为上任一点，MC则点是由 上一点旋转所成，故11221,(,)0zzf y zyxy 22(, )0fxyz得为所求旋转曲面方程。同理：:( , )0Cf y zy曲线绕 轴旋转的曲面方程为22( ,)0f yxz:( , )0Cf x zx曲线绕 轴旋转的曲面方
5、程为22( ,)0f xyzz绕 轴旋转的曲面方程为22(, )0fxyz:( , )0Cf x yx曲线绕 轴旋转的曲面方程为22( ,)0f xyzy绕 轴旋转的曲面方程为22(, )0fxzy:cotyozL zyz例5 平面上直线绕 旋转的曲面方程：22:cot0zxy 2222cot()zxy圆即锥面方程 圆锥的半顶角4若 ，则222zxy：25xozzxxz例6 建立面上抛物线分别绕 轴， 轴旋转一周所 形成曲面的方程，并画图。2225xzxy解：绕 轴旋转的曲面方程：225zyzx绕 轴旋转的曲面方程：三、柱面222xyR例7 在空间直角坐标系中，方程表示怎样的曲面？222xoy
6、xyR解：在面上,表示圆。( , , )LM x y z显然直线 上点满足222xyR222xyR故曲面 :称为圆柱面222xyRLz圆-准线，母线（平行于 轴）定义CLCL平行于定直线，并沿定曲线 移动的直线 形成的轨迹叫做柱面定曲线准线,动直线母线一般的( , )0F x yz母线轴的柱面( , )0G x zy母线轴的柱面( , )0H y zx母线轴的柱面特点：缺一个变量22221xyzab 例8 母线轴的双曲柱面；0 xyz过 轴的平面；25z 母线轴的柱面。yxz0yxz0 x-y=0yxz0四 二次曲面( , , )0F x y z 称三元二次方程所表示的曲面为二次曲面。2220
7、( , ,)AxByCzDxEyFzGA B C不全为零0AxByCz而表示的的曲面称为一次曲面-平面。解决方法：解决方法：采用截痕法，即用坐标面及平行于坐标面的平面去截曲面，观察所的截线的形状，从而确定曲面图形。下面讨论几个特殊的二次曲面问题：问题：给定方程F(x,y,z)=0，如何确定方程所表示的曲面形状？一、椭球面方程方程 ：, 1222222czbyax,ax首先：首先： 其次：其次：与xoy坐标面的交线（截痕）)0, 0, 0(cbaczby ,0101:22222222220zbyaxzczbyaxc是xoy面上的椭圆再看：再看：与)(00czzz平面的交线022022220220
8、2222221111:0zzcbycaxzzczbyaxczzz相交于点),0,0(c综上讨论，可知椭球面形状如图 平面上的椭圆是0zz 最后与平面cz类似的，若用平行于xoz及yoz坐标面的两组平面截椭球面，得到的解痕仍是两组椭圆，如图XYZ特别的：特别的： a=b时，方程a=b=c时，方程为2222azyx为旋转椭球面为球面1222222czbyaxxyzoxyzo二、抛物面1、椭圆抛物面、椭圆抛物面 方程：)(2222同号与qpzqypx设p、q0,则 0z图形在xoy平面上方与xoy面的交线0022:220zqypxc为点（0，0，0）与平面 )0(0 zz交线线平面上的椭圆0zz 类
9、似，用xoz及yoz坐标平面截得截痕为抛物面xyzo是是00202122:0zzqzypzxcz特别的p=q时pzyxpzqypx2)0(222222为旋转抛物面2、双曲抛物面（或马鞍面）、双曲抛物面（或马鞍面）方程同号）与qpzqypx(2222采用截痕法得到图形xyzo曲面截痕均为双曲线及抛物线（除xoy面上截痕是两条相交直线外）注：注：z=xy是经旋转后的双曲抛物面三、双曲面1、单叶双曲面、单叶双曲面方程1222222czbyax特别的a=b时，为旋转双曲面1222222czbyax2、双叶双曲面、双叶双曲面方程1222222czbyaxxyo特别的a=b时为旋转双曲面1222222czbyax例例1、画出下列曲面所谓立体图0, 0,2,) 1 (yzzxxy222222,) 2(RzxRyx及三个坐标面)0, 0, 0(zyx24) 3(xz与三个坐标面1)4(222zxzyx和
